6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
1.如图所示,向量,的坐标分别是( )
A.-3,2 B.-3,4
C.2,-2 D.2,2
2.已知数轴上A点坐标为-5,=-7e,则B点坐标是( )
A.-2 B.2
C.12 D.-12
3.已知数轴上两点M,N,且||=4.若xM=-3,则xN=( )
A.1 B.2
C.-7 D.1或-7
4.已知e为直线l上的一个单位向量,向量a与b都是直线l上的向量,且a=3e,b=-2e,则a,b的坐标分别为( )
A.3,-2 B.3,2
C.-3,2 D.-3,-2
5.(多选)已知数轴l上三点A,B,C,若B点坐标为2,=5e,||=3,则AC的中点坐标可能是( )
A.1 B.2
C.-1 D.-2
6.若数轴上A,B两点的坐标分别为-2,x,且的坐标是-8,则x= .
7.在数轴x上,已知=-3e(e为x轴上的单位向量),且点B的坐标为3,则向量的坐标为 .
8.已知a,b是直线l上的两个向量,4a+3b=-a,且向量b的坐标是6,则向量a-b的坐标是 .
9.已知a,b是直线l上的向量,向量a-3(b+a),b-a的坐标分别为-16,2,求|a-3b|的值.
10.已知M,P,N三点在数轴上,且点P的坐标是5,=2e,=8e,则点N的坐标为( )
A.11 B.-11
C.3 D.-3
11.已知数轴上两点A,B,A(1),且A,B的中点坐标为-3,则点B的坐标是 ,||= .
12.已知a,b,c是直线l上的向量,向量4a-3b,3a+c的坐标分别为1,-3,且|a+c|=1,求a,b,c的坐标.
13.已知A,B,C三点在数轴上,且点B的坐标为3,||=5,||=2,则点C的坐标为 .
14.已知数轴上的点A(-2),B(x),C(3).
(1)若点A是线段BC的一个三等分点,求x的值;
(2)求||+||的最小值.
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
1.C 由数轴上向量的坐标的定义可知=2e,=-2e,所以向量,的坐标分别是2,-2.故选C.
2.D ∵xA=-5,=-7e,∴xB-xA=-7,∴xB=-12.
3.D ||=|xN-(-3)|=4,∴xN-(-3)=±4,即xN=1或-7.
4.A 由题意,向量e的坐标为1,因为a=3e,所以a在数轴上对应的坐标为3,又由b=-2e,所以b在数轴上对应的坐标为-2.故选A.
5.AD 由xB=2,=5e,知点A坐标为-3,||=|xC-xB|=|xC-2|=3知xC=5或xC=-1.∴AC的中点坐标为=1或=-2,故选A、D.
6.-10 解析:设点O为坐标原点,则=-,∴x-(-2)=-8,∴x=-10.
7.6 解析:由=-3e,得点A的坐标为-3,则=-=[3-(-3)]e=6e,即的坐标为6.
8.- 解析:因为4a+3b=-a,且向量b的坐标是6,所以a=-b=-e,所以a-b=×e-×6e=-e.所以a-b的坐标为-.
9.解:设a,b的坐标分别是x,y.因为向量a-3(b+a),b-a的坐标分别为-16,2,所以解得所以|a-3b|=10.
10.A 设点M,N的坐标分别为x1,x2,
因为点P的坐标是5,=2e,=8e,所以解得故点N的坐标为11.
11.-7 8 解析:设B(x),线段AB的中点坐标为:=-3,解得x=-7,则点B的坐标是-7,||=|-7-1|=8.
12.解:设a,b,c的坐标分别是x,y,z.
因为向量4a-3b,3a+c的坐标分别为1,-3,且|a+c|=1,
所以解得或
所以a,b,c的坐标分别是-2,-3,3或-1,-,0.
13.-4或0或6或10 解析:由题意,设A,C的坐标分别为xA,xC,则||=|3-xA|=5,∴xA=-2或xA=8,∴||=|xC-xA|=2,解得xC=0或xC=10或xC=-4或xC=6.
14.解:(1)因为点A是线段BC的一个三等分点,所以=3或=.
因为A(-2),B(x),C(3),
所以3-x=3×[3-(-2)]或3-x=×[3-(-2)].所以x=-12或x=-.
(2)因为||+||≥|+|=||=5,当且仅当与同向时取等号,
所以当x∈[-2,3]时,||+||取得最小值5.
2 / 26.2.2 直线上向量的坐标及其运算
新课程标准解读 核心素养
1.了解直线上向量的坐标的概念,会用实数表示直线上向量的坐标 数学抽象、直观想象
2.理解直线上向量的运算与坐标的关系并能进行正确的运算 数学运算、逻辑推理
我们已学过了数轴上点的坐标,如图,已知A(-1),B(2).
【问题】 (1)对应的向量坐标是什么?
(2)对应的向量坐标是什么?
知识点 直线上向量的坐标及其运算
1.直线上向量的坐标
给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e,由共线向量基本定理可知,对于直线l上的任意一个向量a,一定存在唯一的实数x,使得a=xe,此时, 称为向量a的坐标.
2.直线上向量的运算与坐标的关系
如果直线上两个向量a,b的坐标分别为x1,x2.
(1)a=b的充要条件是 ;
(2)a+b的坐标为 ,a-b的坐标为 ,λa的坐标为 ;
(3)设A(x1),B(x2)是数轴上的两点,M(x)是线段AB的中点,则AB= ,x= .
【想一想】
向量a的坐标x能刻画它的模与方向吗?
1.(多选)下列说法正确的是( )
A.数轴上点A对应的数为-3,则向量的坐标为3
B.数轴上点A对应的数为-3,则向量||=3
C.直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等
D.两个向量差的坐标等于这两个向量坐标的差
2.已知直线上向量a的坐标为3,则b=-2a的坐标为( )
A.-2 B.2 C.6 D.-6
3.已知数轴上两点A,B的坐标分别为-2,5,则向量的坐标为 .
题型一 数轴上向量的坐标
【例1】 已知在数轴上点A,B,C的坐标分别为1,7,-3.
(1)求,,的坐标;
(2)若=4,求D点的坐标.
尝试解答
通性通法
数轴上向量的坐标的求法
先求出(或寻找已知)相应点的坐标,再计算向量的坐标(其中向量的坐标为终点坐标减去起点坐标).
【跟踪训练】
1.数轴上零向量的坐标为( )
A.1 B.0e
C.0 D.e
2.已知A,B都是数轴上的点,A(3),B(-a),且的坐标为4,则a=( )
A.-1 B.-7
C.4 D.-4
题型二 数轴上向量的长度
【例2】 已知数轴上四点A,B,C,D的坐标分别是-4,-1,6,10.求向量,,的长度.
尝试解答
通性通法
求数轴上向量长度的方法:先求数轴上向量的坐标,再根据距离公式求长度.
注意 首先利用数轴上点的坐标,计算出两点所对应向量的坐标,特别要注意向量坐标运算公式的顺序.
【跟踪训练】
已知数轴上的点A(-3),B(5),C(x),=-3,则||= .
题型三 直线上的向量坐标运算及其应用
【例3】 已知直线上的向量a与向量b,向量a的坐标为-10,向量a与向量b满足关系2a-3b=4e,求:
(1)向量b的坐标;
(2)a+2b的坐标.
尝试解答
通性通法
1.求向量坐标:终点坐标减去起点坐标.
2.求向量长度:先求向量坐标,然后取绝对值.
【跟踪训练】
直线上向量a,b的坐标分别为-3,5,则向量3a-2b的坐标和模分别是( )
A.-19,19 B.21,21
C.-19,5 D.1,1
1.已知数轴上两点A,B的坐标分别是-4,-1,则||=( )
A.-3 B.3
C.6 D.-6
2.已知A,B都是数轴上的点,A(3),B(-2),则3+4的坐标为( )
A.17 B.1
C.-1 D.-17
3.已知数轴上A,B的坐标分别是12,-8,AB的中点为C,则向量的坐标是( )
A.-10 B.10
C.28 D.-28
4.(多选)已知数轴上的点A,B,C的坐标分别为-1,1,5,则下列结论正确的是( )
A.的坐标是2 B.=-3
C.的坐标是4 D.=2
5.已知直线上向量a,b的坐标分别为-2,2,求a+b的坐标.
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
【基础知识·重落实】
知识点
1.x 2.(1)x1=x2 (2)x1+x2 x1-x2 λx1
3.|x2-x1|
想一想
提示:能.
(1)|a|=|xe|=|x||e|=|x|.
(2)当x>0时,a的方向与e的方向相同;当x=0时,a是零向量;当x<0时,a的方向与e的方向相反.
自我诊断
1.BCD
2.D
3.7 解析:由题意,的坐标为-2,的坐标为5,又因为=-,所以的坐标为5-(-2)=7.
【典型例题·精研析】
【例1】 解:(1)因为点A,B,C的坐标分别为1,7,-3,
所以的坐标为1,的坐标为7,的坐标为-3,
又因为=-,所以的坐标为1-7=-6.
同理,的坐标为-4,的坐标为10.
(2)设D点的坐标为x,则
=[x-(-3)]e=(x+3)e=4e,
解得x=1,即D点的坐标为1.
跟踪训练
1.C 由题意,可得0=0e,所以0的坐标为0.故选C.
2.B 由题意,向量的坐标为终点B的坐标减去起点A的坐标,即-a-3=4,解得a=-7.故选B.
【例2】 解:∵=[(-1)-(-4)]e=(-1+4)e=3e,
∴||=3.
=(-1-6)e=-7e,∴||=7.
=[(-1)-10]e=-11e,||=|-11|=11.
跟踪训练
解析:已知点A(-3),B(5),则||=8,又=-3,所以B,C在A的两侧,且||=,所以||=8+=.
【例3】 解:(1)设直线上的向量b的坐标为x,由题意可得2×(-10)-3x=4,解得x=-8,即向量b的坐标为-8.
(2)a+2b=[-10+2×(-8)]e=-26e,所以a+2b的坐标为-26.
跟踪训练
A 由题可知,向量3a-2b的坐标为3×(-3)-2×5=-19,向量3a-2b的模为|-19|=19.故选A.
随堂检测
1.B 由题意,向量的坐标为-1-(-4)=3,所以||=3.故选B.
2.B 由题意,可得向量的坐标为3,向量的坐标为-2,所以向量3+4的坐标为3×3+4×(-2)=1.故选B.
3.A C点的坐标为xC===2,∴=(2-12)e=-10e.故的坐标为-10.
4.ABD 由题意,根据数轴上向量的坐标表示,可得向量的坐标为1-(-1)=2,所以A正确;向量的坐标为-1-5=-6,-3的坐标为-3×2=-6,所以=-3,所以B正确;向量的坐标为1-5=-4,故C中结论不正确,向量的坐标为5-1=4,向量2的坐标为2×2=4,所以=2,所以D正确.故选A、B、D.
5.解:a+b=e=-1e,故a+b的坐标为-1.
3 / 3(共46张PPT)
6.2.2
直线上向量的坐标及其运算
新课程标准解读 核心素养
1.了解直线上向量的坐标的概念,会用实数表示
直线上向量的坐标 数学抽象、直观
想象
2.理解直线上向量的运算与坐标的关系并能进行
正确的运算 数学运算、逻辑
推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
我们已学过了数轴上点的坐标,如图,已知 A (-1), B (2).
【问题】 (1) 对应的向量坐标是什么?
(2) 对应的向量坐标是什么?
知识点 直线上向量的坐标及其运算
1. 直线上向量的坐标
给定一条直线 l 以及这条直线上一个单位向量 e ,由共线向量基本
定理可知,对于直线 l 上的任意一个向量 a ,一定存在唯一的实数
x ,使得 a = xe ,此时, 称为向量 a 的坐标.
x
2. 直线上向量的运算与坐标的关系
如果直线上两个向量 a , b 的坐标分别为 x1, x2.
(1) a = b 的充要条件是 ;
(2) a + b 的坐标为 , a - b 的坐标为 ,λ a
的坐标为 ;
(3)设 A ( x1), B ( x2)是数轴上的两点, M ( x )是线段 AB
的中点,则 AB = , x = .
x1= x2
x1+ x2
x1- x2
λ x1
| x2- x1|
【想一想】
向量 a 的坐标 x 能刻画它的模与方向吗?
提示:能.
(1)| a |=| xe |=| x || e |=| x |.
(2)当 x >0时, a 的方向与 e 的方向相同;当 x =0时, a 是零向量;
当 x <0时, a 的方向与 e 的方向相反.
1. (多选)下列说法正确的是( )
A. 数轴上点 A 对应的数为-3,则向量 的坐标为3
B. 数轴上点 A 对应的数为-3,则向量| |=3
C. 直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等
D. 两个向量差的坐标等于这两个向量坐标的差
2. 已知直线上向量 a 的坐标为3,则 b =-2 a 的坐标为( )
A. -2 B. 2
C. 6 D. -6
3. 已知数轴上两点 A , B 的坐标分别为-2,5,则向量 的坐标
为 .
解析:由题意, 的坐标为-2, 的坐标为5,又因为 =
- ,所以 的坐标为5-(-2)=7.
7
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 数轴上向量的坐标
【例1】 已知在数轴上点 A , B , C 的坐标分别为1,7,-3.
(1)求 , , 的坐标;
解: 因为点 A , B , C 的坐标分别为1,7,-3,
所以 的坐标为1, 的坐标为7, 的坐标为-3,
又因为 = - ,所以 的坐标为1-7=-6.
同理, 的坐标为-4, 的坐标为10.
(2)若 =4,求 D 点的坐标.
解: 设 D 点的坐标为 x ,则
=[ x -(-3)] e =( x +3) e =4 e ,
解得 x =1,即 D 点的坐标为1.
通性通法
数轴上向量的坐标的求法
先求出(或寻找已知)相应点的坐标,再计算向量的坐标(其中
向量的坐标为终点坐标减去起点坐标).
【跟踪训练】
1. 数轴上零向量的坐标为( )
A. 1 B. 0 e
C. 0 D. e
解析: 由题意,可得0=0 e ,所以0的坐标为0.故选C.
2. 已知 A , B 都是数轴上的点, A (3), B (- a ),且 的坐标
为4,则 a =( )
A. -1 B. -7
C. 4 D. -4
解析: 由题意,向量 的坐标为终点 B 的坐标减去起点 A 的坐
标,即- a -3=4,解得 a =-7.故选B.
题型二 数轴上向量的长度
【例2】 已知数轴上四点 A , B , C , D 的坐标分别是-4,-1,
6,10.求向量 , , 的长度.
解:∵ =[(-1)-(-4)] e =(-1+4) e =3 e ,
∴| |=3. =(-1-6) e =-7 e ,
∴| |=7.
=[(-1)-10] e =-11 e ,| |=|-11|=11.
通性通法
求数轴上向量长度的方法:先求数轴上向量的坐标,再根据距离
公式求长度.
注意 首先利用数轴上点的坐标,计算出两点所对应向量的坐标,特
别要注意向量坐标运算公式的顺序.
【跟踪训练】
已知数轴上的点 A (-3), B (5), C ( x ), =-3 ,
则| |= .
解析:已知点 A (-3), B (5),则| |=8,又 =-3
,所以 B , C 在 A 的两侧,且| |= ,所以| |=8+ =
.
题型三 直线上的向量坐标运算及其应用
【例3】 已知直线上的向量 a 与向量 b ,向量 a 的坐标为-10,向量
a 与向量 b 满足关系2 a -3 b =4 e ,求:
(1)向量 b 的坐标;
解: 设直线上的向量 b 的坐标为 x ,由题意可得2×(-
10)-3 x =4,解得 x =-8,即向量 b 的坐标为-8.
(2) a +2 b 的坐标.
解: a +2 b =[-10+2×(-8)] e =-26 e ,所以 a +2 b
的坐标为-26.
通性通法
1. 求向量坐标:终点坐标减去起点坐标.
2. 求向量长度:先求向量坐标,然后取绝对值.
【跟踪训练】
直线上向量 a , b 的坐标分别为-3,5,则向量3 a -2 b 的坐标和模
分别是( )
A. -19,19 B. 21,21
C. -19,5 D. 1,1
解析: 由题可知,向量3 a -2 b 的坐标为3×(-3)-2×5=-
19,向量3 a -2 b 的模为|-19|=19.故选A.
1. 已知数轴上两点 A , B 的坐标分别是-4,-1,则| |=
( )
A. -3 B. 3
C. 6 D. -6
解析: 由题意,向量 的坐标为-1-(-4)=3,所以|
|=3.故选B.
2. 已知 A , B 都是数轴上的点, A (3), B (-2),则3 +4
的坐标为( )
A. 17 B. 1
C. -1 D. -17
解析: 由题意,可得向量 的坐标为3,向量 的坐标为-
2,所以向量3 +4 的坐标为3×3+4×(-2)=1.故选B.
3. 已知数轴上 A , B 的坐标分别是12,-8, AB 的中点为 C ,则向量
的坐标是( )
A. -10 B. 10
C. 28 D. -28
解析: C 点的坐标为 xC = = =2,∴ =(2
-12) e =-10 e .故 的坐标为-10.
4. (多选)已知数轴上的点 A , B , C 的坐标分别为-1,1,5,则
下列结论正确的是( )
A. 的坐标是2 B. =-3
C. 的坐标是4 D. =2
解析: 由题意,根据数轴上向量的坐标表示,可得向量
的坐标为1-(-1)=2,所以A正确;向量 的坐标为-1-5=
-6,-3 的坐标为-3×2=-6,所以 =-3 ,所以B正
确;向量 的坐标为1-5=-4,故C中结论不正确,向量 的
坐标为5-1=4,向量2 的坐标为2×2=4,所以 =2 ,所
以D正确.故选A、B、D.
5. 已知直线上向量 a , b 的坐标分别为-2,2,求 a + b 的坐标.
解: a + b = e =-1 e ,故 a + b 的坐标为-1.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如图所示,向量 , 的坐标分别是( )
A. -3,2 B. -3,4
C. 2,-2 D. 2,2
解析: 由数轴上向量的坐标的定义可知 =2 e , =-2
e ,所以向量 , 的坐标分别是2,-2.故选C.
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2. 已知数轴上 A 点坐标为-5, =-7 e ,则 B 点坐标是( )
A. -2 B. 2
C. 12 D. -12
解析: ∵ xA =-5, =-7 e ,∴ xB - xA =-7,∴ xB =-
12.
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3. 已知数轴上两点 M , N ,且| |=4.若 xM =-3,则 xN =
( )
A. 1 B. 2
C. -7 D. 1或-7
解析: | |=| xN -(-3)|=4,∴ xN -(-3)=
±4,即 xN =1或-7.
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4. 已知 e 为直线 l 上的一个单位向量,向量 a 与 b 都是直线 l 上的向
量,且 a =3 e , b =-2 e ,则 a , b 的坐标分别为( )
A. 3,-2 B. 3,2
C. -3,2 D. -3,-2
解析: 由题意,向量 e 的坐标为1,因为 a =3 e ,所以 a 在数轴
上对应的坐标为3,又由 b =-2 e ,所以 b 在数轴上对应的坐标为
-2.故选A.
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5. (多选)已知数轴 l 上三点 A , B , C ,若 B 点坐标为2, =5
e ,| |=3,则 AC 的中点坐标可能是( )
A. 1 B. 2
C. -1 D. -2
解析: 由 xB =2, =5 e ,知点 A 坐标为-3,| |=|
xC - xB |=| xC -2|=3知 xC =5或 xC =-1.∴ AC 的中点坐标为
=1或 =-2,故选A、D.
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6. 若数轴上 A , B 两点的坐标分别为-2, x ,且 的坐标是-8,则
x = .
解析:设点 O 为坐标原点,则 = - ,∴ x -(-2)=-
8,∴ x =-10.
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7. 在数轴 x 上,已知 =-3 e ( e 为 x 轴上的单位向量),且点 B 的
坐标为3,则向量 的坐标为 .
解析:由 =-3 e ,得点 A 的坐标为-3,则 = - =[3
-(-3)] e =6 e ,即 的坐标为6.
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8. 已知 a , b 是直线 l 上的两个向量,4 a +3 b =- a ,且向量 b 的坐标
是6,则向量 a - b 的坐标是 - .
解析:因为4 a +3 b =- a ,且向量 b 的坐标是6,所以 a =- b =
- e ,所以 a - b = × e - ×6 e =- e .所以 a - b
的坐标为- .
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9. 已知 a , b 是直线 l 上的向量,向量 a -3( b + a ), b - a 的坐标
分别为-16,2,求| a -3 b |的值.
解:设 a , b 的坐标分别是 x , y .因为向量 a -3( b + a ), b - a
的坐标分别为-16,2,所以解得所
以| a -3 b |=10.
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10. 已知 M , P , N 三点在数轴上,且点 P 的坐标是5, =2 e ,
=8 e ,则点 N 的坐标为( )
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C. 3 D. -3
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解析: 设点 M , N 的坐标分别为 x1, x2,
因为点 P 的坐标是5, =2 e , =8 e ,所以
解得故点 N 的坐标为11.
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11. 已知数轴上两点 A , B , A (1),且 A , B 的中点坐标为-3,则
点 B 的坐标是 ,| |= .
解析:设 B ( x ),线段 AB 的中点坐标为: =-3,解得 x =
-7,则点 B 的坐标是-7,| |=|-7-1|=8.
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12. 已知 a , b , c 是直线 l 上的向量,向量4 a -3 b ,3 a + c 的坐标分
别为1,-3,且| a + c |=1,求 a , b , c 的坐标.
解:设 a , b , c 的坐标分别是 x , y , z .
因为向量4 a -3 b ,3 a + c 的坐标分别为1,-3,且| a +
c |=1,所以解得或
所以 a , b , c 的坐标分别是-2,-3,3或-1,- ,0.
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13. 已知 A , B , C 三点在数轴上,且点 B 的坐标为3,| |=
5,| |=2,则点 C 的坐标为 .
解析:由题意,设 A , C 的坐标分别为 xA , xC ,则| |=|3
- xA |=5,∴ xA =-2或 xA =8,∴| |=| xC - xA |=2,
解得 xC =0或 xC =10或 xC =-4或 xC =6.
-4或0或6或10
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14. 已知数轴上的点 A (-2), B ( x ), C (3).
(1)若点 A 是线段 BC 的一个三等分点,求 x 的值;
解: 因为点 A 是线段 BC 的一个三等分点,所以 =3
或 = .
因为 A (-2), B ( x ), C (3),
所以3- x =3×[3-(-2)]或3- x = ×[3-(-2)].
所以 x =-12或 x =- .
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(2)求| |+| |的最小值.
解:因为| |+| |≥| + |=| |=
5,当且仅当 与 同向时取等号,
所以当 x ∈[-2,3]时,| |+| |取得最小值5.
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