第十三章 三角形 学业质量评价
(考试时间：120分钟 满分：150分)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分)
1．以下列长度的线段为边，可以作一个三角形的是（ ）
A．2，5，6 B．3，4，8
C．5，5，10 D．3，5，9
2．如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，DE⊥BC于点E，以下线段是△ABE的高的是（ ）
A．CD B．DE C．AC D．AD
3．将一副含30°，45°的三角板按图中的方式放置，则∠α＋∠β的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．60°
4．有一块三角形菜地，现在要在这块地上一半种青菜，一半种西红柿，则下列各线段中，可以把这块地分成面积相等的两部分的是（ ）
A．一边上的中线 B．一边上的高
C．一条角平分线 D．以上都不对
5．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A－∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
D．∠A＝∠B＝3∠C
6．如图，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B，C处开工挖出“V”字型通道，如果∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，则∠A的度数是（ ）
A．75° B．80° C．85° D．90°
7．课堂上，老师把教学用的两块三角板叠放在一起，得到如图所示的图形，其中三角形的个数为（ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
8．如图，将△ABC折叠，使边AC落在边AB上，展开后得到折痕l，若∠B＝50°，∠C＝70°，则∠1的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
9．已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数为（ ）
A．90° B．100° C．110° D．120°
10．如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1＋∠2＝240°，则∠A的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．80°
11．下列说法中正确的是（ ）
A．三角形的重心是三条角平分线的交点
B．三角形的三条高一定交于一点
C．两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等
D．三角形的中线是经过顶点和对边中点的线段
12．如图，在△ABC中，BD，BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H.下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF＋∠C；③∠F＝∠BAC－∠C；④∠BGH＝∠ABE＋∠C.其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解析】根据三角形内、外角的性质计算求解即可．③∠F＝∠DBE＝∠ABE－∠ABD＝∠ABE－90°＋∠BAC＝∠CBD－∠DBE－90°＋∠BAC＝90°－∠C－∠DBE－90°＋∠BAC＝∠BAC－∠C－∠DBE.
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
13．自行车生产厂家把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的 ．(选填“稳定性”或“不稳定性”)
14．若三角形的三边长分别为3，4，m，写出一个符合条件的整数m的值： ．
15．如图，作CE⊥AF于点E，CE与BF相交于点D，若∠F＝45°，∠C＝30°，则∠DBC＝ .
16．在△ABC中，∠ABC＝80°，∠A＝50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC＝ .
17．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，连接AE，BF，CD交于点G，AG∶GE＝2∶1，△ABC的面积为6，设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，则S1＋S2＝ .
【解析】设S△ADG＝x，S△AFG＝y，∵D为AB的中点，∴S△ADG＝S△BDG＝x，同理可得S△AGF＝S△CGF＝y，又∵AG∶GE＝2∶1，∴S△ABG∶S△BGE＝2∶1，则S△BGE＝x，同理S△GEC＝y，∴3x＋3y＝6，S1＋S2＝x＋y＝2.
18．如图，∠ABC＝∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角 ∠ACF .下列结论：①AD∥BC；② ∠ACB＝ ∠ADB；③2∠ADB＝∠ACB；④∠DCF＝(∠BAC＋∠ACB)，其中正确的有 (选填序号)．
三、解答题(本大题共7小题，共90分)
19．(14分)若a，b，c是△ABC的三边．
(1)化简：|a－b＋c|－|c－a－b|＋|a＋b＋c|；
(2)若a＝5，b＝4，c＝2，求(1)中式子的值．
20．(10分)三角形的三个内角的度数如图所示，求x的值．
21．(12分)如图，已知AB⊥BC，CD⊥AD，AB＝4 cm，CD＝3 cm，AE＝5 cm.求△AEC的面积和CE的长．
22．(12分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3 cm，AB 与AC的长度和为11 cm，求AC的长．
23．(13分)如图，△ABC的高BD，CE交于点O.
(1)∠ABD与∠ACE有怎样的数量关系？为什么？
(2)∠A与∠BOC有怎样的数量关系？请说明理由．
24．(14分)如图是五角星和它的变形图．
(1)图①中是一个五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°；
(2)把图①中的点A向下移到BE上时(如图②)，五个角的和(即∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E)有无变化？请证明你的结论．
25．(15分)【问题情境】数学课上，同学们以直角三角形为背景探究角之间的数量关系．
已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点B作BM⊥BC，交△ABC的角平分线AD所在直线于点E.设∠C的度数为α.
【初步探究】
(1)如图①，当α<45°时，点E在线段DA的延长线上．“勤学”小组对这种情形进行了分析，提出如下问题，请解答：
Ⅰ)当α＝25°时，求∠AEB 的度数；
Ⅱ)用含α的式子表示∠AEB 的度数： .
【拓展延伸】
(2)“智慧”小组借助图②进一步探究，当α>45°时，∠AEB与α之间的数量关系，请补全图形并直接写出这个结论．第十三章 三角形 学业质量评价
(考试时间：120分钟 满分：150分)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分)
1．以下列长度的线段为边，可以作一个三角形的是（A）
A．2，5，6 B．3，4，8
C．5，5，10 D．3，5，9
2．如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，DE⊥BC于点E，以下线段是△ABE的高的是（C）
A．CD B．DE C．AC D．AD
3．将一副含30°，45°的三角板按图中的方式放置，则∠α＋∠β的度数为（C）
A．30° B．40° C．45° D．60°
4．有一块三角形菜地，现在要在这块地上一半种青菜，一半种西红柿，则下列各线段中，可以把这块地分成面积相等的两部分的是（A）
A．一边上的中线 B．一边上的高
C．一条角平分线 D．以上都不对
5．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（D）
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A－∠B＝∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
D．∠A＝∠B＝3∠C
6．如图，考古学家发现在地下A处有一座古墓，古墓上方是煤气管道，为了不影响管道，准备在B，C处开工挖出“V”字型通道，如果∠DBA＝120°，∠ECA＝135°，则∠A的度数是（A）
A．75° B．80° C．85° D．90°
7．课堂上，老师把教学用的两块三角板叠放在一起，得到如图所示的图形，其中三角形的个数为（C）
A．2 B．3 C．5 D．6
8．如图，将△ABC折叠，使边AC落在边AB上，展开后得到折痕l，若∠B＝50°，∠C＝70°，则∠1的度数为（D）
A．50° B．60° C．70° D．80°
9．已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数为（B）
A．90° B．100° C．110° D．120°
10．如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1＋∠2＝240°，则∠A的度数为（B）
A．45° B．60° C．75° D．80°
11．下列说法中正确的是（D）
A．三角形的重心是三条角平分线的交点
B．三角形的三条高一定交于一点
C．两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等
D．三角形的中线是经过顶点和对边中点的线段
12．如图，在△ABC中，BD，BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE，交BD于点G，交BC于点H.下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF＋∠C；③∠F＝∠BAC－∠C；④∠BGH＝∠ABE＋∠C.其中正确的有（B）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解析】根据三角形内、外角的性质计算求解即可．③∠F＝∠DBE＝∠ABE－∠ABD＝∠ABE－90°＋∠BAC＝∠CBD－∠DBE－90°＋∠BAC＝90°－∠C－∠DBE－90°＋∠BAC＝∠BAC－∠C－∠DBE.
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
13．自行车生产厂家把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的稳定性．(选填“稳定性”或“不稳定性”)
14．若三角形的三边长分别为3，4，m，写出一个符合条件的整数m的值：2(答案不唯一)．
15．如图，作CE⊥AF于点E，CE与BF相交于点D，若∠F＝45°，∠C＝30°，则∠DBC＝105°.
16．在△ABC中，∠ABC＝80°，∠A＝50°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC＝115°.
17．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，连接AE，BF，CD交于点G，AG∶GE＝2∶1，△ABC的面积为6，设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，则S1＋S2＝2.
【解析】设S△ADG＝x，S△AFG＝y，∵D为AB的中点，∴S△ADG＝S△BDG＝x，同理可得S△AGF＝S△CGF＝y，又∵AG∶GE＝2∶1，∴S△ABG∶S△BGE＝2∶1，则S△BGE＝x，同理S△GEC＝y，∴3x＋3y＝6，S1＋S2＝x＋y＝2.
18．如图，∠ABC＝∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角 ∠ACF .下列结论：①AD∥BC；② ∠ACB＝ ∠ADB；③2∠ADB＝∠ACB；④∠DCF＝(∠BAC＋∠ACB)，其中正确的有①③④(选填序号)．
三、解答题(本大题共7小题，共90分)
19．(14分)若a，b，c是△ABC的三边．
(1)化简：|a－b＋c|－|c－a－b|＋|a＋b＋c|；
(2)若a＝5，b＝4，c＝2，求(1)中式子的值．
解：(1)∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a－b＋c＞0，c－a－b＜0，a＋b＋c＞0，
∴原式＝a－b＋c＋c－a－b＋a＋b＋c＝a－b＋3c.
(2)当a＝5，b＝4，c＝2时，原式＝7.
20．(10分)三角形的三个内角的度数如图所示，求x的值．
解：根据题意，得
x＋x＋5＋3x＋25＝180.
解得x＝30，∴x的值为30.
21．(12分)如图，已知AB⊥BC，CD⊥AD，AB＝4 cm，CD＝3 cm，AE＝5 cm.求△AEC的面积和CE的长．
解：∵S△AEC＝AE·CD
＝CE·AB
∴S△AEC＝ cm2，CE＝ cm.
22．(12分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3 cm，AB 与AC的长度和为11 cm，求AC的长．
解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，
∴CD＝BD.
∵△ADC的周长比△ABD的周长多3 cm，
∴(AC＋CD＋AD)－(AB＋BD＋AD)＝3 cm.
∴AC－AB＝3 cm.
∵AB＋AC＝11 cm，
∴AB＝4 cm，AC＝7 cm，即AC的长为7 cm.
23．(13分)如图，△ABC的高BD，CE交于点O.
(1)∠ABD与∠ACE有怎样的数量关系？为什么？
(2)∠A与∠BOC有怎样的数量关系？请说明理由．
解：(1)∠ABD＝∠ACE.
∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°.
∴∠A＋∠ABD＝∠A＋∠ACE＝90°，
∴∠ABD＝∠ACE.
(2)∠A＋∠BOC＝180°.
理由：∵在四边形AEOD中，∠AEO＝∠ADO＝90°，
∴∠A＋∠EOD＝180°.
∵∠EOD＝∠BOC，
∴∠A＋∠BOC＝180°.
24．(14分)如图是五角星和它的变形图．
(1)图①中是一个五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°；
(2)把图①中的点A向下移到BE上时(如图②)，五个角的和(即∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E)有无变化？请证明你的结论．
(1)证明：由三角形外角的性质，得
∠A＋∠C＝∠1，∠B＋∠D＝∠2.
由三角形的内角和定理，得∠E＋∠1＋∠2＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
(2)解：不变．
证明：由三角形外角的性质，得
∠2＝∠B＋∠D，∠1＝∠CAD＋∠C.
由三角形的内角和定理，得∠E＋∠1＋∠2＝180°，
∴∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
25．(15分)【问题情境】数学课上，同学们以直角三角形为背景探究角之间的数量关系．
已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，过点B作BM⊥BC，交△ABC的角平分线AD所在直线于点E.设∠C的度数为α.
【初步探究】
(1)如图①，当α<45°时，点E在线段DA的延长线上．“勤学”小组对这种情形进行了分析，提出如下问题，请解答：
Ⅰ)当α＝25°时，求∠AEB 的度数；
Ⅱ)用含α的式子表示∠AEB 的度数： .
【拓展延伸】
(2)“智慧”小组借助图②进一步探究，当α>45°时，∠AEB与α之间的数量关系，请补全图形并直接写出这个结论．
解：(1)Ⅰ)∵∠BAC＝∠CBE＝90°，
∴∠C＋∠ABC＝∠ABC＋∠ABE ＝90°，
∴∠ABE＝∠C＝25°.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝45°，
∴∠AEB＝∠BAD－∠ABE＝45°－25°＝20°.
Ⅱ)45°－α.
∵∠BAC＝∠CBE＝90°，
∠C＋∠ABC＝∠ABC ＋∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠C＝α.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC ＝45°，
∴∠AEB＝∠BAD－∠ABE ＝45°－α.
(2)补全的图形如图所示，
∠AEB与α之间的数量关系为∠AEB＝α－45°.
∵∠BAC＝∠CBM＝90°，
∴∠C＋∠ABC＝∠ABC＋∠ABM＝ 90°，
∴∠ABM＝∠C＝α.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝45°，
∴∠AEB＝∠ABM－∠BAD＝α－45°.
