6.2.3 平面向量的坐标及其运算(课件 学案 练习)高中数学人教B版(2019)必修 第二册

文档属性

名称 6.2.3 平面向量的坐标及其运算(课件 学案 练习)高中数学人教B版(2019)必修 第二册
格式 zip
文件大小 2.4MB
资源类型 教案
版本资源 人教B版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-05 20:32:39

文档简介

6.2.3 平面向量的坐标及其运算
1.已知向量a=(2,5),3a-4b=(-6,7),则向量b=(  )
A.(3,-2)     B.(3,2)
C.(-3,2) D.(-3,-2)
2.若平面向量a与b同向,a=(2,1),|b|=2,则b=(  )
A.(4,2) B.(2,4)
C.(6,3) D.(4,2)或(2,4)
3.已知向量=(7,6),=(-3,m),=(-1,2m),若A,C,D三点共线,则m=(  )
A. B.
C.- D.-
4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c等于(  )
A.(1,-1) B.(-1,1)
C.(-4,6) D.(4,-6)
5.(多选)已知两点A(2,-1),B(3,1),则与平行,且方向相反的向量a可能是(  )
A.a=(-1,-2) B.a=(9,3)
C.a=(-1,2) D.a=(-4,-8)
6.若a=(1,1),b=(-1,2),则与a+b同方向的单位向量是    .
7.在△ABC中,已知A(0,8),B(2,0),C(4,-2),M,N分别是AB,AC的中点,则的坐标是    .
8.已知向量a=(1,-1),b=(0,2),c=(λ,2),若∥c,则λ=    .
9.在平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).
(1)求满足a=mb+nc的实数m,n的值;
(2)若向量d满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=,求向量d的坐标.
10.已知向量a=(2,x2),b=(-1,y2-2),若a,b共线,则y的取值范围是(  )
A.[-1,1] B.[-,]
C.[0,] D.[,+∞)
11.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m).若点A,B,C能构成三角形,则实数m应满足的条件为    .
12.在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),
(1)若++=0,求的坐标;
(2)若=m+n(m,n∈R),且点P在函数y=x+1的图象上,求m-n.
13.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为(  )
A.(2,0) B.(0,-2)
C.(-2,0) D.(0,2)
14.已知向量u=(x,y)和v=(y,2y-x)的对应关系可用v=f(u)表示.
(1)若a=(1,1),b=(1,0),试求向量f(a)及f(b)的坐标;
(2)求使f(c)=(4,5)的向量c的坐标;
(3)对于任意向量a,b及常数λ,μ,证明:f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)恒成立.
6.2.3 平面向量的坐标及其运算
1.B 因为a=(2,5),3a-4b=(-6,7),所以b==(12,8)=(3,2).故选B.
2.A 因为a,b同向,所以设b=λa(λ>0),则|b|=λ·=λ=2 λ=2,于是b=(4,2).故选A.
3.D =+=(4,m+6),因为A,C,D三点共线,所以与共线,所以4×2m=-(m+6),解得m=-.故选D.
4.D 因为4a,3b-2a,c对应有向线段首尾相接,所以4a+3b-2a+c=0,故有c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).
5.AD 由题意可得=(3,1)-(2,-1)=(1,2).A选项,a=(-1,-2)=-,故满足题意;D选项,a=(-4,-8)=-4,故满足题意;B、C选项中的a不与平行.故选A、D.
6.(0,1) 解析:因为a=(1,1),b=(-1,2),所以a+b=(0,3),所以与a+b同方向的单位向量是(0,1).
7.(1,-1) 解析:设M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1==1,y1==4,x2==2,y2==3,即M(1,4),N(2,3),∴=(2,3)-(1,4)=(1,-1).
8.2 解析:由题意,a+b=(1,1),因为∥c,所以1×2-λ×1=0 λ=2.
9.解:(1)由已知条件以及a=mb+nc,可得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).
∴解得m=,n=.
(2)设向量d=(x,y),d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4).
∵(d-c)∥(a+b),|d-c|=,
∴解得或
∴向量d的坐标为(3,-1)或(5,3).
10.B ∵a=(2,x2),b=(-1,y2-2),且a,b共线,∴2(y2-2)-(-1)x2=0,∴x2=4-2y2≥0,整理得y2≤2,解得-≤y≤.∴y的取值范围是[-,].
11.m≠ 解析:若点A,B,C能构成三角形,则这三点不共线,即与不共线.∵=-=(3,1),=-=(2-m,1-m),∴3(1-m)≠2-m,即m≠.
12.解:(1)设点P的坐标为(x,y),
因为++=0,
又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y).
所以解得
所以点P的坐标为(2,2),
故=(2,2).
(2)设点P的坐标为(x0,y0),
因为A(1,1),B(2,3),C(3,2),
所以=(2,3)-(1,1)=(1,2),
=(3,2)-(1,1)=(2,1),
因为=m+n,
所以(x0,y0)=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),所以
两式相减得m-n=y0-x0,
又因为点P在函数y=x+1的图象上,
所以y0-x0=1,
所以m-n=1.
13.D ∵a在基底p,q下的坐标为(-2,2),∴a=-2p+2q=-2(1,-1)+2(2,1)=(2,4).令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),∴解得
∴a在基底m,n下的坐标为(0,2).
14.解:(1)由题意知,当a=(1,1)时,f(a)=(1,2×1-1)=(1,1).
当b=(1,0)时,f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).
(2)设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(4,5),
则解得∴c=(3,4).
(3)证明:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),
则λa+μb=(λx1+μx2,λy1+μy2),
∴f(λa+μb)=(λy1+μy2,2(λy1+μy2)-(λx1+μx2)).
又∵f(a)=(y1,2y1-x1),f(b)=(y2,2y2-x2),
∴λf(a)+μf(b)=λ(y1,2y1-x1)+μ(y2,2y2-x2)=(λy1+μy2,2(λy1+μy2)-(λx1+μx2))=f(λa+μb).
∴f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)恒成立.
2 / 26.2.3 平面向量的坐标及其运算
新课程标准解读 核心素养
1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 数学抽象、数据分析
2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算 数学运算
3.会用坐标表示平面向量共线的条件,能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题 数学运算、逻辑推理
通过上节课的学习我们知道,以单位向量e为基底建立数轴,则数轴上的向量坐标等于它的终点坐标.
【问题】 (1)类比数轴,平面直角坐标系的基底应满足什么条件?
(2)在直角坐标系中(如图),向量应怎样用基底表示?
(3)若点A的坐标为(x,y),则向量的坐标与(x,y)有什么关系?
                       
                       
                       
知识点 平面向量的坐标及其运算
1.平面向量的坐标
(1)向量的垂直:平面上的两个非零向量a与b,如果它们所在的直线互相垂直,则称向量a与b垂直,记作    .规定零向量与任意向量都垂直;
(2)向量的正交分解:如果平面向量的基底{e1,e2}中,    ,则称这组基底为正交基底,在    下向量的分解称为向量的正交分解;
(3)向量的坐标:给定平面内两个相互垂直的      e1,e2,对于平面内的向量a,如果a=xe1+ye2,则称    为向量a的坐标,记作a=    .
2.平面上向量的运算与坐标的关系
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
(1)a+b=      ;
(2)a-b=      ;
(3)ua+vb=        ;
(4)ua-vb=        .
3.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
(1)若a=(x,y),则|a|=      ;
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则=        ;线段AB的中点坐标为       ;||=       .
4.向量平行的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b       .
提醒 (1)正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直时);(2)以坐标原点O为始点的向量坐标就是该向量的终点坐标,如果向量不是以坐标原点为始点,则向量坐标就跟终点坐标不同,而对同一向量或相等向量(向量坐标相同),若选择不同的始点坐标,则终点坐标也不同;(3)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),当证明a∥b时,可利用x2y1=x1y2进行证明,此种方法没有a≠0的条件限制,便于应用;也可用=进行证明,即两向量的对应坐标成比例,特别注意x1,y1≠0的条件限制.
1.已知向量a=(1,-4),b=(2,3),则3a-2b的坐标为(  )
A.(1,-18)    B.(-1,-6)
C.(-1,-2) D.(-1,-18)
2.设向量a=(1,x),b=(x,9),若a∥b,则x=(  )
A.-3  B.0  C.3  D.3或-3
3.已知点A(-3,-2),B(5,6),则线段AB的中点坐标为    .
题型一 平面向量的坐标表示
【例1】 已知O是坐标原点,点A在第一象限,||=4,∠xOA=60°.
(1)求向量的坐标;
(2)若B(,-1),求的坐标.
尝试解答
通性通法
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点为起点,所求点为终点的向量的坐标;
(2)在求一个向量时,可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.
【跟踪训练】
 已知=(-2,4),则下列说法正确的是(  )
A.A点的坐标是(-2,4)1 B.B点的坐标是(-2,4)
C.当B是原点时,A点的坐标是(-2,4) D.当A是原点时,B点的坐标是(-2,4)
题型二 平面向量的坐标运算
【例2】 (1)已知向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求a+b,a-b,3a,2a+3b的坐标;
(2)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=3,=2,求M,N及的坐标.
尝试解答
通性通法
1.平面向量坐标运算的方法
(1)若已知向量的坐标,则直接利用向量和、差及数乘向量运算的坐标运算法则求解;
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,再利用向量的坐标运算法则求解.
2.坐标形式下向量相等的条件及其应用
(1)条件:相等向量的对应坐标相等;对应坐标相等的向量是相等向量;
(2)应用:利用坐标形式下向量相等的条件,可以建立相等关系,由此可求某些参数的值.
【跟踪训练】
1.已知在平行四边形ABCD中,=(2,6),=(-4,4),对角线AC与BD相交于点M,=(  )
A.(-2,-5)    B.(-1,-5)
C.(2,-5) D.(-1,5)
2.已知向量a=(-3,4),=2a,点A的坐标为(3,-4),则点B的坐标为    .
题型三 向量坐标运算中的参数求解
【例3】 (1)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10).若=+λ(λ∈R),试求λ为何值时,
①点P在一、三象限角平分线上?
②点P在第三象限内?
(2)已知向量a=(1,2),b=(λ,1),若(a+2b)∥(2a-2b),求λ的值.
尝试解答
通性通法
1.利用向量共线的条件处理求值问题的思路
(1)利用共线向量定理a=λb(b≠0)列方程组求解;
(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.
2.三点共线问题的处理方法
三点共线问题的实质是向量共线问题,只要利用三点构造出两个向量,再使用向量共线的条件解决即可.
【跟踪训练】
1.已知=(-1,3),=(2,-2),=(a+1,2a),若B,C,D三点共线,则实数a的值为(  )
A.-2 B.
C.- D.-
2.已知向量a=(1,k),b=(k+1,2),若a与b共线,则实数k=    .
1.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b=(  )
A.(7,3) B.(7,7)
C.(1,7) D.(1,3)
2.若向量=(1,2),=(3,4),则=(   )
A.(4,6) B.(-4,-6)
C.(-2,-2) D.(2,2)
3.已知点A(1,1),B(4,2)和向量a=(2,λ),若a∥,则实数λ的值为(  )
A.- B.
C. D.-
4.(多选)在下列各组向量中,不能作为基底的是(  )
A.e1=(0,0),e2=(1,-2)
B.e1=(-1,2),e2=(5,7)
C.e1=(3,5),e2=(6,10)
D.e1=(2,-3),e2=(3,2)
5.已知a=(-3,0),b=(3,4),则|2a+b|=    .
6.2.3 平面向量的坐标及其运算
【基础知识·重落实】
知识点
1.(1)a⊥b (2)e1⊥e2 正交基底 (3)单位向量 (x,y)
(x,y) 2.(1)(x1+x2,y1+y2) (2)(x1-x2,y1-y2) (3)(ux1+vx2,uy1+vy2) (4)(ux1-vx2,uy1-vy2)
3.(1) (2)(x2-x1,y2-y1)   4.x2y1=x1y2
自我诊断
1.D 由已知可得3a-2b=3(1,-4)-2(2,3)=(-1,-18).故选D.
2.D 由题设,有x2-9=0,可得x=±3.故选D.
3.(1,2) 解析:因为A(-3,-2),B(5,6),所以线段AB的中点坐标为(1,2).
【典型例题·精研析】
【例1】 解:(1)设点A(x,y),则x=4cos 60°=2,
y=4sin 60°=6,即A(2,6),=(2,6).
(2)=(2,6)-(,-1)=(,7).
跟踪训练
 D 由题意,向量=(-2,4)与终点、始点的坐标差有关,所以A点的坐标不一定是(-2,4),故A错误;同理B点的坐标不一定是(-2,4),故B错误;当B是原点时,A点的坐标是(2,-4),故C错误;当A是原点时,B点的坐标是(-2,4),故D正确.
【例2】 解:(1)a+b=(-1,2)+(3,-5)=(2,-3),
a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-4,7),
3a=3(-1,2)=(-3,6),
2a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)
=(-2,4)+(9,-15)=(7,-11).
(2)法一 由A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),
可得=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8),
=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3),
所以=3=3(1,8)=(3,24),
=2=2(6,3)=(12,6).
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则=(x1+3,y1+4)=(3,24),x1=0,y1=20;
=(x2+3,y2+4)=(12,6),x2=9,y2=2,
所以M(0,20),N(9,2),
=(9,2)-(0,20)=(9,-18).
法二 设点O为坐标原点,
则由=3,=2,
可得-=3(-),
-=2(-),
从而=3-2,
=2-,
所以=3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20),
=2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2),
即点M(0,20),N(9,2),
故=(9,2)-(0,20)=(9,-18).
跟踪训练
1.D 由题设,=(+)=(-1,5).故选D.
2.(-3,4) 解析:设点B(x,y),因为=2a,则(x-3,y+4)=(-6,8),解得x=-3,y=4.故点B(-3,4).
【例3】 解:(1)设点P的坐标为(x,y),
则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),
+λ=[(5,4)-(2,3)]+λ[(7,10)-(2,3)]
=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).
∵=+λ,∴则
①若P在一、三象限角平分线上,
则5+5λ=4+7λ,∴λ=,
即λ=时,点P在一、三象限角平分线上.
②若点P在第三象限内,则∴λ<-1.
即λ<-1时,点P在第三象限内.
(2)a+2b=(1,2)+2(λ,1)=(1+2λ,4),2a-2b=2(1,2)-2(λ,1)=(2-2λ,2),
由(a+2b)∥(2a-2b),可得2(1+2λ)-4(2-2λ)=0,
解得λ=.
跟踪训练
1.D 根据题意,已知=(-1,3),=(2,-2),则=-=(3,-5),若B,C,D三点共线,则∥,则有3×2a=(-5)×(a+1),解得a=-,故选D.
2.1或-2 解析:因为a与b共线,k(k+1)-2=0,解得k=1或k=-2.
随堂检测
1.A ∵2b=2(-2,1)=(-4,2),
∴a-2b=(3,5)-(-4,2)=(7,3).
2.A =+=(1,2)+(3,4)=(4,6).
3.C 根据A,B两点的坐标,可得=(3,1),∵a∥,∴2×1-3λ=0,解得λ=,故选C.
4.AC 对A,e1∥e2,不能作为基底;对B,-1×7-2×5≠0,e1与e2不平行,可以作为基底;对C,e2=2e1,e1∥e2,不能作为基底;对D,2×2+3×3≠0,e1与e2不平行,可以作为基底.故选A、C.
5.5 解析:2a+b=(-3,4),则|2a+b|==5.
4 / 4(共59张PPT)
6.2.3 
平面向量的坐标及其运算
新课程标准解读 核心素养
1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 数学抽象、
数据分析
2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量
运算 数学运算
3.会用坐标表示平面向量共线的条件,能用向
量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行
及点共线等问题 数学运算、
逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
  通过上节课的学习我们知道,以单位向量 e 为基底建立数轴,则
数轴上的向量坐标等于它的终点坐标.
【问题】 (1)类比数轴,平面直角坐标系的基底应满足什么条
件?
(2)在直角坐标系中(如图),向量 应怎样用基底表示?
(3)若点 A 的坐标为( x , y ),则向量 的坐标与( x , y )有什
么关系?
                       
                 
      
知识点 平面向量的坐标及其运算
1. 平面向量的坐标
(1)向量的垂直:平面上的两个非零向量 a 与 b ,如果它们所在的
直线互相垂直,则称向量 a 与 b 垂直,记作 .规定零
向量与任意向量都垂直;
(2)向量的正交分解:如果平面向量的基底{ e1, e2}中,
,则称这组基底为正交基底,在 下向量的
分解称为向量的正交分解;
a ⊥ b  
e1⊥
e2 
正交基底 
(3)向量的坐标:给定平面内两个相互垂直的 e1,
e2,对于平面内的向量 a ,如果 a = xe1+ ye2,则称
为向量 a 的坐标,记作 a = .
单位向量 
( x ,
y ) 
( x , y ) 
2. 平面上向量的运算与坐标的关系
若 a =( x1, y1), b =( x2, y2),则
(1) a + b = ;
(2) a - b = ;
(3) ua + vb = ;
(4) ua - vb = .
( x1+ x2, y1+ y2) 
( x1- x2, y1- y2) 
( ux1+ vx2, uy1+ vy2) 
( ux1- vx2, uy1- vy2) 
3. 平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
(1)若 a =( x , y ),则| a |= ;
(2)若 A ( x1, y1), B ( x2, y2),则 =
;线段 AB 的中点坐标为 ;|
|= .
4. 向量平行的坐标表示
设向量 a =( x1, y1), b =( x2, y2),则 a ∥ b
.
 
( x2- x1, y2-
y1) 
 
 
x2 y1= x1
y2 
提醒 (1)正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直
时);(2)以坐标原点 O 为始点的向量坐标就是该向量的终点坐
标,如果向量不是以坐标原点为始点,则向量坐标就跟终点坐标不
同,而对同一向量或相等向量(向量坐标相同),若选择不同的始点
坐标,则终点坐标也不同;(3)设 a =( x1, y1), b =( x2,
y2),当证明 a ∥ b 时,可利用 x2 y1= x1 y2进行证明,此种方法没有 a
≠0的条件限制,便于应用;也可用 = 进行证明,即两向量的对
应坐标成比例,特别注意 x1, y1≠0的条件限制.
1. 已知向量 a =(1,-4), b =(2,3),则3 a -2 b 的坐标为
(  )
A. (1,-18) B. (-1,-6)
C. (-1,-2) D. (-1,-18)
解析:  由已知可得3 a -2 b =3(1,-4)-2(2,3)=(-
1,-18).故选D.
2. 设向量 a =(1, x ), b =( x ,9),若 a ∥ b ,则 x =(  )
A. -3 B. 0
C. 3 D. 3或-3
解析:  由题设,有 x2-9=0,可得 x =±3.故选D.
3. 已知点 A (-3,-2), B (5,6),则线段 AB 的中点坐标
为 .
解析:因为 A (-3,-2), B (5,6),所以线段 AB 的中点坐
标为(1,2).
(1,2) 
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平面向量的坐标表示
【例1】 已知 O 是坐标原点,点 A 在第一象限,| |=4 ,∠
xOA =60°.
(1)求向量 的坐标;
解: 设点 A ( x , y ),则 x =4 cos 60°=2 ,
y =4 sin 60°=6,即 A (2 ,6), =(2 ,6).
(2)若 B ( ,-1),求 的坐标.
解: =(2 ,6)-( ,-1)=( ,7).
通性通法
求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点为起点,
所求点为终点的向量的坐标;
(2)在求一个向量时,可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐
标,再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.
【跟踪训练】
 已知 =(-2,4),则下列说法正确的是(  )
A. A 点的坐标是(-2,4)
B. B 点的坐标是(-2,4)
C. 当 B 是原点时, A 点的坐标是(-2,4)
D. 当 A 是原点时, B 点的坐标是(-2,4)
解析:  由题意,向量 =(-2,4)与终点、始点的坐标差有
关,所以 A 点的坐标不一定是(-2,4),故A错误;同理 B 点的坐
标不一定是(-2,4),故B错误;当 B 是原点时, A 点的坐标是
(2,-4),故C错误;当 A 是原点时, B 点的坐标是(-2,4),
故D正确.
题型二 平面向量的坐标运算
【例2】 (1)已知向量 a , b 的坐标分别是(-1,2),(3,-
5),求 a + b , a - b ,3 a ,2 a +3 b 的坐标;
解: a + b =(-1,2)+(3,-5)=(2,-3),
a - b =(-1,2)-(3,-5)=(-4,7),
3 a =3(-1,2)=(-3,6),
2 a +3 b =2(-1,2)+3(3,-5)
=(-2,4)+(9,-15)=(7,-11).
(2)已知 A (-2,4), B (3,-1), C (-3,-4),且 =
3 , =2 ,求 M , N 及 的坐标.
解:法一 由 A (-2,4), B (3,-1), C (-3,-4),
可得 =(-2,4)-(-3,-4)=(1,8),
=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3),
所以 =3 =3(1,8)=(3,24),
=2 =2(6,3)=(12,6).
设 M ( x1, y1), N ( x2, y2),
则 =( x1+3, y1+4)=(3,24), x1=0, y1=20;
=( x2+3, y2+4)=(12,6), x2=9, y2=2,
所以 M (0,20), N (9,2),
=(9,2)-(0,20)=(9,-18).
法二 设点 O 为坐标原点,
则由 =3 , =2 ,
可得 - =3( - ),
- =2( - ),
从而 =3 -2 , =2 - ,
所以 =3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20),
=2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2),
即点 M (0,20), N (9,2),
故 =(9,2)-(0,20)=(9,-18).
通性通法
1. 平面向量坐标运算的方法
(1)若已知向量的坐标,则直接利用向量和、差及数乘向量运算
的坐标运算法则求解;
(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,再
利用向量的坐标运算法则求解.
2. 坐标形式下向量相等的条件及其应用
(1)条件:相等向量的对应坐标相等;对应坐标相等的向量是相
等向量;
(2)应用:利用坐标形式下向量相等的条件,可以建立相等关
系,由此可求某些参数的值.
【跟踪训练】
1. 已知在平行四边形 ABCD 中, =(2,6), =(-4,4),
对角线 AC 与 BD 相交于点 M , =(  )
A. (-2,-5) B. (-1,-5)
C. (2,-5) D. (-1,5)
解析:  由题设, = ( + )=(-1,5).故选D.
2. 已知向量 a =(-3,4), =2 a ,点 A 的坐标为(3,-4),
则点 B 的坐标为 .
解析:设点 B ( x , y ),因为 =2 a ,则( x -3, y +4)=
(-6,8),解得 x =-3, y =4.故点 B (-3,4).
(-3,4) 
题型三 向量坐标运算中的参数求解
【例3】 (1)已知点 A (2,3), B (5,4), C (7,10).若
= +λ (λ∈R),试求λ为何值时,
①点 P 在一、三象限角平分线上?
②点 P 在第三象限内?
解: 设点 P 的坐标为( x , y ),
则 =( x , y )-(2,3)=( x -2, y -3),
+λ =[(5,4)-(2,3)]+λ[(7,10)-(2,3)]
=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ).
∵ = +λ ,∴则
①若 P 在一、三象限角平分线上,
则5+5λ=4+7λ,∴λ= ,
即λ= 时,点 P 在一、三象限角平分线上.
②若点 P 在第三象限内,则∴λ<-1.
即λ<-1时,点 P 在第三象限内.
(2)已知向量 a =(1,2), b =(λ,1),若( a +2 b )∥(2 a
-2 b ),求λ的值.
解: a +2 b =(1,2)+2(λ,1)=(1+2λ,4),2
a -2 b =2(1,2)-2(λ,1)=(2-2λ,2),
由( a +2 b )∥(2 a -2 b ),可得2(1+2λ)-4(2-2λ)
=0,解得λ= .
通性通法
1. 利用向量共线的条件处理求值问题的思路
(1)利用共线向量定理 a =λ b ( b ≠0)列方程组求解;
(2)利用向量平行的坐标表达式 x1 y2- x2 y1=0直接求解.
2. 三点共线问题的处理方法
三点共线问题的实质是向量共线问题,只要利用三点构造出两个向
量,再使用向量共线的条件解决即可.
【跟踪训练】
1. 已知 =(-1,3), =(2,-2), =( a +1,2
a ),若 B , C , D 三点共线,则实数 a 的值为(  )
A. -2 B. C. - D. -
解析:  根据题意,已知 =(-1,3), =(2,-2),
则 = - =(3,-5),若 B , C , D 三点共线,则 ∥
,则有3×2 a =(-5)×( a +1),解得 a =- ,故选D.
2. 已知向量 a =(1, k ), b =( k +1,2),若 a 与 b 共线,则实数
k = .
解析:因为 a 与 b 共线, k ( k +1)-2=0,解得 k =1或 k =-2.
1或-2 
1. 设平面向量 a =(3,5), b =(-2,1),则 a -2 b =(  )
A. (7,3) B. (7,7)
C. (1,7) D. (1,3)
解析:  ∵2 b =2(-2,1)=(-4,2),∴ a -2 b =(3,
5)-(-4,2)=(7,3).
2. 若向量 =(1,2), =(3,4),则 =(   )
A. (4,6) B. (-4,-6)
C. (-2,-2) D. (2,2)
解析:   = + =(1,2)+(3,4)=(4,6).
3. 已知点 A (1,1), B (4,2)和向量 a =(2,λ),若 a ∥
,则实数λ的值为(  )
A. - B.
C. D. -
解析:  根据 A , B 两点的坐标,可得 =(3,1),∵ a ∥
,∴2×1-3λ=0,解得λ= ,故选C.
4. (多选)在下列各组向量中,不能作为基底的是(  )
A. e1=(0,0), e2=(1,-2)
B. e1=(-1,2), e2=(5,7)
C. e1=(3,5), e2=(6,10)
D. e1=(2,-3), e2=(3,2)
解析:  对A, e1∥ e2,不能作为基底;对B,-1×7-
2×5≠0, e1与 e2不平行,可以作为基底;对C, e2=2 e1, e1∥
e2,不能作为基底;对D,2×2+3×3≠0, e1与 e2不平行,可以作
为基底.故选A、C.
5. 已知 a =(-3,0), b =(3,4),则|2 a + b |= .
解析:2 a + b =(-3,4),则|2 a + b |= =5.
5 
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知向量 a =(2,5),3 a -4 b =(-6,7),则向量 b =
(  )
A. (3,-2) B. (3,2)
C. (-3,2) D. (-3,-2)
解析:  因为 a =(2,5),3 a -4 b =(-6,7),所以 b =
= (12,8)=(3,2).故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. 若平面向量 a 与 b 同向, a =(2,1),| b |=2 ,则 b =
(  )
A. (4,2) B. (2,4)
C. (6,3) D. (4,2)或(2,4)
解析:  因为 a , b 同向,所以设 b =λ a (λ>0),则| b |=
λ· = λ=2 λ=2,于是 b =(4,2).故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3. 已知向量 =(7,6), =(-3, m ), =(-1,2
m ),若 A , C , D 三点共线,则 m =(  )
A. B.
C. - D. -
解析:   = + =(4, m +6),因为 A , C , D 三点
共线,所以 与 共线,所以4×2 m =-( m +6),解得 m =
- .故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4. 设向量 a =(1,-3), b =(-2,4),若表示向量4 a ,3 b -2
a , c 的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量 c 等于(   )
A. (1,-1) B. (-1,1)
C. (-4,6) D. (4,-6)
解析:  因为4 a ,3 b -2 a , c 对应有向线段首尾相接,所以4 a
+3 b -2 a + c =0,故有 c =-2 a -3 b =-2(1,-3)-3(-
2,4)=(4,-6).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5. (多选)已知两点 A (2,-1), B (3,1),则与 平行,且
方向相反的向量 a 可能是(  )
A. a =(-1,-2) B. a =(9,3)
C. a =(-1,2) D. a =(-4,-8)
解析:  由题意可得 =(3,1)-(2,-1)=(1,
2).A选项, a =(-1,-2)=- ,故满足题意;D选项, a
=(-4,-8)=-4 ,故满足题意;B、C选项中的 a 不与
平行.故选A、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6. 若 a =(1,1), b =(-1,2),则与 a + b 同方向的单位向量
是 .
解析:因为 a =(1,1), b =(-1,2),所以 a + b =(0,
3),所以与 a + b 同方向的单位向量是(0,1).
(0,1) 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
7. 在△ ABC 中,已知 A (0,8), B (2,0), C (4,-2), M ,
N 分别是 AB , AC 的中点,则 的坐标是 .
解析:设 M , N 的坐标分别为( x1, y1),( x2, y2),则 x1=
=1, y1= =4, x2= =2, y2= =3,即 M (1,4), N
(2,3),∴ =(2,3)-(1,4)=(1,-1).
(1,-1) 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
8. 已知向量 a =(1,-1), b =(0,2), c =(λ,2),若
∥ c ,则λ= .
解析:由题意, a + b =(1,1),因为 ∥ c ,所以1×2-
λ×1=0 λ=2.
2 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
9. 在平面内给定三个向量 a =(3,2), b =(-1,2), c =(4,
1).
(1)求满足 a = mb + nc 的实数 m , n 的值;
解: 由已知条件以及 a = mb + nc ,可得(3,2)= m
(-1,2)+ n (4,1)=(- m +4 n ,2 m + n ).
∴解得 m = , n = .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(2)若向量 d 满足( d - c )∥( a + b ),且| d - c |= ,
求向量 d 的坐标.
解: 设向量 d =( x , y ), d - c =( x -4, y -1),
a + b =(2,4).
∵( d - c )∥( a + b ),| d - c |= ,
∴解得或
∴向量 d 的坐标为(3,-1)或(5,3).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
10. 已知向量 a =(2, x2), b =(-1, y2-2),若 a , b 共线,则
y 的取值范围是(   )
A. [-1,1] B. [- , ]
C. [0, ] D. [ ,+∞)
解析:  ∵ a =(2, x2), b =(-1, y2-2),且 a , b 共
线,∴2( y2-2)-(-1) x2=0,∴ x2=4-2 y2≥0,整理得
y2≤2,解得- ≤ y ≤ .∴ y 的取值范围是[- , ].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
11. 已知向量 =(3,-4), =(6,-3), =(5- m ,
-3- m ).若点 A , B , C 能构成三角形,则实数 m 应满足的条
件为 .
解析:若点 A , B , C 能构成三角形,则这三点不共线,即 与
不共线.∵ = - =(3,1), = - =(2
- m ,1- m ),∴3(1- m )≠2- m ,即 m ≠ .
m ≠  
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
12. 在直角坐标系 xOy 中,已知点 A (1,1), B (2,3), C (3,2),
(1)若 + + =0,求 的坐标;
解: 设点 P 的坐标为( x , y ),因为 + + =0,
又 + + =(1- x ,1- y )+(2- x ,3- y )+
(3- x ,2- y )=(6-3 x ,6-3 y ).
所以解得
所以点 P 的坐标为(2,2),故 =(2,2).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(2)若 = m + n ( m , n ∈R),且点 P 在函数 y = x +
1的图象上,求 m - n .
解: 设点 P 的坐标为( x0, y0),
因为 A (1,1), B (2,3), C (3,2),
所以 =(2,3)-(1,1)=(1,2),
=(3,2)-(1,1)=(2,1),
因为 = m + n ,
所以( x0, y0)= m (1,2)+ n (2,1)=( m +2 n ,2
m + n ),所以两式相减得 m - n = y0- x0,
又因为点 P 在函数 y = x +1的图象上,
所以 y0- x0=1,所以 m - n =1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
13. 若α,β是一组基底,向量γ= x α+ y β( x , y ∈R),则称
( x , y )为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量 a 在基底 p
=(1,-1), q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则 a 在另一
组基底 m =(-1,1), n =(1,2)下的坐标为(  )
A. (2,0) B. (0,-2)
C. (-2,0) D. (0,2)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
解析:  ∵ a 在基底 p , q 下的坐标为(-2,2),∴ a =-2 p
+2 q =-2(1,-1)+2(2,1)=(2,4).令 a = xm + yn =
(- x + y , x +2 y ),∴解得
∴ a 在基底 m , n 下的坐标为(0,2).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
14. 已知向量 u =( x , y )和 v =( y ,2 y - x )的对应关系可用 v =
f ( u )表示.
(1)若 a =(1,1), b =(1,0),试求向量 f ( a )及 f
( b )的坐标;
解: 由题意知,当 a =(1,1)时, f ( a )=(1,
2×1-1)=(1,1).
当 b =(1,0)时, f ( b )=(0,2×0-1)=(0,-1).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(2)求使 f ( c )=(4,5)的向量 c 的坐标;
解: 设 c =( x , y ),则 f ( c )=( y ,2 y - x )=
(4,5),
则解得∴ c =(3,4).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(3)对于任意向量 a , b 及常数λ,μ,证明: f (λ a +μ b )
=λ f ( a )+μ f ( b )恒成立.
解: 证明:设 a =( x1, y1), b =( x2, y2),
则λ a +μ b =(λ x1+μ x2,λ y1+μ y2),
∴ f (λ a +μ b )=(λ y1+μ y2,2(λ y1+μ y2)-
(λ x1+μ x2)).
又∵ f ( a )=( y1,2 y1- x1), f ( b )=( y2,2 y2- x2),
∴λ f ( a )+μ f ( b )=λ( y1,2 y1- x1)+μ( y2,2
y2- x2)=(λ y1+μ y2,2(λ y1+μ y2)-(λ x1+μ
x2))= f (λ a +μ b ).
∴ f (λ a +μ b )=λ f ( a )+μ f ( b )恒成立.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
谢 谢 观 看!