和平区2024一2025学年度第二学期期末质量调查
高一数学试卷参考答案及评分标准
一、
选择题(3分×9=27分）
题号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
答案
B
B
D
A
D
D
C
A
二、填空题(4分×6=24分)
(10)6
(11)
(12)0.030:85
2
(13)3
(14)
354
5125
(15)
三、解答题(49分）
(16)(本小题满分8.分)
解：(1)由正弦定理a
b
5
sinA sin8siac’c=b,
3
由余弦定理csA=+心，即
2+2562-19
9
一
解得b=3
2bc
-5分
2.5b-b
(I)由6=3，有c=5,所以△BC的面积S=0sin4=155
-8分
(17)(本小题满分8分》
解：(I)由已知解得z=i,=1:
--3分
(Ⅱ)z=i,由已知可得1-i)(1-bi)=a,所以1-b-(b+1)i=4,----5分
-6=8解得a=26=-1,故号=-2
故b+1=0,
-8分
(18)(本小题满分11分)
解：(1)由已知(2a-3汤2a+万=9整理可得4a2-4a.6-36=9,代入同=2，同=1，可得
ā-5=1，因为a-5=月cos6,则cos0=,因为9e0动，所以0-号：一4分
(II)设向量a与向量a+的夹角为a,则向量a在向量a+b方向上的投影向量的模为
a-(a+)
a2+a.
①，由a6=1,
la+8
+=V@+2=Va+2a+6=v7,代入@武，
问a中方万
9分
(Ⅲ)易知i(a+五)=0，即a.b+6=0,解得t=-l.
11分
高一年级数学答案第1页（共2页）
(19)(本小题满分10分）
证明：(I)在平行六面体ABCD-ABCD,中，BC∥B,C,因为BC4平面BC,D,BC1C
平面BCD，所以BC∥平面B,C,D.=-
--4分
(I)因为平行四边形BCC,B,BB=BC,所以四边形BCC,B为菱形，所以BC,⊥BC.
因为BC⊥CD,CD∥C,D,所以BC,⊥CD.
又因为B,C∩CD=C,BCc平面BCD,CDc平面B,CD,所以BC1⊥.平面BCD.
因为BCc平面BCC,B,所以平面BCC,B,⊥平面BCD.--
--10分
(20)(本小题满分12分)
解：(I)证明：取棱HB的中点M,连接CM,依题意，得CM⊥HB,又因为平面HBD⊥
平面HBC,交线为HB,所以CM⊥平面HBD,又HDC平面HBD,故CM⊥HD,已
知HD⊥BC,CM∩BC=C,所以HD⊥平面HBC.=
-4分
(II)连接iMD,由CM⊥平面HBD,所以MD为斜线DC在平面HBD上的射影，∠DC
为直线DC与平面HBD所成的角.
--6分
因为△HBC为等边三角形，BC=2且M为HB的中点，所以CM=N5,又CM⊥DM,
在Rt△CDM中，sin∠MDC=
CM√3
-7分
CD 3
故直线DC与平面BD所成角的余弦值为
-8分
3
(III)取BC的中点N,连接HN,DN,
因为△HBC为等边三角形，所以N⊥BC
-9分
又由HD⊥平面HBC,所以Rt△HDC中，HD=VDC2-HC2=√5，因为Rt△HDB,有
BD=VHB2+HD2=3=CD,所以△DBC为等腰三角形，所以DN⊥BC.---10分
所以∠ND为平面HBC与平面DBC所成二面角的平面角，-
-11分
则Rt△ND中，cos∠HD=-3V6
ND√84
所以二面角H-8C-D的余弦值为6
-12分
高一年级数学答案第2页（共2页）高一数学
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分，考试时间100分钟。祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷 (选择题 共27分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上无效。
3.本卷共9小题，每小题3分，共27分。
参考公式：
·球体积公式 球表面积公式 (r表示球的半径).
·锥体的体积公式 其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高.
·柱体的体积公式 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高.
一、单选题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
(1) i是虚数单位, 则(2-i)(1+i)的虚部为
(A)3 (B)1 (C)i (D)-i
(2)用斜二测画法画水平放置的边长为2的正方形，所得直观图的周长为
(A)8 (B)6 (D)4
(3)设α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，且m α，n β，则
(A) 若α∥β, 则m∥n (B) 若n∥α, 则α∥β
(C) 若α⊥β, 则m⊥n (D) 若m⊥β, 则α⊥β
(4) 在△ABC中, 若点D满足 则
(5) 已知 若共线且方向相反，则的坐标为
(A) (-2,-1) (B) (-1,-2)
(6)投掷一枚质地均匀的骰子，事件A：点数小于4，事件B：点数大于2，事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是
(A)A与B是互斥事件 (B)A与B是对立事件
(C)A与C是独立事件 (D)B与C是独立事件
高一年级数学试卷 第1页(共4页)
(7)已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 则△ABC是
(A)等腰三角形 (B)直角三角形
(C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形
(8)已知向量 若 与 的夹角为锐角，则x的取值范围为
(B) (-1,2)
(9)已知正四面体ABCD (四个面都是正三角形)的体积为V ，若能装下它的最小正方体的体积为 ，设正四面体ABCD的内切球(与四面体各个面都相切的球)表面积为S ，外接球(四面体各顶点都在球的表面上)体积为V ，则
第Ⅱ卷(非选择题 共73分)
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2. 本卷共11 小题, 共73分。
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分)
(10)若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现按性别对总体进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取 人.
(11) 设 为单位向量，若 则
(12)某人工智能公司为优化新开发的机器人模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制(满分100分)，统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，则图中 ，根据直方图可知满意度计分的第三四分位数约为 .
(13)已知三棱锥P-ABC, PA=PB=PC=AB=6, BC=8, AC=10, D为线段AB中点，则异面直线PD与BC所成角的正弦值为 .
(14)一个袋子中有3个红球，2个白球，若采用不放回的方式从中依次随机取出3个小球，则取出的球中恰好有2个红球的概率为 ；若改为有放回的方式取出三次小球(记录下颜色后放回袋中)，则恰好有两次取到红球的概率为 .
(15) 在△ABC中, M是线段BC中点, N在边AB上, AM与CN交于点H，
若 则
三、解答题(本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
(16)(本小题满分8分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,
(Ⅰ) 求b的值;
(Ⅱ) 求△ABC 的面积.
(17)(本小题满分8分)
已知i是虚数单位，复数z满足1+zi=0.
(Ⅰ) 求z与|z|;
(Ⅱ)为复数的共轭复数，若 求 的值；
(18)(本小题满分11分)
已知
(Ⅰ)求向量与的夹角θ；
(Ⅱ)求向量在向量 方向上的投影向量的模；
(Ⅲ) 若 求实数t的值.
高一年级数学试卷 第3页(共4页)
(19)(本小题满分10分)
在平行六面体 中，
( Ⅰ ) 求证:
(Ⅱ) 求证: 平面.
(20)(本小题满分12分)
如图，在四棱锥. 中，底面ABCD为平行四边形， 为等边三角形，平面
( Ⅰ ) 求证:
(Ⅱ)求直线DC与平面HBD所成角的余弦值；
(Ⅲ)求二面角 的余弦值.
高一年级数学试卷 第4页(共4页)
