6.2 向量基本定理与向量的坐标
6.2.1 向量基本定理
1.下列说法中，正确说法的个数是（ ）
①在△ABC中，，可以作为基底；②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的；③零向量不能作为基底.
A.0 B.1
C.2 D.3
2.在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e1，＝e2，则＝（ ）
A.（e1＋e2） B.（e1－e2）
C.（2e2－e1） D.（e2－e1）
3.已知点D是△ABC所在平面内的一点，且＝－2，设＝λ＋μ，则λ－μ＝（ ）
A.－ B.
C.3 D.－3
4.在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，设＝a，＝b，则可用基底{a，b}表示为（ ）
A.（a＋b） B.a＋b
C.a＋b D.（a＋b）
5.（多选）如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是（ ）
A.λe1＋μe2（λ，μ∈R）可以表示平面α内的所有向量
B.对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对（λ，μ）有无穷多个
C.若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则λ1μ2－λ2μ1＝0
D.若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
6.已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，则实数k的值为 .
7.在△ABC中，已知D是BC的中点，G是△ABC的重心.设向量＝a，＝b，则向量＝ （结果用a，b表示）.
8.在△ABC中，点D是线段BC上任意一点（不包含端点），若＝m＋n，则＋的最小值是 .
9.如图，在 ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为AB的中点，试用a，b表示向量.
10.点M是△ABC所在平面内的一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为 .
11.在△ABC中，点D满足＝，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝（λ－1）2＋μ2的最小值是 .
12.已知单位圆O上的两点A，B及单位圆所在平面上的一点P，与不共线.
（1）在△OAB中，点P在AB上，且＝2，若＝r＋s，求r＋s的值；
（2）如图，点P满足＝m＋（m为常数），若四边形OABP为平行四边形，求m的值.
13.等腰直角△ABC中，点P是斜边BC边上一点，若＝＋，则△ABC的面积为 .
14.已知△ABC中，过重心G的直线l交边AB于P，交边AC于Q，若＝p，＝q，其中p，q为非零常数.求证：＋为定值.
6.2.1 向量基本定理
1.C 平面中两个不共线的向量可以构成基底，故①、③正确.平面中不共线的向量有很多对，它们都可以作为基底向量，故②错误.故选C.
2.A 因为O是矩形ABCD对角线的交点，＝e1，＝e2，所以＝（＋）＝（e1＋e2），故选A.
3.D 由题意作图，因为＝－2，所以C为BD的中点，所以＝＋＝＋2＝＋2（－）＝－＋2，因为＝λ＋μ，所以由平面向量基本定理可得λ＝－1，μ＝2，所以λ－μ＝－3，故选D.
4.C ∵＝2，∴＝.∴＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝a＋b.
5.ACD 根据平面向量的基本定理可知A正确，B错误；根据向量共线定理，存在唯一的非零实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ（λ2e1＋μ2e2），即消去λ可得λ1μ2－λ2μ1＝0，故C正确；若实数λ，μ有一个不为0，不妨设λ≠0，则e1＝－e2，此时e1，e2共线，这与已知矛盾，所以λ＝μ＝0，故D正确.故选A、C、D.
6.±1 解析：∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ（e1＋ke2），则（k－λ）e1＝（λk－1）e2，∵e1与e2不共线，∴∴k＝±1.
7.a＋b 解析：因为D是BC的中点，所以＝，因为G是△ABC的重心，所以＝，所以＝－＝－＝－（＋）＝－－×＝＋＝a＋b.
8.9 解析：∵D是线段BC上一点，∴B，C，D三点共线，＝m＋n，∴m＋n＝1，且m＞0，n＞0，∴＋＝（m＋n）＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当＝，即n＝2m，又∵m＋n＝1，∴m＝，n＝时取等号，∴＋的最小值为9.
9.解：由向量加法的多边形法则可得＝＋＋＝＋＋＝－a＋b＋（＋）＝－a＋b＋（－b＋a）＝－a＋b.
10. 解析：如图，分别在，上取点E，F，使＝，＝，在上取点G，使＝，则EG∥AC，FG∥AE，所以＝＋＝，所以M与G重合，所以＝＝.
11. 解析：如图所示，在△ABC中，＝，∴＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，又点E在线段AD上移动，设＝k，0≤k≤1，∴＝＋，又＝λ＋μ，∴∴t＝（λ－1）2＋μ2＝＋＝－＋1，∴当k＝时，t取到最小值，最小值为.
12.解：（1）因为＝2，所以＝，
所以＝（－）＝－，
又因为＝r＋s，所以r＝，s＝－，
所以r＋s的值为0.
（2）因为四边形OABP为平行四边形，
所以＝＋，
又因为＝m＋，所以＝＋（m＋1），
依题意，是非零向量且不共线，
所以m＋1＝0，解得m＝－1.
13. 解析：如图，由于＝＋，所以＝，＝，则｜｜＝4，｜｜＝1，所以在等腰直角△ABC中，PE＝1，BE＝1，所以AB＝5，即腰长为5，故△ABC的面积S＝×5×5＝.
14.证明：设＝a，＝b，因为＝p，＝q，
可得＝a，＝b，＝＝×（＋）＝（a＋b），
又因为P，G，Q三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即－＝λ（－），即b－a＝λ（a＋b－a）＝a＋b，
可得整理得λ＝＝
即＝，即2－＝＋1，所以＋＝1.
2 / 26.2 向量基本定理与向量的坐标
6.2.1 向量基本定理
新课程标准解读 核心素养
1.理解两个平面向量共线的含义 数学抽象
2.理解平面向量基本定理及其意义 逻辑推理
已知平面内向量a，b和向量c，如图所示.其中a与b不共线，c与a共线.
【问题】 若对该平面内任意一个向量d能否用已知向量a，b，c表示？
知识点一 共线向量基本定理
1.共线向量基本定理
如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得 .
在共线向量基本定理中：
（1）b＝λa时，通常称为 能用 表示；
（2）其中的“唯一”指的是，如果还有b＝μa，则有 .
2.三点共线
如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得＝ .
提醒 共线向量基本定理的推论：
如图，直线l外一点O，A，B是直线l上给定的两点，则平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得＝（1－t）＋t.特别地，当t＝时，点P为线段AB的中点，即＝（＋）.
知识点二 平面向量基本定理
1.定理：如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在 的实数对（x，y），使得c＝ .
2.基底：平面内不共线的两个向量a与b组成的集合 ，常称为该平面上向量的一组基底，此时如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底 下的分解式.
提醒 理解平面向量基本定理应关注三点：（1）a，b是同一平面内的两个不共线向量；（2）该平面内任意向量c都可以用a，b线性表示，且这种表示是唯一的；（3）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底.
1.若向量a，b不共线，且－a＋（3x－y）b＝xa＋3b，则xy＝（ ）
A.1 B.2
C.4 D.6
2.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2（k∈R）与向量n＝e2－2e1共线，则k＝（ ）
A.0 B.1
C.2 D.
3.如图，在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，P为边BC的中点，则＝ .（用a与b表示）
题型一 共线向量基本定理的应用
【例1】 （1）设e1，e2是两个不共线的向量，＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求实数k的值；
（2）设两个不共线的向量e1，e2，若a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，c＝2e1－9e2，问是否存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线？
尝试解答
通性通法
1.解决向量共线问题的两种方法
（1）直接法：分别将要判断的向量表示出来，并观察能否找到实数λ，使b＝λa，若能找到，则共线；若不能找到，则不共线；
（2）“假设—检验”法：先假设向量共线，转化为向量和为0的形式，利用结论“对于λe1＋μe2＝0，若e1，e2不共线，则必有λ＝μ＝0”判断实数是否存在.
2.已知共线求参数的方法
一般地，解决向量a，b共线问题，可用两个不共线向量（如e1，e2）表示向量a，b，设b＝λa（a≠0），化成关于e1，e2的方程φ1（λ）e1＋φ2（λ）e2＝0，由于e1，e2不共线，则解方程即可.
【跟踪训练】
设a，b是两个不共线的非零向量，＝a，＝tb，＝（a＋b），（t∈R）.若A，B，C三点共线，则t＝ .
题型二 对基底概念的理解
【例2】 （多选）设{e1，e2}是平面内的一组基底，则下面四组向量能作为基底的是（ ）
A.{e1＋e2，e1－e2}
B.{3e1－2e2，4e2－6e1}
C.{e1＋2e2，e2＋2e1}
D.{e2，e2＋e1}
尝试解答
通性通法
判断基底的依据
根据基底的定义可知，要判断两向量a，b能否作为基底只需判定其是否共线.另外，作为基底的向量必为非零向量.当一个平面的基底一旦确定，那么平面内的任一向量都可以由这组基底唯一地表示出来.
【跟踪训练】
（多选）设O是 ABCD的对角线的交点，给出下列向量组，其中可以作为表示 ABCD所在平面内的所有向量的一组基底的是（ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
题型三 用基底表示向量
【例3】 如图，在平行四边形ABCD中，设对角线＝a，＝b，试用基底a，b表示，.
尝试解答
通性通法
用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至能用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.
【跟踪训练】
（多选）如图所示，已知P，Q，R分别是△ABC三边AB，BC，CA的四等分点，如果＝a，＝b，以下向量表示正确的是（ ）
A.＝－a－b B.＝－a＋b
C.＝－a＋b D.＝a－b
题型四 平面向量基本定理的应用
【例4】 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.
尝试解答
通性通法
平面向量基本定理的三种应用
1.已知e1，e2，求作λ1e1＋λ2e2
其方法如下：（1）利用三角形法则；（2）利用平行四边形法则.
2.已知基底{a，b}，用a，b表示其他向量c
其一般方法如下：（1）线性运算法：利用三角形法则或平行四边形法则；（2）向量方程组法：设c＝xa＋yb，x，y∈R，用待定系数法求出x，y.
3.平面向量基本定理的唯一性及其应用
设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则这个方法应用广泛，常用于待定系数法确定向量的过程中.
【跟踪训练】
如图所示，△ABC中，F为BC边上一点，2＝，若＝a，＝b.
（1）用向量a，b表示；
（2）延长AB到D，使3＝，连接DF并延长，交AC于点E，若＝λ，＝μ，求λ和μ的值.
1.设向量e1与e2不共线，若3xe1＋（10－y）e2＝（4y－7）e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为（ ）
A.0，0 B.1，1
C.3，0 D.3，4
2.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝（ ）
A.－ B.
C.1 D.－1
3.（多选）设e1，e2是平面内两个不共线的向量，则以下a，b可作为该平面内一组基底的是（ ）
A.a＝e1＋e2，b＝e1
B.a＝2e1＋e2，b＝e1＋e2
C.a＝e1＋e2，b＝e1－e2
D.a＝e1－2e2，b＝－e1＋4e2
4.已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若＝x＋y，则x＋y＝ .
6.2.1 向量基本定理
【基础知识·重落实】
知识点一
1.b＝λa （1）b a （2）λ＝μ 2.λ
知识点二
1.唯一 xa＋yb 2.{a，b} {a，b}
自我诊断
1.D 由题设，可得∴xy＝6.故选D.
2.D 当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2，所以n＝2m，此时m，n共线.
3.a＋b 解析：＝＋＝＋＝a＋b.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）若A，B，D三点共线，则与共线.设＝λ（λ∈R），∵＝－＝2e1－e2－（e1＋3e2）＝e1－4e2，∴2e1＋ke2＝λe1－4λe2.由e1与e2不共线可得∴λ＝2，k＝－8.
（2）d＝λ（2e1－3e2）＋μ（2e1＋3e2）＝（2λ＋2μ）e1＋（3μ－3λ）e2，
要使d与c共线，则存在实数k，使得d＝kc，
即（2λ＋2μ）e1＋（－3λ＋3μ）e2＝2ke1－9ke2.
由得λ＝－2μ.
故存在实数λ和μ，使得d与c共线，此时λ＝－2μ.
跟踪训练
解析：因为＝a，＝tb，＝（a＋b），所以＝－＝－a＋tb，＝－＝（a＋b）－a＝－a＋b，因为A，B，C三点共线，所以∥，所以存在唯一λ（λ∈R），使得＝λ，所以－a＋tb＝－λa＋λb，又因为a，b是两个不共线的非零向量，所以解得λ＝，t＝.
【例2】 ACD ∵4e2－6e1＝－2（3e1－2e2），∴3e1－2e2和4e2－6e1共线，不能作为平面向量的一组基底.易知A、C、D均能作为平面向量的一组基底.
跟踪训练
AC 与不共线，故A可以作为一组基底；与共线，故B不可以作为一组基底；与不共线，故C可以作为一组基底；与共线，故D不可以作为一组基底.故选A、C.
【例3】 解：法一 由题意知，＝＝＝a，＝＝＝b.
所以＝＋＝－＝a－b，
＝＋＝a＋b.
法二 设＝x，＝y，则＝＝y，
又则
所以x＝a－b，y＝a＋b，
即＝a－b，＝a＋b.
跟踪训练
BC 由已知可得＝－＝b－a，故D错误；因为P，Q，R分别是△ABC三边AB，BC，CA的四等分点，由＝－＝－＝－a－（b－a）＝－a－b，故A错误；＝－＝－＋＝－b＋（b－a）＝－a＋b，故B正确；＝－＝－＝－a＋b，故C正确.故选B、C.
【例4】 解：设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2.
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2.
故＝＋＝－＝（λ＋2μ）e1＋（3λ＋μ）e2.
而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
得解得
∴＝，＝，
∴AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.
跟踪训练
解：（1）因为2＝，
所以2（－）＝－，即3＝2＋，
所以＝＋＝a＋b.
（2）若＝λ，＝μ，则＝μ，＝λ，
所以－＝λ（－），
＝（1－λ）＋λ＝4（1－λ）＋λμ＝4（1－λ）a＋λμb，
由于＝a＋b，
所以4（1－λ）＝，λμ＝，解得λ＝，μ＝.
随堂检测
1.D 因为向量e1与e2不共线，且3xe1＋（10－y）e2＝（4y－7）e1＋2xe2，所以解得故选D.
2.A 由平面向量基本定理，＝＋＝＋＝－＋（＋）＝－，所以λ＝，μ＝－，即λ＋μ＝－，故选A.
3.ACD 对A，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合；对B，b＝a，所以a，b共线，故不符合；对C，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合；对D，a不能用b表示，故a，b不共线，所以符合.故选A、C、D.
4.1 解析：由于A，B，P三点共线，所以向量，在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使＝λ，
即－＝λ（－），
所以＝（1－λ）＋λ，
故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.
5 / 5(共59张PPT)
6.2.1 向量基本定理
新课程标准解读 核心素养
1.理解两个平面向量共线的含义 数学抽象
2.理解平面向量基本定理及其意义 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
已知平面内向量 a ， b 和向量 c ，如图所示.其中 a 与 b 不共线， c
与 a 共线.
【问题】 若对该平面内任意一个向量 d 能否用已知向量 a ， b ，
c 表示？
知识点一 共线向量基本定理
1. 共线向量基本定理
如果 a ≠0且 b ∥ a ，则存在唯一的实数λ，使得 .
在共线向量基本定理中：
（1） b ＝λ a 时，通常称为 能用 表示；
（2）其中的“唯一”指的是，如果还有 b ＝μ a ，则有
.
b ＝λ a
b
a
λ＝
μ
2. 三点共线
如果 A ， B ， C 是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在
实数λ，使得 ＝ .
提醒 共线向量基本定理的推论：
λ
如图，直线 l 外一点 O ， A ， B 是直线 l 上给定的两
点，则平面内任意一点 P 在直线 l 上的充要条件是：
存在实数 t ，使得 ＝（1－ t ） ＋ t .特别地，
当 t ＝ 时，点 P 为线段 AB 的中点，即 ＝ （ ＋ ）.
知识点二 平面向量基本定理
1. 定理：如果平面内两个向量 a 与 b 不共线，则对该平面内任意一个
向量 c ，存在 的实数对（ x ， y ），使得 c ＝ .
2. 基底：平面内不共线的两个向量 a 与 b 组成的集合 ，常
称为该平面上向量的一组基底，此时如果 c ＝ xa ＋ yb ，则称 xa ＋
yb 为 c 在基底 下的分解式.
唯一
xa ＋ yb
{ a ， b }
{ a ， b }
提醒 理解平面向量基本定理应关注三点：（1） a ， b 是同一平面
内的两个不共线向量；（2）该平面内任意向量 c 都可以用 a ， b 线
性表示，且这种表示是唯一的；（3）基底不唯一，只要是同一平
面内的两个不共线向量都可作为基底.
1. 若向量 a ， b 不共线，且－ a ＋（3 x － y ） b ＝ xa ＋3 b ，则 xy ＝
（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
解析： 由题设，可得∴ xy ＝6.故
选D.
2. 设 e1， e2是两个不共线的向量，若向量 m ＝－ e1＋ ke2（ k ∈R）与
向量 n ＝ e2－2 e1共线，则 k ＝（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D.
解析： 当 k ＝ 时， m ＝－ e1＋ e2， n ＝－2 e1＋ e2，所以 n ＝2
m ，此时 m ， n 共线.
3. 如图，在平行四边形 ABCD 中，设 ＝ a ， ＝ b ， P 为边 BC 的
中点，则 ＝ .（用 a 与 b 表示）
解析： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ a ＋ b .
a ＋ b
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 共线向量基本定理的应用
【例1】 （1）设 e1， e2是两个不共线的向量， ＝2 e1＋ ke2，
＝ e1＋3 e2， ＝2 e1－ e2，若 A ， B ， D 三点共线，求实数 k 的值；
解： 若 A ， B ， D 三点共线，则 与 共线.设 ＝λ
（λ∈R），
∵ ＝ － ＝2 e1－ e2－（ e1＋3 e2）＝ e1－4 e2，
∴2 e1＋ ke2＝λ e1－4λ e2.
由 e1与 e2不共线可得∴λ＝2， k ＝－8.
（2）设两个不共线的向量 e1， e2，若 a ＝2 e1－3 e2， b ＝2 e1＋3
e2， c ＝2 e1－9 e2，问是否存在实数λ，μ，使 d ＝λ a ＋μ
b 与 c 共线？
解： d ＝λ（2 e1－3 e2）＋μ（2 e1＋3 e2）＝（2λ＋
2μ） e1＋（3μ－3λ） e2，
要使 d 与 c 共线，则存在实数 k ，使得 d ＝ kc ，
即（2λ＋2μ） e1＋（－3λ＋3μ） e2＝2 ke1－9 ke2.
由
得λ＝－2μ.
故存在实数λ和μ，使得 d 与 c 共线，此时λ＝－2μ.
通性通法
1. 解决向量共线问题的两种方法
（1）直接法：分别将要判断的向量表示出来，并观察能否找到
实数λ，使 b ＝λ a ，若能找到，则共线；若不能找到，
则不共线；
（2）“假设—检验”法：先假设向量共线，转化为向量和为0的形
式，利用结论“对于λ e1＋μ e2＝0，若 e1， e2不共线，则必
有λ＝μ＝0”判断实数是否存在.
2. 已知共线求参数的方法
一般地，解决向量 a ， b 共线问题，可用两个不共线向量（如 e1，
e2）表示向量 a ， b ，设 b ＝λ a （ a ≠0），化成关于 e1， e2的方程
φ1（λ） e1＋φ2（λ） e2＝0，由于 e1， e2不共线，则
解方程即可.
【跟踪训练】
设 a ， b 是两个不共线的非零向量， ＝ a ， ＝ tb ， ＝
（ a ＋ b ），（ t ∈R）.若 A ， B ， C 三点共线，则 t ＝ .
解析：因为 ＝ a ， ＝ tb ， ＝ （ a ＋ b ），所以 ＝ －
＝－ a ＋ tb ， ＝ － ＝ （ a ＋ b ）－ a ＝－ a ＋ b ，因
为 A ， B ， C 三点共线，所以 ∥ ，所以存在唯一λ
（λ∈R），使得 ＝λ ，所以－ a ＋ tb ＝－ λ a ＋ λ b ，又
因为 a ， b 是两个不共线的非零向量，所以解得λ＝
， t ＝ .
题型二 对基底概念的理解
【例2】 （多选）设{ e1， e2}是平面内的一组基底，则下面四组向
量能作为基底的是（ ）
A. { e1＋ e2， e1－ e2} B. {3 e1－2 e2，4 e2－6 e1}
C. { e1＋2 e2， e2＋2 e1} D. { e2， e2＋ e1}
解析： ∵4 e2－6 e1＝－2（3 e1－2 e2），∴3 e1－2 e2和4 e2－6 e1
共线，不能作为平面向量的一组基底.易知A、C、D均能作为平面向
量的一组基底.
通性通法
判断基底的依据
根据基底的定义可知，要判断两向量 a ， b 能否作为基底只需判
定其是否共线.另外，作为基底的向量必为非零向量.当一个平面
的基底一旦确定，那么平面内的任一向量都可以由这组基底唯一
地表示出来.
【跟踪训练】
（多选）设 O 是 ABCD 的对角线的交点，给出下列向量组，其中可
以作为表示 ABCD 所在平面内的所有向量的一组基底的是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
解析： 与 不共线，故A可以作为一组基底； 与 共
线，故B不可以作为一组基底； 与 不共线，故C可以作为一组
基底； 与 共线，故D不可以作为一组基底.故选A、C.
题型三 用基底表示向量
【例3】 如图，在平行四边形 ABCD 中，设对角线 ＝ a ， ＝
b ，试用基底 a ， b 表示 ， .
解：法一 由题意知， ＝ ＝ ＝ a ，
＝ ＝ ＝ b .所以 ＝ ＋ ＝ － ＝ a － b ，
＝ ＋ ＝ a ＋ b .
法二 设 ＝ x ， ＝ y ，则 ＝ ＝ y ，
又 则
所以 x ＝ a － b ， y ＝ a ＋ b ，
即 ＝ a － b ， ＝ a ＋ b .
通性通法
用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：
一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至能用
基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底
表示向量的唯一性求解.
【跟踪训练】
（多选）如图所示，已知 P ， Q ， R 分别是△ ABC 三边 AB ， BC ，
CA 的四等分点，如果 ＝ a ， ＝ b ，以下向量表示正确的是（ ）
A. ＝－ a － b
B. ＝－ a ＋ b
C. ＝－ a ＋ b
D. ＝ a － b
解析： 由已知可得 ＝ － ＝ b － a ，故D错误；因为 P ，
Q ， R 分别是△ ABC 三边 AB ， BC ， CA 的四等分点，由 ＝ －
＝ － ＝－ a － （ b － a ）＝－ a － b ，故A错误；
＝ － ＝－ ＋ ＝－ b ＋ （ b － a ）＝－ a ＋ b ，故B
正确； ＝ － ＝ － ＝－ a ＋ b ，故C正确.故选
B、C.
题型四 平面向量基本定理的应用
【例4】 如图，在△ ABC 中，点 M 是 BC 的中点，点 N 在 AC 上，且
AN ＝2 NC ， AM 与 BN 相交于点 P ，求 AP ∶ PM 与 BP ∶ PN .
解：设 ＝ e1， ＝ e2，
则 ＝ ＋ ＝－3 e2－ e1， ＝ ＋ ＝
2 e1＋ e2.
∵ A ， P ， M 和 B ， P ， N 分别共线，
∴存在实数λ，μ使得 ＝λ ＝－λ e1－3λ e2，
＝μ ＝2μ e1＋μ e2.
故 ＝ ＋ ＝ － ＝（λ＋2μ） e1＋（3λ＋μ） e2.
而 ＝ ＋ ＝2 e1＋3 e2，由平面向量基本定理，
得解得
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ AP ∶ PM ＝4∶1， BP ∶ PN ＝3∶2.
通性通法
平面向量基本定理的三种应用
1. 已知 e1， e2，求作λ1 e1＋λ2 e2
其方法如下：（1）利用三角形法则；（2）利用平行四边形法则.
2. 已知基底{ a ， b }，用 a ， b 表示其他向量 c
其一般方法如下：（1）线性运算法：利用三角形法则或平行四边
形法则；（2）向量方程组法：设 c ＝ xa ＋ yb ， x ， y ∈R，用待定
系数法求出 x ， y .
3. 平面向量基本定理的唯一性及其应用
设 a ， b 是同一平面内的两个不共线向量，若 x1 a ＋ y1 b ＝ x2 a ＋ y2
b ，则这个方法应用广泛，常用于待定系数法确定向量
的过程中.
【跟踪训练】
如图所示，△ ABC 中， F 为 BC 边上一点，2 ＝ ，若 ＝ a ，
＝ b .
（1）用向量 a ， b 表示 ；
解： 因为2 ＝ ，
所以2（ － ）＝ － ，
即3 ＝2 ＋ ，
所以 ＝ ＋ ＝ a ＋ b .
（2）延长 AB 到 D ，使3 ＝ ，连接 DF 并延长，交 AC 于点 E ，
若 ＝λ， ＝μ，求λ和μ的值.
解： 若 ＝λ， ＝μ，则 ＝μ ， ＝λ ，
所以 － ＝λ（ － ），
＝（1－λ） ＋λ ＝4（1－λ）
＋λμ ＝4（1－λ） a ＋λμ b ，由于 ＝ a ＋ b ，
所以4（1－λ）＝ ，λμ＝ ，解得λ＝ ，μ＝ .
1. 设向量 e1与 e2不共线，若3 xe1＋（10－ y ） e2＝（4 y －7） e1＋2
xe2，则实数 x ， y 的值分别为（ ）
A. 0，0 B. 1，1
C. 3，0 D. 3，4
解析： 因为向量 e1与 e2不共线，且3 xe1＋（10－ y ） e2＝（4 y
－7） e1＋2 xe2，所以解得故选D.
2. 如图所示，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O ， E 为 AO 的中点，若
＝λ ＋μ ，则λ＋μ＝（ ）
A. － B.
C. 1 D. －1
解析： 由平面向量基本定理， ＝ ＋ ＝ ＋ ＝
－ ＋ （ ＋ ）＝ － ，所以λ＝ ，μ＝－ ，
即λ＋μ＝－ ，故选A.
3. （多选）设 e1， e2是平面内两个不共线的向量，则以下 a ， b 可作
为该平面内一组基底的是（ ）
A. a ＝ e1＋ e2， b ＝ e1
B. a ＝2 e1＋ e2， b ＝ e1＋ e2
C. a ＝ e1＋ e2， b ＝ e1－ e2
D. a ＝ e1－2 e2， b ＝－ e1＋4 e2
解析： 对A， a 不能用 b 表示，故 a ， b 不共线，所以符合；
对B， b ＝ a ，所以 a ， b 共线，故不符合；对C， a 不能用 b 表
示，故 a ， b 不共线，所以符合；对D， a 不能用 b 表示，故 a ， b
不共线，所以符合.故选A、C、D.
4. 已知 A ， B ， P 三点共线， O 为直线外任意一点，若 ＝ x ＋ y
，则 x ＋ y ＝ .
解析：由于 A ， B ， P 三点共线，所以向量 ， 在同一直线
上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ使 ＝λ ，即
－ ＝λ（ － ），所以 ＝（1－λ） ＋λ ，故 x
＝1－λ， y ＝λ，即 x ＋ y ＝1.
1
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列说法中，正确说法的个数是（ ）
①在△ ABC 中， ， 可以作为基底；②能够表示一个平面内
所有向量的基底是唯一的；③零向量不能作为基底.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 平面中两个不共线的向量可以构成基底，故①、③正
确.平面中不共线的向量有很多对，它们都可以作为基底向量，故
②错误.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. 在矩形 ABCD 中， O 是对角线的交点，若 ＝ e1， ＝ e2，则
＝（ ）
A. （ e1＋ e2） B. （ e1－ e2）
C. （2 e2－ e1） D. （ e2－ e1）
解析： 因为 O 是矩形 ABCD 对角线的交点， ＝ e1， ＝
e2，所以 ＝ （ ＋ ）＝ （ e1＋ e2），故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3. 已知点 D 是△ ABC 所在平面内的一点，且 ＝－2 ，设 ＝
λ ＋μ ，则λ－μ＝（ ）
A. － B.
C. 3 D. －3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 由题意作图，因为 ＝－2 ，所以 C 为 BD 的中点，
所以 ＝ ＋ ＝ ＋2 ＝ ＋2（ － ）＝－
＋2 ，因为 ＝λ ＋μ ，所以由平面向量基本定理可得
λ＝－1，μ＝2，所以λ－μ＝－3，故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4. 在△ ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 ＝2 ，设 ＝ a ， ＝
b ，则 可用基底{ a ， b }表示为（ ）
A. （ a ＋ b ） B. a ＋ b
C. a ＋ b D. （ a ＋ b ）
解析：C ∵ ＝2 ，∴ ＝ .∴ ＝ ＋ ＝ ＋
＝ ＋ （ － ）＝ ＋ ＝ a ＋ b .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5. （多选）如果 e1， e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法
中正确的是（ ）
A. λ e1＋μ e2（λ，μ∈R）可以表示平面α内的所有向量
B. 对于平面α内任一向量 a ，使 a ＝λ e1＋μ e2的实数对（λ，μ）
有无穷多个
C. 若向量λ1 e1＋μ1 e2与λ2 e1＋μ2 e2共线，则λ1μ2－λ2μ1＝0
D. 若实数λ，μ使得λ e1＋μ e2＝0，则λ＝μ＝0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析： 根据平面向量的基本定理可知A正确，B错误；根据
向量共线定理，存在唯一的非零实数λ，使得λ1 e1＋μ1 e2＝λ
（λ2 e1＋μ2 e2），即消去λ可得λ1μ2－λ2μ1＝0，
故C正确；若实数λ，μ有一个不为0，不妨设λ≠0，则 e1＝－
e2，此时 e1， e2共线，这与已知矛盾，所以λ＝μ＝0，故D正确.
故选A、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6. 已知非零向量 e1， e2不共线，欲使 ke1＋ e2和 e1＋ ke2共线，则实数 k
的值为 .
解析：∵ ke1＋ e2与 e1＋ ke2共线，∴存在实数λ，使 ke1＋ e2＝λ
（ e1＋ ke2），则（ k －λ） e1＝（λ k －1） e2，∵ e1与 e2不共线，
∴∴ k ＝±1.
±1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
7. 在△ ABC 中，已知 D 是 BC 的中点， G 是△ ABC 的重心.设向量
＝ a ， ＝ b ，则向量 ＝ （结果用 a ， b 表示）.
解析：因为 D 是 BC 的中点，所以 ＝ ，因为 G 是△ ABC 的
重心，所以 ＝ ，所以 ＝ － ＝ － ＝ －
（ ＋ ）＝ － － × ＝ ＋ ＝ a ＋ b .
a ＋ b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
8. 在△ ABC 中，点 D 是线段 BC 上任意一点（不包含端点），若
＝ m ＋ n ，则 ＋ 的最小值是 .
解析：∵ D 是线段 BC 上一点，∴ B ， C ， D 三点共线， ＝ m
＋ n ，∴ m ＋ n ＝1，且 m ＞0， n ＞0，∴ ＋ ＝
（ m ＋ n ）＝ ＋ ＋5≥2 ＋5＝9，当且仅当 ＝ ，即 n ＝
2 m ，又∵ m ＋ n ＝1，∴ m ＝ ， n ＝ 时取等号，∴ ＋ 的最小
值为9.
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
9. 如图，在 ABCD 中， ＝ a ， ＝ b ， ＝3 ， M 为 AB 的
中点，试用 a ， b 表示向量 .
解：由向量加法的多边形法则可得 ＝ ＋ ＋ ＝ ＋
＋ ＝－ a ＋ b ＋ （ ＋ ）＝－ a ＋ b ＋ （－ b ＋
a ）＝－ a ＋ b .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
10. 点 M 是△ ABC 所在平面内的一点，且满足 ＝ ＋ ，则
△ ABM 与△ ABC 的面积之比为 .
解析：如图，分别在 ， 上取点 E ， F ，使
＝ ， ＝ ，在 上取点 G ，使
＝ ，则 EG ∥ AC ， FG ∥ AE ，所以
＝ ＋ ＝ ，所以 M 与 G 重合，所以
＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
11. 在△ ABC 中，点 D 满足 ＝ ，当点 E 在线段 AD 上移动时，
若 ＝λ ＋μ ，则 t ＝（λ－1）2＋μ2的最小值
是 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析：如图所示，在△ ABC 中， ＝ ，
∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋
（ － ）＝ ＋ ，又点 E 在
线段 AD 上移动，设 ＝ k ，0≤ k ≤1，
∴ ＝ ＋ ，又 ＝λ ＋μ ，∴∴ t ＝（λ－1）2＋μ2＝ ＋ ＝ － ＋1，∴当 k ＝ 时， t 取到最小值，最小值
为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
12. 已知单位圆 O 上的两点 A ， B 及单位圆所在平面上的一点 P ，
与 不共线.
（1）在△ OAB 中，点 P 在 AB 上，且 ＝2 ，若 ＝ r ＋
s ，求 r ＋ s 的值；
解： 因为 ＝2 ，所以 ＝ ，
所以 ＝ （ － ）＝ － ，
又因为 ＝ r ＋ s ，
所以 r ＝ ， s ＝－ ，所以 r ＋ s 的值为0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（2）如图，点 P 满足 ＝ m ＋ （ m 为常数），若四边形
OABP 为平行四边形，求 m 的值.
解： 因为四边形 OABP 为平行四边形，
所以 ＝ ＋ ，
又因为 ＝ m ＋ ，所以 ＝ ＋
（ m ＋1） ，
依题意 ， 是非零向量且不共线，
所以 m ＋1＝0，解得 m ＝－1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
13. 等腰直角△ ABC 中，点 P 是斜边 BC 边上一点，若 ＝ ＋
，则△ ABC 的面积为 .
解析：如图，由于 ＝ ＋ ，所
以 ＝ ， ＝ ，则｜ ｜＝
4，｜ ｜＝1，所以在等腰直角△ ABC 中， PE
＝1， BE ＝1，所以 AB ＝5，即腰长为5，故△
ABC 的面积 S ＝ ×5×5＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
14. 已知△ ABC 中，过重心 G 的直线 l 交边 AB 于 P ，交边 AC 于 Q ，若
＝ p ， ＝ q ，其中 p ， q 为非零常数.求证： ＋ 为
定值.
证明：设 ＝ a ， ＝ b ，
因为 ＝ p ， ＝ q ，
可得 ＝ a ， ＝ b ，
＝ ＝ × （ ＋ ）＝ （ a ＋ b ），
又因为 P ， G ， Q 三点共线，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
所以存在实数λ，使得 ＝λ ，即 － ＝λ（ －
），
即 b － a ＝λ（ a ＋ b － a ）＝ a ＋ b ，
可得
整理得λ＝ ＝
即 ＝ ，即2－ ＝ ＋1，所以 ＋ ＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
谢 谢 观 看！
