13.1 三角形的概念（新课预习.培优卷.含解析）-2025-2026学年八年级上册数学人教版（2024）
文档属性
| 名称 | 13.1 三角形的概念（新课预习.培优卷.含解析）-2025-2026学年八年级上册数学人教版（2024） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 923.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-08 06:37:36 | ||
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文档简介
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13.1 三角形的概念
一．选择题（共7小题）
1．（2025春 金水区期末）在△ABC中，∠B＝70°，AD，AE分别为△ABC的角平分线和高线，若AB＝AD，则∠C的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
2．（2025春 莲湖区期末）已知等腰三角形的一边长为5，且其有一个内角的度数为60°，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．10 B．15 C．18 D．20
3．（2025春 沙坪坝区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠BCD＝α，则∠BAD＝（ ）
A． B． C． D．360°﹣2α
4．（2025 钱塘区三模）如图，在△ABC中，∠A＝45°，D为AC上一点，BC＝BD，过点C作CE⊥BD于点E，交AB于点F．若∠ABD＝α（0°＜α＜45°），则∠BCF的大小为（ ）
A．2a B．45°﹣α C．45°+α D．90°﹣α
5．（2024秋 昆明期末）如图，将等边△APQ的边PQ向两边延长，使PB＝QC＝PQ，则∠BAC的度数为（ ）
A．120° B．110° C．100° D．90°
6．（2025春 博山区期末）如图：在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，若BD＝BC，则∠A等于（ ）
A．30° B．36° C．40° D．42°
7．（2024秋 管城区校级期末）在△ACD中，点E在AD上，并且CE＝AC＝DE，若AB平行CD，∠BAD＝25°，则∠CAB＝（ ）
A．50° B．55° C．60° D．75°
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 市中区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝35°，点D为BC的中点，则∠CAD＝ °．
9．（2025春 淮阴区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝6，则DE的长为 ．
10．（2025 广西）如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD，则AD＝ ．
11．（2025 玄武区二模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴上，OA＝AB，C是AB的中点，CD⊥OA，垂足为D．若A（5，0），D（3.5，0），则点B的坐标是 ．
12．（2025 长沙模拟）如图，点D为等边△ABC的边BC上的一个动点，BC＝6，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC交边AB于点F，连接EF，则△DEF的面积最大值为 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 登封市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BA的延长线上，且AE∥BC，点F为AC的中点，连接EF并延长，交BC于点G．
（1）求证：AE平分∠DAC；
（2）若AE＝6，AB＝8，GC＝2BG，求△ABC的周长．
14．（2024秋 承德县期末）在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC．
（1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD；
（2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长．
15．（2024秋 金安区期末）如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，连结BD并延长到点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，交AB于点G．
（1）若BD＝DE，求证：CD＝DF；
（2）若BG＝GE，∠ACB＝70°，∠E＝25°，求∠A的度数．
13.1 三角形的概念
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025春 金水区期末）在△ABC中，∠B＝70°，AD，AE分别为△ABC的角平分线和高线，若AB＝AD，则∠C的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】由等腰三角形的性质推出∠ADB＝∠B＝70°，由三角形内角和定理求出∠BAD＝40°，由角平分线定义得到∠DAC＝∠BAD＝40°，由三角形的外角性质即可求出∠C的度数．
【解答】解：∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝70°，
∴∠BAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAD＝40°，
∴∠C＝∠ADB﹣∠DAC＝30°．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角性质，关键是由等腰三角形的性质推出∠ADB＝∠B，由三角形的外角性质推出∠C＝∠ADB﹣∠DAC．
2．（2025春 莲湖区期末）已知等腰三角形的一边长为5，且其有一个内角的度数为60°，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．10 B．15 C．18 D．20
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意可证明该三角形是等边三角形，据此可得答案．
【解答】解：∵一个等腰三角形的一个内角为60°，
∴该等腰三角形是等边三角形，
又∵其一边长为5，
∴它的周长是5×3＝15．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是相关性质的熟练掌握．
3．（2025春 沙坪坝区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠BCD＝α，则∠BAD＝（ ）
A． B． C． D．360°﹣2α
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】由等腰三角形的性质推出∠B＝∠ACB，∠D＝∠ACD，得到∠B+∠D＝∠BCD＝α，由四边形内角和是360°即可求出∠BAD的度数．
【解答】解：∵AB＝AC＝AD，
∴∠B＝∠ACB，∠D＝∠ACD，
∴∠B+∠D＝∠ACB+∠ACD＝∠BCD＝α，
∴∠BAD＝360°﹣（∠B+∠D+∠BCD）＝360°﹣2α．
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等边对等角．
4．（2025 钱塘区三模）如图，在△ABC中，∠A＝45°，D为AC上一点，BC＝BD，过点C作CE⊥BD于点E，交AB于点F．若∠ABD＝α（0°＜α＜45°），则∠BCF的大小为（ ）
A．2a B．45°﹣α C．45°+α D．90°﹣α
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据三角形外角性质求出∠BDC＝45°+α，根据等腰三角形的性质求出∠BCD＝∠BDC＝45°+α，进而得∠CBD＝90°﹣2α，然后根据CE⊥BD即可得出∠BCF的度数．
【解答】解：在△ABD中，∠A＝45°，∠ABD＝α（0°＜α＜45°），
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝45°+α，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC＝45°+α，
在△BCD中，∠CBD＝180°﹣（∠BCD+∠BDC）＝180°﹣（45°+α+45°+α）＝90°﹣2α，
∵CE⊥BD，
∴∠BCF+∠CBD＝90°，
∴∠BCF＝90°﹣∠CBD＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α，
故选：A．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键．
5．（2024秋 昆明期末）如图，将等边△APQ的边PQ向两边延长，使PB＝QC＝PQ，则∠BAC的度数为（ ）
A．120° B．110° C．100° D．90°
【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质得到其三个内角都为60°，PQ＝AP＝AQ，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出∠BAP＝∠QAC＝30°，然后利用三个角相加即可求出所求角的度数．
【解答】解：∵△APQ为等边三角形，
∴PQ＝AP＝AQ，∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，
∵PB＝QC＝PQ，
∴BP＝QC＝PQ＝AP＝AQ，
∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，
∵∠B+∠BAP＝∠APQ，∠C+∠CAQ＝∠AQP，
∴∠BAP＝∠QAC＝30°，
∴∠BAC＝∠BAP+∠PAQ+∠QAC＝30°+60°+30°＝120°．
故选：A．
【点评】此题主要考查等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．
6．（2025春 博山区期末）如图：在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，若BD＝BC，则∠A等于（ ）
A．30° B．36° C．40° D．42°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】设∠ABD＝x°，由条件结合等腰三角形的性质可证明∠A＝x°，在△ABC中由三角形内角和定理列出方程可求得x，可求得∠A．
【解答】解：设∠ABD＝x°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝x°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2x°，
又∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝2x°，
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°，
∴∠A＝x°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
解得x＝36，
∴∠A＝36°，
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键．
7．（2024秋 管城区校级期末）在△ACD中，点E在AD上，并且CE＝AC＝DE，若AB平行CD，∠BAD＝25°，则∠CAB＝（ ）
A．50° B．55° C．60° D．75°
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质得出∠ADC＝∠BAD＝25°，再由三角形外角的性质以及等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠BAD＝25°，
∴∠ADC＝∠BAD＝25°，
∵CE＝DE，
∴∠DCE＝∠ADC＝25°，
∴∠AEC＝∠DCE+∠ADC＝50°，
∵CE＝AC，
∴∠CAE＝∠AEC＝50°，
∴∠CAB＝∠CAE+∠BAD＝75°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 市中区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝35°，点D为BC的中点，则∠CAD＝ 55 °．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】55．
【分析】由等腰三角形的性质推出∠C＝∠B＝35°，AD⊥BC，由直角三角形的性质即可求出∠CAD＝55°．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝35°，
∵点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝55°．
故答案为：55．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等边对等角．
9．（2025春 淮阴区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝6，则DE的长为 3 ．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】3．
【分析】由等腰三角形的性质得到∠ADC＝90°，由直角三角形斜边中线的性质推出DEAC＝3．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵E为AC的中点，
∴DEAC，
∵AB＝6，
∴DE6＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线，关键是由等腰三角形的性质得到∠ADC＝90°，由直角三角形斜边中线的性质推出DEAC．
10．（2025 广西）如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD，则AD＝ 1 ．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】1．
【分析】延长AD交BC于E，由AB＝CA，BD＝CD可得AE⊥BC，BE＝CE，根据等边三角形的性质以及勾股定理可得AE，DE＝1，即可求解．
【解答】解：延长AD交BC于E，
∵AB＝CA，BD＝CD，
∴AE⊥BC，BE＝CE，
∵AB＝BC＝CA＝2，
∴BE＝CE＝1，
∴AE，DE1，
∴AD＝AE﹣DE1．
故答案为：1．
【点评】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的性质以及勾股定理是本题的关键．
11．（2025 玄武区二模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴上，OA＝AB，C是AB的中点，CD⊥OA，垂足为D．若A（5，0），D（3.5，0），则点B的坐标是 （2，4） ．
【考点】等腰三角形的性质；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（2，4）．
【分析】过点B作BH⊥x轴于H，则CD∥BH，根据C是AB的中点得CD是△ABH的中位线，DH＝AD＝1.5，可得OH＝2，由题意得OA＝AB＝5，ACAB＝2.5，AD＝5﹣3.5＝1.5，利用勾股定理求出CD＝2，可得BH＝2CD＝4，即可求解．
【解答】解：过点B作BH⊥x轴于H，
∵A（5，0），D（3.5，0），
∴OA＝AB＝5，AD＝5﹣3.5＝1.5，
∵CD⊥OA，BH⊥x轴，
∴CD∥BH，
∵C是AB的中点，
∴CD是△ABH的中位线，DH＝AD＝1.5，
∴OH＝5﹣1.5﹣1.5＝2，
∵OA＝AB＝5，C是AB的中点，
∴ACAB＝2.5，
∴CD2，
∴BH＝2CD＝4，
∴点B的坐标是（2，4）．
故答案为：（2，4）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质、三角形的中位线、等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键．
12．（2025 长沙模拟）如图，点D为等边△ABC的边BC上的一个动点，BC＝6，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC交边AB于点F，连接EF，则△DEF的面积最大值为 ．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；推理能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先利用等边三角形的性质和已知条件得到∠BFD＝∠CDE＝30°，∠FDE＝60°，设BD＝x，然后用x分别表示DF、CD、DE，如图，过F作FH⊥⊥DE于H，在Rt△EFD中，用x表示FH，最后利用三角形的面积公式建立二次函数模型即可求解．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵DE⊥AC于点E，DF⊥BC交边AB于点F，
∴∠BFD＝∠CDE＝30°，∠FDE＝60°，
设BD＝x，
∴DFx，
∵BC＝6，
∴CD＝6﹣x，
∴DE（6﹣x），
如图，过F作FH⊥DE于H，
在Rt△EFD中，FHFDxx，
∴S△DEFDE×FH
x（6﹣x）
（﹣x2+6x）
（x﹣3）2，
∴当x＝3时，△DEF的面积最大值为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，同时也利用了含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是建立二次函数的模型求出最值．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 登封市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BA的延长线上，且AE∥BC，点F为AC的中点，连接EF并延长，交BC于点G．
（1）求证：AE平分∠DAC；
（2）若AE＝6，AB＝8，GC＝2BG，求△ABC的周长．
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）25．
【分析】（1）由平行线的性质推出∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE．由等腰三角形的性质推出∠B＝∠C，得到∠DAE＝∠CAE，即可证明AE平分∠DAC；
（2）判定△AFE≌△CFG（ASA），推出CG＝AE＝6，求出BG＝3，得到BC＝9，即可求出△ABC 的周长．
【解答】（1）证明：AE∥BC，
∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠DAE＝∠CAE，
∴AE平分∠DAC；
（2）解：点F是AC的中点，
∴AF＝CF，
∵AE∥BC，
∴∠EAF＝∠BCA，
在△AFE和△CFG 中，
∴△AFE≌△CFG（ASA），
∴CG＝AE＝6，
∵GC＝2BG，
∴BG＝3，
∴BC＝BG+CG＝9．
∵AC＝AB＝8，
∴△ABC 的周长＝AB+AC+BC＝8+8+9＝25．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，关键是掌握等边对等角，判定△AFE≌△CFG（ASA），推出CG＝AE．
14．（2024秋 承德县期末）在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC．
（1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD；
（2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【答案】（1）证明见解答；
（2）14．
【分析】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED＝EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得；
（2）根据AAS可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠A＝∠ACB＝60°，
∵EB＝AE，
∴CE⊥AB，CE是∠ACB的角平分线，
∴∠BEC＝90°，∠BCE＝30°，
∴2EB＝BC，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝30°，
∴∠DEB＝60°﹣30°＝30°，
∴BD＝BE，
∴2BD＝BC；
（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，
∴∠EDB＝∠FEC，
在△BDE和△FEC中，
，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD＝EF，
∴AE＝BD，
∴CD＝BC+BD＝12+2＝14．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质和判定，利用全等得到BD＝EF，再找EF和AE的关系是解题的关键．
15．（2024秋 金安区期末）如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，连结BD并延长到点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，交AB于点G．
（1）若BD＝DE，求证：CD＝DF；
（2）若BG＝GE，∠ACB＝70°，∠E＝25°，求∠A的度数．
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）60°．
【分析】（1）由平行线的性质证得∠E＝∠CBD，根据全等三角形判定证得△BCD≌△EFD，由全等三角形的性质即可得到CD＝DF；
（2）由平行线的性质和等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，根据三角形内角和定理即可求出∠A．
【解答】（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠E＝∠CBD，
在△BCD和△EFD中，
，
∴△BCD≌△EFD（ASA），
∴CD＝DF；
（2）解：∵BG＝GE，
∴∠GBE＝∠E＝25°，
由（1）知∠E＝∠CBD＝25°，
∴∠ABC＝∠GBE+∠CBD＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣70°＝60°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质．解题的关键：（1）证明△BCD≌△EFD；（2）由平行线的性质和等腰三角形的性质求出∠ABC的度数．
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13.1 三角形的概念
一．选择题（共7小题）
1．（2025春 金水区期末）在△ABC中，∠B＝70°，AD，AE分别为△ABC的角平分线和高线，若AB＝AD，则∠C的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
2．（2025春 莲湖区期末）已知等腰三角形的一边长为5，且其有一个内角的度数为60°，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．10 B．15 C．18 D．20
3．（2025春 沙坪坝区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠BCD＝α，则∠BAD＝（ ）
A． B． C． D．360°﹣2α
4．（2025 钱塘区三模）如图，在△ABC中，∠A＝45°，D为AC上一点，BC＝BD，过点C作CE⊥BD于点E，交AB于点F．若∠ABD＝α（0°＜α＜45°），则∠BCF的大小为（ ）
A．2a B．45°﹣α C．45°+α D．90°﹣α
5．（2024秋 昆明期末）如图，将等边△APQ的边PQ向两边延长，使PB＝QC＝PQ，则∠BAC的度数为（ ）
A．120° B．110° C．100° D．90°
6．（2025春 博山区期末）如图：在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，若BD＝BC，则∠A等于（ ）
A．30° B．36° C．40° D．42°
7．（2024秋 管城区校级期末）在△ACD中，点E在AD上，并且CE＝AC＝DE，若AB平行CD，∠BAD＝25°，则∠CAB＝（ ）
A．50° B．55° C．60° D．75°
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 市中区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝35°，点D为BC的中点，则∠CAD＝ °．
9．（2025春 淮阴区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝6，则DE的长为 ．
10．（2025 广西）如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD，则AD＝ ．
11．（2025 玄武区二模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴上，OA＝AB，C是AB的中点，CD⊥OA，垂足为D．若A（5，0），D（3.5，0），则点B的坐标是 ．
12．（2025 长沙模拟）如图，点D为等边△ABC的边BC上的一个动点，BC＝6，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC交边AB于点F，连接EF，则△DEF的面积最大值为 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 登封市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BA的延长线上，且AE∥BC，点F为AC的中点，连接EF并延长，交BC于点G．
（1）求证：AE平分∠DAC；
（2）若AE＝6，AB＝8，GC＝2BG，求△ABC的周长．
14．（2024秋 承德县期末）在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC．
（1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD；
（2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长．
15．（2024秋 金安区期末）如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，连结BD并延长到点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，交AB于点G．
（1）若BD＝DE，求证：CD＝DF；
（2）若BG＝GE，∠ACB＝70°，∠E＝25°，求∠A的度数．
13.1 三角形的概念
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025春 金水区期末）在△ABC中，∠B＝70°，AD，AE分别为△ABC的角平分线和高线，若AB＝AD，则∠C的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】由等腰三角形的性质推出∠ADB＝∠B＝70°，由三角形内角和定理求出∠BAD＝40°，由角平分线定义得到∠DAC＝∠BAD＝40°，由三角形的外角性质即可求出∠C的度数．
【解答】解：∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝70°，
∴∠BAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAD＝40°，
∴∠C＝∠ADB﹣∠DAC＝30°．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角性质，关键是由等腰三角形的性质推出∠ADB＝∠B，由三角形的外角性质推出∠C＝∠ADB﹣∠DAC．
2．（2025春 莲湖区期末）已知等腰三角形的一边长为5，且其有一个内角的度数为60°，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．10 B．15 C．18 D．20
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．
【答案】B
【分析】根据题意可证明该三角形是等边三角形，据此可得答案．
【解答】解：∵一个等腰三角形的一个内角为60°，
∴该等腰三角形是等边三角形，
又∵其一边长为5，
∴它的周长是5×3＝15．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是相关性质的熟练掌握．
3．（2025春 沙坪坝区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠BCD＝α，则∠BAD＝（ ）
A． B． C． D．360°﹣2α
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】由等腰三角形的性质推出∠B＝∠ACB，∠D＝∠ACD，得到∠B+∠D＝∠BCD＝α，由四边形内角和是360°即可求出∠BAD的度数．
【解答】解：∵AB＝AC＝AD，
∴∠B＝∠ACB，∠D＝∠ACD，
∴∠B+∠D＝∠ACB+∠ACD＝∠BCD＝α，
∴∠BAD＝360°﹣（∠B+∠D+∠BCD）＝360°﹣2α．
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等边对等角．
4．（2025 钱塘区三模）如图，在△ABC中，∠A＝45°，D为AC上一点，BC＝BD，过点C作CE⊥BD于点E，交AB于点F．若∠ABD＝α（0°＜α＜45°），则∠BCF的大小为（ ）
A．2a B．45°﹣α C．45°+α D．90°﹣α
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据三角形外角性质求出∠BDC＝45°+α，根据等腰三角形的性质求出∠BCD＝∠BDC＝45°+α，进而得∠CBD＝90°﹣2α，然后根据CE⊥BD即可得出∠BCF的度数．
【解答】解：在△ABD中，∠A＝45°，∠ABD＝α（0°＜α＜45°），
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝45°+α，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC＝45°+α，
在△BCD中，∠CBD＝180°﹣（∠BCD+∠BDC）＝180°﹣（45°+α+45°+α）＝90°﹣2α，
∵CE⊥BD，
∴∠BCF+∠CBD＝90°，
∴∠BCF＝90°﹣∠CBD＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α，
故选：A．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键．
5．（2024秋 昆明期末）如图，将等边△APQ的边PQ向两边延长，使PB＝QC＝PQ，则∠BAC的度数为（ ）
A．120° B．110° C．100° D．90°
【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据等边三角形的性质得到其三个内角都为60°，PQ＝AP＝AQ，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出∠BAP＝∠QAC＝30°，然后利用三个角相加即可求出所求角的度数．
【解答】解：∵△APQ为等边三角形，
∴PQ＝AP＝AQ，∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，
∵PB＝QC＝PQ，
∴BP＝QC＝PQ＝AP＝AQ，
∴∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ，
∵∠B+∠BAP＝∠APQ，∠C+∠CAQ＝∠AQP，
∴∠BAP＝∠QAC＝30°，
∴∠BAC＝∠BAP+∠PAQ+∠QAC＝30°+60°+30°＝120°．
故选：A．
【点评】此题主要考查等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质是解题的关键．
6．（2025春 博山区期末）如图：在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，若BD＝BC，则∠A等于（ ）
A．30° B．36° C．40° D．42°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】设∠ABD＝x°，由条件结合等腰三角形的性质可证明∠A＝x°，在△ABC中由三角形内角和定理列出方程可求得x，可求得∠A．
【解答】解：设∠ABD＝x°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝x°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2x°，
又∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠C＝2x°，
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°，
∴∠A＝x°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
解得x＝36，
∴∠A＝36°，
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键．
7．（2024秋 管城区校级期末）在△ACD中，点E在AD上，并且CE＝AC＝DE，若AB平行CD，∠BAD＝25°，则∠CAB＝（ ）
A．50° B．55° C．60° D．75°
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质得出∠ADC＝∠BAD＝25°，再由三角形外角的性质以及等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠BAD＝25°，
∴∠ADC＝∠BAD＝25°，
∵CE＝DE，
∴∠DCE＝∠ADC＝25°，
∴∠AEC＝∠DCE+∠ADC＝50°，
∵CE＝AC，
∴∠CAE＝∠AEC＝50°，
∴∠CAB＝∠CAE+∠BAD＝75°．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 市中区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝35°，点D为BC的中点，则∠CAD＝ 55 °．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】55．
【分析】由等腰三角形的性质推出∠C＝∠B＝35°，AD⊥BC，由直角三角形的性质即可求出∠CAD＝55°．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝35°，
∵点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝55°．
故答案为：55．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等边对等角．
9．（2025春 淮阴区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝6，则DE的长为 3 ．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】3．
【分析】由等腰三角形的性质得到∠ADC＝90°，由直角三角形斜边中线的性质推出DEAC＝3．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵E为AC的中点，
∴DEAC，
∵AB＝6，
∴DE6＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线，关键是由等腰三角形的性质得到∠ADC＝90°，由直角三角形斜边中线的性质推出DEAC．
10．（2025 广西）如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD，则AD＝ 1 ．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】1．
【分析】延长AD交BC于E，由AB＝CA，BD＝CD可得AE⊥BC，BE＝CE，根据等边三角形的性质以及勾股定理可得AE，DE＝1，即可求解．
【解答】解：延长AD交BC于E，
∵AB＝CA，BD＝CD，
∴AE⊥BC，BE＝CE，
∵AB＝BC＝CA＝2，
∴BE＝CE＝1，
∴AE，DE1，
∴AD＝AE﹣DE1．
故答案为：1．
【点评】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的性质以及勾股定理是本题的关键．
11．（2025 玄武区二模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴上，OA＝AB，C是AB的中点，CD⊥OA，垂足为D．若A（5，0），D（3.5，0），则点B的坐标是 （2，4） ．
【考点】等腰三角形的性质；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（2，4）．
【分析】过点B作BH⊥x轴于H，则CD∥BH，根据C是AB的中点得CD是△ABH的中位线，DH＝AD＝1.5，可得OH＝2，由题意得OA＝AB＝5，ACAB＝2.5，AD＝5﹣3.5＝1.5，利用勾股定理求出CD＝2，可得BH＝2CD＝4，即可求解．
【解答】解：过点B作BH⊥x轴于H，
∵A（5，0），D（3.5，0），
∴OA＝AB＝5，AD＝5﹣3.5＝1.5，
∵CD⊥OA，BH⊥x轴，
∴CD∥BH，
∵C是AB的中点，
∴CD是△ABH的中位线，DH＝AD＝1.5，
∴OH＝5﹣1.5﹣1.5＝2，
∵OA＝AB＝5，C是AB的中点，
∴ACAB＝2.5，
∴CD2，
∴BH＝2CD＝4，
∴点B的坐标是（2，4）．
故答案为：（2，4）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质、三角形的中位线、等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键．
12．（2025 长沙模拟）如图，点D为等边△ABC的边BC上的一个动点，BC＝6，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC交边AB于点F，连接EF，则△DEF的面积最大值为 ．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；推理能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先利用等边三角形的性质和已知条件得到∠BFD＝∠CDE＝30°，∠FDE＝60°，设BD＝x，然后用x分别表示DF、CD、DE，如图，过F作FH⊥⊥DE于H，在Rt△EFD中，用x表示FH，最后利用三角形的面积公式建立二次函数模型即可求解．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵DE⊥AC于点E，DF⊥BC交边AB于点F，
∴∠BFD＝∠CDE＝30°，∠FDE＝60°，
设BD＝x，
∴DFx，
∵BC＝6，
∴CD＝6﹣x，
∴DE（6﹣x），
如图，过F作FH⊥DE于H，
在Rt△EFD中，FHFDxx，
∴S△DEFDE×FH
x（6﹣x）
（﹣x2+6x）
（x﹣3）2，
∴当x＝3时，△DEF的面积最大值为．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，同时也利用了含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是建立二次函数的模型求出最值．
三．解答题（共3小题）
13．（2025春 登封市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BA的延长线上，且AE∥BC，点F为AC的中点，连接EF并延长，交BC于点G．
（1）求证：AE平分∠DAC；
（2）若AE＝6，AB＝8，GC＝2BG，求△ABC的周长．
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）25．
【分析】（1）由平行线的性质推出∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE．由等腰三角形的性质推出∠B＝∠C，得到∠DAE＝∠CAE，即可证明AE平分∠DAC；
（2）判定△AFE≌△CFG（ASA），推出CG＝AE＝6，求出BG＝3，得到BC＝9，即可求出△ABC 的周长．
【解答】（1）证明：AE∥BC，
∴∠B＝∠DAE，∠C＝∠CAE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠DAE＝∠CAE，
∴AE平分∠DAC；
（2）解：点F是AC的中点，
∴AF＝CF，
∵AE∥BC，
∴∠EAF＝∠BCA，
在△AFE和△CFG 中，
∴△AFE≌△CFG（ASA），
∴CG＝AE＝6，
∵GC＝2BG，
∴BG＝3，
∴BC＝BG+CG＝9．
∵AC＝AB＝8，
∴△ABC 的周长＝AB+AC+BC＝8+8+9＝25．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，关键是掌握等边对等角，判定△AFE≌△CFG（ASA），推出CG＝AE．
14．（2024秋 承德县期末）在等边三角形ABC中，点E在AB边上，点D在CB的延长线上，且DE＝EC．
（1）如图1，当E为AB中点时，求证：CB＝2BD；
（2）如图2，若AB＝12，AE＝2，求CD的长．
【考点】等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【答案】（1）证明见解答；
（2）14．
【分析】（1）由E为等边三角形AB边的中点，利用三线合一得到CE垂直于AB，且CE为角平分线，由ED＝EC，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得；
（2）根据AAS可得△DBE≌△EFC，由BC+DB求出CD的长即可．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠A＝∠ACB＝60°，
∵EB＝AE，
∴CE⊥AB，CE是∠ACB的角平分线，
∴∠BEC＝90°，∠BCE＝30°，
∴2EB＝BC，
∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝30°，
∴∠DEB＝60°﹣30°＝30°，
∴BD＝BE，
∴2BD＝BC；
（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，
∴∠EDB＝∠FEC，
在△BDE和△FEC中，
，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD＝EF，
∴AE＝BD，
∴CD＝BC+BD＝12+2＝14．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质和判定，利用全等得到BD＝EF，再找EF和AE的关系是解题的关键．
15．（2024秋 金安区期末）如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，连结BD并延长到点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，交AB于点G．
（1）若BD＝DE，求证：CD＝DF；
（2）若BG＝GE，∠ACB＝70°，∠E＝25°，求∠A的度数．
【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）60°．
【分析】（1）由平行线的性质证得∠E＝∠CBD，根据全等三角形判定证得△BCD≌△EFD，由全等三角形的性质即可得到CD＝DF；
（2）由平行线的性质和等腰三角形的性质求出∠ABC的度数，根据三角形内角和定理即可求出∠A．
【解答】（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠E＝∠CBD，
在△BCD和△EFD中，
，
∴△BCD≌△EFD（ASA），
∴CD＝DF；
（2）解：∵BG＝GE，
∴∠GBE＝∠E＝25°，
由（1）知∠E＝∠CBD＝25°，
∴∠ABC＝∠GBE+∠CBD＝50°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣70°＝60°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质．解题的关键：（1）证明△BCD≌△EFD；（2）由平行线的性质和等腰三角形的性质求出∠ABC的度数．
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