6.1.4 数乘向量
1.在△ABC中,D是线段BC的中点,且+=4,则( )
A.=2 B.=4
C.=2 D.=4
2.若|a|=5,b与a的方向相反,且|b|=7,则a=( )
A.b B.-b
C.b D.-b
3.给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;②λa=0(λ为实数),则λ必为零;③λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.其中错误的命题的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
4.已知A,B,C三点共线,且C为线段AB靠近B的五等分点,则下列结论正确的个数为( )
①=5;②||∶||=4∶1;③=-.
A.0 B.1
C.2 D.3
5.(多选)已知e为单位向量,若向量a=-e,b=e,则下列说法正确的是( )
A.a=-b B.b=-a
C.b=-a D.|a|·|b|=1
6.如图,C,D将线段AB等分为三段,则= ,= .
7.如图,在△ABC中,D,E分别在AB,AC上,且==,则= .
8.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,且a=λb,则实数λ的值是 .
9.已知点C在线段AB的延长线上(在B点右侧),且AB∶AC=2∶3.
(1)用表示;
(2)用表示.
10.下列结论成立的是( )
A.λa与a的方向相同
B.λa与a的方向相反的充要条件是λ<0
C.与a方向相同的单位向量可表示为
D.若平行四边形ABCD的对角线的交点为O,则=(-)
11.设a,b都是非零向量,下列四个条件中,一定能使+=0成立的是( )
A.a=-2b B.a=2b
C.a∥b D.|a|=|b|
12.已知向量e1,e2不共线,求作向量2e1-3e2.
13.已知点P在直线AB上,且||=4||,设=λ,则实数λ= .
14.已知△ABC,设=b,=c.
(1)求作:=b,=c,=-b,=-c;
(2)向量,分别与有什么关系?
6.1.4 数乘向量
1.A 由在△ABC中,D是线段BC的中点,可得+=2,且+=4,所以=2.故选A.
2.B ∵b与a的反向,∴a=λb(λ<0),∴|a|=-λ|b|,即-7λ=5,解得λ=-,∴a=-b.故选B.
3.D ①错误,两向量共线要看其方向而不是起点或终点.②错误,当a=0时,不论λ为何值,λa=0.③错误,当λ=μ=0时,λa=μb=0,此时,a与b可以是任意向量.故错误的命题有3个.故选D.
4.C 由题意知,=-5,=-,||∶||=4∶1,所以②③正确.
5.BD 因为a=-e,b=e,所以|a|=,|b|=,|a|·|b|=1,b=-×e=-a.故选B、D.
6.3 -2 解析:由于,方向相同,且||=3||,故=3,由于,方向相反,且||=2||,故=-2.
7. 解析:∵==,∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.∴=.又与同向,∴=.
8.± 解析:由a=λb得:|a|=|λb|=|λ||b|,所以|λ|==,即λ=±.
9.解:如图①,因为点C在线段AB的延长线上,且AB∶AC=2∶3,所以AB=2BC,AC=3BC.
(1)如图②,向量与方向相同,所以=2;
(2)如图③,向量与方向相反,所以=-3.
10.C 当λ<0且a≠0时,λa与a的方向相反,故A不正确;当λ<0时,若a≠0,则λa与a方向相反,若a=0则λa=a=0,方向是任意的,故B不正确;若平行四边形ABCD的对角线的交点为O,则=(+),D不正确;C正确.
11.A ∵+=0,∴=-,∴a与b的方向相反,∴A正确.故选A.
12.解:在e1,e2所在平面内任取一点O,作=e1,=e2.延长OA到A',使|OA'|=2|OA|,则=2e1,
延长BO至B',使|OB'|=3|OB|,则=-3e2,再利用向量加法的平行四边形法则得到=+=2e1+(-3e2)=2e1-3e2.如图所示.
13.或- 解析:因为点P在直线AB上,且||=4||,所以=4或=-4.若=4,则+=4,所以=3,此时λ=;若=-4,则+=-4,所以=-5,此时λ=-.
14.解:(1)在线段AB,AC上分别取点B1,C1,使得AB1=AB,AC1=AC,在BA,CA的延长线上分别取点B2,C2,使得AB2=AB,AC2=AC,
则,,,对应的图形如图所示.
(2)∵==,∠B1AC1=∠BAC,
∴△AB1C1∽△ABC,
∴==,∠AB1C1=∠ABC,
∴B1C1∥BC,∴=,同理可得=-.
2 / 26.1.4 数乘向量
新课程标准解读 核心素养
1.理解数乘向量的定义及几何意义 数学抽象、直观想象
2.了解数乘向量的运算律 逻辑推理、数学运算
3.会判定两条直线平行、三点共线 数学抽象、数学运算
在急风骤雨、雷电交加的夜晚,为什么我们总是先看到闪电,后听到雷声?这是因为在同一方向上光速远远大于声速.经测量,光速大小约为声速的8.7×105倍.
一重物由高空自由落下,由自由落体运动的速度公式vt=gt可知,它在1 s末和2 s末的速度大小分别为v1=9.8 m/s和v2=19.6 m/s.显然v2=2v1,并且方向都是竖直向下.
【问题】 在上述情景中的速度有什么关系?
知识点 数乘向量
1.定义:实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量.
2.规定:(1)当λ≠0且a≠0时,|λa|= ,且:
①当λ>0时,λa的方向与a的方向 ;
②当λ<0时,λa的方向与a的方向 .
(2)当λ=0或a=0时,λa= .
3.运算律
设λ,μ为实数,则λ(μa)= ;
特别地,我们有(-λ)a= = .
4.平行(共线)向量
(1)两向量平行:如果存在实数λ,使得b=λa,则b∥a;
(2)三点共线:如果存在实数λ,使得=λ,则与平行且有公共点A,从而A,B,C三点一定共线.
提醒 (1)数乘向量的结果是一个向量;(2)不能把|λa|=|λ||a|简单的写成|λa|=λ|a|,因为λ<0时不成立;(3)数乘向量的几何意义:把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.即当|λ|>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长到原来的|λ|倍;当|λ|<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短到原来的|λ|倍.特别地,一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积,即-a=(-1)a.
1.要得到向量-2a,可将( )
A.向量a向左平移2个单位
B.向量a保持方向不变,长度伸长为原来的2倍
C.向量a向右平移2个单位
D.向量a的方向反向,长度伸长为原来的2倍
2.已知b为非零向量,则2(-3b)=( )
A.-3b B.2b
C.4b D.-6b
3.已知=2,则= .
题型一 数乘向量的定义及其几何意义
【例1】 (1)设a是非零向量,λ是非零实数,则以下结论正确的有 .
①|-λa|≥|a|;
②a与λ2a方向相同;
③|-2λa|=2|λ|·|a|.
(2)
如图,已知非零向量a,作向量2a,-a.
尝试解答
通性通法
数乘向量与原来的向量是共线的,其几何意义就是把原来的向量沿着它的方向或者反方向放大或缩小.
【跟踪训练】
1.若两个非零向量a与(2x-1)a方向相同,则x的取值范围为 .
2.设|a|=3,且b是与a方向相反的向量,|b|=2,则a= b.
题型二 数乘向量的运算
【例2】 下列各式化简正确的是 .(填序号)
(1)-3×2a=-5a;
(2)a×3×(-2)=-3a;
(3)-2×=2;
(4)0×b=0.
尝试解答
通性通法
λa中的实数λ叫做向量a的系数,数乘向量运算就是把数与向量的系数相乘,作为新向量的系数.
【跟踪训练】
化简下列各式:
(1)4×a;
(2)-2××(-3a).
题型三 数乘向量的应用
角度1 判断向量共线
【例3】 已知a=2e,b=-4e,判断a,b是否平行,求|a|∶|b|的值;若a∥b,说出它们是同向还是反向.
尝试解答
【母题探究】
(变条件)若把本例的条件改为“a=2e,b=3e”,其他不变,如何求解.
角度2 判断三点共线
【例4】 已知=e,=-3e,判断A,B,C三点是否共线,如果共线,说出点A是线段BC的几等分点.
尝试解答
通性通法
数乘向量的应用
(1)如果存在实数λ,使得b=λa,则b∥a;
(2)如果存在实数λ,使得=λ,则∥,且AB与AC有公共点A,所以A,B,C三点共线.
【跟踪训练】
1.若=,=λ,则实数λ的值是( )
A. B.- C. D.-
2.若=5e,=-7e,且||=||,则四边形ABCD的形状是 .
1.下列各式中不表示向量的是( )
A.0·a
B.a+3b
C.|3a|
D.e(x,y∈R,且x≠y)
2.6×( )
A.化简结果为2a B.与向量a同向
C.与向量a反向 D.其长度为2
3.在△ABC中,D是BC的中点,则+=( )
A.2 B.2 C.2 D.2
4.(多选)已知a≠0,λ∈R,下列叙述正确的是( )
A.λa∥a
B.λa与a方向相同
C.是单位向量
D.若|λa|>|a|,则λ>1
5.若=-且=λ,则λ= .
6.1.4 数乘向量
【基础知识·重落实】
知识点
2.(1)|λ||a| 相同 相反 (2)0 3.(λμ)a -(λa) λ(-a)
自我诊断
1.D 根据向量数乘的概念及几何意义可知,要得到向量-2a,可将向量a的方向反向,长度伸长为原来的2倍.故选D.
2.D 2(-3b)=-6b.故选D.
3.-3 解析:因为=2,如图所示,所以=-3.
【典型例题·精研析】
【例1】 (1)②③ 解析:当0<λ<1时,|-λa|<|a|,①错误;②③正确.
(2)解:
如图,作向量2a时将向量a同向放大到原来的2倍;作向
量-a时,将向量a
反向缩小到原来的.
跟踪训练
1. 解析:由向量数乘定义可知,2x-1>0,即x>.
2.- 解析:因为|a|=3,且b是与a方向相反的向量,|b|=2,所以a=-b.
【例2】 (2)(3) 解析:因为-3×2a=-6a,a×3×(-2)=-3a,-2×=-2=2,0×b=0.所以(1)(4)错误,(2)(3)正确.
跟踪训练
解:(1)4×a=-a.
(2)-2××(-3a)=3a.
【例3】 解:因为b=-4e=-2(2e)=-2a,所以a∥b,且2|a|=|b|,即|a|∶|b|=1∶2.向量a,b反向.
母题探究
解:因为b=3e=(2e)=a,所以a∥b,且|a|=|b|,即|a|∶|b|=2∶3.向量a,b同向.
【例4】 解:因为=-3e=-3,所以∥,
且有公共点B,所以A,B,C三点共线,又因为BC=3AB,且向量,反向,如图,所以点A是线段BC的三等分点.
跟踪训练
1.D 由=,则A,P,B三点共线,且=,所以=,即=-.故选D.
2.等腰梯形 解析:因为=5e,=-7e,且||=||,所以=-,因此∥,且||≠||,||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形.
随堂检测
1.C 向量的数乘运算结果仍为向量,显然只有|3a|不是向量.
2.C 6×=-2a,与向量a反向,其长度为2|a|.
3.A 由题意+=2,故选A.
4.AC 已知a≠0,λ∈R,由向量数乘的概念知,选项A正确;当λ<0,λa与a方向相反,故选项B错误;因为==1,故选项C正确;由|λa|>|a|得,|λ|·|a|>|a|,又|a|≠0,所以|λ|>1,解得λ>1或λ<-1,故选项D错误.故选A、C.
5. 解析:因为=-,所以-=-(+),所以=,即=,所以λ=.
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6.1.4 数乘向量
新课程标准解读 核心素养
1.理解数乘向量的定义及几何意义 数学抽象、直观想象
2.了解数乘向量的运算律 逻辑推理、数学运算
3.会判定两条直线平行、三点共线 数学抽象、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在急风骤雨、雷电交加的夜晚,为什么我们总是先看到闪电,后听到
雷声?这是因为在同一方向上光速远远大于声速.经测量,光速大小
约为声速的8.7×105倍.
一重物由高空自由落下,由自由落体运动的速度公式 vt = gt 可
知,它在1 s末和2 s末的速度大小分别为 v1=9.8 m/s和 v2=19.6 m/s.
显然 v2=2 v1,并且方向都是竖直向下.
【问题】 在上述情景中的速度有什么关系?
知识点 数乘向量
1. 定义:实数λ与向量 a 相乘的运算简称为数乘向量.
2. 规定:(1)当λ≠0且 a ≠0时,|λ a |=
,且:
①当λ>0时,λ a 的方向与 a 的方向 ;
②当λ<0时,λ a 的方向与 a 的方向 .
|λ|| a |
相同
相反
(2)当λ=0或 a =0时,λ a = .
0
3. 运算律
设λ,μ为实数,则λ(μ a )= ;
特别地,我们有(-λ) a = = .
4. 平行(共线)向量
(1)两向量平行:如果存在实数λ,使得 b =λ a ,则 b ∥ a ;
(2)三点共线:如果存在实数λ,使得 =λ ,则 与
平行且有公共点 A ,从而 A , B , C 三点一定共线.
(λμ) a
-(λ a )
λ(- a )
提醒 (1)数乘向量的结果是一个向量;(2)不能把|λ a |=|
λ|| a |简单的写成|λ a |=λ| a |,因为λ<0时不成立;
(3)数乘向量的几何意义:把向量沿着它的方向或反方向放大或缩
小.即当|λ|>1时,表示向量 a 的有向线段在原方向(λ>0)或反
方向(λ<0)上伸长到原来的|λ|倍;当|λ|<1时,表示向量
a 的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短到原来
的|λ|倍.特别地,一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的
乘积,即- a =(-1) a .
1. 要得到向量-2 a ,可将( )
A. 向量 a 向左平移2个单位
B. 向量 a 保持方向不变,长度伸长为原来的2倍
C. 向量 a 向右平移2个单位
D. 向量 a 的方向反向,长度伸长为原来的2倍
解析: 根据向量数乘的概念及几何意义可知,要得到向量-2
a ,可将向量 a 的方向反向,长度伸长为原来的2倍.故选D.
2. 已知 b 为非零向量,则2(-3 b )=( )
A. -3 b B. 2 b C. 4 b D. -6 b
解析: 2(-3 b )=-6 b .故选D.
3. 已知 =2 ,则 = .
解析:因为 =2 ,如图所示,所以
=-3 .
-3
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 数乘向量的定义及其几何意义
【例1】 (1)设 a 是非零向量,λ是非零实数,则以下结论正确的
有 .
①|-λ a |≥| a |;② a 与λ2 a 方向相同;③|-2λ a |=2|
λ|·| a |.
解析:当0<λ<1时,|-λ a |<| a |,①错误;②③
正确.
②③
解析:当0<λ<1时,|-λ a |<| a |,①错误;②③
正确.
(2)如图,已知非零向量 a ,作向量2 a ,- a .
解:如图,作向量2 a 时将向量 a 同向放大到原来的2倍;作向
量- a 时,将向量 a 反向缩小到原来的 .
通性通法
数乘向量与原来的向量是共线的,其几何意义就是把原来的向量
沿着它的方向或者反方向放大或缩小.
【跟踪训练】
1. 若两个非零向量 a 与(2 x -1) a 方向相同,则 x 的取值范围
为 .
解析:由向量数乘定义可知,2 x -1>0,即 x > .
2. 设| a |=3,且 b 是与 a 方向相反的向量,| b |=2,则 a =
b .
解析:因为| a |=3,且 b 是与 a 方向相反的向量,| b |=2,所
以 a =- b .
-
题型二 数乘向量的运算
【例2】 下列各式化简正确的是 .(填序号)
(1)-3×2 a =-5 a ;
(2) a ×3×(-2)=-3 a ;
(3)-2× =2 ;
(2)(3)
(4)0× b =0.
解析:因为-3×2 a =-6 a , a ×3×(-2)=-3 a ,-2×
=-2 =2 ,0× b =0.所以(1)(4)错误,(2)
(3)正确.
通性通法
λ a 中的实数λ叫做向量 a 的系数,数乘向量运算就是把数与向
量的系数相乘,作为新向量的系数.
【跟踪训练】
化简下列各式:
(1)4× a ;
解: 4× a =- a .
(2)-2× ×(-3 a ).
解: -2× ×(-3 a )=3 a .
题型三 数乘向量的应用
角度1 判断向量共线
【例3】 已知 a =2 e , b =-4 e ,判断 a , b 是否平行,求|
a |∶| b |的值;若 a ∥ b ,说出它们是同向还是反向.
解:因为 b =-4 e =-2(2 e )=-2 a ,所以 a ∥ b ,且2| a |=|
b |,即| a |∶| b |=1∶2.向量 a , b 反向.
【母题探究】
(变条件)若把本例的条件改为“ a =2 e , b =3 e ”,其他不变,如
何求解.
解:因为 b =3 e = (2 e )= a ,所以 a ∥ b ,且 | a |=| b |,
即| a |∶| b |=2∶3.向量 a , b 同向.
角度2 判断三点共线
【例4】 已知 = e , =-3 e ,判断 A , B , C 三点是否共线,
如果共线,说出点 A 是线段 BC 的几等分点.
解:因为 =-3 e =-3 ,所以 ∥ ,
且有公共点 B ,所以 A , B , C 三点共线,又因为 BC
=3 AB ,且向量 , 反向,如图,所以点 A 是线段
BC 的三等分点.
通性通法
数乘向量的应用
(1)如果存在实数λ,使得 b =λ a ,则 b ∥ a ;
(2)如果存在实数λ,使得 =λ ,则 ∥ ,且 AB 与 AC
有公共点 A ,所以 A , B , C 三点共线.
【跟踪训练】
1. 若 = , =λ ,则实数λ的值是( )
A. B. -
C. D. -
解析: 由 = ,则 A , P , B 三点共线,且 = ,
所以 = ,即 =- .故选D.
2. 若 =5 e , =-7 e ,且| |=| |,则四边形 ABCD
的形状是 .
解析:因为 =5 e , =-7 e ,且| |=| |,所以
=- ,因此 ∥ ,且| |≠| |,| |
=| |,所以四边形 ABCD 是等腰梯形.
等腰梯形
1. 下列各式中不表示向量的是( )
A. 0· a
B. a +3 b
C. |3 a |
D. e ( x , y ∈R,且 x ≠ y )
解析: 向量的数乘运算结果仍为向量,显然只有|3 a |不
是向量.
2.6× ( )
A. 化简结果为2 a B. 与向量 a 同向
C. 与向量 a 反向 D. 其长度为2
解析: 6× =-2 a ,与向量 a 反向,其长度为2| a |.
3. 在△ ABC 中, D 是 BC 的中点,则 + =( )
A. 2 B. 2
C. 2 D. 2
解析: 由题意 + =2 ,故选A.
4. (多选)已知 a ≠0,λ∈R,下列叙述正确的是( )
A. λ a ∥ a
B. λ a 与 a 方向相同
C. 是单位向量
D. 若|λ a |>| a |,则λ>1
解析: 已知 a ≠0,λ∈R,由向量数乘的概念知,选项A正
确;当λ<0,λ a 与 a 方向相反,故选项B错误;因为 =
=1,故选项C正确;由
|λ a |>| a |得,|λ|·| a |>| a |,又| a |≠0,所
以|λ|>1,解得λ>1或λ<-1,故选项D错误.故选A、C.
5. 若 =- 且 =λ ,则λ= .
解析:因为 =- ,所以- =- ( + ),所
以 = ,即 = ,所以λ= .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在△ ABC 中, D 是线段 BC 的中点,且 + =4 ,则
( )
A. =2 B. =4
C. =2 D. =4
解析: 由在△ ABC 中, D 是线段 BC 的中点,可得 + =2
,且 + =4 ,所以 =2 .故选A.
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2. 若| a |=5, b 与 a 的方向相反,且| b |=7,则 a =( )
A. b B. - b
C. b D. - b
解析: ∵ b 与 a 的反向,∴ a =λ b (λ<0),∴| a |=-
λ| b |,即-7λ=5,解得λ=- ,∴ a =- b .故选B.
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3. 给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;②
λ a =0(λ为实数),则λ必为零;③λ,μ为实数,若λ a =μ
b ,则 a 与 b 共线.其中错误的命题的个数为( )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析: ①错误,两向量共线要看其方向而不是起点或终点.②
错误,当 a =0时,不论λ为何值,λ a =0.③错误,当λ=μ=0
时,λ a =μ b =0,此时, a 与 b 可以是任意向量.故错误的命题有
3个.故选D.
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4. 已知 A , B , C 三点共线,且 C 为线段 AB 靠近 B 的五等分点,则下
列结论正确的个数为( )
① =5 ;②| |∶| |=4∶1;③ =- .
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析: 由题意知, =-5 , =- ,| |∶|
|=4∶1,所以②③正确.
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5. (多选)已知 e 为单位向量,若向量 a =- e , b = e ,则下列说
法正确的是( )
A. a =- b B. b =- a
C. b =- a D. | a |·| b |=1
解析: 因为 a =- e , b = e ,所以| a |= ,| b |=
,| a |·| b |=1, b =- × e =- a .故选B、D.
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6. 如图, C , D 将线段 AB 等分为三段,则 = ,
= .
解析:由于 , 方向相同,且| |=3| |,故 =3
,由于 , 方向相反,且| |=2| |,故 =-
2 .
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7. 如图,在△ ABC 中, D , E 分别在 AB , AC 上,且 = = ,则
=
解析:∵ = = ,∠ A =∠ A ,∴△ ADE ∽△ ABC . ∴ = .
又 与 同向,∴ = .
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8. 已知向量 a , b 满足| a |=3,| b |=5,且 a =λ b ,则实数λ
的值是 .
解析:由 a =λ b 得:| a |=|λ b |=|λ|| b |,所以|
λ|= = ,即λ=± .
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9. 已知点 C 在线段 AB 的延长线上(在 B 点右侧),且 AB ∶ AC =
2∶3.
(1)用 表示 ;
(1)如图②,向量 与 方向相同,所以 =2 ;
解:如图①,因为点 C 在
线段 AB 的延长线上,且AB ∶ AC =2∶3,所以 AB =2 BC , AC =3 BC .
(2)用 表示 .
解:如图③,向量 与 方向相反,所以 =-3 .
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10. 下列结论成立的是( )
A. λ a 与 a 的方向相同
B. λ a 与 a 的方向相反的充要条件是λ<0
C. 与 a 方向相同的单位向量可表示为
D. 若平行四边形 ABCD 的对角线的交点为 O ,则 = ( -
)
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解析: 当λ<0且 a ≠0时,λ a 与 a 的方向相反,故A不正
确;当λ<0时,若 a ≠0,则λ a 与 a 方向相反,若 a =0则λ a =
a =0,方向是任意的,故B不正确;若平行四边形 ABCD 的对角
线的交点为 O ,则 = ( + ),D不正确;C正确.
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11. 设 a , b 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使 +
=0成立的是( )
A. a =-2 b B. a =2 b
C. a ∥ b D. | a |=| b |
解析: ∵ + =0,∴ =- ,∴ a 与 b 的
方向相反,∴A正确.故选A.
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12. 已知向量 e1, e2不共线,求作向量2 e1-3 e2.
解:在 e1, e2所在平面内任取一点 O ,作 =
e1, = e2.延长 OA 到A',使|OA'|=2|
OA |,则 =2 e1,延长 BO 至B',使|OB'|=
3| OB |,则 =-3 e2,再利用向量加法的平
行四边形法则得到 = + =2 e1+(-3
e2)=2 e1-3 e2.如图所示.
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13. 已知点 P 在直线 AB 上,且| |=4| |,设 =λ ,
则实数λ= .
解析:因为点 P 在直线 AB 上,且| |=4| |,所以 =
4 或 =-4 .若 =4 ,则 + =4 ,所以
=3 ,此时λ= ;若 =-4 ,则 + =-4 ,所
以 =-5 ,此时λ=- .
或-
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14. 已知△ ABC ,设 = b , = c .
(1)求作: = b , = c , =- b , =- c ;
解: 在线段 AB , AC 上分别取点
B1, C1,使得 AB1= AB , AC1=
AC ,在 BA , CA 的延长线上分别取点
B2, C2,使得 AB2= AB , AC2= AC ,
则 , , , 对应的图形如图所示.
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(2)向量 , 分别与 有什么关系?
解: ∵ = = ,∠ B1 AC1=∠ BAC ,
∴△ AB1 C1∽△ ABC ,
∴ = = ,
∠ AB1 C1=∠ ABC ,
∴ B1 C1∥ BC ,∴ = ,同理可得 =- .
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谢 谢 观 看!