章末检测(五) 统计与概率
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.某校高三级部分为甲、乙两个级部,现用分层抽样的方法从高三级部中抽取30名老师去参加教研会,已知乙级部中每个老师被抽到的可能性都为,则高三级部的全体老师的个数为( )
A.10 B.30 C.60 D.90
2.某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试,先将50个零件进行编号,编号分别为01,02,…,50,从中抽取5个样本,下面提供随机数表的第1行到第2行:
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据,则得到的第4个样本编号是( )
A.10 B.05
C.09 D.20
3.数据1,2,3,4,5,6的60%分位数为( )
A.3 B.3.5
C.3.6 D.4
4.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一,其内容是:任意一个大于2的偶数都可以写成两个素数(质数)之和,也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的,我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩.若将14拆成两个正整数的和,则拆成的和式中,加数全部为素数的概率为( )
A. B.
C. D.
5.如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )
A. B.
C. D.
6.已知样本数据由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且样本的中位数为10.5,若使该样本的方差最小,则a,b的值分别为( )
A.10,11 B.10.5,9.5
C.10.4,10.6 D.10.5,10.5
7.甲乙两队进行羽毛球决赛,甲队只要再胜一局就获得冠军,乙队需要再胜两局才能获得冠军,若每局甲队获胜的概率为,则甲队获得冠军的概率为( )
A. B.
C. D.
8.已知样本x1,x2,…,xn的平均数为x,样本y1,y2,…,ym的平均数为y(x≠y),若样本x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym的平均数z=ax+(1-a)y,其中0<a<,则n,m(n,m∈N*)的大小关系为( )
A.n=m B.n≥m
C.n<m D.n>m
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.抛掷一颗质地均匀的骰子一次,记事件M为“向上的点数为1或4”,事件N为“向上的点数为奇数”,则下列说法正确的是( )
A.M与N互斥但不对立
B.M与N对立
C.P(MN)=
D.P(M+N)=
10.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,若甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,且两个人射击的结果互不影响,则下列结论正确的是( )
A.两人都中靶的概率为0.72
B.至少一人中靶的概率为0.88
C.至多一人中靶的概率为0.26
D.恰好有一人脱靶的概率为0.26
11.某篮球爱好者在一次篮球训练中,需进行五轮投篮,每轮投篮5次.统计各轮投进球的个数,获知其前四轮投中的个数分别为2,3,4,4,则第五轮结束后下列数字特征有可能发生的是( )
A.平均数为3,极差是3
B.中位数是3,极差是3
C.平均数为3,方差是0.8
D.中位数是3,方差是0.56
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中横线上)
12.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位:人):
篮球组 书画组 乐器组
高一 45 30 a
高二 15 10 20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,按小组分层抽样,从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人,结果篮球组被抽出12人,则a的值为 .
13.将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中以x表示,则7个剩余分数的方差为 .
8 7 7
9 4 0 1 0 x 9 1
14.在一场对抗赛中,A,B两人争夺冠军,若比赛采用“五局三胜制”,A每局获胜的概率均为,且各局比赛相互独立,则A在第一局失利的情况下,经过五局比赛最终获得冠军的概率是 .
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分13分)某学校统计教师职称及年龄,中级职称教师的人数为50,其平均年龄为38岁,方差是2,高级职称的教师中有3人58岁,5人40岁,2人38岁,求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差.
16.(本小题满分15分)某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案:每一单自接单后在规定时间内送达,延迟5分钟内送达,延迟5至10分钟送达,其他延迟情况,分别评定为A,B,C,D四个等级,各等级依次奖励3元,奖励0元,罚款3元,罚款6元.假定评定等级为A,B,C的概率分别是,,.
(1)若某外卖员接了一个订单,求其不被罚款的概率;
(2)若某外卖员接了两个订单,且两个订单互不影响,求这两单获得的奖励之和为3元的概率.
17.(本小题满分15分)某保险公司利用简单随机抽样方法对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数(辆) 500 130 100 150 120
(1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;
(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.
18.(本小题满分17分)当今,手机已经成为人们不可或缺的交流工具,人们常常把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”,手机已经严重影响了人们的生活.一媒体为调查市民对低头族的认识,从某社区的500名市民中随机抽取n名市民,按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图如图:
组数 分组(单位:岁) 频数 频率
1 [20,25) 5 0.05
2 [25,30) 20 0.2
3 [30,35) a 0.35
4 [35,40) 30 b
5 [40,45] 10 0.1
合计 n 1
(1)求出表中a,b,n的值,并补全频率分布直方图;
(2)媒体记者为了做好调查工作,决定在第2,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名市民进行问卷调查,再从这6名市民中随机抽取2名接受电视采访,求第2组至少有一名接受电视采访的概率.
19.(本小题满分17分)某部门组织甲、乙两人破译一个密码,每人能否破译该密码相互独立.已知甲、乙各自独立破译出该密码的概率分别为,.
(1)求他们恰有一人破译出该密码的概率;
(2)求他们破译出该密码的概率;
(3)现把乙调离,甲留下,并要求破译出该密码的概率不低于80%,那么至少需要再增添几个与甲水平相当的人?
章末检测(五) 统计与概率
1.D 因为乙级部中每个老师被抽到的可能性都为,所以高三年级中每个老师被抽到的可能性都为,由30÷=90(人),可得全体老师人数.
2.C 依题意,读取的第一个数为14,向右每两位读取数据,依次为:64,05,71,11,05,65,09,其中64,71,65不在编号范围内,舍去,而后一个05与前一个05重复,应舍去后一个05,读取符合要求的两位数据依次为:14,05,11,09,则09刚好是第四个符合要求的编号,所以得到的第4个样本编号是09.故选C.
3.D 由6×60%=3.6,所以数据1,2,3,4,5,6的60%分位数是第四个数,故选D.
4.A ∵14=1+13=2+12=…=13+1,共有13个和式,其中加数全部为素数为7+7,3+11,11+3,共3个基本事件,∴P=,故选A.
5.C 记其中被污损的数字为x,依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是(80×2+90×3+8+9+2+1+0)=90,乙的五次综合测评的平均成绩是(80×3+90×2+3+3+7+x+9)=(442+x),令90>(442+x),解得x<8,所以x的可能取值是0~7,因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为=.
6.D 由于样本共有10个值,且中间两个数为a,b,依题意,得=10.5,即b=21-a.因为平均数为(2+3+3+7+a+b+12+13.7+18.3+20)÷10=10,所以要使该样本的方差最小,只需(a-10)2+(b-10)2最小.又(a-10)2+(b-10)2=(a-10)2+(21-a-10)2=2a2-42a+221,所以当a=-=10.5时,(a-10)2+(b-10)2最小,此时b=10.5.
7.D 由已知得甲队获胜分以下两种可能情况:①第一局甲队获胜,此时的概率为;②第一局乙队获胜,第二局甲队获胜,此时的概率为×=,综上所述,甲队获胜的概率为+=,故选D.
8.C 由题意得z=(nx+my)=x+y,∴a=,∵0<a<,∴0<<,又n,m∈N*,∴2n<n+m,∴n<m.故选C.
9.CD 选项A:P(MN)≠0,故事件M与事件N不互斥,A错误;选项B:P(MN)≠0,故事件M与事件N不对立,B错误;选项C:P(MN)表示事件M与事件N同时发生的概率,此时向上的点数为1,此时P(MN)=;C正确;选项D:P(M+N)表示事件向上的点数为1,3,4,5的概率,P(M+N)==,故D正确.故选C、D.
10.AD 设事件A为:“甲中靶”,设事件B为:“乙中靶”,这两个事件相互独立.A选项:都中靶的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72,故A项对;B选项:至少一人中靶,其对立事件为:两人都不中靶,故至少一人中靶的概率为1-P()=1-P()P()=1-0.2×0.1=0.98,故B项不对;C选项:至多一人中靶的对立事件为:两人都中靶,故至多一人中靶的概率为1-P(AB)=0.28,故C项不对;D选项:恰好有一人脱靶的概率为P(A)P()+P()P(B)=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26,故D项对.故选A、D.
11.BCD 2+3+4+4=13,①若平均数为3,则第五轮投中的个数为2,所以极差为4-2=2,方差为[(2-3)2×2+(3-3)2+(4-3)2×2]=0.8,即选项A错误,C正确;②若中位数为3,则第五轮投中的个数为0或1或2或3,当投中的个数为0时,极差为4,方差为[(0-2.6)2+(2-2.6)2+(3-2.6)2+(4-2.6)2×2]=2.24,当投中的个数为1时,极差为3,方差为[(1-2.8)2+(2-2.8)2+(3-2.8)2+(4-2.8)2×2]=1.36;当投中的个数为2时,极差为2,方差为0.8;当投中的个数为3时,极差为2,方差为[(2-3.2)2+(3-3.2)2×2+(4-3.2)2×2]=0.56,即选项B、D均正确.故选B、C、D.
12.30 解析:由题意知,=,解得a=30.
13. 解析:由题图可知去掉的两个数是87,99,所以87+90×2+91×2+94+90+x=91×7,解得x=4.故s2=×[(87-91)2+(90-91)2×2+(91-91)2×2+(94-91)2×2]=.
14. 解析:第1局A失利为事实,经过5局A获胜,第2,3,4局A胜2局,B胜1局,5局比赛最终获得冠军的概率是3×××=.
15.解:由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为
==45(岁),
年龄的方差为=×[3×(58-45)2+5×(40-45)2+2×(38-45)2]=73,
所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为
=×38+×45≈39.2(岁),
该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是
s2=×[2+(38-39.2)2]+×[73+(45-39.2)2]=20.64.
16.解:(1)设事件A,B分别表示“被评为等级A,B”,
由题意,事件A,B两两互斥,又A∪B=“不被罚款”,
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=.
因此“不被罚款”的概率为;
(2)设事件Ai,Bi,Ci,Di表示“第i单被评为等级A,B,C,D”,i=1,2,
则“两单共获得的奖励为3元”即事件(A1B2)∪(A2B1),且事件A1B2,A2B1彼此互斥,
又P(A1B2)=P(A2B1)=×=,
所以P=P[(A1B2)∪(A2B1)]=P(A1B2)+P(A2B1)=×2=.
17.解:(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”,B表示事件“赔付金额为4 000元”,以频率估计概率得
P(A)==0.15,P(B)==0.12.
由于投保金额为2 800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”,由已知,可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000=100(辆),而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24(辆),所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为=0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24.
18.解:(1)由题意及频率分布表可知:n=5÷0.05=100,
所以a=100×0.35=35,b==0.3.
补全频率分布直方图,如图所示:
(2)第2,4,5组总人数为20+30+10=60,
故第2组应抽人数为6×=2,记为1,2,
第4组应抽人数为6×=3,记为a,b,c,
第5组应抽人数为6×=1,记为m.
从这6名市民中随机抽取两名的所有的基本事件有:
(m,a),(m,b),(m,c),(m,1),(m,2),(a,b),(a,c),(a,1),(a,2),(b,c),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2),(1,2),共15个,
符合条件第2组至少有一名接受电视采访的基本事件有9个,
故第2组至少有一名接受电视采访的概率为P==0.6.
19.解:记“甲破译出密码”为事件A,“乙破译出密码”为事件B,
则P(A)=,P(B)=.
(1)“甲、乙两人中恰有一人破译出该密码”,包括“甲破译出而乙没有破译出”和“乙破译出而甲没有破译出”两种情况,
则P(A+B)=P(A)P()+P()P(B)=×+×=.
(2)“他们破译出该密码”的对立事件为“他们没有破译出密码”,即“甲没有破译出密码”与“乙没有破译出密码”同时发生,
所以他们破译出该密码的概率为1-P()P()=1-×=.
(3)设共需要n个与甲水平相当的人,则有1-≥80%,即≥5,所以n≥4.
故至少需要再增添3个与甲水平相当的人.
1 / 4(共43张PPT)
章末检测(五)
统计与概率
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给
出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1. 某校高三级部分为甲、乙两个级部,现用分层抽样的方法从高三级
部中抽取30名老师去参加教研会,已知乙级部中每个老师被抽到的
可能性都为 ,则高三级部的全体老师的个数为( )
A. 10 B. 30
C. 60 D. 90
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解析: 因为乙级部中每个老师被抽到的可能性都为 ,所以高
三年级中每个老师被抽到的可能性都为 ,由30÷ =90(人),
可得全体老师人数.
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2. 某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试,先将50个零
件进行编号,编号分别为01,02,…,50,从中抽取5个样本,下
面提供随机数表的第1行到第2行:
66 67 40 37 14 64 05 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90
57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10
若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据,则得到的第4个样本
编号是( )
A. 10 B. 05
C. 09 D. 20
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解析: 依题意,读取的第一个数为14,向右每两位读取数据,
依次为:64,05,71,11,05,65,09,其中64,71,65不在编号
范围内,舍去,而后一个05与前一个05重复,应舍去后一个05,读
取符合要求的两位数据依次为:14,05,11,09,则09刚好是第四
个符合要求的编号,所以得到的第4个样本编号是09.故选C.
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3. 数据1,2,3,4,5,6的60%分位数为( )
A. 3 B. 3.5
C. 3.6 D. 4
解析: 由6×60%=3.6,所以数据1,2,3,4,5,6的60%分
位数是第四个数,故选D.
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4. “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一,其内容是:任意一个
大于2的偶数都可以写成两个素数(质数)之和,也就是我们所谓
的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的,我国数学
家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当
好的成绩.若将14拆成两个正整数的和,则拆成的和式中,加数全
部为素数的概率为( )
A. B.
C. D.
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解析: ∵14=1+13=2+12=…=13+1,共有13个和式,其
中加数全部为素数为7+7,3+11,11+3,共3个基本事件,∴ P
= ,故选A.
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5. 如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其
中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为
( )
A. B.
C. D.
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解析: 记其中被污损的数字为 x ,依题意得甲的五次综合测评
的平均成绩是 (80×2+90×3+8+9+2+1+0)=90,乙的五
次综合测评的平均成绩是 (80×3+90×2+3+3+7+ x +9)=
(442+ x ),令90> (442+ x ),解得 x <8,所以 x 的可能取值
是0~7,因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 = .
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6. 已知样本数据由小到大依次为2,3,3,7, a , b ,12,13.7,
18.3,20,且样本的中位数为10.5,若使该样本的方差最小,则
a , b 的值分别为( )
A. 10,11 B. 10.5,9.5
C. 10.4,10.6 D. 10.5,10.5
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解析: 由于样本共有10个值,且中间两个数为 a , b ,依题
意,得 =10.5,即 b =21- a .因为平均数为(2+3+3+7+ a
+ b +12+13.7+18.3+20)÷10=10,所以要使该样本的方差最
小,只需( a -10)2+( b -10)2最小.又( a -10)2+( b -
10)2=( a -10)2+(21- a -10)2=2 a2-42 a +221,所以当 a
=- =10.5时,( a -10)2+( b -10)2最小,此时 b =10.5.
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7. 甲乙两队进行羽毛球决赛,甲队只要再胜一局就获得冠军,乙队需
要再胜两局才能获得冠军,若每局甲队获胜的概率为 ,则甲队获
得冠军的概率为( )
A. B.
C. D.
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解析: 由已知得甲队获胜分以下两种可能情况:①第一局甲队
获胜,此时的概率为 ;②第一局乙队获胜,第二局甲队获胜,此
时的概率为 × = ,综上所述,甲队获胜的概率为 +
= ,故选D.
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8. 已知样本 x1, x2,…, xn 的平均数为 x ,样本 y1, y2,…, ym 的平
均数为 y ( x ≠ y ),若样本 x1, x2,…, xn , y1, y2,…, ym 的平
均数 z = ax +(1- a ) y ,其中0< a < ,则 n , m ( n , m
∈N*)的大小关系为( )
A. n = m B. n ≥ m
C. n < m D. n > m
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解析: 由题意得 z = ( nx + my )= · x +
y ,∴ a = ,∵0< a < ,∴0< < ,又 n , m ∈N*,
∴2 n < n + m ,∴ n < m .故选C.
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二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给
出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选
对的得部分分,有选错的得0分)
9. 抛掷一颗质地均匀的骰子一次,记事件 M 为“向上的点数为1或
4”,事件 N 为“向上的点数为奇数”,则下列说法正确的是
( )
A. M 与 N 互斥但不对立 B. M 与 N 对立
C. P ( MN )= D. P ( M + N )=
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解析: 选项A: P ( MN )≠0,故事件 M 与事件 N 不互斥,A
错误;选项B: P ( MN )≠0,故事件 M 与事件 N 不对立,B错
误;选项C: P ( MN )表示事件 M 与事件 N 同时发生的概率,此
时向上的点数为1,此时 P ( MN )= ;C正确;选项D: P ( M
+ N )表示事件向上的点数为1,3,4,5的概率, P ( M + N )=
= ,故D正确.故选C、D.
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10. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,若甲的中靶概率为0.8,乙
的中靶概率为0.9,且两个人射击的结果互不影响,则下列结论正
确的是( )
A. 两人都中靶的概率为0.72
B. 至少一人中靶的概率为0.88
C. 至多一人中靶的概率为0.26
D. 恰好有一人脱靶的概率为0.26
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解析: 设事件 A 为:“甲中靶”,设事件 B 为:“乙中
靶”,这两个事件相互独立.A选项:都中靶的概率为 P ( AB )
= P ( A ) P ( B )=0.8×0.9=0.72,故A项对;B选项:至少
一人中靶,其对立事件为:两人都不中靶,故至少一人中靶的概
率为1- P ( )=1- P ( ) P ( )=1-0.2×0.1=0.98,
故B项不对;C选项:至多一人中靶的对立事件为:两人都中靶,
故至多一人中靶的概率为1- P ( AB )=0.28,故C项不对;D选
项:恰好有一人脱靶的概率为 P ( A ) P ( )+ P ( ) P
( B )=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26,故D项对.故选A、D.
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11. 某篮球爱好者在一次篮球训练中,需进行五轮投篮,每轮投篮5
次.统计各轮投进球的个数,获知其前四轮投中的个数分别为2,
3,4,4,则第五轮结束后下列数字特征有可能发生的是( )
A. 平均数为3,极差是3
B. 中位数是3,极差是3
C. 平均数为3,方差是0.8
D. 中位数是3,方差是0.56
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解析: 2+3+4+4=13,①若平均数为3,则第五轮投中的
个数为2,所以极差为4-2=2,方差为 [(2-3)2×2+(3-
3)2+(4-3)2×2]=0.8,即选项A错误,C正确;②若中位数
为3,则第五轮投中的个数为0或1或2或3,当投中的个数为0时,
极差为4,方差为 [(0-2.6)2+(2-2.6)2+(3-2.6)2+
(4-2.6)2×2]=2.24,当投中的个数为1时,极差为3,方差为
[(1-2.8)2+(2-2.8)2+(3-2.8)2+(4-2.8)2×2]=
1.36;当投中的个数为2时,极差为2,方差为0.8;
当投中的个数为3时,极差为2,方差为 [(2-3.2)2+(3-3.2)
2×2+(4-3.2)2×2]=0.56,即选项B、D均正确.故选B、C、D.
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三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中
横线上)
12. 某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一
个小组)(单位:人):
篮球组 书画组 乐器组
高一 45 30 a
高二 15 10 20
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学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,按小组分层抽
样,从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人,结果篮球组被抽
出12人,则 a 的值为 .
解析:由题意知, = ,解得 a =30.
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13. 将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分
数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊,
无法辨认,在图中以 x 表示,则7个剩余分数的方差为 .
8 7 7
9 4 0 1 0 x 9 1
解析:由题图可知去掉的两个数是87,99,所以87+90×2+
91×2+94+90+ x =91×7,解得 x =4.故 s2= ×[(87-91)2
+(90-91)2×2+(91-91)2×2+(94-91)2×2]= .
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14. 在一场对抗赛中, A , B 两人争夺冠军,若比赛采用“五局三胜
制”, A 每局获胜的概率均为 ,且各局比赛相互独立,则 A 在第
一局失利的情况下,经过五局比赛最终获得冠军的概率
是 .
解析:第1局 A 失利为事实,经过5局 A 获胜,第2,3,4局 A 胜2
局, B 胜1局,5局比赛最终获得冠军的概率是3× × × =
.
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四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分13分)某学校统计教师职称及年龄,中级职称教师
的人数为50,其平均年龄为38岁,方差是2,高级职称的教师中有
3人58岁,5人40岁,2人38岁,求该校中级职称和高级职称教师年
龄的平均数和方差.
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解:由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为
= =45(岁),
年龄的方差为 = ×[3×(58-45)2+5×(40-45)2+2×
(38-45)2]=73,
所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为
= ×38+ ×45≈39.2(岁),
该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是
s2= ×[2+(38-39.2)2]+ ×[73+(45-39.2)2]=
20.64.
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16. (本小题满分15分)某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制
定了如下的考核方案:每一单自接单后在规定时间内送达,延迟5
分钟内送达,延迟5至10分钟送达,其他延迟情况,分别评定为
A , B , C , D 四个等级,各等级依次奖励3元,奖励0元,罚款3
元,罚款6元.假定评定等级为 A , B , C 的概率分别是 , ,
.
(1)若某外卖员接了一个订单,求其不被罚款的概率;
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解: 设事件 A , B 分别表示“被评为等级 A , B ”,
由题意,事件 A , B 两两互斥,又 A ∪ B =“不被罚款”,
所以 P ( A ∪ B )= P ( A )+ P ( B )= + = .
因此“不被罚款”的概率为 ;
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(2)若某外卖员接了两个订单,且两个订单互不影响,求这两单
获得的奖励之和为3元的概率.
解: 设事件 Ai , Bi , Ci , Di 表示“第 i 单被评为等级
A , B , C , D ”, i =1,2,
则“两单共获得的奖励为3元”即事件( A1 B2)∪( A2
B1),且事件 A1 B2, A2 B1彼此互斥,
又 P ( A1 B2)= P ( A2 B1)= × = ,
所以 P = P [( A1 B2)∪( A2 B1)]= P ( A1 B2)+ P ( A2
B1)= ×2= .
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17. (本小题满分15分)某保险公司利用简单随机抽样方法对投保车
辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000
车辆数(辆) 500 130 100 150 120
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(1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估计赔付金额大于投保
金额的概率;
解: 设 A 表示事件“赔付金额为3 000元”, B 表示事
件“赔付金额为4 000元”,以频率估计概率得
P ( A )= =0.15, P ( B )= =0.12.
由于投保金额为2 800元,赔付金额大于投保金额对应的情
形是赔付金额为3 000元和4 000元,所以其概率为 P ( A )
+ P ( B )=0.15+0.12=0.27.
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(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4
000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投
保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.
解: 设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000
元”,由已知,可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1
000=100(辆),而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为
新司机的有0.2×120=24(辆),所以样本车辆中新司机车
主获赔金额为4 000元的频率为 =0.24,由频率估计概率
得 P ( C )=0.24.
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18. (本小题满分17分)当今,手机已经成为人们不可或缺的交流工
具,人们常常把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”,手机已
经严重影响了人们的生活.一媒体为调查市民对低头族的认识,从
某社区的500名市民中随机抽取 n 名市民,按年龄情况进行统计的
频率分布表和频率分布直方图如图:
组数 分组(单位:岁) 频数 频率
1 [20,25) 5 0.05
2 [25,30) 20 0.2
3 [30,35) a 0.35
4 [35,40) 30 b
5 [40,45] 10 0.1
合计 n 1
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(1)求出表中 a , b , n 的值,并补全频率分布直方图;
解: 由题意及频率
分布表可知: n =5÷0.05
=100,
所以 a =100×0.35=35,
b = =0.3.
补全频率分布直方图,如
图所示:
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(2)媒体记者为了做好调查工作,决定在第2,4,5组中用分层
抽样的方法抽取6名市民进行问卷调查,再从这6名市民中随
机抽取2名接受电视采访,求第2组至少有一名接受电视采访
的概率.
解: 第2,4,5组总人数为20+30+10=60,故第2组应抽人数为6× =2,记为1,2,第4组应抽人数为6× =3,记为 a , b , c ,
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第5组应抽人数为6× =1,记为 m .
从这6名市民中随机抽取两名的所有的基本事件有:
( m , a ),( m , b ),( m , c ),( m ,1),
( m ,2),( a , b ),( a , c ),( a ,1),
( a ,2),( b , c ),( b ,1),( b ,2),( c ,
1),( c ,2),(1,2),共15个,
符合条件第2组至少有一名接受电视采访的基本事件有9个,
故第2组至少有一名接受电视采访的概率为 P = =0.6.
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19. (本小题满分17分)某部门组织甲、乙两人破译一个密码,每人
能否破译该密码相互独立.已知甲、乙各自独立破译出该密码的概
率分别为 , .
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(1)“甲、乙两人中恰有一人破译出该密码”,包括“甲破译出而乙没有破译出”和“乙破译出而甲没有破译出”两种情况,
则 P ( A + B )= P ( A ) P ( )+ P ( ) P ( B )
= × + × = .
(1)求他们恰有一人破译出该密码的概率;
解:记“甲破译出密码”为事件 A ,“乙破译出密码”为事件 B ,
则 P ( A )= , P ( B )= .
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(2)求他们破译出该密码的概率;
解:“他们破译出该密码”的对立事件为“他们没有破译
出密码”,即“甲没有破译出密码”与“乙没有破译出密
码”同时发生,
所以他们破译出该密码的概率为1- P ( ) P ( )=1-
× = .
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(3)现把乙调离,甲留下,并要求破译出该密码的概率不低于
80%,那么至少需要再增添几个与甲水平相当的人?
解:设共需要 n 个与甲水平相当的人,则有1-
≥80%,即 ≥5,所以 n ≥4.
故至少需要再增添3个与甲水平相当的人.
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谢 谢 观 看!