第十五章 轴对称 学业质量评价
(考试时间：120分钟 满分：150分)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分)
1．下列图案是轴对称图形的是（ ）
2．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，则其周长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
3．在平面直角坐标系xOy中，点P(－2，4)关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．(2，4) B．(4，－2)
C．(－4，2) D．(－2，－4)
4．如图，△ABC和△AED关于直线l对称．若∠B＝30°，∠C＝95°，则∠DAE的度数为（ ）
A．30° B．95° C．55° D．65°
5．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．三边都不相等的三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
6．尺规作图如图所示，能判定AD是△ABC边上的高的依据是（ ）
A．垂直平分线的性质 B．角平分线的判定
C．角平分线的性质 D．垂直平分线的判定
7．如图，直线l1∥l2，点A，B在l1上，点C在l2上．若AB＝AC，∠ABC＝70°，则∠1的度数为（ ）
A．20° B．40° C．35° D．70°
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＋BC＝12 cm，则AB的长为（ ）
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
9．如图，∠ABC＝50°，AD垂直平分线段BC，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是（ ）
A．115° B．75° C．105° D．50°
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于点E，D，则DE的长为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
11．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，现将△ABC的一个角沿AD折叠，使得点C落在边AB上的点C′处．若△BC′D是等腰三角形，则∠C的度数为（ ）
A．36° B．38° C．48° D．84°
12．如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，下列结论：①点P在∠A的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
13．等边三角形有 条对称轴．
14．—个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码是 .
15．等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为 .
16．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为 .
17．如图，一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西25°的方向行驶120 n mile到达B地，再由B地向北偏西35°的方向行驶120 n mile到达A地，则A，C两地相距 n mile.
18．如图，P是∠BAC内部一点，点P关于AB，AC的对称点分别是点P1，P2，连接P1P2分别与AB，AC交于点M，N，连接PM，PN，下列结论：①△P1P2A是等边三角形；②∠P1AP2＝2∠BAC；③△PMN的周长等于线段P1P2的长；④2∠BAC＋∠MPN＝180°.其中正确的有 .(选填序号)
【解析】④∵∠MPN＋∠MPP1＋∠MP1P＋∠NPP2＋∠NP2P＝180°，∴∠MPP1＋∠NPP2＝90°－∠MPN，∵∠BAC＋∠P1PP2＝180°，∴∠BAC＋∠MPN＋90°－∠MPN＝180°.
三、解答题(本大题共7小题，共90分)
19．(14分)如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；
(2)直接写出线段AA1的长．
20．(10分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，DB平分∠ADC，∠A＝60°.求证：△ABD是等边三角形．
21．(12分)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为21 cm，△ABD的周长为13 cm，求AE的长．
22．(12分)某市旧城改造项目计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮美化环境，经过测量得AB＝AC＝40 m，△ABC的外角∠ACD＝105°.已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮一共需要多少元？
23．(13分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC，交AC于点E，过点E作EF∥BC，交AB于点F.
(1)若∠C＝34°，求∠BAD的度数；
24．(14分)【问题情境】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
【问题发现】
(1)如图①，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC，DE分别是底边，可以由 (三角形全等判定原理)，得△ABD≌△ACE，进而得到 ；
【拓展探究】
(2)如图②，若△ABC和△CDE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE，求∠AEB的度数．
25．(15分)如图，在平面直角坐标系中，点A(0，3)，B(3，0)，C(－3，0)．
(1)求证：AB＝AC；
(2)过点A作射线l(射线l与边BC有交点)，过点B作BD⊥l于点D，过点C作CE⊥l于点E，过点E作EF⊥DC于点F，交y轴于点G.
①求证：AE＝BD；
②求点G的坐标．第十五章 轴对称 学业质量评价
(考试时间：120分钟 满分：150分)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分)
1．下列图案是轴对称图形的是（A）
2．已知△ABC为等边三角形，AB＝2，则其周长为（C）
A．4 B．5 C．6 D．8
3．在平面直角坐标系xOy中，点P(－2，4)关于x轴的对称点的坐标是（D）
A．(2，4) B．(4，－2)
C．(－4，2) D．(－2，－4)
4．如图，△ABC和△AED关于直线l对称．若∠B＝30°，∠C＝95°，则∠DAE的度数为（C）
A．30° B．95° C．55° D．65°
5．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠C，则△ABC是（A）
A．等边三角形 B．三边都不相等的三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
6．尺规作图如图所示，能判定AD是△ABC边上的高的依据是（D）
A．垂直平分线的性质 B．角平分线的判定
C．角平分线的性质 D．垂直平分线的判定
7．如图，直线l1∥l2，点A，B在l1上，点C在l2上．若AB＝AC，∠ABC＝70°，则∠1的度数为（B）
A．20° B．40° C．35° D．70°
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＋BC＝12 cm，则AB的长为（C）
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
9．如图，∠ABC＝50°，AD垂直平分线段BC，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是（A）
A．115° B．75° C．105° D．50°
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，过点A的直线DE∥BC，∠ABC与∠ACB的平分线分别交DE于点E，D，则DE的长为（A）
A．14 B．16 C．18 D．20
11．如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，现将△ABC的一个角沿AD折叠，使得点C落在边AB上的点C′处．若△BC′D是等腰三角形，则∠C的度数为（C）
A．36° B．38° C．48° D．84°
12．如图，△ABC是等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，下列结论：①点P在∠A的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.其中正确的有（D）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)
13．等边三角形有3条对称轴．
14．—个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码是M17936.
15．等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为80° .
16．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为105°.
17．如图，一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西25°的方向行驶120 n mile到达B地，再由B地向北偏西35°的方向行驶120 n mile到达A地，则A，C两地相距120n mile.
18．如图，P是∠BAC内部一点，点P关于AB，AC的对称点分别是点P1，P2，连接P1P2分别与AB，AC交于点M，N，连接PM，PN，下列结论：①△P1P2A是等边三角形；②∠P1AP2＝2∠BAC；③△PMN的周长等于线段P1P2的长；④2∠BAC＋∠MPN＝180°.其中正确的有②③④.(选填序号)
【解析】④∵∠MPN＋∠MPP1＋∠MP1P＋∠NPP2＋∠NP2P＝180°，∴∠MPP1＋∠NPP2＝90°－∠MPN，∵∠BAC＋∠P1PP2＝180°，∴∠BAC＋∠MPN＋90°－∠MPN＝180°.
三、解答题(本大题共7小题，共90分)
19．(14分)如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；
(2)直接写出线段AA1的长．
解：(1)如图所示．
(2)AA1＝10.
20．(10分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，DB平分∠ADC，∠A＝60°.求证：△ABD是等边三角形．
证明：AB∥CD，∠A＝60°，
∴∠ADC＝180°－∠A＝120°.
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠ADC＝60°，
∴∠A＝∠ADB＝∠ABD＝60°，∴△ABD是等边三角形．
21．(12分)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为21 cm，△ABD的周长为13 cm，求AE的长．
解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AE＝CE＝AC.
∵△ABC的周长为21 cm，
∴AB＋BC＋AC＝21 cm.∵△ABD的周长为13 cm，
∴AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋CD＝AB＋BC＝13 cm，
∴AC＝21－13＝8(cm)，∴AE＝AC＝4 cm.
22．(12分)某市旧城改造项目计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮美化环境，经过测量得AB＝AC＝40 m，△ABC的外角∠ACD＝105°.已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮一共需要多少元？
解：过点B作BH⊥AC于点H.
∵∠ACD＝105°，∴∠ACB＝75°.
∵AB＝AC＝40 m，
∴∠ABC＝∠ACB＝75°.∴∠A＝30°.
∵BH⊥AC，∴BH＝AB＝20 m.
∴S△ABC＝AC·BH＝×40×20＝400(m2)．
∵这种草皮每平方米a元，
∴购买这种草皮一共需要400a元．
23．(13分)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC，交AC于点E，过点E作EF∥BC，交AB于点F.
(1)若∠C＝34°，求∠BAD的度数；
解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝34°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC.
∴∠ADB＝90°.∴∠BAD＝90°－34°＝56°.
(2)求证：FB＝FE.
证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC.
∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE.
∴∠FBE＝∠FEB.∴FB＝FE.
24．(14分)【问题情境】小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
【问题发现】
(1)如图①，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC，DE分别是底边，可以由SAS(三角形全等判定原理)，得△ABD≌△ACE，进而得到BD＝CE；
【拓展探究】
(2)如图②，若△ABC和△CDE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE，求∠AEB的度数．
解：(2)∵△ABC和△CDE均是等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝∠CDE＝∠CED＝60°，
∴∠ACB－∠BCD＝∠DCE－∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，
∵∠CDE＝60°，
∴∠BEC＝∠ADC＝180°－∠CDE＝120°，
∵∠CED＝60°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝60°.
25．(15分)如图，在平面直角坐标系中，点A(0，3)，B(3，0)，C(－3，0)．
(1)求证：AB＝AC；
(2)过点A作射线l(射线l与边BC有交点)，过点B作BD⊥l于点D，过点C作CE⊥l于点E，过点E作EF⊥DC于点F，交y轴于点G.
①求证：AE＝BD；
②求点G的坐标．
(1)证明：∵A(0，3)，B(3，0)，
C(－3，0)，∴OA＝OB＝OC＝3.
∴△AOC和△AOB是等腰直角三角形．
∴∠OAC＝∠OCA＝∠OAB＝∠OBA＝45°.
∴AB＝AC.
(2)①证明：∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA＝∠AEC＝90°.
∴∠BAD＋∠ABD＝90°.
由(1)得∠BAD＋∠CAE＝∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE.
又∵AB＝CA，∴△BDA≌△AEC(AAS)．
∴AE＝BD.
②解：∵∠AOB＝∠BDA＝90°，
∠GAE＋∠AOB＝∠CBD＋∠BDA，
∴∠GAE＝∠CBD.
∵∠COG＝∠CFG＝90°，∠AGE＋∠CFG＝∠BCD＋∠COG，
∴∠AGE＝∠BCD.
由(2)①知AE＝BD，
∴△AGE≌△BCD(AAS)．
∴AG＝BC＝OB＋OC＝6.
∴OG＝AG－OA＝6－3＝3.
∴点G的坐标为(0，－3)．
