5.3.5 随机事件的独立性
1.分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A，“第二枚为正面”记为事件B，“两枚结果相同”记为事件C，那么事件A与B，A与C间的关系是（ ）
A.A与B，A与C均相互独立
B.A与B相互独立，A与C互斥
C.A与B，A与C均互斥
D.A与B互斥，A与C相互独立
2.打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是（ ）
A. B. C. D.
3.如图，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么系统的可靠性为（ ）
A.0.054 B.0.994
C.0.496 D.0.06
4.已知甲、乙两人投篮，甲的命中率为0.6，乙的命中率为p（0＜p＜1），如果甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率为0.8，则p＝（ ）
A.0.3 B.0.4
C.0.6 D.0.5
5.（多选）甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，有下列说法，其中说法正确的是（ ）
A.目标恰好被命中一次的概率为＋
B.目标恰好被命中两次的概率为×
C.目标被命中的概率为×＋×
D.目标被命中的概率为1－×
6.已知事件A，B，且P（A）＝0.5，P（B）＝0.2，如果A与B互斥，令m＝P（AB）；如果A与B相互独立，令n＝P（），则n－m＝ .
7.设某批电子手表的正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次检测到次品的概率为 .
8.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“三局两胜制”（即先赢两局者为胜，若前两局某人连胜，则无需比第三局），根据以往两人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为，则本次比赛中甲获胜的概率为 .
9.一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}.对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
（1）家庭中有两个小孩；
（2）家庭中有三个小孩.
10.有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁，现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率是（ ）
A. B.
C. D.
11.设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为，则A与B都发生的概率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
12.某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响.已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门课的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.
（1）求学生小张选修甲的概率；
（2）记“函数f（x）＝x2＋ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率.
13.已知红箱内有3个红球、2个白球，白箱内有2个红球、3个白球，所有小球大小、形状完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第n＋1次从与第n次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去.则第4次取出的球是红球的概率为 .
14.甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，开始时甲每盘棋赢的概率为，由于心态不稳，甲一旦输一盘棋，他随后每盘棋赢的概率就变为.假设比赛没有和棋，且已知前两盘棋都是甲赢.
（1）求第四盘棋甲赢的概率；
（2）求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率.
5.3.5 随机事件的独立性
1.A 因为事件A是否发生对事件B、C是否发生不产生影响，所以A与B，A与C均相互独立.故选A.
2.A 由题意知P甲＝＝，P乙＝，所以P＝P甲·P乙＝.
3.B 记三个开关都正常工作分别为事件A，B，C，则P（A）＝0.9，P（B）＝0.8，P（C）＝0.7.三个开关同时出现故障的事件为∩∩，则此系统正常工作的概率为P＝1－P（∩∩）＝1－P（）P（）P（）＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.
4.D 由甲的命中率为0.6，乙的命中率为p（0＜p＜1），则甲乙都未投中的概率为（1－0.6）×（1－p），故甲乙至少有一人命中的概率为1－（1－0.6）×（1－p）＝0.8，解得p＝0.5.故选D.
5.BD 设“甲射击一次命中目标”为事件A，“乙射击一次命中目标”为事件B，显然，A，B相互独立，则目标恰好被命中一次的概率为P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝×＋×，故A不正确；目标恰好被命中两次的概率为P（AB）＝P（A）·P（B）＝×，故B正确；目标被命中的概率为P（A∪B∪AB）＝P（A）＋P（B）＋P（AB）＝×＋×＋×或1－P（ ）＝1－P（）·P（）＝1－×，故C不正确，D正确.故选B、D.
6.0.4 解析：∵A与B互斥，∴m＝P（AB）＝0，∵A与B相互独立，∴n＝P（）＝P（）P（）＝（1－0.5）×（1－0.2）＝0.4，∴n－m＝0.4.
7. 解析：因为第3次首次检测到次品，所以第1次和第2次检测到的都是正品，第3次检测到的是次品，所以第3次首次检测到次品的概率为××＝.
8. 解析：因为甲在每局比赛中获胜的概率为，若甲前两局获胜，其概率为P1＝×＝；若甲前两局中一胜一负，第三局胜利，其概率为P2＝2×××＝，所以本次比赛中甲获胜的概率为P＝P1＋P2＝＋＝.
9.解：（1）有两个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形为Ω1＝{（男，男），（男，女），（女，男），（女 ，女）}，共有4个样本点，由等可能性知概率均为.
这时A＝{（男，女），（女，男）}，B＝{（男，男），（男，女），（女，男）}，AB＝{（男，女），（女，男）}，
于是P（A）＝，P（B）＝，P（AB）＝.
由此可知P（AB）≠P（A）P（B），
所以事件A，B不相互独立.
（2）有三个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形为Ω2＝{（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）}，共有8个样本点，由等可能性知概率均为.
这时A中含有6个样本点（此处不再一一列举），B中含有4个样本点，AB中含有3个样本点，
于是P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（AB）＝.
显然有P（AB）＝＝P（A）P（B）成立.
所以事件A与B是相互独立的.
10.B 有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁.现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后不放回，恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的情况有3种：①前三把都能开锁，②第一把不能开锁，第二把能开锁，第三把不能开锁，③第一把能开锁，第二把不能开锁，第三把不能开锁，∴恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来的概率为：P＝××＋××＋××＝.故选B.
11.D 设事件A，B发生的概率分别为P（A）＝x，P（B）＝y，则P（ ）＝P（）·P（）＝（1－x）·（1－y）＝，即1＋xy＝＋x＋y≥＋2，当且仅当x＝y时取“＝”，∴（－1）2≥，≤或≥（舍去），∴0≤xy≤.∴P（AB）＝P（A）P（B）＝xy∈.
12.解：（1）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x，y，z，
则解得
所以学生小张选修甲的概率为0.4.
（2）若函数f（x）＝x2＋ξx为R上的偶函数，则ξ＝0，当ξ＝0时，表示小张选修三门课或三门课都不选.
所以P（A）＝P（ξ＝0）＝xyz＋（1－x）（1－y）（1－z）＝0.4×0.6×0.5＋（1－0.4）（1－0.6）（1－0.5）＝0.24，
即事件A的概率为0.24.
13. 解析：设第n（n∈N*）次取出红球的概率为Pn，则取出白球的概率为1－Pn，考虑第n＋1次取出红球的概率为Pn＋1，①若第n次取出的球为红球，则第n＋1次在红箱内取出红球的概率为Pn；②若第n次取出的球为白球，则第n＋1次在白箱内取出红球的概率为（1－Pn）.所以Pn＋1＝Pn＋（1－Pn）＝Pn＋，且P1＝，所以P2＝P1＋＝×＋＝，P3＝P2＋＝×＋＝，因此，P4＝P3＋＝×＋＝.
14.解：（1）第四盘棋甲赢分两种情况：
①第三盘棋和第四盘棋都是甲赢，此时的概率P1＝×＝；
②第三盘棋乙赢，第四盘棋甲赢，此时的概率P2＝×＝.
设事件A为“第四盘棋甲赢”，
则P（A）＝P1＋P2＝＋＝.
（2）若甲恰好赢三盘棋，则他在后三盘棋中只赢一盘，分三种情况.
①甲第三盘赢，此时的概率P3＝××＝；
②甲第四盘赢，此时的概率P4＝××＝；
③甲第五盘赢，此时的概率P5＝××＝.
设事件B为“比赛结束时，甲恰好赢三盘棋”，
则P（B）＝P3＋P4＋P5＝＋＋＝.
2 / 25.3.5 随机事件的独立性
新课程标准解读 核心素养
1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义 数学抽象
2.结合古典概型，利用独立性计算概率 数学运算、逻辑推理
3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”.
【问题】 （1）上述问题中事件A的发生是否会影响B发生的概率？
（2）互斥事件与相互独立事件有什么区别？
知识点 随机事件的独立性
1.随机事件的独立性定义
一般地，当P（AB）＝ 时，就称事件A与B相互独立（简称独立）.
2.随机事件的独立性的性质
如果事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立.
提醒 （1）对随机事件的独立性定义的理解：事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率.
（2）相互独立事件与互斥事件的区别：
相互独立事件 互斥事件
条件 事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件
符号 相互独立事件A，B同时发生，记作：AB 互斥事件A，B中有一个发生，记作：A＋B（或A∪B）
计算公式 P（AB）＝P（A）P（B） P（A＋B）＝P（A）＋P（B）
【想一想】
如何用语言描述相互独立事件同时发生的概率？
1.甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为（ ）
A. B.
C. D.
2.已知A，B是相互独立事件，且P（A）＝0.3，P（）＝0.4，则P（AB）＝（ ）
A.0.9 B.0.12
C.0.18 D.0.7
3.国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为，.假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为 .
题型一 事件独立性的判断
【例1】 判断下列事件是否为相互独立事件：
（1）甲组3名男生， 2名女生； 乙组2名男生， 3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛， “从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
（2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”.
尝试解答
通性通法
两个事件是否相互独立的判断
（1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响；
（2）定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件.
【跟踪训练】
1.一袋中装有100只球，其中有20只白球，在有放回地摸球中，记A1＝“第一次摸得白球”，A2＝“第二次摸得白球”，则事件A1与是（ ）
A.相互独立事件 B.对立事件
C.互斥事件 D.无法判断
2.若P（AB）＝，P（）＝，P（B）＝，则事件A与B的关系是（ ）
A.互斥 B.相互独立
C.互为对立 D.无法判断
题型二 相互独立事件概率的计算
【例2】 甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，，，且各自能否被选中互不影响.
（1）求3人同时被选中的概率；
（2）求3人中至少有1人被选中的概率.
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）保持条件不变，求三人均未被选中的概率.
2.（变条件、变设问）若条件“3人能被选中的概率分别为，，”变为“甲、乙两人只有一人被选中的概率为，两人都被选中的概率为，丙被选中的概率为”，求恰好有2人被选中的概率.
通性通法
1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
（1）首先确定各事件之间是相互独立的；
（2）确定这些事件可以同时发生；
（3）求出每个事件的概率，再求积.
2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生.
【跟踪训练】
1.甲、乙两人破译一份电报，甲能独立破译的概率为0.3，乙能独立破译的概率为0.4，且两人是否破译成功互不影响，则两人都成功破译的概率为（ ）
A.0.5 B.0.7 C.0.12 D.0.88
2.甲、乙、丙三名运动员的投篮命中率分别为0.8，0.6和0.5，现甲、乙、丙三名运动员各投篮一次，则至少有两人命中的概率为 .
题型三 相互独立事件概率的实际应用
【例3】 三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率.
尝试解答
通性通法
求较为复杂事件的概率的方法
（1）列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
（2）理清事件之间的关系（两事件是互斥还是对立或者是相互独立），列出关系式；
（3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
（4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
【跟踪训练】
1.一台机床有的时间加工零件A，其余时间加工零件B.加工零件A时，停机的概率为，加工零件B时，停机的概率是，则这台机床停机的概率为（ ）
A. B. C. D.
2.某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关率分别为，.只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能进入第三关的概率为（ ）
A. B. C. D.
不同赛制的可靠性探究
乒乓球比赛规则如下：
在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10分平后，先多得2分的一方为胜方；
一场比赛应采用奇数局，如三局两胜制、五局三胜制等；
一场比赛应连续进行，但在局与局之间，任何一方运动员都有权要求不超过1分钟的休息时间.
某校要通过选拔赛选取一名同学参加市级乒乓球单打比赛，选拔赛采取淘汰制，败者直接出局.现有两种赛制方案：三局两胜制和五局三胜制.
【问题探究】
1.若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用三局两胜制，则这场比赛中甲获胜的概率是多少？
提示：甲、乙两人对决，甲每局获胜的概率为0.6，采用三局两胜制时，甲获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”.而这三种结局互不影响，于是由独立事件的概率公式，得甲最终获胜的概率为P1＝0.62＋2×0.62×（1－0.6）＝0.648.
2.若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用五局三胜制，则这场比赛中甲获胜的概率是多少？
提示：甲、乙两人对决，甲每局获胜的概率为0.6，采用五局三胜制，若甲最终获胜，至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜两局，由独立事件的概率公式，得五局三胜制下甲最终获胜的概率为P2＝0.63＋3×0.63×（1－0.6）＋6×0.63×（1－0.6）2＝0.682 56.
3.两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明理由.（各局胜负相互独立，各选手水平互不相同）
提示：甲、乙两人对决，若甲更强，则其获胜的概率p＞.采用三局两胜制时，若甲最终获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”.而这三种结局互不影响，于是得甲最终获胜的概率为P3＝p2＋2p2（1－p）.
采用五局三胜制，若甲最终获胜，则至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜两局，由此得五局三胜制下甲最终获胜的概率为P4＝p3＋3p3（1－p）＋6p3（1－p）2.而P4－P3＝p2（6p3－15p2＋12p－3）＝3p2（p－1）2（2p－1）.
因为p＞，所以P4＞P3，即五局三胜制下甲最终获胜的可能性更大.
所以五局三胜制更能选拔出最强的选手.
【迁移应用】
A，B两支篮球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局A队获胜的概率是外，其余每局比赛B队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立，则A队以3∶2获得比赛胜利的概率为（ ）
A. B. C. D.
1.甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.8，0.7.若两人同时独立射击，则他们都击中靶的概率是（ ）
A.0.56 B.0.48 C.0.75 D.0.6
2.已知A，B相互独立，P（A）＝0.6，P（B）＝0.3，则P（＋B）＝（ ）
A.0.58 B.0.9 C.0.7 D.0.72
3.从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好遇到2个红灯的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.（多选）袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球.甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（ ）
A.甲与乙互斥 B.乙与丙互斥
C.甲与乙独立 D.甲与乙对立
5.甲、乙、丙三人同解一道数学题目，三人解对的概率分别为，，，且三人解题互不影响，则三人均未解对的概率为 .
5.3.5 随机事件的独立性
【基础知识·重落实】
知识点
1.P（A）P（B）
想一想
提示：相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积.
自我诊断
1.D 甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为、，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为P＝×＝.故选D.
2.C 因为P（）＝0.4，所以P（B）＝1－P（）＝0.6，又A，B是相互独立事件，且P（A）＝0.3，所以P（AB）＝P（A）·P（B）＝0.3×0.6＝0.18，故选C.
3. 解析：因为甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，，所以他们不去北京旅游的概率分别为，，，故至少有1人去北京旅游的概率为1－××＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件.
（2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件.
跟踪训练
1.A 由于采用有放回地摸球，所以每次是否摸到白球互不影响，故事件A1与是相互独立事件.故选A.
2.B 因为P（）＝，所以P（A）＝，又P（B）＝，所以事件A与事件B不对立，又因为P（AB）＝，所以有P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与B相互独立但不一定互斥.故选B.
【例2】 解：设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝.
（1）3人同时被选中的概率
P1＝P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）＝××＝.
（2）3人中有2人被选中的概率
P2＝P（AB＋AC＋BC）
＝××＋××＋××＝.
3人中只有1人被选中的概率
P3＝P（A＋B＋C）＝××＋××＋××＝.
故3人中至少有1人被选中的概率为P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
母题探究
1.解：法一 三人均未被选中的概率
P＝P（ ）＝××＝.
法二 由例（2）知，三人至少有1人被选中的概率为，
∴P＝1－＝.
2.解：设甲被选中的概率为P（A），乙被选中的概率为P（B），
则P（A）（1－P（B））＋P（B）（1－P（A））＝， ①
P（A）P（B）＝， ②
由①②知P（A）＝，P（B）＝，
故恰有2人被选中的概率P＝P（AB）＋P（AC）＋P（BC）＝.
跟踪训练
1.C 由题意，甲、乙分别能独立破译的概率为0.3和0.4，且两人是否破译成功互不影响，则这份电报两人都成功破译的概率为P＝0.3×0.4＝0.12.故选C.
2.0.7 解析：记“至少有两人命中”为事件A，则P（A）＝0.2×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.8×0.6×0.5＋0.8×0.6×0.5＝0.7.
【例3】 解：记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝.
电路不发生故障，即T1正常工作且T2，T3至少有一个正常工作，T2，T3至少有一个正常工作的概率P1＝1－P（）P（）＝1－×＝，
所以电路不发生故障的概率P＝P1×P（A1）＝×＝.
跟踪训练
1.A 由已知得一台机床有的时间加工零件A，的时间加工零件B，则加工零件A停机的概率是×＝，加工零件B停机的概率是×＝，即这台机床停机的概率是＋＝.故选A.
2.C 设Ai＝“第i次通过第一关”，Bi＝“第i次通过第二关”，其中i＝1，2；由题意选手能进入第三关的事件为：A1B1＋A2B1＋A1B2＋A2B2，所以概率为P（A1B1＋A2B1＋A1B2＋A2B2）＝×＋××＋××＋×××＝.故选C.
拓视野 不同赛制的可靠性探究
迁移应用
A 若“A队以3∶2获胜”，则前四局A，B各胜两局，第五局A胜利，因为各局比赛结果相互独立，所以A队以3∶2获得比赛胜利的概率为P＝6×××＝，故选A.
随堂检测
1.A 他们都击中靶的概率是0.8×0.7＝0.56.故选A.
2.A P（＋B）＝P（）＋P（B）－P（B）＝P（）＋P（B）－P（）P（B）＝0.4＋0.3－0.4×0.3＝0.58.故选A.
3.B 由各路口信号灯工作相互独立，可得某人从甲地到乙地恰好遇到2次红灯的概率：P＝××＋××＋××＝.故选B.
4.BC 首先抽取方法是有放回，每次摸出1个球，共抽取2次.基本事件为：白白，白黑，黑白，黑黑，共4种情况.事件甲和事件乙可能同时发生：白黑，所以甲与乙不是互斥事件，更不是对立事件，A、D错误；事件乙和事件丙不可能同时发生，所以乙与丙互斥，B正确；事件甲和事件乙是否发生没有关系，用A表示事件甲，用B表示事件乙，P（A）＝，P（B）＝，P（AB）＝，则P（AB）＝P（A）P（B），所以甲与乙独立，C正确.故选B、C.
5. 解析：设甲、乙、丙三人解对数学题目分别为事件A，B，C，则A，B，C相互独立，所以所求事件的概率为P（）＝××＝.
5 / 5(共71张PPT)
5.3.5
随机事件的独立性
新课程标准解读 核心素养
1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独
立性的含义 数学抽象
2.结合古典概型，利用独立性计算概率 数学运算、逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取.事件 A 为“第一
名同学没有抽到中奖奖券”，事件 B 为“第三名同学抽到中奖奖
券”.
【问题】 （1）上述问题中事件 A 的发生是否会影响 B 发生的概率？
（2）互斥事件与相互独立事件有什么区别？
知识点 随机事件的独立性
1. 随机事件的独立性定义
一般地，当 P （ AB ）＝ 时，就称事件 A 与 B
相互独立（简称独立）.
2. 随机事件的独立性的性质
如果事件 A 与 B 相互独立，则 与 B ， A 与 ， 与 也相互独立.
P （ A ） P （ B ）
提醒 （1）对随机事件的独立性定义的理解：事件 A 与 B 相互独立的
直观理解是，事件 A 是否发生不会影响事件 B 发生的概率，事件 B 是
否发生也不会影响事件 A 发生的概率.
（2）相互独立事件与互斥事件的区别：
相互独立事件 互斥事件
条件 事件 A （或 B ）是否发生对
事件 B （或 A ）发生的概率
没有影响 不可能同时发生的两个事件
符号 相互独立事件 A ， B 同时发
生，记作： AB 互斥事件 A ， B 中有一个发生，记作： A ＋ B （或 A ∪ B ）
计算 公式 P （ AB ）＝ P （ A ） P
（ B ） P （ A ＋ B ）＝ P （ A ）＋ P
（ B ）
【想一想】
如何用语言描述相互独立事件同时发生的概率？
提示：相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率
的积.
1. 甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别为 、 ，
两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀的概率为
（ ）
A. B.
C. D.
解析： 甲、乙同时参加某次数学检测，成绩为优秀的概率分别
为 、 ，两人的检测成绩互不影响，则两人的检测成绩都为优秀
的概率为 P ＝ × ＝ .故选D.
2. 已知 A ， B 是相互独立事件，且 P （ A ）＝0.3， P （ ）＝0.4，
则 P （ AB ）＝（ ）
A. 0.9 B. 0.12
C. 0.18 D. 0.7
解析： 因为 P （ ）＝0.4，所以 P （ B ）＝1－ P （ ）＝
0.6，又 A ， B 是相互独立事件，且 P （ A ）＝0.3，所以 P （ AB ）
＝ P （ A ） P （ B ）＝0.3×0.6＝0.18，故选C.
3. 国庆节放假，甲去北京旅游的概率为 ，乙、丙去北京旅游的概率
分别为 ， .假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内
至少有1人去北京旅游的概率为 .
解析：因为甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为 ， ， ，所以他
们不去北京旅游的概率分别为 ， ， ，故至少有1人去北京旅游
的概率为1－ × × ＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 事件独立性的判断
【例1】 判断下列事件是否为相互独立事件：
（1）甲组3名男生， 2名女生； 乙组2名男生， 3名女生，现从甲、乙
两组中各选1名同学参加演讲比赛， “从甲组中选出1名男生”
与“从乙组中选出1名女生”；
解： “从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对
“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它
们是相互独立事件.
（2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出
1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出
的还是白球”.
解： “从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为
，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取
出的仍是白球”的概率为 ；若前一事件没有发生，则后一事件
发生的概率为 ，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的
概率有影响，所以二者不是相互独立事件.
通性通法
两个事件是否相互独立的判断
（1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互
影响；
（2）定义法：如果事件 A ， B 同时发生的概率等于事件 A 发生的概率
与事件 B 发生的概率的积，则事件 A ， B 为相互独立事件.
【跟踪训练】
1. 一袋中装有100只球，其中有20只白球，在有放回地摸球中，记 A1
＝“第一次摸得白球”， A2＝“第二次摸得白球”，则事件 A1与
是（ ）
A. 相互独立事件 B. 对立事件
C. 互斥事件 D. 无法判断
解析： 由于采用有放回地摸球，所以每次是否摸到白球互不影
响，故事件 A1与 是相互独立事件.故选A.
2. 若 P （ AB ）＝ ， P （ ）＝ ， P （ B ）＝ ，则事件 A 与 B 的关
系是（ ）
A. 互斥 B. 相互独立
C. 互为对立 D. 无法判断
解析： 因为 P （ ）＝ ，所以 P （ A ）＝ ，又 P （ B ）＝ ，
所以事件 A 与事件 B 不对立，又因为 P （ AB ）＝ ，所以有 P
（ AB ）＝ P （ A ） P （ B ），所以事件 A 与 B 相互独立但不一定互
斥.故选B.
题型二 相互独立事件概率的计算
【例2】 甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人
能被选中的概率分别为 ， ， ，且各自能否被选中互不影响.
（1）求3人同时被选中的概率；
（1）3人同时被选中的概率 P1＝ P （ ABC ）＝ P （ A ） P （ B ） P （ C ）
＝ × × ＝ .
解：设甲、乙、丙能被选中的事件分别为 A ， B ， C ，则 P
（ A ）＝ ， P （ B ）＝ ， P （ C ）＝ .
（2）求3人中至少有1人被选中的概率.
解： 3人中有2人被选中的概率 P2＝ P （ AB ＋ A C ＋ BC ）
＝ × × ＋ × × ＋ × × ＝ .
3人中只有1人被选中的概率
P3＝ P （ A ＋ B ＋ C ）＝ × × ＋
× × ＋ × × ＝ .
故3人中至少有1人被选中的概率为 P1＋ P2＋ P3＝ ＋ ＋ ＝
.
【母题探究】
1. （变设问）保持条件不变，求三人均未被选中的概率.
解：法一 三人均未被选中的概率
P ＝ P （ ）＝ × × ＝ .
法二 由例（2）知，三人至少有1人被选中的概率为 ，
∴ P ＝1－ ＝ .
2. （变条件、变设问）若条件“3人能被选中的概率分别为 ， ，
”变为“甲、乙两人只有一人被选中的概率为 ，两人都被选中
的概率为 ，丙被选中的概率为 ”，求恰好有2人被选中的概率.
解：设甲被选中的概率为 P （ A ），乙被选中的概率为 P
（ B ），
则 P （ A ）（1－ P （ B ））＋ P （ B ）（1－ P （ A ））＝ ， ①
P （ A ） P （ B ）＝ ， ②
由①②知 P （ A ）＝ ， P （ B ）＝ （ 或 P （ A ）＝ ， P （ B ）
＝ ），
故恰有2人被选中的概率 P ＝ P （ AB ）＋ P （ A C ）＋ P （
BC ）＝ .
通性通法
1. 求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
（1）首先确定各事件之间是相互独立的；
（2）确定这些事件可以同时发生；
（3）求出每个事件的概率，再求积.
2. 使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用
条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生.
【跟踪训练】
1. 甲、乙两人破译一份电报，甲能独立破译的概率为0.3，乙能独立
破译的概率为0.4，且两人是否破译成功互不影响，则两人都成功
破译的概率为（ ）
A. 0.5 B. 0.7
C. 0.12 D. 0.88
解析： 由题意，甲、乙分别能独立破译的概率为0.3和0.4，且
两人是否破译成功互不影响，则这份电报两人都成功破译的概率为
P ＝0.3×0.4＝0.12.故选C.
2. 甲、乙、丙三名运动员的投篮命中率分别为0.8，0.6和0.5，现
甲、乙、丙三名运动员各投篮一次，则至少有两人命中的概率
为 .
解析：记“至少有两人命中”为事件 A ，则 P （ A ）＝0.2×0.6×
0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.8×0.6×0.5＋0.8×0.6×0.5＝0.7.
0.7
题型三 相互独立事件概率的实际应用
【例3】 三个元件 T1， T2， T3正常工作的概率分别为 ， ， ，将
它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所
示，求电路不发生故障的概率.
解：记“三个元件 T1， T2， T3正常工作”分别为事件 A1， A2， A3，则
P （ A1）＝ ， P （ A2）＝ ， P （ A3）＝ .
电路不发生故障，即 T1正常工作且 T2， T3至少有一个正常工作， T2，
T3至少有一个正常工作的概率 P1＝1－ P （ ） P （ ）＝1－ ×
＝ ，
所以电路不发生故障的概率 P ＝ P1× P （ A1）＝ × ＝ .
通性通法
求较为复杂事件的概率的方法
（1）列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
（2）理清事件之间的关系（两事件是互斥还是对立或者是相互独
立），列出关系式；
（3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
（4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算
对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
【跟踪训练】
1. 一台机床有 的时间加工零件 A ，其余时间加工零件 B . 加工零件 A
时，停机的概率为 ，加工零件 B 时，停机的概率是 ，则这台机
床停机的概率为（ ）
A. B. C. D.
解析： 由已知得一台机床有 的时间加工零件 A ， 的时间加工
零件 B ，则加工零件 A 停机的概率
是 × ＝ ，加工零件 B 停机的概率是 × ＝ ，即这台机床
停机的概率是 ＋ ＝ .故选A.
2. 某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关，第一关与第二关的过关
率分别为 ， .只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次
闯关机会，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能
进入第三关的概率为（ ）
A. B. C. D.
解析： 设 Ai ＝“第 i 次通过第一关”， Bi ＝“第 i 次通过第二
关”，其中 i ＝1，2；由题意选手能进入第三关的事件为： A1 B1＋
A2 B1＋ A1 B2＋ A2 B2，所以概率为 P （ A1 B1＋ A2 B1＋
A1 B2＋ A2 B2）＝ × ＋ × × ＋ × × ＋ × ×
× ＝ .故选C.
不同赛制的可靠性探究
乒乓球比赛规则如下：
在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10分平后，先多得2分
的一方为胜方；
一场比赛应采用奇数局，如三局两胜制、五局三胜制等；
一场比赛应连续进行，但在局与局之间，任何一方运动员都有权
要求不超过1分钟的休息时间.
某校要通过选拔赛选取一名同学参加市级乒乓球单打比赛，选拔
赛采取淘汰制，败者直接出局.现有两种赛制方案：三局两胜制和五
局三胜制.
【问题探究】
1. 若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用三局两胜制，则
这场比赛中甲获胜的概率是多少？
提示：甲、乙两人对决，甲每局获胜的概率为0.6，采用三局两胜
制时，甲获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙
甲”.而这三种结局互不影响，于是由独立事件的概率公式，得甲
最终获胜的概率为 P1＝0.62＋2×0.62×（1－0.6）＝0.648.
2. 若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用五局三胜制，则
这场比赛中甲获胜的概率是多少？
提示：甲、乙两人对决，甲每局获胜的概率为0.6，采用五局三胜
制，若甲最终获胜，至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而
前面甲需胜两局，由独立事件的概率公式，得五局三胜制下甲最终
获胜的概率为 P2＝0.63＋3×0.63×（1－0.6）＋6×0.63×（1－
0.6）2＝0.682 56.
3. 两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并
说明理由.（各局胜负相互独立，各选手水平互不相同）
提示：甲、乙两人对决，若甲更强，则其获胜的概率 p ＞ .采用三
局两胜制时，若甲最终获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲
甲”或“甲乙甲”.而这三种结局互不影响，于是得甲最终获胜的
概率为 P3＝ p2＋2 p2（1－ p ）.
采用五局三胜制，若甲最终获胜，则至少需比赛3局，且最后一局
必须是甲胜，而前面甲需胜两局，由此得五局三胜制下甲最终获胜
的概率为 P4＝ p3＋3 p3（1－ p ）＋6 p3（1－ p ）2.而 P4－ P3＝ p2（6
p3－15 p2＋12 p －3）＝3 p2（ p －1）2（2 p －1）.
因为 p ＞ ，所以 P4＞ P3，即五局三胜制下甲最终获胜的可能
性更大.
所以五局三胜制更能选拔出最强的选手.
【迁移应用】
A ， B 两支篮球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随
即结束.除第五局 A 队获胜的概率是 外，其余每局比赛 B 队获胜的概
率都是 .假设各局比赛结果相互独立，则 A 队以3∶2获得比赛胜利的
概率为（ ）
A. B. C. D.
解析： 若“ A 队以3∶2获胜”，则前四局 A ， B 各胜两局，第五
局 A 胜利，因为各局比赛结果相互独立，所以 A 队以3∶2获得比赛胜
利的概率为 P ＝6× × × ＝ ，故选A.
1. 甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.8，0.7.若两人同时独立射
击，则他们都击中靶的概率是（ ）
A. 0.56 B. 0.48
C. 0.75 D. 0.6
解析： 他们都击中靶的概率是0.8×0.7＝0.56.故选A.
2. 已知 A ， B 相互独立， P （ A ）＝0.6， P （ B ）＝0.3，则 P （ ＋
B ）＝（ ）
A. 0.58 B. 0.9
C. 0.7 D. 0.72
解析： P （ ＋ B ）＝ P （ ）＋ P （ B ）－ P （ B ）＝ P
（ ）＋ P （ B ）－ P （ ） P （ B ）＝0.4＋0.3－0.4×0.3＝
0.58.故选A.
3. 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独
立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， ， ，一辆车从甲地到
乙地，恰好遇到2个红灯的概率为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 由各路口信号灯工作相互独立，可得某人从甲地到乙地
恰好遇到2次红灯的概率： P ＝ × × ＋ × × ＋
× × ＝ .故选B.
4. （多选）袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个
黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球.甲表示事件“第一次摸
到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都
摸到白球”，则（ ）
A. 甲与乙互斥 B. 乙与丙互斥
C. 甲与乙独立 D. 甲与乙对立
解析： 首先抽取方法是有放回，每次摸出1个球，共抽取2次.
基本事件为：白白，白黑，黑白，黑黑，共4种情况.事件甲和事件
乙可能同时发生：白黑，所以甲与乙不是互斥事件，更不是对立事
件，A、D错误；事件乙和事件丙不可能同时发生，所以乙与丙互
斥，B正确；事件甲和事件乙是否发生没有关系，用 A 表示事件
甲，用 B 表示事件乙， P （ A ）＝ ， P （ B ）＝ ， P （ AB ）＝
，则 P （ AB ）＝ P （ A ） P （ B ），所以甲与乙独立，C正确.故
选B、C.
5. 甲、乙、丙三人同解一道数学题目，三人解对的概率分别为 ，
， ，且三人解题互不影响，则三人均未解对的概率为 .
解析：设甲、乙、丙三人解对数学题目分别为事件 A ， B ， C ，则
A ， B ， C 相互独立，所以所求事件的概率为 P （ ）＝
× × ＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件 A ，“第
二枚为正面”记为事件 B ，“两枚结果相同”记为事件 C ，那么事
件 A 与 B ， A 与 C 间的关系是（ ）
A. A 与 B ， A 与 C 均相互独立
B. A 与 B 相互独立， A 与 C 互斥
C. A 与 B ， A 与 C 均互斥
D. A 与 B 互斥， A 与 C 相互独立
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解析： 因为事件 A 是否发生对事件 B 、 C 是否发生不产生影
响，所以 A 与 B ， A 与 C 均相互独立.故选A.
2. 打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同
时射击，则他们同时中靶的概率是（ ）
A. B. C. D.
解析： 由题意知 P甲＝ ＝ ， P乙＝ ，所以 P ＝ P甲· P乙＝ .
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3. 如图， A ， B ， C 表示3个开关，若在某段时间内它们正常工作的
概率分别为0.9，0.8，0.7，那么系统的可靠性为（ ）
A. 0.054 B. 0.994
C. 0.496 D. 0.06
解析： 记三个开关都正常工作分别为事件 A ， B ， C ，则 P
（ A ）＝0.9， P （ B ）＝0.8， P （ C ）＝0.7.三个开关同时出现
故障的事件为 ∩ ∩ ，则此系统正常工作的概率为 P ＝1－ P
（ ∩ ∩ ）＝1－ P （ ） P （ ） P （ ）＝1－
0.1×0.2×0.3＝0.994.
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4. 已知甲、乙两人投篮，甲的命中率为0.6，乙的命中率为 p （0＜ p
＜1），如果甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率为
0.8，则 p ＝（ ）
A. 0.3 B. 0.4
C. 0.6 D. 0.5
解析： 由甲的命中率为0.6，乙的命中率为 p （0＜ p ＜1），则
甲乙都未投中的概率为（1－0.6）×（1－ p ），故甲乙至少有一
人命中的概率为1－（1－0.6）×（1－ p ）＝0.8，解得 p ＝0.5.故
选D.
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5. （多选）甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为 和 ，
甲、乙两人各射击一次，有下列说法，其中说法正确的是（ ）
A. 目标恰好被命中一次的概率为 ＋
B. 目标恰好被命中两次的概率为 ×
C. 目标被命中的概率为 × ＋ ×
D. 目标被命中的概率为1－ ×
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解析： 设“甲射击一次命中目标”为事件 A ，“乙射击一次
命中目标”为事件 B ，显然， A ， B 相互独立，则目标恰好被命中
一次的概率为 P （ A ∪ B ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）＝ × ＋
× ，故A不正确；目标恰好被命中两次的概率为 P （ AB ）＝ P
（ A ）· P （ B ）＝ × ，故B正确；目标被命中的概率为 P （ A
∪ B ∪ AB ）＝ P （ A ）＋ P （ B ）＋ P （ AB ）＝ × ＋ ×
＋ × 或1－ P （ ）＝1－ P （ ）· P （ ）＝1－ × ，故C
不正确，D正确.故选B、D.
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6. 已知事件 A ， B ，且 P （ A ）＝0.5， P （ B ）＝0.2，如果 A 与 B 互
斥，令 m ＝ P （ AB ）；如果 A 与 B 相互独立，令 n ＝ P （ ），
则 n － m ＝ .
解析：∵ A 与 B 互斥，∴ m ＝ P （ AB ）＝0，∵ A 与 B 相互独立，
∴ n ＝ P （ ）＝ P （ ） P （ ）＝（1－0.5）×（1－0.2）＝
0.4，∴ n － m ＝0.4.
0.4
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7. 设某批电子手表的正品率为 ，次品率为 ，现对该批电子手表进
行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3
次首次检测到次品的概率为 .
解析：因为第3次首次检测到次品，所以第1次和第2次检测到的都
是正品，第3次检测到的是次品，所以第3次首次检测到次品的概率
为 × × ＝ .
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8. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“三局两胜制”（即先赢
两局者为胜，若前两局某人连胜，则无需比第三局），根据以往两
人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为 ，则本次比赛
中甲获胜的概率为 .
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解析：因为甲在每局比赛中获胜的概率为 ，若甲前两局获胜，其
概率为 P1＝ × ＝ ；若甲前两局中一胜一负，第三局胜利，其
概率为 P2＝2× × × ＝ ，所以本次比赛中甲获胜的概
率为 P ＝ P1＋ P2＝ ＋ ＝ .
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9. 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令 A
＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}， B ＝{一个家庭中最多有一个
女孩}.对下述两种情形，讨论 A 与 B 的独立性：
（1）家庭中有两个小孩；
解： 有两个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形为Ω1＝{（男，男），（男，女），（女，男），（女 ，女）}，共有4个样本点，由等可能性知概率均为 .
这时 A ＝{（男，女），（女，男）}， B ＝{（男，男），男，女），（女，男）}， AB ＝{（男，女），（女，男）}，于是 P （ A ）＝ ， P （ B ）＝ ， P （ AB ）＝ .
由此可知 P （ AB ）≠ P （ A ） P （ B ），所以事件 A ， B 不相互独立.
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（2）家庭中有三个小孩.
解： 有三个小孩的家庭，男孩、女孩的所有可能情形为
Ω2＝{（男，男，男），（男，男，女），（男，女，
男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，
女），（女，女，男），（女，女，女）}，共有8个样本
点，由等可能性知概率均为 .
这时 A 中含有6个样本点（此处不再一一列举）， B 中含有4
个样本点， AB 中含有3个样本点，
于是 P （ A ）＝ ＝ ， P （ B ）＝ ＝ ， P （ AB ）＝ .
显然有 P （ AB ）＝ ＝ P （ A ） P （ B ）成立.
所以事件 A 与 B 是相互独立的.
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10. 有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开锁，现准备通
过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试开，试开后
不放回，则恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙区分出来
的概率是（ ）
A. B. C. D.
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解析： 有5把外形一样的钥匙，其中3把能开锁，2把不能开
锁.现准备通过一一试开将其区分出来，每次随机抽出一把进行试
开，试开后不放回，恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁的钥匙
区分出来的情况有3种：①前三把都能开锁，②第一把不能开锁，
第二把能开锁，第三把不能开锁，③第一把能开锁，第二把不能
开锁，第三把不能开锁，∴恰好试开3次就将能开锁的和不能开锁
的钥匙区分出来的概率为： P ＝ × × ＋ × × ＋ × ×
＝ .故选B.
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11. 设两个相互独立事件 A ， B 都不发生的概率为 ，则 A 与 B 都发生
的概率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 设事件 A ， B 发生的概率分别为 P （ A ）＝ x ， P
（ B ）＝ y ，则 P （ ）＝ P （ ）· P （ ）＝（1－ x ）·（1－
y ）＝ ，即1＋ xy ＝ ＋ x ＋ y ≥ ＋2 ，当且仅当 x ＝ y 时取
“＝”，∴（ －1）2≥ ， ≤ 或 ≥ （舍去），
∴0≤ xy ≤ .∴ P （ AB ）＝ P （ A ） P （ B ）＝ xy ∈ .
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12. 某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响.已
知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至
少选一门课的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选
修的课程门数的乘积.
（1）求学生小张选修甲的概率；
解： 设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为 x ， y ，z ，
则解得
所以学生小张选修甲的概率为0.4.
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（2）记“函数 f （ x ）＝ x2＋ξ x 为R上的偶函数”为事件 A ，求事
件 A 的概率.
解： 若函数 f （ x ）＝ x2＋ξ x 为R上的偶函数，则ξ＝
0，当ξ＝0时，表示小张选修三门课或三门课都不选.
所以 P （ A ）＝ P （ξ＝0）＝ xyz ＋（1－ x ）（1－ y ）·（1
－ z ）＝0.4×0.6×0.5＋（1－0.4）（1－0.6）×（1－
0.5）＝0.24，
即事件 A 的概率为0.24.
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13. 已知红箱内有3个红球、2个白球，白箱内有2个红球、3个白球，
所有小球大小、形状完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回
去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然
后再放回去，依次类推，第 n ＋1次从与第 n 次取出的球颜色相同
的箱子内取出一球，然后再放回去.则第4次取出的球是红球的概
率为 .
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解析：设第 n （ n ∈N*）次取出红球的概率为 Pn ，则取出白球的
概率为1－ Pn ，考虑第 n ＋1次取出红球的概率为 Pn＋1，①若第 n
次取出的球为红球，则第 n ＋1次在红箱内取出红球的概率为
Pn ；②若第 n 次取出的球为白球，则第 n ＋1次在白箱内取出红球
的概率为 （1－ Pn ）.所以 Pn＋1＝ Pn ＋ （1－ Pn ）＝ Pn ＋ ，
且 P1＝ ，所以 P2＝ P1＋ ＝ × ＋ ＝ ， P3＝ P2＋ ＝ ×
＋ ＝ ，因此， P4＝ P3＋ ＝ × ＋ ＝ .
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14. 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，开始时甲
每盘棋赢的概率为 ，由于心态不稳，甲一旦输一盘棋，他随后
每盘棋赢的概率就变为 .假设比赛没有和棋，且已知前两盘棋都
是甲赢.
（1）求第四盘棋甲赢的概率；
解： 第四盘棋甲赢分两种情况：
①第三盘棋和第四盘棋都是甲赢，此时的概率 P1＝ × ＝ ；
②第三盘棋乙赢，第四盘棋甲赢，此时的概率 P2＝ × ＝ .
设事件 A 为“第四盘棋甲赢”，
则 P （ A ）＝ P1＋ P2＝ ＋ ＝ .
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（2）求比赛结束时，甲恰好赢三盘棋的概率.
解： 若甲恰好赢三盘棋，则他在后三盘棋中只赢一
盘，分三种情况.
①甲第三盘赢，此时的概率 P3＝ × × ＝ ；
②甲第四盘赢，此时的概率 P4＝ × × ＝ ；
③甲第五盘赢，此时的概率 P5＝ × × ＝ .
设事件 B 为“比赛结束时，甲恰好赢三盘棋”，
则 P （ B ）＝ P3＋ P4＋ P5＝ ＋ ＋ ＝ .
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