一、直观想象
直观想象核心素养在本章中主要体现在统计图表的应用中.
培优一 从统计图表中获取信息
【例1】 如图是民航部门统计的2024年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）
A.深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
B.深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降
C.平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门
D.平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州
尝试解答
二、数据分析
数据分析核心素养在本章中主要体现在用样本估计总体中.
培优二 频率与概率
【例2】 对一批U盘进行抽检，结果如下表：
抽出件数a 50 100 200 300 400 500
次品件数b 3 4 5 5 8 9
次品频率
（1）计算表中次品的频率；
（2）从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？
（3）为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？
尝试解答
培优三 用样本的分布估计总体的分布
【例3】 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100].
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数.
分数段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90）
x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5
尝试解答
培优四 用样本的数字特征估计总体的数字特征
【例4】 （1）（多选）（2023·新高考Ⅰ卷9题）有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（ ）
A.x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B.x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C.x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D.x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
（2）已知一组数据a1，a2，…，an的平均数为A，方差为s2，另一组数据b1，b2，…，bn满足bi＝pai＋q（p＜0，i＝1，2，…，n），若b1，b2，…，bn的平均数为A，方差为4s2，则（ ）
A.q＝A B.q＝2A
C.q＝3A D.q＝4A
（3）甲、乙两班在我校举行的“勿忘国耻，振兴中华”合唱比赛中7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，则x＋y的值为 .
尝试解答
三、数学运算
数学运算核心素养在本章中主要体现在概率计算问题中.
培优五 互斥事件与独立事件的概率计算
【例5】 某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程.第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程.第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂.设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立.
（1）求产品需要进行第2个过程的概率；
（2）求产品不可以出厂的概率.
尝试解答
【例6】 甲、乙两人玩射击游戏，甲、乙射击命中与否是相互独立事件.规则如下：若射击一次命中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击，已知甲、乙两人射击一次命中的概率均为，且第一次由甲开始射击.
（1）求前3次射击中甲恰好命中2次的概率；
（2）求第4次由甲射击的概率.
尝试解答
四、数学建模
数学建模核心素养在本章中主要体现在统计与概率的实际应用问题中.
培优六 统计的实际应用
【例7】 为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm）记录下来并绘制出折线图：
（1）分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值；
（2）若轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎.
①若从甲厂提供的10个轮胎中随机选取1个，求所选的轮胎是标准轮胎的概率；
②试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好.
尝试解答
培优七 概率的实际应用
【例8】 为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务.已知该地区居民约有2 000万人，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图①所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1 000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图②所示.
（1）估计该地区年龄在71～80岁（包含71岁和80岁）且已签约家庭医生的居民人数；
（2）据统计，该地区被访者的签约率约为44%，为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图②中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释.
尝试解答
章末复习与总结
【例1】 C 从折线图看，深圳的涨幅最接近0%，从条形图看，北京的平均价格最高，故A正确；从折线图看，深圳和厦门的涨幅均为负值，故B正确；从折线图看，平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、南京，故C错误；从条形图看，平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州，故D正确.故选C.
【例2】 解：（1）表中次品频率从左到右依次为0.06，0.04，0.025，0.017，0.02，0.018.
（2）当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.
（3）设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x（1－0.02）≥2 000，因为x是正整数，所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘.
【例3】 解：（1）由频率分布直方图可知（0.04＋0.03＋0.02＋2a）×10＝1.
所以a＝0.005.
（2）该100名学生的语文成绩的平均分约为
＝0.05×55＋0.4×65＋0.3×75＋0.2×85＋0.05×95＝73（分）.
（3）由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比，可得下表：
分数段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90）
x 5 40 30 20
x∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5
y 5 20 40 25
于是数学成绩在[50，90）之外的人数为100－（5＋20＋40＋25）＝10.
【例4】 （1）BD （2）C （3）5 解析：（1）若该组样本数据为1，2，3，4，5，8，则2，3，4，5的平均数为，1，2，3，4，5，8的平均数为，两组数据的平均数不相等，故A错误；不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，则x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，x3，x4，x5，x6的中位数，故B正确；若该组样本数据为1，2，2，2，2，8，则2，2，2，2的标准差为0，而1，2，2，2，2，8的标准差大于0，故C错误；由对选项B的分析可知，x2，x3，x4，x5的极差为x5－x2，x1，x2，x3，x4，x5，x6的极差为x6－x1，且易得x6－x1≥x5－x2，故D正确.故选B、D.
（2）由题已知，利用方差的性质D（aX＋b）＝a2D（X），有D（bi）＝D（pai＋q）＝p2D（ai）＝p2s2＝4s2.因为p＜0，所以p＝－2，故＝＝－2A＋q＝A，所以q＝3A.故选C.
（3）根据题意，因为甲班成绩的中位数为81，故x＝1；因为乙班成绩的平均数是86，所以（76＋80＋82＋80＋y＋91＋93＋96）＝86，可求得y＝4；所以x＋y＝5.
【例5】 解：（1）记事件A为“产品需要进行第2个过程”.
在第1个过程中，1位质检员检验结果为合格的概率P1＝××＋××＋××＝，
在第1个过程中，2位质检员检验结果为合格的概率P2＝××＋××＋××＝，
故P（A）＝P1＋P2＝.
（2）记事件B为“产品不可以出厂”.
在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格的概率P3＝××＝，
产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的概率P4＝P（A）×＝×＝，
故P（B）＝P3＋P4＝.
【例6】 解：（1）由题意，前3次射击中甲恰好击中2次，即前2次甲都击中目标，但第3次没有击中目标，所以它的概率为P＝××＝.
（2）根据题意，分为4种情况：
第3次由甲射击包括甲连续射击3次且都击中；
第1次甲射击击中，但第2次没有击中，第3次由乙射击没有击中；
第1次甲射击没有击中，且乙射击第2次击中，但第3次没有击中；
第1次甲没有击中，且乙射击第2次没有击中，第3次甲射击击中，
所以这件事的概率为P＝＋××＋××＋××＝.
【例7】 解：（1）甲厂这批轮胎宽度的平均值为
＝
＝195 （mm）.
乙厂这批轮胎宽度的平均值为
＝
＝194 （mm）.
（2）①甲厂这批轮胎宽度在[194，196]内的数据为195，194，196，194，196，195.
所选的轮胎是标准轮胎的概率为＝.
②甲厂标准轮胎宽度的平均数为195 mm，方差为.
乙厂这批轮胎宽度在[194，196]内的数据为195，196，195，194，195，195，平均数为195 mm，方差为.
由于两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙的方差较小，所以乙厂的轮胎相对更好.
【例8】 解：（1）由题知该地区居民约有2 000万人，由图①知该地区年龄在71～80岁的居民人数为0.004×10×2 000＝80（万人），
由图②知年龄在71～80岁的居民签约率为70%，
∴该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数约为80×70%＝56（万人）.
（2）该地区各年龄段的人数和被访者签约率如下表所示：
年龄段/岁 对应该地区人数/万人 签约率/%
18～30 0.005×10×2 000＝100， 0.018×10×2 000＝360， 对应人数大于360，小于460 30.3
31～40， 41～50 （0.021＋0.016）×10×2 000＝740 37.1
51～60 0.015×10×2 000＝300 55.7
61～70 0.010×10×2 000＝200 61.7
71～80 0.004×10×2 000＝80 70.0
81及以上 （0.002 5＋0.000 5）×10×2 000＝60 75.8
由以上数据可知这个地区在31～50岁这个年龄段的人数为740万人，基数在所有被统计的年龄段中是最大的，但该年龄段签约率为37.1%，相对较低，
∴为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应该着重提高31～50岁这个年龄段的签约率.
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章末复习与总结
一、直观想象
直观想象核心素养在本章中主要体现在统计图表的应用中.
培优一 从统计图表中获取信息
【例1】 如图是民航部门统计的2024年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）
A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
B. 深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降
C. 平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门
D. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州
解析： 从折线图看，深圳的涨幅最接近0%，从条形图看，北京的
平均价格最高，故A正确；从折线图看，深圳和厦门的涨幅均为负
值，故B正确；从折线图看，平均价格的涨幅从高到低居于前三位的
城市为天津、西安、南京，故C错误；从条形图看，平均价格从高到
低居于前三位的城市为北京、深圳、广州，故D正确.故选C.
二、数据分析
数据分析核心素养在本章中主要体现在用样本估计总体中.
培优二 频率与概率
【例2】 对一批 U 盘进行抽检，结果如下表：
抽出件数 a 50 100 200 300 400 500
次品件数 b 3 4 5 5 8 9
次品频率
（1）计算表中次品的频率；
解： 表中次品频率从左到右依次为0.06，0.04，0.025，
0.017，0.02，0.018.
（2）从这批 U 盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？
解： 当抽取件数 a 越来越大时，出现次品的频率在0.02附
近摆动，所以从这批 U 盘中任意抽取一个是次品的概率约是
0.02.
（3）为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2 000个 U 盘，至
少需进货多少个 U 盘？
解： 设需要进货 x 个 U 盘，为保证其中有2 000个正品 U
盘，则 x （1－0.02）≥2 000，因为 x 是正整数，所以 x ≥2
041，即至少需进货2 041个 U 盘.
培优三 用样本的分布估计总体的分布
【例3】 某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所
示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），
[80，90），[90，100].
（1）求图中 a 的值；
解： 由频率分布直方图可知（0.04＋0.03＋0.02＋2 a ）×10＝1.
所以 a ＝0.005.
（2）根据频率分布直方图，估计这
100名学生语文成绩的平均分；
解： 该100名学生的语文成绩
的平均分约为
＝0.05×55＋0.4×65＋0.3×75
＋0.2×85＋0.05×95＝73（分）.
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（ x ）与数学成绩相
应分数段的人数（ y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50，
90）之外的人数.
分数段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90）
x ∶ y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5
解： 由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各
分数段的人数比，可得下表：
分数段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90）
x 5 40 30 20
x ∶ y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶5
y 5 20 40 25
于是数学成绩在[50，90）之外的人数为100－（5＋20＋40＋
25）＝10.
培优四 用样本的数字特征估计总体的数字特征
【例4】 （1）（多选）（2023·新高考Ⅰ卷9题）有一组样本数据 x1，
x2，…， x6，其中 x1是最小值， x6是最大值，则（ BD ）
A. x2， x3， x4， x5的平均数等于 x1， x2，…， x6的平均数
B. x2， x3， x4， x5的中位数等于 x1， x2，…， x6的中位数
C. x2， x3， x4， x5的标准差不小于 x1， x2，…， x6的标准差
D. x2， x3， x4， x5的极差不大于 x1， x2，…， x6的极差
BD
解析： 若该组样本数据为1，2，3，4，5，8，则2，3，4，5的平均数为 ，1，2，3，4，5，8的平均数为 ，两组数据的平均
数不相等，故A错误；不妨设 x1≤ x2≤ x3≤ x4≤ x5≤ x6，则 x2， x3， x4， x5的中位数等于 x1， x2， x3， x4， x5， x6的中位数，故B正确；若该组样本数据为1，2，2，2，2，8，则2，2，2，2的标准差为0，而1，2，2，2，2，8的标准差大于0，故C错误；
由对选项B的分析可知， x2， x3， x4， x5的极差为 x5－ x2， x1， x2， x3， x4， x5， x6的极差为 x6－ x1，且易得 x6－ x1≥ x5－ x2，故D正确.故选B、D.
（2）已知一组数据 a1， a2，…， an 的平均数为 A ，方差为 s2，另一组
数据 b1， b2，…， bn 满足 bi ＝ pai ＋ q （ p ＜0， i ＝1，2，…，
n ），若 b1， b2，…， bn 的平均数为 A ，方差为4 s2，则
（ C ）
A. q ＝ A B. q ＝2 A
C. q ＝3 A D. q ＝4 A
C
解析： 由题已知，利用方差的性质 D （ aX ＋ b ）＝ a2 D （ X ），有 D （ bi ）＝ D （ pai ＋ q ）＝ p2 D （ ai ）＝ p2 s2＝4 s2.因为 p ＜0，所以 p ＝－2，故 ＝ ＝－2 A ＋ q ＝ A ，
所以 q ＝3 A . 故选C.
（3）甲、乙两班在我校举行的“勿忘国耻，振兴中华”合唱比赛中7
位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是
81，乙班成绩的平均数是86，则 x ＋ y 的值为 .
解析： 根据题意，因为甲班成绩的中位
数为81，故 x ＝1；因为乙班成绩的平均数是
86，所以 （76＋80＋82＋80＋ y ＋91＋93＋
96）＝86，可求得 y ＝4；所以 x ＋ y ＝5.
5
三、数学运算
数学运算核心素养在本章中主要体现在概率计算问题中.
培优五 互斥事件与独立事件的概率计算
【例5】 某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程.第1个过
程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为
合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结
果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2
位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程.第2个过程，将产
品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合
格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂.设每位质检员
检验结果为合格的概率均为 ，且每位质检员的检验结果相互独立.
（1）求产品需要进行第2个过程的概率；
解： 记事件 A 为“产品需要进行第2个过程”.
在第1个过程中，1位质检员检验结果为合格的概率 P1＝ × ×
＋ × × ＋ × × ＝ ，
在第1个过程中，2位质检员检验结果为合格的概率 P2＝ × ×
＋ × × ＋ × × ＝ ，
故 P （ A ）＝ P1＋ P2＝ .
（2）求产品不可以出厂的概率.
解： 记事件 B 为“产品不可以出厂”.
在第1个过程中，3位质检员检验结果均为不合格的概率 P3＝ ×
× ＝ ，
产品需要进行第2个过程，在第2个过程中，产品不可以出厂的
概率 P4＝ P （ A ）× ＝ × ＝ ，
故 P （ B ）＝ P3＋ P4＝ .
【例6】 甲、乙两人玩射击游戏，甲、乙射击命中与否是相互独立
事件.规则如下：若射击一次命中，则原射击人继续射击；若射击一
次不中，就由对方接替射击，已知甲、乙两人射击一次命中的概率均
为 ，且第一次由甲开始射击.
（1）求前3次射击中甲恰好命中2次的概率；
解： 由题意，前3次射击中甲恰好击中2次，即前2次甲都击中目标，但第3次没有击中目标，所以它的概率为 P ＝ × ×
＝ .
（2）求第4次由甲射击的概率.
解： 根据题意，分为4种情况：
第3次由甲射击包括甲连续射击3次且都击中；
第1次甲射击击中，但第2次没有击中，第3次由乙射击没有
击中；
第1次甲射击没有击中，且乙射击第2次击中，但第3次没有
击中；
第1次甲没有击中，且乙射击第2次没有击中，第3次甲射击
击中，
所以这件事的概率为 P ＝ ＋ × × ＋ × × ＋ × ×
＝ .
四、数学建模
数学建模核心素养在本章中主要体现在统计与概率的实际应用问
题中.
培优六 统计的实际应用
【例7】 为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分
别从两厂随机选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm）记
录下来并绘制出折线图：
（1）分别计算甲、乙两厂提供10个轮胎宽度的平均值；
解： 甲厂这批轮胎宽度的平均值为
＝ ＝195 （mm）.
乙厂这批轮胎宽度的平均值为
＝ ＝194 （mm）.
（2）若轮胎的宽度在[194，196]内，则称这个轮胎是标准轮胎.
①若从甲厂提供的10个轮胎中随机选取1个，求所选的轮胎是标
准轮胎的概率；
②试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度
的方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动
情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好.
解： ①甲厂这批轮胎宽度在[194，196]内的数据为195，
194，196，194，196，195.
所选的轮胎是标准轮胎的概率为 ＝ .
②甲厂标准轮胎宽度的平均数为195 mm，方差为 .
乙厂这批轮胎宽度在[194，196]内的数据为195，196，195，
194，195，195，平均数为195 mm，方差为 .
由于两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙的方差较小，所以
乙厂的轮胎相对更好.
题型五 概率的实际应用
【例8】 为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分
治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签
约服务.已知该地区居民约有2 000万人，从1岁到101岁的居民年龄结
构的频率分布直方图如图①所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生
的情况，现调查了1 000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率
如图②所示.
（1）估计该地区年龄在71～80岁（包含71岁和80岁）且已签约家庭
医生的居民人数；
解： 由题知该地区居民约有2 000万人，由图①知该地区年
龄在71～80岁的居民人数为0.004×10×2 000＝80（万人），
由图②知年龄在71～80岁的居民签约率为70%，
∴该地区年龄在71～80岁且已签约家庭医生的居民人数约为
80×70%＝56（万人）.
（2）据统计，该地区被访者的签约率约为44%，为把该地区年满18
周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图②中哪个年
龄段的签约率？并结合数据对你的结论作出解释.
解： 该地区各年龄段的人数和被访者签约率如下表所示：
年龄段/岁 对应该地区人数/万人 签约率/%
18～30 0.005×10×2 000＝100， 0.018×10×2 000＝360， 对应人数大于360，小于460 30.3
31～40， 41～50 （0.021＋0.016）×10×2 000＝740 37.1
年龄段/岁 对应该地区人数/万人 签约
率/%
51～60 0.015×10×2 000＝300 55.7
61～70 0.010×10×2 000＝200 61.7
71～80 0.004×10×2 000＝80 70.0
81及以上 （0.002 5＋0.000 5）×10×2 000＝60 75.8
由以上数据可知这个地区在31～50岁这个年龄段的人数为740万
人，基数在所有被统计的年龄段中是最大的，但该年龄段签约
率为37.1%，相对较低，
∴为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应该
着重提高31～50岁这个年龄段的签约率.
谢 谢 观 看！
