5.3.3 古典概型
1.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为（ ）
A. B.
C. D.
2.箱子中放有一双红色和一双黑色的袜子，现从箱子中同时取出两只袜子，则取出的两只袜子正好可以配成一双的概率为（ ）
A. B.
C. D.
3.抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体玩具.设事件A为“向上一面点数为偶数”，事件B为“向上一面点数为6的约数”，则P（A＋B）＝（ ）
A. B.
C. D.
4.（2023·全国甲卷4题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A. B.
C. D.
5.（多选）某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能的按随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则（ ）
A.P1P2＝ B.P1＋P2＝
C.P1＋P2＝ D.P1＞P2
6.甲、乙两校共有5名教师报名上网课，其中甲校2男1女，乙校1男1女，现选出2名教师去上网课，则选出的2名教师来自同一学校的概率为 .
7.战国时期，齐王与臣子田忌各有上、中、下三匹马.有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：①从各自上、中、下三等级马中各出一匹马；②每匹马参加且只参加一次比赛；③三场比赛后，以获胜场次多者为最终胜者.已知高等级马一定强于低等级马，而在同等级马中，都是齐王的马强，则田忌赢得比赛的概率为 .
8.某中学拟从4月16号至30号期间，选择连续两天举行春季运动会，从已往的气象记录中随机抽取一个年份，记录天气结果如下：
日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 雨 雨 阴 晴 晴 晴 雨
估计运动会期间不下雨的概率为 .
9.小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道.
（1）小李从中任选2道题解答，每一次选1题（不放回），求所选的题不是同一种题型的概率；
（2）小李从中任选2道题解答，每一次选1题（有放回），求所选的题不是同一种题型的概率.
10.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815
952 683 829 436 730 257.据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 .
11.从1，2，3，4，5中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数a，另一个作为对数的真数b.则logab∈（0，1）的概率为 .
12.某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.
（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析.
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率.
13.刘徽是魏晋时代著名数学家，是我国古代数学的集大成者，他给出了（2k＋1）阶幻方的构作方法是数学史上算法的范例，他的（2k＋1）阶幻方被称为“神农幻方”.所谓幻方，是把1，2，…，n2排成n×n的方阵，使其每行、每列和对角线的数字之和均相等.如图是刘徽构作的3阶幻方，现从中随机抽取三个数，满足数字之和等于15，则含有数字5或6的概率为 .
8 1 6
3 5 7
4 9 2
14.一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外其他特征完全相同，已知蓝色球3个.若从袋子中随机取出1个球，取到红色球的概率是.
（1）求红色球的个数；
（2）若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲、乙两人先后从这个袋子中各取一个球（甲先取，取出的球不放回），求甲取出的球的编号比乙大的概率.
5.3.3 古典概型
1.B 该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为＝.
2.B 两只红色袜子分别设为A1，A2，两只黑色袜子分别设为B1，B2，这个试验的样本空间可记为Ω＝{（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（B1，B2）}，共包含6个样本点，记A为“取出的两只袜子正好可以配成一双”，则A＝{（A1，A2），（B1，B2）}，A包含的样本点个数为2，所以P（A）＝.故选B.
3.D 由题意得：抛掷结果有6种可能的结果，事件A即为向上一面的点数为2或4或6，事件B即为向上一面的点数为1或2或3或6，事件A＋B即为向上一面的点数为1或2或3或4或6，所以P（A＋B）＝，故选D.
4.D 记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（b1，b2），共6个，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P＝＝，故选D.
5.ACD 由题意，分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能的按随机顺序前往酒店接嘉宾，基本事件有：（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），（3，1，2），（3，2，1），共6种，设计两种方案：方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车，则方案一坐到“3号”车包含的基本事件有：（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），共有3种，所以方案一的概率为P1＝＝；方案二：直接乘坐第一辆车，则方案二坐到“3号”车的概率为P2＝，所以P1＞P2，P1P2＝，P1＋P2＝.故选A、C、D.
6. 解析：来自甲校的教师设为a，b，c，来自乙校的教师设为1，2，则全部情况为：（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（b，c），（b，1），（b，2），（c，1），（c，2），（1，2），共有10种情况，其中4种符合要求，为（a，b），（a，c），（b，c），（1，2），故选出的2名教师来自同一学校的概率为＝.
7. 解析：双方马的对阵情况如下：
齐王的马 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下
田忌的马 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上
双方马的对阵中，只有一种对抗情况田忌能赢，即田忌下等马对阵齐王上等马，田忌上等马对阵齐王中等马，田忌中等马对阵齐王下等马，所以田忌赢得比赛的概率为P＝.
8. 解析：依题意，以每相邻两天为一个基本事件，如16号与17号、17号与18号为不同的两个基本事件，则从4月16号至30号期间，共有14个基本事件，它们等可能，其中相邻两天不下雨有16与17，19与20，20与21，21与22，22与23，26与27，27与28，28与29，共8个不同结果，所以运动会期间不下雨的概率为P＝＝.
9.解：将3道选择题依次编号为1，2，3；2道填空题依次编号为4，5.
（1）从5道题中任选2道题解答，每一次选1题（不放回），则样本空间中所有样本点为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共20种，而且这些样本点发生的可能性是相等的.
设事件A为“所选的题不是同一种题型”，则事件A包含的样本点有（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），共12种，所以P（A）＝＝0.6.
（2）从5道题中任选2道题解答，每一次选1题（有放回），则样本空间中所有样本点为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25种，而且这些样本点发生的可能性是相等的.
设事件B为“所选的题不是同一种题型”，由（1）知所选题不是同一种题型的样本点共12种，所以P（B）＝＝0.48.
10. 解析：这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有：137、271、436共3组，故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：＝.
11. 解析：logab的所有可能取值为log21，log23，log24，log25，log31，log32，log34，log35，log41，log42，log43，log45，log51，log52，log53，log54，共16种，满足logab∈（0，1）的为log32，log42，log43，log52，log53，log54，共6种，所以logab∈（0，1）的概率为＝.
12.解：（1）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1.
（2）①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3，2所中学分别记为A4，A5，1所大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6），（A5，A6），共15种.
②从这6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件B）的所有可能结果为（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），共3种，所以P（B）＝＝.
13. 解析：由题意，该3阶幻方是由1，2，3，…，9排成的方阵，从中随机抽取三个数，数字之和等于15，样本空间共有1＋9＋5，1＋8＋6，2＋9＋4，2＋8＋5，2＋7＋6，3＋8＋4，3＋7＋5，4＋6＋5共8个样本点.所求事件含有6个样本点，故所求事件概率为＝.
14.解：（1）设红色球有x个，依题意得＝，解得x＝4，
∴红色球有4个.
（2）记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件A，所有的基本事件有（红1，白1），（红1，蓝2），（红1，蓝3），（白1，红1），（白1，蓝2），（白1，蓝3），（蓝2，红1），（蓝2，白1），（蓝2，蓝3），（蓝3，红1），（蓝3，白1），（蓝3，蓝2），共12个.
事件A包含的基本事件有（蓝2，红1），（蓝2，白1），（蓝3，红1），（蓝3，白1），（蓝3，蓝2），共5个，
∴P（A）＝.
2 / 25.3.3 古典概型
新课程标准解读 核心素养
结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率 数学抽象、数学运算
我们一次向上抛掷红、黄、蓝三颗骰子，可能出现多少种不同的结果呢？
【问题】 （1）上述试验中所有不同的样本点有何特点？
（2）掷一枚不均匀的骰子，求出现偶数点的概率，这个概率模型是古典概型吗？
知识点 古典概型
1.古典概型：一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是 （简称为有限性），而且可以认为每个只包含一个样本点的事件（即基本事件）发生的可能性 （简称为等可能性），则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型.
2.古典概型的计算公式：试验的样本空间包含n个样本点，事件C包含m个样本点，则事件C发生的概率为：P（C）＝ .
提醒 若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该试验还不能判断是古典概型，还必须满足每个样本点出现的可能性相等.
1.下列关于古典概型的说法中正确的是（ ）
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个样本点出现的可能性相等；
④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P（A）＝.
A.②④ B.①③④
C.①④ D.③④
2.下列试验是古典概型的是（ ）
A.口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球}
B.在区间[－1，5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0
C.抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D.某人射击中靶或不中靶
3.设集合A＝{a，b，c，d}，B＝{e，f}，从集合A，B中各取一个元素，则取到元素a的概率为（ ）
A. B.
C. D.
题型一 古典概型的判定
【例1】 下列概率模型是古典概型吗？为什么？
（1）从区间[1，10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；
（2）向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
（3）从1，2，3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取得偶数的概率.
尝试解答
通性通法
判断一个事件是否是古典概型，关键看该事件是否具备古典概型的两大特征
（1）有限性：在一次试验中，所有可能出现的样本点只有有限个；
（2）等可能性：每个样本点出现的可能性相等.
【跟踪训练】
（多选）下列试验是古典概型的为（ ）
A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的概率
B.同时掷两颗骰子，点数和为6的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
题型二 古典概型的计算
角度1 求“无序抽取”型古典概型的概率
【例2】 在大小、质地完全相同的6个球中，2个是红球，4个是白球，若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是多少？
尝试解答
角度2 求“有序抽取”型古典概型的概率
【例3】 三张卡片上分别写有字母E，E，B，将三张卡片随机排成一行，恰好排成BEE的概率为 .
尝试解答
通性通法
求古典概型的概率，关键是正确列出样本点，常见的方法有列举法，列表法和树形图法.特别注意取出的元素有无顺序，“无序”指取出的元素没有先后顺序，常用“任取”表示；而“有序”指取出的元素有顺序，不能调换位置，常用“依次取出”表述.
【跟踪训练】
某部小说共有3册，将其按任意顺序摆放在书架上，则从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册的概率为（ ）
A. B.
C. D.
角度3 求“有（无）放回抽取”型古典概型的概率
【例4】 一个盒子中装有4个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.
（1）从盒子中不放回地随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（2）先从盒子中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回盒子中，然后再从盒子中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m＋2的概率.
尝试解答
通性通法
1.对于不放回抽取，每次抽取时，总体数目比上一次抽取时要少，因此在第n次抽取与第n＋1次的抽取中，物品被抽中的概率可能会发生改变.
2.对于有放回抽取，总体数量没有改变，因此每次抽取同一件物品的概率相等.有放回抽取和无放回抽取的区别在于，同一件物品“有放回抽取”可能被抽到两次，而“无放回抽取”最多被抽到一次.这正是“有放回抽取”的样本空间包含的样本点数量比“无放回抽取”样本空间包含的样本点数量多的原因.
【跟踪训练】
从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是 .若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率是 .
题型三 古典概型与统计知识的综合
【例5】 为检验学生上网课的效果，某校高三年级进行了一次网络模拟考试.全年级共1 500人，现从中抽取了100人的数学成绩绘制成频率分布直方图，如图所示，已知这100人中[110，120）分数段的人数比[100，110）分数段的人数多6人.
（1）根据频率分布直方图，求a，b的值；
（2）现用分层抽样的方法从分数在[130，140），[140，150）的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率.
尝试解答
通性通法
解决此类问题的关键是借助统计表格，利用统计知识找出满足条件的样本空间，从而确定样本点，再利用古典概型的计算公式求解即可.
【跟踪训练】
某学校餐厅新推出A、B、C、D四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如图，为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下所示：
满意 一般 不满意
A款套餐 50% 25% 25%
B款套餐 80% 0 20%
C款套餐 50% 50% 0
D款套餐 40% 20% 40%
（1）若同学甲选择的是A款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；
（2）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面谈，求这2人中至少有一人选择的是D款套餐的概率.
1.下列概率模型，其中属于古典概型的是（ ）
A.在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点
B.某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环
C.某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
D.一只使用中的灯泡寿命长短
2.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为（ ）
A. B.
C. D.1
3.若从{1，2，3，4}中随机选取一个数记为a，从{2，3}中随机选取一个数记为b，则b＞a的概率是（ ）
A. B.
C. D.
4.（多选）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，记事件“选中的2人都是女同学”的概率为P1；事件“选中2人都是男同学”的概率为P2；事件“选中1名男同学1名女同学”的概率P3.则下列选项正确的是（ ）
A.P1＋P2＝P3 B.2P1＝P3
C.P1＞2P2 D.＝P2P3
5.从甲、乙、丙、丁四个同学中选两人分别当班长和副班长，其中甲、乙为男生，丙、丁是女生，则选举结果中至少有一名女生当选的概率是 .
5.3.3 古典概型
【基础知识·重落实】
知识点
1.有限的 大小都相等 2.
自我诊断
1.B 根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B.
2.C A中两个样本点不是等可能的；B中样本点的个数是无限的；D中“中靶”与“不中靶”不是等可能的；C符合古典概型的两个特征，故选C.
3.B 依题意，集合A，B中各取一个元素的所有结果是：ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，共8个，它们等可能，取到元素a的事件M有：ae，af，共2个结果，则P（M）＝＝，所以取到元素a的概率为.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）不是古典概型，因为区间[1，10]中有无限多个实数，取出的那个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾.
（2）不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相等”矛盾.
（3）是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等.
跟踪训练
ABD 由古典概型的定义和特点知：A、B、D是古典概型，因为都具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性，C不是古典概型，因为不符合等可能性.故选A、B、D.
【例2】 解：设白球标号为1，2，3，4，红球标号为5，6，从6个球中任选3球的样本空间Ω＝{（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，2，6），（1，3，4），（1，3，5），（1，3，6），（1，4，5），（1，4，6），（1，5，6），（2，3，4），（2，3，5），（2，3，6），（2，4，5），（2，4，6），（2，5，6），（3，4，5），（3，4，6），（3，5，6），（4，5，6）}，共20个样本点，用事件A表示“至少有1个红球”，则A＝{（1，2，5），（1，2，6），（1，3，5），（1，3，6），（1，4，5），（1，4，6），（1，5，6），（2，3，5），（2，3，6），（2，4，5），（2，4，6），（2，5，6），（3，4，5），（3，4，6），（3，5，6），（4，5，6）}，共包含16个样本点.
故所选3个球中至少有1个红球的概率P（A）＝＝.
【例3】 解析：记写有E的两张卡片分别为E1，E2，画树形图如下：
故样本空间Ω＝{E1E2B，E1BE2，E2E1B，E2BE1，BE1E2，BE2E1}，共6个样本点，记事件A为“恰好排成BEE”，则A＝{BE1E2，BE2E1}，共包含2个样本点，故P（A）＝＝.
跟踪训练
B 设（1，2，3）表示从左到右依次为第1，2，3册，则所有样本点为（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），（3，1，2），（3，2，1）.其中从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册的样本点有2个，所以所求概率P＝＝.故选B.
【例4】 解：（1）从盒子中不放回地随机抽取两个球，其样本空间可记为Ω1＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}，共包含6个样本点，
用A表示“取出的球的编号之和不大于4”，则A＝{（1，2），（1，3）}，A包含的样本点个数为2.
因此所求事件的概率P（A）＝＝.
（2）先从盒子中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从盒子中随机取一个球，记下编号为n，用数对（m，n）来表示取出的结果，则样本空间可记为Ω2＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}，共包含16个样本点，用B表示“n≥m＋2”，故表示“n＜m＋2”，则B＝{（1，3），（1，4），（2，4）}，共包含3个样本点，
所以P（B）＝，
所以P（）＝1－＝.
跟踪训练
解析：从5个数字中不放回地任取两数，样本点有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），共10个，而每个样本点出现的可能性相等，两数都为奇数的事件A的样本点有（1，3），（1，5），（3，5），共3个，则P（A）＝，所以两数都是奇数的概率是；
从5个数字中有放回地任取两数，样本点有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共有25个，且每个样本点出现的可能性相等，两数都为偶数的事件B的样本点有（2，4），（4，2），（2，2），（4，4），共4个，则P（B）＝，所以两数都是偶数的概率是.
【例5】 解：（1）依题意有，（0.002＋0.005＋0.008＋0.01＋0.014＋0.015＋a＋b）×10＝1，即a＋b＝0.046，
又∵100×10（b－a）＝6，解得a＝0.020，b＝0.026.
（2）设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A，
由题意知，在分数为[130，140）的同学中抽取4人，分别用1，2，3，4表示，
在分数为[140，150]的同学中抽取2人，分别用5，6表示，
从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，
抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：15，16，25，26，35，36，45，46，共8种，所以P（A）＝，故抽取的2名同学的分数不在同一组内的概率.
跟踪训练
解：（1）由条形图可得，选择A，B，C，D四款套餐的学生共有200人，其中选A款套餐的学生为40人，
由分层抽样可得从A款套餐问卷中抽取了20×＝4份.
设事件M＝“同学甲被选中进行问卷调查”，则P（M）＝＝0.1.
故若甲选择的是A款套餐，甲被选中调查的概率是0.1.
（2）由图表可知，选A，B，C，D四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5.其中不满意的人数分别为1，1，0，2.
记对A款套餐不满意的学生是a；对B款套餐不满意的学生是b；对D款套餐不满意的学生是c，d.设事件N＝“从填写不满意的学生中选出2人，至少有一人选择的是D款套餐”，从填写不满意的学生中选出2人，共有（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）6个基本事件，而事件N有（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）5个基本事件，则P（N）＝.
故这两人中至少有一人选择的是D款套餐的概率是.
随堂检测
1.C A不属于古典概型，原因：所有横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限性；B不属于古典概型，原因：命中0环，1环，2环，…，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；C属于古典概型，原因：显然满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；D不属于古典概型，原因：灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性.故选C.
2.C 从甲、乙、丙三人中任选两人有：（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙），共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种：（甲，乙），（甲，丙），故甲被选中的概率为P＝.
3.B 从{1，2，3，4}中随机选取一个数记为a，从{2，3}中随机选取一个数记为b，将取出的a，b记为（a，b），所有可能出现的结果为：（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（4，2），（4，3），共8个，其中满足b＞a的有（1，2），（1，3），（2，3），共3个，所以b＞a的概率为.故选B.
4.BC 将2名男同学分别记为x，y，3名女同学分别记为a，b，c，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有（x，y），（x，a），（x，b），（x，c），（y，a），（y，b），（y，c），（a，b），（a，c），（b，c）共10种，则P1＝，P2＝，P3＝＝，因此2P1＝P3，P1＞2P2，P1＋P2≠P3，≠P2P3，故选B、C.
5. 解析：样本点有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）共6个，其中“没有女生当选”只包含（甲，乙）1个，故至少一名女生当选的概率为P＝1－＝.
5 / 5(共72张PPT)
5.3.3 古典概型
新课程标准解读 核心素养
结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型
中简单随机事件的概率 数学抽象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
我们一次向上抛掷红、黄、蓝三颗骰子，可能出现多少种不同的
结果呢？
【问题】 （1）上述试验中所有不同的样本点有何特点？
（2）掷一枚不均匀的骰子，求出现偶数点的概率，这个概率模型是
古典概型吗？
知识点 古典概型
1. 古典概型：一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点
个数是 （简称为有限性），而且可以认为每个只包
含一个样本点的事件（即基本事件）发生的可能性
（简称为等可能性），则称这样的随机试验为古典概率模
型，简称为古典概型.
有限的
大小都相
等
2. 古典概型的计算公式：试验的样本空间包含 n 个样本点，事件 C 包
含 m 个样本点，则事件 C 发生的概率为： P （ C ）＝ .
提醒 若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个，则该
试验还不能判断是古典概型，还必须满足每个样本点出现的可能性
相等.
1. 下列关于古典概型的说法中正确的是（ ）
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可
能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为
n ，随机事件 A 若包含 k 个样本点，则 P （ A ）＝ .
A. ②④ B. ①③④
C. ①④ D. ③④
解析： 根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②
不正确，故选B.
2. 下列试验是古典概型的是（ ）
A. 口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为
和
B. 在区间[－1，5]上任取一个实数 x ，使 x2－3 x ＋2＞0
C. 抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D. 某人射击中靶或不中靶
解析： A中两个样本点不是等可能的；B中样本点的个数是无限
的；D中“中靶”与“不中靶”不是等可能的；C符合古典概型的
两个特征，故选C.
3. 设集合 A ＝{ a ， b ， c ， d }， B ＝{ e ， f }，从集合 A ， B 中各取一
个元素，则取到元素 a 的概率为（ ）
A. B. C. D.
解析： 依题意，集合 A ， B 中各取一个元素的所有结果是：
ae ， af ， be ， bf ， ce ， cf ， de ， df ，共8个，它们等可能，取到
元素 a 的事件 M 有： ae ， af ，共2个结果，则 P （ M ）＝ ＝ ，所
以取到元素 a 的概率为 .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 古典概型的判定
【例1】 下列概率模型是古典概型吗？为什么？
（1）从区间[1，10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；
解： 不是古典概型，因为区间[1，10]中有无限多个实
数，取出的那个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所
有可能结果只有有限个”矛盾.
（2）向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
解： 不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与
“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验
结果出现的可能性相等”矛盾.
（3）从1，2，3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取得
偶数的概率.
解： 是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有
限的，而且每个整数被抽到的可能性相等.
通性通法
判断一个事件是否是古典概型，关键看该事件是否具备古典概型
的两大特征
（1）有限性：在一次试验中，所有可能出现的样本点只有有限个；
（2）等可能性：每个样本点出现的可能性相等.
【跟踪训练】
（多选）下列试验是古典概型的为（ ）
A. 从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的概率
B. 同时掷两颗骰子，点数和为6的概率
C. 近三天中有一天降雨的概率
D. 10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
解析： 由古典概型的定义和特点知：A、B、D是古典概型，因
为都具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性，C不是古典概
型，因为不符合等可能性.故选A、B、D.
题型二 古典概型的计算
角度1 求“无序抽取”型古典概型的概率
【例2】 在大小、质地完全相同的6个球中，2个是红球，4个是白
球，若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是
多少？
解：设白球标号为1，2，3，4，红球标号为5，6，从6个球中任选3球
的样本空间Ω＝{（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，
2，6），（1，3，4），（1，3，5），（1，3，6），（1，4，5），
（1，4，6），（1，5，6），（2，3，4），（2，3，5），（2，3，
6），（2，4，5），（2，4，6），（2，5，6），（3，4，5），
（3，4，6），（3，5，6），（4，5，6）}，共20个样本点，用事件
A 表示“至少有1个红球”，则 A ＝{（1，2，5），（1，2，6），
（1，3，5），（1，3，6），（1，4，5），（1，4，6），（1，5，
6），（2，3，5），（2，3，6），（2，4，5），（2，4，6），
（2，5，6），（3，4，5），（3，4，6），（3，5，6），（4，5，
6）}，共包含16个样本点.
故所选3个球中至少有1个红球的概率 P （ A ）＝ ＝ .
角度2 求“有序抽取”型古典概型的概率
【例3】 三张卡片上分别写有字母E，E，B，将三张卡片随机排成
一行，恰好排成BEE的概率为 .
解析：记写有E的两张卡片分别为
E1，E2，画树形图如下：
故样本空间Ω＝{E1E2B，E1BE2，
E2E1B，E2BE1，BE1E2，BE2E1}，
共6个样本点，记事件 A 为“恰好
排成BEE”，则 A ＝{BE1E2，
BE2E1}，共包含2个样本点，故 P
（ A ）＝ ＝ .
通性通法
求古典概型的概率，关键是正确列出样本点，常见的方法有列举
法，列表法和树形图法.特别注意取出的元素有无顺序，“无序”指
取出的元素没有先后顺序，常用“任取”表示；而“有序”指取出的
元素有顺序，不能调换位置，常用“依次取出”表述.
【跟踪训练】
某部小说共有3册，将其按任意顺序摆放在书架上，则从左到右或
从右到左恰好为第1，2，3册的概率为（ ）
A. B. C. D.
解析： 设（1，2，3）表示从左到右依次为第1，2，3册，则所有
样本点为（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），
（3，1，2），（3，2，1）.其中从左到右或从右到左恰好为第1，
2，3册的样本点有2个，所以所求概率 P ＝ ＝ .故选B.
角度3 求“有（无）放回抽取”型古典概型的概率
【例4】 一个盒子中装有4个形状大小完全相同的球，球的编号分别
为1，2，3，4.
（1）从盒子中不放回地随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不
大于4的概率；
解： 从盒子中不放回地随机抽取两个球，其样本空间可记
为Ω1＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，
4），（3，4）}，共包含6个样本点，
用 A 表示“取出的球的编号之和不大于4”，则 A ＝{（1，2），
（1，3）}， A 包含的样本点个数为2.
因此所求事件的概率 P （ A ）＝ ＝ .
（2）先从盒子中随机取一个球，该球的编号为 m ，将球放回盒子
中，然后再从盒子中随机取一个球，该球的编号为 n ，求 n ＜ m
＋2的概率.
解： 先从盒子中随机取一个球，记下编号为 m ，放回后，
再从盒子中随机取一个球，记下编号为 n ，用数对（ m ， n ）来
表示取出的结果，则样本空间可记为Ω2＝{（1，1），（1，
2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），
（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，
1），（4，2），（4，3），（4，4）}，共包含16个样本点，
用 B 表示“ n ≥ m ＋2”，故 表示“ n ＜ m ＋2”，则 B ＝
{（1，3），（1，4），（2，4）}，共包含3个样本点，
所以 P （ B ）＝ ，
所以 P （ ）＝1－ ＝ .
通性通法
1. 对于不放回抽取，每次抽取时，总体数目比上一次抽取时要少，因
此在第 n 次抽取与第 n ＋1次的抽取中，物品被抽中的概率可能会发
生改变.
2. 对于有放回抽取，总体数量没有改变，因此每次抽取同一件物品的
概率相等.有放回抽取和无放回抽取的区别在于，同一件物品“有
放回抽取”可能被抽到两次，而“无放回抽取”最多被抽到一次.
这正是“有放回抽取”的样本空间包含的样本点数量比“无放回抽
取”样本空间包含的样本点数量多的原因.
【跟踪训练】
从1，2，3，4，5这5个数字中不放回地任取两数，则两数都是奇数
的概率是 .若有放回地任取两数，则两数都是偶数的概率
是 .
解析：从5个数字中不放回地任取两数，样本点有（1，2），（1，
3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，
4），（3，5），（4，5），共10个，而每个样本点出现的可能性相
等，两数都为奇数的事件 A 的样本点有（1，3），（1，5），（3，
5），共3个，则 P （ A ）＝ ，所以两数都是奇数的概率是 ；
从5个数字中有放回地任取两数，样本点有：（1，1），（1，2），
（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），
（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），
（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共有25个，
且每个样本点出现的可能性相等，两数都为偶数的事件 B 的样本点有
（2，4），（4，2），（2，2），（4，4），共4个，则 P （ B ）＝
，所以两数都是偶数的概率是 .
题型三 古典概型与统计知识的综合
【例5】 为检验学生上网课的效果，某校高三年级进行了一次网络模拟考试.全年级共1 500人，现从中抽取了100人的数学成绩绘制成频率分布直方图，如图所示，已知这100人中[110，120）分数段的人数比[100，110）分数段的人数多6人.
（1）根据频率分布直方图，求 a ， b 的值；
解： 依题意有，（0.002＋0.005＋0.008＋0.01＋0.014＋
0.015＋ a ＋ b ）×10＝1，即 a ＋ b ＝0.046，
又∵100×10（ b － a ）＝6，解得 a ＝0.020， b ＝0.026.
（2）现用分层抽样的方法从分数在[130，140），[140，150）的两
组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为
“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一
组内的概率.
解： 设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A ，
由题意知，在分数为[130，140）的同学中抽取4人，分别用
1，2，3，4表示，
在分数为[140，150]的同学中抽取2人，分别用5，6表示，从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共15种，
抽取的2名同学的分数不在同一组内的结果有：15，16，25，26，
35，36，45，46，共8种，所以 P （ A ）＝ ，故抽取的2名同学
的分数不在同一组内的概率 .
通性通法
解决此类问题的关键是借助统计表格，利用统计知识找出满
足条件的样本空间，从而确定样本点，再利用古典概型的计算公
式求解即可.
【跟踪训练】
某学校餐厅新推出 A 、 B 、 C 、 D 四款套餐，某一天四款套餐销售
情况的条形图如图，为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每
位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取
20份进行统计，统计结果如下所示：
满意 一般 不满意
A 款套餐 50% 25% 25%
B 款套餐 80% 0 20%
C 款套餐 50% 50% 0
D 款套餐 40% 20% 40%
（1）若同学甲选择的是 A 款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；
解： 由条形图可得，选择 A ， B ， C ， D 四款套餐的学生共有200人，其中选 A 款套餐的学生为40人，
由分层抽样可得从 A 款套餐问卷中抽取了20× ＝4份.
设事件 M ＝“同学甲被选中进行问卷调查”，则 P （ M ）＝ ＝0.1.
故若甲选择的是 A 款套餐，甲被选中调查的概率是0.1.
（2）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面
谈，求这2人中至少有一人选择的是 D 款套餐的概率.
解： 由图表可知，选 A ， B ， C ， D 四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5.其中不满意的人数分别为1，1，
0，2.
记对 A 款套餐不满意的学生是 a ；对 B 款套餐不满意的学生是
b ；对 D 款套餐不满意的学生是 c ， d .设事件 N ＝“从填写不满
意的学生中选出2人，至少有一人选择的是 D 款套餐”，从填写
不满意的学生中选出2人，共有（ a ， b ），（ a ， c ），（ a ，
d ），（ b ， c ），（ b ， d ），（ c ， d ）6个基本事件，而事件
N 有（ a ， c ），（ a ， d ），（ b ， c ），（ b ， d ），（ c ，
d ）5个基本事件，则 P （ N ）＝ .
故这两人中至少有一人选择的是 D 款套餐的概率是 .
1. 下列概率模型，其中属于古典概型的是（ ）
A. 在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任
取一点
B. 某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环
C. 某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲
D. 一只使用中的灯泡寿命长短
解析： A不属于古典概型，原因：所有横坐标和纵坐标都是
整数的点有无限多个，不满足有限性；B不属于古典概型，原
因：命中0环，1环，2环，…，10环的概率不一定相同，不满足
等可能性；C属于古典概型，原因：显然满足有限性，且任选1
人与学生的性别无关，是等可能的；D不属于古典概型，原因：灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性.故选C.
2. 从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为
（ ）
A. B.
C. D. 1
解析： 从甲、乙、丙三人中任选两人有：（甲，乙），（甲，
丙），（乙，丙），共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种：
（甲，乙），（甲，丙），故甲被选中的概率为 P ＝ .
3. 若从{1，2，3，4}中随机选取一个数记为 a ，从{2，3}中随机选取
一个数记为 b ，则 b ＞ a 的概率是（ ）
A. B.
C. D.
解析： 从{1，2，3，4}中随机选取一个数记为 a ，从{2，3}中
随机选取一个数记为 b ，将取出的 a ， b 记为（ a ， b ），所有可能
出现的结果为：（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），
（3，2），（3，3），（4，2），（4，3），共8个，其中满足 b
＞ a 的有（1，2），（1，3），（2，3），共3个，所以 b ＞ a 的概
率为 .故选B.
4. （多选）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，记事
件“选中的2人都是女同学”的概率为 P1；事件“选中2人都是男
同学”的概率为 P2；事件“选中1名男同学1名女同学”的概率 P3.
则下列选项正确的是（ ）
A. P1＋ P2＝ P3 B. 2 P1＝ P3
C. P1＞2 P2 D. ＝ P2 P3
解析： 将2名男同学分别记为 x ， y ，3名女同学分别记为 a ，
b ， c ，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有
（ x ， y ），（ x ， a ），（ x ， b ），（ x ， c ），（ y ， a ），
（ y ， b ），（ y ， c ），（ a ， b ），（ a ， c ），（ b ， c ）共10
种，则 P1＝ ， P2＝ ， P3＝ ＝ ，因此2 P1＝ P3， P1＞2 P2，
P1＋ P2≠ P3， ≠ P2 P3，故选B、C.
5. 从甲、乙、丙、丁四个同学中选两人分别当班长和副班长，其中
甲、乙为男生，丙、丁是女生，则选举结果中至少有一名女生当选
的概率是 .
解析：样本点有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，
丙），（乙，丁），（丙，丁）共6个，其中“没有女生当选”只
包含（甲，乙）1个，故至少一名女生当选的概率为 P ＝1－ ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物
的概率为 ＝ .
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2. 箱子中放有一双红色和一双黑色的袜子，现从箱子中同时取出两只
袜子，则取出的两只袜子正好可以配成一双的概率为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 两只红色袜子分别设为 A1， A2，两只黑色袜子分别设为
B1， B2，这个试验的样本空间可记为Ω＝{（ A1， A2），（ A1，
B1），（ A1， B2），（ A2， B1），（ A2， B2），（ B1， B2）}，共
包含6个样本点，记 A 为“取出的两只袜子正好可以配成一双”，
则 A ＝{（ A1， A2），（ B1， B2）}， A 包含的样本点个数为2，所
以 P （ A ）＝ .故选B.
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3. 抛掷一枚质地均匀且各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正
方体玩具.设事件 A 为“向上一面点数为偶数”，事件 B 为“向上
一面点数为6的约数”，则 P （ A ＋ B ）＝（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 由题意得：抛掷结果有6种可能的结果，事件 A 即为向
上一面的点数为2或4或6，事件 B 即为向上一面的点数为1或2或3或
6，事件 A ＋ B 即为向上一面的点数为1或2或3或4或6，所以 P （ A
＋ B ）＝ ，故选D.
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4. （2023·全国甲卷4题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年
级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生
来自不同年级的概率为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 记高一年级2名学生分别为 a1， a2，高二年级2名学生分
别为 b1， b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事
件有（ a1， a2），（ a1， b1），（ a1， b2），（ a2， b1），（ a2，
b2），（ b1， b2），共6个，其中这2名学生来自不同年级的基本事
件有（ a1， b1），（ a1， b2），（ a2， b1），（ a2， b2），共4
个，所以这2名学生来自不同年级的概率 P ＝ ＝ ，故选D.
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5. （多选）某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的
三辆车，等可能的按随机顺序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想，
设计了两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车
序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方
案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率
分别为 P1， P2，则（ ）
A. P1 P2＝ B. P1＋ P2＝
C. P1＋ P2＝ D. P1＞ P2
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解析： 由题意，分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的
三辆车，等可能的按随机顺序前往酒店接嘉宾，基本事件有：
（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），（3，
1，2），（3，2，1），共6种，设计两种方案：方案一：不乘坐第
一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此
车，否则乘坐第三辆车，则方案一坐到“3号”车包含的基本事件
有：（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），共有3种，所以方
案一的概率为 P1＝ ＝ ；方案二：直接乘坐第一辆车，则方案二坐到“3号”车的概率为 P2＝ ，所以 P1＞ P2， P1 P2＝ ， P1＋ P2＝ .故选A、C、D.
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6. 甲、乙两校共有5名教师报名上网课，其中甲校2男1女，乙校1男1
女，现选出2名教师去上网课，则选出的2名教师来自同一学校的概
率为 .
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解析：来自甲校的教师设为 a ， b ， c ，来自乙校的教师设为1，
2，则全部情况为：（ a ， b ），（ a ， c ），（ a ，1），（ a ，
2），（ b ， c ），（ b ，1），（ b ，2），（ c ，1），（ c ，2），
（1，2），共有10种情况，其中4种符合要求，为（ a ， b ），
（ a ， c ），（ b ， c ），（1，2），故选出的2名教师来自同一学
校的概率为 ＝ .
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7. 战国时期，齐王与臣子田忌各有上、中、下三匹马.有一天，齐王
要与田忌赛马，双方约定：①从各自上、中、下三等级马中各出一
匹马；②每匹马参加且只参加一次比赛；③三场比赛后，以获胜场
次多者为最终胜者.已知高等级马一定强于低等级马，而在同等级
马中，都是齐王的马强，则田忌赢得比赛的概率为 .
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齐王 的马 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下
田忌 的马 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上
双方马的对阵中，只有一种对抗情况田忌能赢，即田忌下等马对阵
齐王上等马，田忌上等马对阵齐王中等马，田忌中等马对阵齐王下
等马，所以田忌赢得比赛的概率为 P ＝ .
解析：双方马的对阵情况如下：
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8. 某中学拟从4月16号至30号期间，选择连续两天举行春季运动会，
从已往的气象记录中随机抽取一个年份，记录天气结果如下：
日 期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天 气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 雨 雨 阴 晴 晴 晴 雨
估计运动会期间不下雨的概率为 .
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解析：依题意，以每相邻两天为一个基本事件，如16号与17号、17
号与18号为不同的两个基本事件，则从4月16号至30号期间，共有
14个基本事件，它们等可能，其中相邻两天不下雨有16与17，19与
20，20与21，21与22，22与23，26与27，27与28，28与29，共8个
不同结果，所以运动会期间不下雨的概率为 P ＝ ＝ .
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9. 小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选
择题，共3道，另一种是填空题，共2道.
解：将3道选择题依次编号为1，2，3；2道填空题依次编号为
4，5.
（1）小李从中任选2道题解答，每一次选1题（不放回），求所选
的题不是同一种题型的概率；
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（1）从5道题中任选2道题解答，每一次选1题（不放回），则样本空间中所有样本点为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共20种，而且这些样本点发生的可能性是相等的.
设事件 A 为“所选的题不是同一种题型”，则事件 A 包含的样本点有
（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），
（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），
共12种，所以 P （ A ）＝ ＝0.6.
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（2）小李从中任选2道题解答，每一次选1题（有放回），求所选
的题不是同一种题型的概率.
解：从5道题中任选2道题解答，每一次选1题（有放回），
则样本空间中所有样本点为（1，1），（1，2），（1，
3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，
3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，
3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，
3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，
3），（5，4），（5，5），共25种，而且这些样本点发生的
可能性是相等的.
设事件 B 为“所选的题不是同一种题型”，由（1）知所选题
不是同一种题型的样本点共12种，所以 P （ B ）＝ ＝0.48.
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10. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的
方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产
生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，
6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投
篮的结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197
925 271 815 952 683
829 436 730 257.据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中
的概率为 .
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解析：这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的
有：137、271、436共3组，故该运动员三次投篮恰有两次命中的
概率为： ＝ .
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11. 从1，2，3，4，5中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数
a ，另一个作为对数的真数 b .则log ab ∈（0，1）的概率为 .
解析：log ab 的所有可能取值为log21，log23，log24，log25，
log31，log32，log34，log35，log41，log42，log43，log45，log51，
log52，log53，log54，共16种，满足log ab ∈（0，1）的为log32，
log42，log43，log52，log53，log54，共6种，所以log ab ∈（0，1）
的概率为 ＝ .
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12. 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法
从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.
（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；
解： 从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，
2，1.
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解： ①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为 A1，A2， A3，2所中学分别记为 A4， A5，1所大学记为 A6，则抽取2所学校的所有可能结果为（ A1， A2），（ A1， A3），（ A1， A4），（ A1， A5），（ A1， A6），（ A2， A3），（ A2， A4），（ A2， A5），（ A2， A6），（ A3， A4），（ A3， A5），（ A3， A6），（ A4， A5），（ A4， A6），（ A5， A6），共15种.
②从这6所学校中抽取的2所学校均为小学（记为事件 B ）的所有可能结果为（ A1， A2），（ A1， A3），（ A2， A3），共3种，所以 P （ B ）＝ ＝ .
（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析.
①列出所有可能的抽取结果；
②求抽取的2所学校均为小学的概率.
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13. 刘徽是魏晋时代著名数学家，是我国古代数学的集大成者，他给
出了（2 k ＋1）阶幻方的构作方法是数学史上算法的范例，他的
（2 k ＋1）阶幻方被称为“神农幻方”.所谓幻方，是把1，
2，…， n2排成 n × n 的方阵，使其每行、每列和对角线的数字之
和均相等.如图是刘徽构作的3阶幻方，现从中随机抽取三个数，
满足数字之和等于15，则含有数字5或6的概率为 .
8 1 6
3 5 7
4 9 2
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解析：由题意，该3阶幻方是由1，2，3，…，9排成的方阵，从中
随机抽取三个数，数字之和等于15，样本空间共有1＋9＋5，1＋8
＋6，2＋9＋4，2＋8＋5，2＋7＋6，3＋8＋4，3＋7＋5，4＋6＋5
共8个样本点.所求事件含有6个样本点，故所求事件概率为 ＝ .
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14. 一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共24个，除颜色外其他特
征完全相同，已知蓝色球3个.若从袋子中随机取出1个球，取到红
色球的概率是 .
（1）求红色球的个数；
解： 设红色球有 x 个，依题意得 ＝ ，解得 x ＝4，
∴红色球有4个.
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（2）若将这三种颜色的球分别进行编号，并将1号红色球，1号白
色球，2号蓝色球和3号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，
甲、乙两人先后从这个袋子中各取一个球（甲先取，取出的
球不放回），求甲取出的球的编号比乙大的概率.
解： 记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件 A ，所
有的基本事件有（红1，白1），（红1，蓝2），（红1，蓝
3），（白1，红1），（白1，蓝2），（白1，蓝3），（蓝
2，红1），（蓝2，白1），（蓝2，蓝3），（蓝3，红1），
（蓝3，白1），（蓝3，蓝2），共12个.
事件 A 包含的基本事件有（蓝2，红1），（蓝2，白1），
（蓝3，红1），（蓝3，白1），（蓝3，蓝2），共5个，
∴ P （ A ）＝ .
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谢 谢 观 看！
