1.4 用 一元二次方程解决问题 同步练习 （含答案）2025-2026学年苏科版九年级数学上册

1.4 用 一元二次方程解决问题 同步练习
（考试时间为90分钟，满分为100分）
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列方程是一元高次方程的是（　　）
A．x4+1＝0 B．x2﹣3x﹣1＝0
C． D．x+3＝0
2．下列二项方程中，有两个实数根的是（　　）
A．x5+1＝0 B．x4﹣1＝0 C．x3﹣1＝0 D．x2+1＝0
3．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了66次手，设到会的人数为x人，则根据题意列方程为（　　）
A． B．x（x﹣1）＝66
C． D．x（x+1）＝66
4．“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的每年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．64（1+x）2＝144 B．64（1+x%）2＝144
C．64（1+2x）＝144 D．64+64（1+x）+64（1+x）2＝144
5．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（　　）
A．100×80﹣100x﹣80x＝7644 B．（100﹣x）（80﹣x）+x2＝7644
C．（100﹣x）（80﹣x）＝7644 D．100x+80x＝356
第5题 第8题 第9题 第10题
6．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（　　）
A．3步 B．6步 C．9步 D．12步
7．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（　　）
A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225
C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225
8．《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（　　）
A．x2+32＝（1﹣x）2 B．x2+（1﹣x）2＝32
C．x2+（10﹣x）2＝32 D．x2+32＝（10﹣x）2
9．如图，已知长方形铁皮的长为10cm，宽为8cm，分别在它的四个角上剪去边长为xcm的正方形，做成底面积为24cm2的无盖长方体盒子，则可列方程为（　　）
A．（10﹣2x）（8﹣2x）＝24 B．（10﹣x）（8﹣x）＝24
C．（10﹣x）（8﹣2x）＝24 D．（10﹣2x）（8﹣x）＝24
10．如图所示，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当S＝66时，则n的值为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
11．已知关于x的方程，则x＝　 　 ．
12．方程的解是　 　 ．
13．无理方程的解是 　 　 ．
14．某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为　 　 ．
15．某商场将进货价为55元的某种服装以75元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价 　 　 元．
16．如图，某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面粗线表示墙面（粗线A﹣B﹣C表示墙面）建饲养场．已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝9米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开），并在每个区域开一个宽2米的门，点F在线段BC的延长线上．设EF的长为x米，若要求所围成的饲养场BDEF面积为84平方米，则可列方程 　 　 （不用化简）．
第16题 第17题 第18题
17．如图，在△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA方向运动；同时动点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC方向运动．则运动 　 　 秒后P、Q两点相距25cm．
18．在2024年12月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为513，则这个最小数为　 　 ．
三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19．本小题分)如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形场地ABCD．
（1）若矩形场地的面积为48m2，求AB的长；
（2）该矩形场地的面积能否为60m2？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由．
20．本小题分)随着旅游旺季的到来，烟台某景区游客人数逐月增加，3月份游客人数为1.6万人，5月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计6月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区6月1日至6月20日已接待游客2.125万人，则6月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
21．本小题分)某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少元？
22．本小题分)数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为60cm，宽为40cm的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒．
（1）当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积；
（2）当礼盒的侧面ABCD的面积为750cm2，求剪去的小正方形的边长．
23．本小题2分)在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11﹣3×17＝48，13×15﹣7×21＝48．不难发现，结果都是48．
（1）请证明发现的规律；
（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数．
24．本小题分)【综合与实践】
学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形ABCD，面积为360平方米，墙AB的长为15米．
【实践应用】
（1）据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率；
（2）如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽EF为多少米？
答案与解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A A C B C D A B
一．选择题（共10小题）
1．下列方程是一元高次方程的是（　　）
A．x4+1＝0 B．x2﹣3x﹣1＝0
C． D．x+3＝0
【解答】解：这四个方程都只含一个未知数，
因为B、D中未知数的项的次数小于等于2，
所以B、D选项不符合题意，
C中分母中含有未知数，是分式方程，C选项不符合题意；
A符合一元高次方程定义：只含一个未知数，未知项的最高次数大于等于3的整式方程，A选项符合题意．
故选：A．
2．下列二项方程中，有两个实数根的是（　　）
A．x5+1＝0 B．x4﹣1＝0 C．x3﹣1＝0 D．x2+1＝0
【解答】解：x5+1＝0的实数根为x＝﹣1，故A不符合题意；
x4﹣1＝0的实数根为x＝±1，故B符合题意；
x3﹣1＝0的实数根为x＝1，故C不符合题意；
x2+1＝0无实数根，故D不符合题意；
故选：B．
3．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了66次手，设到会的人数为x人，则根据题意列方程为（　　）
A． B．x（x﹣1）＝66
C． D．x（x+1）＝66
【解答】解：依题意得x（x﹣1）＝66．
故选：A．
4．“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年64万字增加到九年级的每年144万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．64（1+x）2＝144
B．64（1+x%）2＝144
C．64（1+2x）＝144
D．64+64（1+x）+64（1+x）2＝144
【解答】解：根据题意得：64（1+x）2＝144．
故选：A．
5．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（　　）
A．100×80﹣100x﹣80x＝7644
B．（100﹣x）（80﹣x）+x2＝7644
C．（100﹣x）（80﹣x）＝7644
D．100x+80x＝356
【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有
（100﹣x）（80﹣x）＝7644，
故选：C．
6．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（　　）
A．3步 B．6步 C．9步 D．12步
【解答】解：设矩形田地的长为x步，则宽为（60﹣x）步，
依题意得：x（60﹣x）＝891，
整理得：x2﹣60x+891＝0，
解得x1＝33，x2＝27．
当x＝33时，60﹣x＝60﹣33＝27＜33，符合题意，此时x﹣（60﹣x）＝33﹣27＝6；
当x＝27时，60﹣x＝60﹣27＝33＞27，不符合题意，舍去．
∴长比宽多6步．
综上所述，只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
7．甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（　　）
A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225
C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225
【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染．
根据题意得：1+x+x（1+x）＝225．
故选：C．
8．《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（　　）
A．x2+32＝（1﹣x）2 B．x2+（1﹣x）2＝32
C．x2+（10﹣x）2＝32 D．x2+32＝（10﹣x）2
【解答】解：根据题意可得：x2+32＝（10﹣x）2，
故选：D．
9．如图，已知长方形铁皮的长为10cm，宽为8cm，分别在它的四个角上剪去边长为xcm的正方形，做成底面积为24cm2的无盖长方体盒子，则可列方程为（　　）
A．（10﹣2x）（8﹣2x）＝24 B．（10﹣x）（8﹣x）＝24
C．（10﹣x）（8﹣2x）＝24 D．（10﹣2x）（8﹣x）＝24
【解答】解：根据（长方形的长﹣2x）（长方形的宽﹣2x）＝24cm2可得：
（10﹣2x）（8﹣2x）＝24，
故选：A．
10．如图所示，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当S＝66时，则n的值为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【解答】解：根据题意得：Sn（n+1）．
∵S＝66，
∴n（n+1）＝66，
解得：n1＝11，n2＝﹣12（舍去）．
故选：B．
二．填空题（共8小题）
11．已知关于x的方程，则x＝　2　 ．
【解答】解：两边平方得：8﹣2x＝x2，
变形得：x2+2x﹣8＝0，
解得x1＝﹣4，x2＝2，
经检验，x＝﹣4为原方程的增根，x＝2是原方程的解，
∴原方程的解为x＝2，
故答案为：2．
12．方程的解是　x＝3　 ．
【解答】解：∵，
∴或．
∴x＝﹣2或x＝3．
∵2+x≥0且x﹣3≥0，
∴x≥3．
故原方程的解为：x＝3．
故答案为：x＝3．
13．无理方程的解是 　x＝1　 ．
【解答】解：原方程两边同时平方得：x2﹣4x+3＝1﹣x，
整理得：x2﹣3x+2＝0，
解得：x＝1或x＝2，
经检验，x＝1是原方程的解，x＝2时，1﹣x＜0，应舍去，
故答案为：x＝1．
14．某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为　6　 ．
【解答】解：设每轮中平均每台服务器传播设备的台数为x，根据题意可得：
4+4x+x（4+4x）＝196，
解得x1＝6，x2＝﹣8（舍），
故答案为：6．
15．某商场将进货价为55元的某种服装以75元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价 　10　 元．
【解答】解：设每件应降价x元，则每件的盈利为（75﹣x﹣55）元，每天可售出（30+5x）件，
根据题意得：（75﹣x﹣55）（30+5x）＝800，
整理得：x2﹣14x+40＝0，
解得：x1＝10，x2＝4（不符合题意，舍去），
即每件应降价10元，
故答案为：10．
16．如图，某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面粗线表示墙面（粗线A﹣B﹣C表示墙面）建饲养场．已知AB⊥BC，AB＝3米，BC＝9米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场BDEF（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆GH隔开），并在每个区域开一个宽2米的门，点F在线段BC的延长线上．设EF的长为x米，若要求所围成的饲养场BDEF面积为84平方米，则可列方程 　 x＝84　 （不用化简）．
【解答】解：设EF的长为x米，则DE（米），
依题意得： x＝84，
故答案为： x＝84．
17．如图，在△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA方向运动；同时动点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC方向运动．则运动 　10　 秒后P、Q两点相距25cm．
【解答】解：设运动x秒后P、Q两点相距25cm，
则CP＝2x cm，CQ＝（25﹣x）cm，
由题意得：（2x）2+（25﹣x）2＝252，
整理得：x2﹣10x＝0，
解得：x1＝10，x2＝0（不合题意，舍去），
故答案为：10．
18．在2024年12月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为513，则这个最小数为　19　 ．
【解答】解：设这个最小数为x，则另外三个数分别为x+1，x+7，x+8，
根据题意得：x（x+8）＝513，
整理得：x2+8x﹣513＝0，
解得：x1＝19，x2＝﹣27（不符合题意，舍去），
∴这个最小数为19．
故答案为：19．
三．解答题（共6小题）
19．如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形场地ABCD．
（1）若矩形场地的面积为48m2，求AB的长；
（2）该矩形场地的面积能否为60m2？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）设AB＝x m，则BC＝（20﹣2x）m，
根据题意得：x（20﹣2x）＝48，
整理得：x2﹣10x+24＝0，
解得：x1＝4，x2＝6．
答：AB的长为4或6m；
（2）该矩形场地的面积不能为60m2，理由如下：
假设该矩形场地的面积能为60m2，设AB＝y m，则BC＝（20﹣2y）m，
根据题意得：y（20﹣2y）＝60，
整理得：y2﹣10y+30＝0，
∵Δ＝（﹣10）2﹣4×1×30＝﹣20＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即该矩形场地的面积不能为60m2．
20．随着旅游旺季的到来，烟台某景区游客人数逐月增加，3月份游客人数为1.6万人，5月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计6月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区6月1日至6月20日已接待游客2.125万人，则6月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【解答】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x，
根据题意得：1.6（1+x）2＝2.5，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去），
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；
（2）设6月份后10天日均接待游客人数是y万人，
根据题意得：2.125+10y≤2.5×（1+25%），
解得：y≤0.1，
答：6月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
21．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少元？
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
将（0，200），（10，300）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴y与x的函数关系式为y＝10x+200；
（2）根据题意得：（100﹣60﹣x）（10x+200）＝8910，
整理得：x2﹣20x+91＝0，
解得x1＝7，x2＝13，
又∵要求优惠力度最大，
∴x＝13，
∴100﹣x＝100﹣13＝87．
答：每双运动鞋的售价应该定为87元．
22．数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为60cm，宽为40cm的长方形纸板，如图，在其四角分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样大小的长方形（阴影部分），再把剩余部分沿虚线折起来得长方体礼品盒．
（1）当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积；
（2）当礼盒的侧面ABCD的面积为750cm2，求剪去的小正方形的边长．
【解答】解：（1）设小正方形的边长为x，则礼盒底面的长是，宽为x，
由题意得30﹣x＝4x，
解得x＝6，
∴长为24，宽为6，高为40﹣2×6＝28，
∴体积为：24×6×28＝4032（cm3）；
（2）设小正方形的边长为m，根据题意可得一元二次方程为：
（30﹣m）（40﹣2m）＝750，
整理得m2﹣50m+225＝0，
解得m＝5或m＝45（舍），
∴剪去的小正方形的边长为5cm．
23．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11﹣3×17＝48，13×15﹣7×21＝48．不难发现，结果都是48．
（1）请证明发现的规律；
（2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数．
【解答】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7），
∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7），
＝a2﹣1﹣（a2﹣49），
＝48．
（2）解：设这5个数中的最大数为x，则最小数为（x﹣14），
依题意得：x（x﹣14）＝435，
解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合题意，舍去）．
答：这5个数中的最大数为29．
24．【综合与实践】
学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形ABCD，面积为360平方米，墙AB的长为15米．
【实践应用】
（1）据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率；
（2）如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽EF为多少米？
【解答】解：（1）设这个增长率为x，由题意列一元二次方程得：
250（1+x）2＝360，
整理得，250x2+500x+140＝0，
解得x1＝﹣2.2（不合题意舍去），x2＝0.2＝20%，
答：这个增长率为20%；
（2）∵矩形ABCD，面积为360平方米，墙AB的长为15米，
∴AD＝360÷15＝24，
设矩形空地的宽EF为y米，则FG的长为（33﹣3y）米，
由题意列一元二次方程得：y（33﹣3y）＝72，
整理得：y2+11y+24＝0，
解得y1＝3，y2＝8，
当y＝3时，FG的长为：33﹣3×3＝24＞15，不合题意，舍去；
当y＝8时，BC的长为：33﹣3×8＝9＜15，符合题意．
∴EF＝8米．
答：场地的宽EF为8米．
第1页（共1页）