第2章 有理数的运算（新课预习.含解析）-2025-2026学年七年级上册数学人教版（2024）
文档属性
| 名称 | 第2章 有理数的运算（新课预习.含解析）-2025-2026学年七年级上册数学人教版（2024） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 167.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-07 15:40:07 | ||
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文档简介
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第2章 有理数的运算
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 襄都区期末）下列计算正确的是（ ）
A．﹣3+2＝﹣5
B．（﹣2）×（﹣3）＝﹣6
C．
D．
2．（2025春 滨海新区校级月考）计算（﹣5）+（﹣8）的结果等于（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣13 D．13
3．（2025 游仙区模拟）已知a＜0，且|a+b|＞|a﹣b|，那么必有（ ）
A．b＜0 B．b＞0 C．a＜b D．a＞b
4．（2024秋 鄠邑区期末）一年365天有31536000秒．数31536000用科学记数法表示应为（ ）
A．3.1536×108 B．3.1536×107
C．0.31536×106 D．0.31536×107
5．（2024秋 许昌期末）计算的式子为（ ）
A．2×10+212 B．210+2×12 C．2×10+2×12 D．210+212
6．（2024秋 淮南期末）有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论：①b﹣a＞0；②|a|＜|b|；③a+b＞0；④，⑤|b+a|＝|b|﹣|a|．其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．（2024秋 遵义期末）下列运算正确的是（ ）
A．6÷（﹣2）＝﹣3 B．23＝6 C．﹣5+5＝﹣10 D．|+2|＝﹣2
8．（2024秋 黄冈期末）如图所示是某计算程序，若输入数字2，则最后输出的结果是（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
二．填空题（共7小题）
9．（2024秋 中宁县期末）我们规定：使得a﹣b＝2ab成立的一对数a，b为“有趣数对”，记为（a，b）．例如，因为（﹣1）﹣1＝2×（﹣1）×1，所以数对（﹣1，1）都是“有趣数对”．若（k，﹣3）是“有趣数对”，则k的值为 ．
10．（2024秋 綦江区期末）若a、b互为相反数，c和d互为倒数，m是最小的正整数，则a+b+cd+m2024的值是 ．
11．（2024秋 重庆期末）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如：十进制数“27”用十六进制表示就是“1B”（因为27＝16+11），同理，用十进制表示的加法“15+14＝29”，在十六进制下的加法为“F+E＝1D”，那么在十六进制下，B×E＝ ．
12．（2024秋 洪雅县期末）把写成乘方形式 ．
13．（2024秋 乐清市期末）毛利率的计算公式为：毛利率，若A商品每千克进价为60元，售价为80元，则A商品每千克的毛利率为 ．
14．（2024秋 威信县期末）用“※”定义新运算：对于任意实数a、b，都有a※b＝a2﹣b+1．那么（﹣3）※8＝ ．
15．（2024秋 源城区期末）的倒数为 ，相反数为 ，绝对值是 ．
三．解答题（共8小题）
16．（2024秋 鹿寨县期末）计算：．
17．（2024秋 通许县期末）计算．
（1）；
（2）如果|a+1|+（b﹣2）2＝0．求（a+b）2024+a2023﹣（3ab﹣a）的值．
18．（2024秋 鲁山县期末）为庆祝教师节，今年教师节当天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送教师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：km）：+14，﹣4，+8，﹣10，﹣12，+5，﹣13．
（1）将最后一位教师送到目的地时，小王在出发地点哪边？距出发地点的距离是多少km？
（2）小王送完第 位教师后距离第一次的出发地点最远？最远距离是 km．
（3）如果小王的汽车耗油量为0.08L/km，这天上午他的汽车共耗油多少L？
19．（2024秋 渭城区期末）某学校图书馆以每天借出图书50册为标准，超出50册的部分记为“+”；不足50册的部分记为“﹣”．本学期第12周星期一至星期五图书馆借出图书记录如下：
星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
与标准的差/册 ﹣1 +14 +7 ﹣2 ﹣8
（1）求星期五借出图书的册数；
（2）星期二比星期四多借出图书多少册？
（3）求这五天平均每天借出图书的册数．
20．（2024秋 武威期末）若a、b互为倒数，c、d互为相反数，|m|＝3，则求（ab）2025﹣3（c+d）2024+2m的值．
21．（2024秋 武威期末）某登山队4名队员以二号高地为基地开始向500米的峰顶冲击，设他们向上走为正，行程记录如下（单位：米）：
+150，﹣35，﹣42，+200，+30，+20，﹣21，+63，﹣25，+90．
（1）此时他们是否登上峰顶？若没有，他们离峰顶还有多少米？
（2）登山时，4名队员在行进全程中都使用了氧气，且每人每米要消耗氧气0.04升，他们共消耗氧气多少升？
22．（2024秋 栖霞市期末）某学校数学活动小组在一次活动中有这样一道题：
计算：．
小组成员犇犇是个善于观察与思考的同学，他发现，这个算式可以看作是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，他利用这种关系，顺利的解答了这道题．
（1）前后两部分存在的关系是 ；
（2）请选择比较筒单的那一部分先进行计算，然后利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果 ；
（3）请求出原式的结果．
23．（2024秋 漳平市期末）阅读材料：对于任意有理数a，b，规定一种特别的运算“◎”：a◎b＝a2﹣2b2+ab．
例如，5◎2＝52﹣2×22+5×2＝27．
（1）求3◎（﹣1）的值；
（2）试探究这种特别的运算“◎”是否具有交换律？
第2章 有理数的运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 襄都区期末）下列计算正确的是（ ）
A．﹣3+2＝﹣5
B．（﹣2）×（﹣3）＝﹣6
C．
D．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】A．根据有理数的加法法则进行计算，然后判断即可；
B．根据两个数相乘法则进行计算，然后判断即可；
C．根据有理数的乘法法则进行计算，然后判断即可；
D．根据乘法的分配律进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A．∵﹣3+2＝﹣1，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B．∵（﹣2）×（﹣3）＝6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
D．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减乘除法则．
2．（2025春 滨海新区校级月考）计算（﹣5）+（﹣8）的结果等于（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣13 D．13
【考点】有理数的加法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】根据有理数的加法法则：同号两数相加，和取相同的符号，再把绝对值相加，进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣（5+8）
＝﹣13，
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的加法，解题关键是熟练掌握有理数的加法法则．
3．（2025 游仙区模拟）已知a＜0，且|a+b|＞|a﹣b|，那么必有（ ）
A．b＜0 B．b＞0 C．a＜b D．a＞b
【考点】有理数的减法；绝对值；有理数的加法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】由|a+b|＞|a﹣b|得到（a+b）2＞（a﹣b）2，然后利用完全平方公式展开整理得到4ab＞0，然后利用不等式的性质求解即可．
【解答】解：根据题意可知，（a+b）2＞（a﹣b）2，
∴a2+2ab+b2＞a2﹣2ab+b2，
∴4ab＞0，
∵a＜0，
∴b＜0．
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的减法，有理数的加法，绝对值，掌握相应的运算法则是关键．
4．（2024秋 鄠邑区期末）一年365天有31536000秒．数31536000用科学记数法表示应为（ ）
A．3.1536×108 B．3.1536×107
C．0.31536×106 D．0.31536×107
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】运用科学记数法的定义进行求解．
【解答】解：由题意得，31536000＝3.1536×107，
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
5．（2024秋 许昌期末）计算的式子为（ ）
A．2×10+212 B．210+2×12 C．2×10+2×12 D．210+212
【考点】有理数的乘方；有理数的乘法．
【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】由乘法的意义知10个2相加可表示为2×10，由乘方意义可得12个2相乘表示为212，据此即可解答．
【解答】解：原式＝2×10+212，
故选：A．
【点评】本题考查了乘法和乘方的意义，理解乘方和乘法的意义是解题关键．
6．（2024秋 淮南期末）有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论：①b﹣a＞0；②|a|＜|b|；③a+b＞0；④，⑤|b+a|＝|b|﹣|a|．其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【考点】有理数的除法；数轴；绝对值；有理数的加法；有理数的减法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据数轴可得a＜0＜b，|a|＜|b|，然后利用有理数运算法则逐个判断即可．
【解答】解：根据数轴可知，a＜0＜b，|a|＜|b|，
∴b﹣a＞0，a+b＞0，，
∴|b+a|＝b+a，|b|﹣|a|＝b﹣（﹣a）＝b+a，
∴|b+a|＝|b|﹣|a|，
∴①正确，符合题意；
②正确，符合题意；
③正确，符合题意；
④错误，不符合题意；
⑤正确，符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值，有理数的加减法，有理数的除法，掌握相应的运算法则是关键．
7．（2024秋 遵义期末）下列运算正确的是（ ）
A．6÷（﹣2）＝﹣3 B．23＝6 C．﹣5+5＝﹣10 D．|+2|＝﹣2
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据有理数的运算法则，绝对值的意义，逐一进行判断即可．
【解答】解：A、6÷（﹣2）＝﹣3，正确，符合题意；
B、23＝8≠6，不符合题意；
C、﹣5+5＝0≠﹣10，不符合题意；
D、|+2|＝2≠﹣2，不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，涉及到绝对值，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．
8．（2024秋 黄冈期末）如图所示是某计算程序，若输入数字2，则最后输出的结果是（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】将x＝2代入程序图，根据有理数的乘法与减法法则进行计算，直到计算结果大于10即可得．
【解答】解：根据有理数的乘法与减法法则进行计算可得：
输入x＝2时，输出的结果为2×4﹣2＝6＜10，
输入x＝6时，输出的结果为6×4﹣2＝24﹣2＝22＞10，
故选：A．
【点评】本题考查了有理数乘法与减法的应用，读懂计算程序图是解题的关键．
二．填空题（共7小题）
9．（2024秋 中宁县期末）我们规定：使得a﹣b＝2ab成立的一对数a，b为“有趣数对”，记为（a，b）．例如，因为（﹣1）﹣1＝2×（﹣1）×1，所以数对（﹣1，1）都是“有趣数对”．若（k，﹣3）是“有趣数对”，则k的值为 ．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用“有趣数对”的定义列出方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：∵（k，﹣3）是“有趣数对”，
∴k﹣（﹣3）＝2×k×（﹣3），
∴k+3＝﹣6k，
∴7k＝﹣3，
∴k．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是阅读型题目，理解新定义并熟练运用是解题的关键．
10．（2024秋 綦江区期末）若a、b互为相反数，c和d互为倒数，m是最小的正整数，则a+b+cd+m2024的值是 2 ．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】2．
【分析】由题意知a+b＝0，cd＝1，m＝1，再代入计算即可．
【解答】解：由题意知a+b＝0，cd＝1，m＝1，
则原式＝0+1+12024
＝0+1+1
＝2．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握相反数的性质、倒数的定义、有理数的概念及有理数的混合运算顺序和运算法则．
11．（2024秋 重庆期末）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如：十进制数“27”用十六进制表示就是“1B”（因为27＝16+11），同理，用十进制表示的加法“15+14＝29”，在十六进制下的加法为“F+E＝1D”，那么在十六进制下，B×E＝ 9A ．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】9A．
【分析】先计算11×14，然后根据十进制转化为十六进制的方法，即可写出在十六进制下，B×E的结果．
【解答】解：∵11×14＝154＝16×9+10，
∴B×E＝9A，
故答案为：9A．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握十进制转化为十六进制的方法．
12．（2024秋 洪雅县期末）把写成乘方形式 （）6 ．
【考点】有理数的乘方；有理数的乘法．
【专题】实数；数感．
【答案】（）6．
【分析】根据乘方的定义即可解决问题．
【解答】解：原式＝（）6＝（）6，
故答案为：（）6．
【点评】本题考查有理数的乘方，有理数的乘法，解决本题的关键是掌握有理数的乘方定义．
13．（2024秋 乐清市期末）毛利率的计算公式为：毛利率，若A商品每千克进价为60元，售价为80元，则A商品每千克的毛利率为 0.25 ．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】0.25．
【分析】根据题意列式计算即可．
【解答】解：（80﹣60）÷80
＝20÷80
＝0.25，
即A商品每千克的毛利率为0.25，
故答案为：0.25．
【点评】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
14．（2024秋 威信县期末）用“※”定义新运算：对于任意实数a、b，都有a※b＝a2﹣b+1．那么（﹣3）※8＝ 2 ．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据题意列式计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣3）2﹣8+1
＝9﹣8+1
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
15．（2024秋 源城区期末）的倒数为 ，相反数为 ，绝对值是 ．
【考点】倒数；相反数；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，负数的绝对值是它的相反数，可得答案．
【解答】解：根据倒数、相反数和绝对值的定义得：
的倒数是，相反数是，绝对值是．
故答案为：，，．
【点评】本题考查了倒数，相反数，绝对值．解题的关键是掌握绝对值、相反数、倒数的定义，a的相反数是﹣a，a（a≠0）的倒数是，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，难度适中．
三．解答题（共8小题）
16．（2024秋 鹿寨县期末）计算：．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】按照有理数混合运算法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减即可．
【解答】解：原式
＝﹣10+6
＝﹣4．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握有理数混合运算法则．
17．（2024秋 通许县期末）计算．
（1）；
（2）如果|a+1|+（b﹣2）2＝0．求（a+b）2024+a2023﹣（3ab﹣a）的值．
【考点】有理数的混合运算；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）﹣44；
（2）5．
【分析】（1）先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可；
（2）根据非负数的性质可以求得a＝﹣1，b＝2，然后代入所求式子计算即可．
【解答】解：（1）
＝﹣89﹣12×（）
＝﹣45+1
＝﹣44；
（2）∵|a+1|+（b﹣2）2＝0，
∴a+1＝0，b﹣2＝0，
解得a＝﹣1，b＝2，
∴（a+b）2024+a2023﹣（3ab﹣a）
＝（﹣1+2）2024+（﹣1）2023﹣[3×（﹣1）×2﹣（﹣1）]
＝12024+（﹣1）2023﹣（﹣6+1）
＝1+（﹣1）﹣（﹣5）
＝0+5
＝5．
【点评】本题考查有理数混合运算、非负数的性质，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．
18．（2024秋 鲁山县期末）为庆祝教师节，今年教师节当天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送教师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：km）：+14，﹣4，+8，﹣10，﹣12，+5，﹣13．
（1）将最后一位教师送到目的地时，小王在出发地点哪边？距出发地点的距离是多少km？
（2）小王送完第 3 位教师后距离第一次的出发地点最远？最远距离是 18 km．
（3）如果小王的汽车耗油量为0.08L/km，这天上午他的汽车共耗油多少L？
【考点】有理数的混合运算；正数和负数；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）将最后一位教师送到目的地时，小王在出发地点的西边，距出发地点的距离是12km；
（2）3；18；
（3）5.28L．
【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（2）根据正数和负数的实际意义分别求得送完每位老师后与第一次的出发地点的距离后进行判断即可；
（3）根据绝对值的实际意义列式计算即可．
【解答】解：（1）+14﹣4+8﹣10﹣12+5﹣13＝﹣12（km），
那么将最后一位教师送到目的地时，小王在出发地点的西边，距出发地点的距离是12km；
（2）送完第1位老师后与第一次的出发地点的距离：|+14|＝14（km），
送完第2位老师后与第一次的出发地点的距离：|+14﹣4|＝10（km），
送完第3位老师后与第一次的出发地点的距离：|+14﹣4+8|＝18（km），
送完第4位老师后与第一次的出发地点的距离：|+14﹣4+8﹣10|＝8（km），
送完第5位老师后与第一次的出发地点的距离：|+14﹣4+8﹣10﹣12|＝4（km），
送完第6位老师后与第一次的出发地点的距离：|+14﹣4+8﹣10﹣12+5|＝1（km），
送完第7位老师后与第一次的出发地点的距离：|﹣12|＝12（km），
即小王送完第3位教师后距离第一次的出发地点最远，最远距离是18km，
故答案为：3；18；
（3）（14+4+8+10+12+5+13）×0.08
＝66×0.08
＝5.28（L），
即这天上午他的汽车共耗油5.28L．
【点评】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，绝对值，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
19．（2024秋 渭城区期末）某学校图书馆以每天借出图书50册为标准，超出50册的部分记为“+”；不足50册的部分记为“﹣”．本学期第12周星期一至星期五图书馆借出图书记录如下：
星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
与标准的差/册 ﹣1 +14 +7 ﹣2 ﹣8
（1）求星期五借出图书的册数；
（2）星期二比星期四多借出图书多少册？
（3）求这五天平均每天借出图书的册数．
【考点】有理数的混合运算；正数和负数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（3）根据正数和负数的实际意义列式计算即可．
【解答】解：（1）50﹣8＝42（册），
即星期五借出图书的册数为50册；
（2）14﹣（﹣2）
＝14+2
＝16（册），
即星期二比星期四多借出图书16册；
（3）50+（﹣1+14+7﹣2﹣8）÷5
＝50+10÷5
＝50+2
＝52（册），
即这五天平均每天借出图书的册数为52册．
【点评】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
20．（2024秋 武威期末）若a、b互为倒数，c、d互为相反数，|m|＝3，则求（ab）2025﹣3（c+d）2024+2m的值．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】7或﹣5．
【分析】根据a、b互为倒数，c、d互为相反数，|m|＝3，可以得到ab＝1，c+d＝0，m＝±3，然后代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵a、b互为倒数，c、d互为相反数，|m|＝3，
∴ab＝1，c+d＝0，m＝±3，
当m＝3时，（ab）2025﹣3（c+d）2024+2m
＝12025﹣3×02024+2×3
＝1﹣0+6
＝7；
当m＝﹣3时，（ab）2025﹣3（c+d）2024+2m
＝12025﹣3×02024+2×（﹣3）
＝1﹣0+（﹣6）
＝﹣5；
由上可得，（ab）2025﹣3（c+d）2024+2m的值为7或﹣5．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21．（2024秋 武威期末）某登山队4名队员以二号高地为基地开始向500米的峰顶冲击，设他们向上走为正，行程记录如下（单位：米）：
+150，﹣35，﹣42，+200，+30，+20，﹣21，+63，﹣25，+90．
（1）此时他们是否登上峰顶？若没有，他们离峰顶还有多少米？
（2）登山时，4名队员在行进全程中都使用了氧气，且每人每米要消耗氧气0.04升，他们共消耗氧气多少升？
【考点】有理数的混合运算；正数和负数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）此时他们没有登上峰顶，他们离峰顶还有70米；
（2）108.16升．
【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可．
【解答】解：（1）150﹣35﹣42+200+30+20﹣21+63﹣25+90＝430（米），
500﹣430＝70（米），
即此时他们没有登上峰顶，他们离峰顶还有70米；
（2）（150+35+42+200+30+20+21+63+25+90）×0.04×4
＝676×0.04×4
＝108.16（升），
即他们共消耗氧气108.16升．
【点评】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
22．（2024秋 栖霞市期末）某学校数学活动小组在一次活动中有这样一道题：
计算：．
小组成员犇犇是个善于观察与思考的同学，他发现，这个算式可以看作是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，他利用这种关系，顺利的解答了这道题．
（1）前后两部分存在的关系是 互为倒数 ；
（2）请选择比较筒单的那一部分先进行计算，然后利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果 ；
（3）请求出原式的结果．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）互为倒数；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据被除数和除数之间的关系得出互为倒数；
（2）根据乘法分配律进行计算得出答案，根据倒数的性质得出答案；
（3）根据有理数的加法计算法则得出答案．
【解答】解：（1）∵，
∴前后两部分直接存在的关系是互为倒数．
故答案为：互为倒数；
（2）
＝24﹣36+42﹣45+46
＝31；
由题意得另一部分的结果．
故答案为：；
（3）原式＝3131．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．
23．（2024秋 漳平市期末）阅读材料：对于任意有理数a，b，规定一种特别的运算“◎”：a◎b＝a2﹣2b2+ab．
例如，5◎2＝52﹣2×22+5×2＝27．
（1）求3◎（﹣1）的值；
（2）试探究这种特别的运算“◎”是否具有交换律？
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）4；
（2）不具有．
【分析】（1）根据题中定义的一种特别的运算“◎”规则代值求解即可得到答案；
（2）根据题中定义的一种特别的运算“◎”规则检验a◎b、b◎a的值是否相等即可验证．
【解答】解：（1）∵a◎b＝a2﹣2b2+ab，
∴原式＝32﹣2×（﹣1）2+3×（﹣1）＝4；
（2）由题意可得：
b◎a＝b2﹣2a2+ab，
若a2≠b2，则a2﹣2b2+ab≠b2﹣2a2+ab，即a◎b≠b◎a，
故这种特别的运算“◎”不具有交换律．
【点评】本题考查有理数混合运算，熟记相关运算法则是解决问题的关键．
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第2章 有理数的运算
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 襄都区期末）下列计算正确的是（ ）
A．﹣3+2＝﹣5
B．（﹣2）×（﹣3）＝﹣6
C．
D．
2．（2025春 滨海新区校级月考）计算（﹣5）+（﹣8）的结果等于（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣13 D．13
3．（2025 游仙区模拟）已知a＜0，且|a+b|＞|a﹣b|，那么必有（ ）
A．b＜0 B．b＞0 C．a＜b D．a＞b
4．（2024秋 鄠邑区期末）一年365天有31536000秒．数31536000用科学记数法表示应为（ ）
A．3.1536×108 B．3.1536×107
C．0.31536×106 D．0.31536×107
5．（2024秋 许昌期末）计算的式子为（ ）
A．2×10+212 B．210+2×12 C．2×10+2×12 D．210+212
6．（2024秋 淮南期末）有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论：①b﹣a＞0；②|a|＜|b|；③a+b＞0；④，⑤|b+a|＝|b|﹣|a|．其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．（2024秋 遵义期末）下列运算正确的是（ ）
A．6÷（﹣2）＝﹣3 B．23＝6 C．﹣5+5＝﹣10 D．|+2|＝﹣2
8．（2024秋 黄冈期末）如图所示是某计算程序，若输入数字2，则最后输出的结果是（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
二．填空题（共7小题）
9．（2024秋 中宁县期末）我们规定：使得a﹣b＝2ab成立的一对数a，b为“有趣数对”，记为（a，b）．例如，因为（﹣1）﹣1＝2×（﹣1）×1，所以数对（﹣1，1）都是“有趣数对”．若（k，﹣3）是“有趣数对”，则k的值为 ．
10．（2024秋 綦江区期末）若a、b互为相反数，c和d互为倒数，m是最小的正整数，则a+b+cd+m2024的值是 ．
11．（2024秋 重庆期末）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如：十进制数“27”用十六进制表示就是“1B”（因为27＝16+11），同理，用十进制表示的加法“15+14＝29”，在十六进制下的加法为“F+E＝1D”，那么在十六进制下，B×E＝ ．
12．（2024秋 洪雅县期末）把写成乘方形式 ．
13．（2024秋 乐清市期末）毛利率的计算公式为：毛利率，若A商品每千克进价为60元，售价为80元，则A商品每千克的毛利率为 ．
14．（2024秋 威信县期末）用“※”定义新运算：对于任意实数a、b，都有a※b＝a2﹣b+1．那么（﹣3）※8＝ ．
15．（2024秋 源城区期末）的倒数为 ，相反数为 ，绝对值是 ．
三．解答题（共8小题）
16．（2024秋 鹿寨县期末）计算：．
17．（2024秋 通许县期末）计算．
（1）；
（2）如果|a+1|+（b﹣2）2＝0．求（a+b）2024+a2023﹣（3ab﹣a）的值．
18．（2024秋 鲁山县期末）为庆祝教师节，今年教师节当天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送教师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：km）：+14，﹣4，+8，﹣10，﹣12，+5，﹣13．
（1）将最后一位教师送到目的地时，小王在出发地点哪边？距出发地点的距离是多少km？
（2）小王送完第 位教师后距离第一次的出发地点最远？最远距离是 km．
（3）如果小王的汽车耗油量为0.08L/km，这天上午他的汽车共耗油多少L？
19．（2024秋 渭城区期末）某学校图书馆以每天借出图书50册为标准，超出50册的部分记为“+”；不足50册的部分记为“﹣”．本学期第12周星期一至星期五图书馆借出图书记录如下：
星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
与标准的差/册 ﹣1 +14 +7 ﹣2 ﹣8
（1）求星期五借出图书的册数；
（2）星期二比星期四多借出图书多少册？
（3）求这五天平均每天借出图书的册数．
20．（2024秋 武威期末）若a、b互为倒数，c、d互为相反数，|m|＝3，则求（ab）2025﹣3（c+d）2024+2m的值．
21．（2024秋 武威期末）某登山队4名队员以二号高地为基地开始向500米的峰顶冲击，设他们向上走为正，行程记录如下（单位：米）：
+150，﹣35，﹣42，+200，+30，+20，﹣21，+63，﹣25，+90．
（1）此时他们是否登上峰顶？若没有，他们离峰顶还有多少米？
（2）登山时，4名队员在行进全程中都使用了氧气，且每人每米要消耗氧气0.04升，他们共消耗氧气多少升？
22．（2024秋 栖霞市期末）某学校数学活动小组在一次活动中有这样一道题：
计算：．
小组成员犇犇是个善于观察与思考的同学，他发现，这个算式可以看作是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，他利用这种关系，顺利的解答了这道题．
（1）前后两部分存在的关系是 ；
（2）请选择比较筒单的那一部分先进行计算，然后利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果 ；
（3）请求出原式的结果．
23．（2024秋 漳平市期末）阅读材料：对于任意有理数a，b，规定一种特别的运算“◎”：a◎b＝a2﹣2b2+ab．
例如，5◎2＝52﹣2×22+5×2＝27．
（1）求3◎（﹣1）的值；
（2）试探究这种特别的运算“◎”是否具有交换律？
第2章 有理数的运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 襄都区期末）下列计算正确的是（ ）
A．﹣3+2＝﹣5
B．（﹣2）×（﹣3）＝﹣6
C．
D．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】A．根据有理数的加法法则进行计算，然后判断即可；
B．根据两个数相乘法则进行计算，然后判断即可；
C．根据有理数的乘法法则进行计算，然后判断即可；
D．根据乘法的分配律进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A．∵﹣3+2＝﹣1，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B．∵（﹣2）×（﹣3）＝6，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
D．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握有理数的加减乘除法则．
2．（2025春 滨海新区校级月考）计算（﹣5）+（﹣8）的结果等于（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣13 D．13
【考点】有理数的加法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】根据有理数的加法法则：同号两数相加，和取相同的符号，再把绝对值相加，进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣（5+8）
＝﹣13，
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的加法，解题关键是熟练掌握有理数的加法法则．
3．（2025 游仙区模拟）已知a＜0，且|a+b|＞|a﹣b|，那么必有（ ）
A．b＜0 B．b＞0 C．a＜b D．a＞b
【考点】有理数的减法；绝对值；有理数的加法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】由|a+b|＞|a﹣b|得到（a+b）2＞（a﹣b）2，然后利用完全平方公式展开整理得到4ab＞0，然后利用不等式的性质求解即可．
【解答】解：根据题意可知，（a+b）2＞（a﹣b）2，
∴a2+2ab+b2＞a2﹣2ab+b2，
∴4ab＞0，
∵a＜0，
∴b＜0．
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的减法，有理数的加法，绝对值，掌握相应的运算法则是关键．
4．（2024秋 鄠邑区期末）一年365天有31536000秒．数31536000用科学记数法表示应为（ ）
A．3.1536×108 B．3.1536×107
C．0.31536×106 D．0.31536×107
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】运用科学记数法的定义进行求解．
【解答】解：由题意得，31536000＝3.1536×107，
故选：B．
【点评】此题考查了科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
5．（2024秋 许昌期末）计算的式子为（ ）
A．2×10+212 B．210+2×12 C．2×10+2×12 D．210+212
【考点】有理数的乘方；有理数的乘法．
【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】由乘法的意义知10个2相加可表示为2×10，由乘方意义可得12个2相乘表示为212，据此即可解答．
【解答】解：原式＝2×10+212，
故选：A．
【点评】本题考查了乘法和乘方的意义，理解乘方和乘法的意义是解题关键．
6．（2024秋 淮南期末）有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论：①b﹣a＞0；②|a|＜|b|；③a+b＞0；④，⑤|b+a|＝|b|﹣|a|．其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【考点】有理数的除法；数轴；绝对值；有理数的加法；有理数的减法．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据数轴可得a＜0＜b，|a|＜|b|，然后利用有理数运算法则逐个判断即可．
【解答】解：根据数轴可知，a＜0＜b，|a|＜|b|，
∴b﹣a＞0，a+b＞0，，
∴|b+a|＝b+a，|b|﹣|a|＝b﹣（﹣a）＝b+a，
∴|b+a|＝|b|﹣|a|，
∴①正确，符合题意；
②正确，符合题意；
③正确，符合题意；
④错误，不符合题意；
⑤正确，符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值，有理数的加减法，有理数的除法，掌握相应的运算法则是关键．
7．（2024秋 遵义期末）下列运算正确的是（ ）
A．6÷（﹣2）＝﹣3 B．23＝6 C．﹣5+5＝﹣10 D．|+2|＝﹣2
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据有理数的运算法则，绝对值的意义，逐一进行判断即可．
【解答】解：A、6÷（﹣2）＝﹣3，正确，符合题意；
B、23＝8≠6，不符合题意；
C、﹣5+5＝0≠﹣10，不符合题意；
D、|+2|＝2≠﹣2，不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，涉及到绝对值，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．
8．（2024秋 黄冈期末）如图所示是某计算程序，若输入数字2，则最后输出的结果是（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】将x＝2代入程序图，根据有理数的乘法与减法法则进行计算，直到计算结果大于10即可得．
【解答】解：根据有理数的乘法与减法法则进行计算可得：
输入x＝2时，输出的结果为2×4﹣2＝6＜10，
输入x＝6时，输出的结果为6×4﹣2＝24﹣2＝22＞10，
故选：A．
【点评】本题考查了有理数乘法与减法的应用，读懂计算程序图是解题的关键．
二．填空题（共7小题）
9．（2024秋 中宁县期末）我们规定：使得a﹣b＝2ab成立的一对数a，b为“有趣数对”，记为（a，b）．例如，因为（﹣1）﹣1＝2×（﹣1）×1，所以数对（﹣1，1）都是“有趣数对”．若（k，﹣3）是“有趣数对”，则k的值为 ．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用“有趣数对”的定义列出方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：∵（k，﹣3）是“有趣数对”，
∴k﹣（﹣3）＝2×k×（﹣3），
∴k+3＝﹣6k，
∴7k＝﹣3，
∴k．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是阅读型题目，理解新定义并熟练运用是解题的关键．
10．（2024秋 綦江区期末）若a、b互为相反数，c和d互为倒数，m是最小的正整数，则a+b+cd+m2024的值是 2 ．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】2．
【分析】由题意知a+b＝0，cd＝1，m＝1，再代入计算即可．
【解答】解：由题意知a+b＝0，cd＝1，m＝1，
则原式＝0+1+12024
＝0+1+1
＝2．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握相反数的性质、倒数的定义、有理数的概念及有理数的混合运算顺序和运算法则．
11．（2024秋 重庆期末）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
例如：十进制数“27”用十六进制表示就是“1B”（因为27＝16+11），同理，用十进制表示的加法“15+14＝29”，在十六进制下的加法为“F+E＝1D”，那么在十六进制下，B×E＝ 9A ．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】9A．
【分析】先计算11×14，然后根据十进制转化为十六进制的方法，即可写出在十六进制下，B×E的结果．
【解答】解：∵11×14＝154＝16×9+10，
∴B×E＝9A，
故答案为：9A．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握十进制转化为十六进制的方法．
12．（2024秋 洪雅县期末）把写成乘方形式 （）6 ．
【考点】有理数的乘方；有理数的乘法．
【专题】实数；数感．
【答案】（）6．
【分析】根据乘方的定义即可解决问题．
【解答】解：原式＝（）6＝（）6，
故答案为：（）6．
【点评】本题考查有理数的乘方，有理数的乘法，解决本题的关键是掌握有理数的乘方定义．
13．（2024秋 乐清市期末）毛利率的计算公式为：毛利率，若A商品每千克进价为60元，售价为80元，则A商品每千克的毛利率为 0.25 ．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】0.25．
【分析】根据题意列式计算即可．
【解答】解：（80﹣60）÷80
＝20÷80
＝0.25，
即A商品每千克的毛利率为0.25，
故答案为：0.25．
【点评】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
14．（2024秋 威信县期末）用“※”定义新运算：对于任意实数a、b，都有a※b＝a2﹣b+1．那么（﹣3）※8＝ 2 ．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据题意列式计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣3）2﹣8+1
＝9﹣8+1
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
15．（2024秋 源城区期末）的倒数为 ，相反数为 ，绝对值是 ．
【考点】倒数；相反数；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，负数的绝对值是它的相反数，可得答案．
【解答】解：根据倒数、相反数和绝对值的定义得：
的倒数是，相反数是，绝对值是．
故答案为：，，．
【点评】本题考查了倒数，相反数，绝对值．解题的关键是掌握绝对值、相反数、倒数的定义，a的相反数是﹣a，a（a≠0）的倒数是，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，难度适中．
三．解答题（共8小题）
16．（2024秋 鹿寨县期末）计算：．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】按照有理数混合运算法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减即可．
【解答】解：原式
＝﹣10+6
＝﹣4．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练掌握有理数混合运算法则．
17．（2024秋 通许县期末）计算．
（1）；
（2）如果|a+1|+（b﹣2）2＝0．求（a+b）2024+a2023﹣（3ab﹣a）的值．
【考点】有理数的混合运算；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）﹣44；
（2）5．
【分析】（1）先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可；
（2）根据非负数的性质可以求得a＝﹣1，b＝2，然后代入所求式子计算即可．
【解答】解：（1）
＝﹣89﹣12×（）
＝﹣45+1
＝﹣44；
（2）∵|a+1|+（b﹣2）2＝0，
∴a+1＝0，b﹣2＝0，
解得a＝﹣1，b＝2，
∴（a+b）2024+a2023﹣（3ab﹣a）
＝（﹣1+2）2024+（﹣1）2023﹣[3×（﹣1）×2﹣（﹣1）]
＝12024+（﹣1）2023﹣（﹣6+1）
＝1+（﹣1）﹣（﹣5）
＝0+5
＝5．
【点评】本题考查有理数混合运算、非负数的性质，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．
18．（2024秋 鲁山县期末）为庆祝教师节，今年教师节当天上午，出租车司机小王在东西方向的公路上免费接送教师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：km）：+14，﹣4，+8，﹣10，﹣12，+5，﹣13．
（1）将最后一位教师送到目的地时，小王在出发地点哪边？距出发地点的距离是多少km？
（2）小王送完第 3 位教师后距离第一次的出发地点最远？最远距离是 18 km．
（3）如果小王的汽车耗油量为0.08L/km，这天上午他的汽车共耗油多少L？
【考点】有理数的混合运算；正数和负数；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）将最后一位教师送到目的地时，小王在出发地点的西边，距出发地点的距离是12km；
（2）3；18；
（3）5.28L．
【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（2）根据正数和负数的实际意义分别求得送完每位老师后与第一次的出发地点的距离后进行判断即可；
（3）根据绝对值的实际意义列式计算即可．
【解答】解：（1）+14﹣4+8﹣10﹣12+5﹣13＝﹣12（km），
那么将最后一位教师送到目的地时，小王在出发地点的西边，距出发地点的距离是12km；
（2）送完第1位老师后与第一次的出发地点的距离：|+14|＝14（km），
送完第2位老师后与第一次的出发地点的距离：|+14﹣4|＝10（km），
送完第3位老师后与第一次的出发地点的距离：|+14﹣4+8|＝18（km），
送完第4位老师后与第一次的出发地点的距离：|+14﹣4+8﹣10|＝8（km），
送完第5位老师后与第一次的出发地点的距离：|+14﹣4+8﹣10﹣12|＝4（km），
送完第6位老师后与第一次的出发地点的距离：|+14﹣4+8﹣10﹣12+5|＝1（km），
送完第7位老师后与第一次的出发地点的距离：|﹣12|＝12（km），
即小王送完第3位教师后距离第一次的出发地点最远，最远距离是18km，
故答案为：3；18；
（3）（14+4+8+10+12+5+13）×0.08
＝66×0.08
＝5.28（L），
即这天上午他的汽车共耗油5.28L．
【点评】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，绝对值，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
19．（2024秋 渭城区期末）某学校图书馆以每天借出图书50册为标准，超出50册的部分记为“+”；不足50册的部分记为“﹣”．本学期第12周星期一至星期五图书馆借出图书记录如下：
星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
与标准的差/册 ﹣1 +14 +7 ﹣2 ﹣8
（1）求星期五借出图书的册数；
（2）星期二比星期四多借出图书多少册？
（3）求这五天平均每天借出图书的册数．
【考点】有理数的混合运算；正数和负数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（3）根据正数和负数的实际意义列式计算即可．
【解答】解：（1）50﹣8＝42（册），
即星期五借出图书的册数为50册；
（2）14﹣（﹣2）
＝14+2
＝16（册），
即星期二比星期四多借出图书16册；
（3）50+（﹣1+14+7﹣2﹣8）÷5
＝50+10÷5
＝50+2
＝52（册），
即这五天平均每天借出图书的册数为52册．
【点评】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
20．（2024秋 武威期末）若a、b互为倒数，c、d互为相反数，|m|＝3，则求（ab）2025﹣3（c+d）2024+2m的值．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】7或﹣5．
【分析】根据a、b互为倒数，c、d互为相反数，|m|＝3，可以得到ab＝1，c+d＝0，m＝±3，然后代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵a、b互为倒数，c、d互为相反数，|m|＝3，
∴ab＝1，c+d＝0，m＝±3，
当m＝3时，（ab）2025﹣3（c+d）2024+2m
＝12025﹣3×02024+2×3
＝1﹣0+6
＝7；
当m＝﹣3时，（ab）2025﹣3（c+d）2024+2m
＝12025﹣3×02024+2×（﹣3）
＝1﹣0+（﹣6）
＝﹣5；
由上可得，（ab）2025﹣3（c+d）2024+2m的值为7或﹣5．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21．（2024秋 武威期末）某登山队4名队员以二号高地为基地开始向500米的峰顶冲击，设他们向上走为正，行程记录如下（单位：米）：
+150，﹣35，﹣42，+200，+30，+20，﹣21，+63，﹣25，+90．
（1）此时他们是否登上峰顶？若没有，他们离峰顶还有多少米？
（2）登山时，4名队员在行进全程中都使用了氧气，且每人每米要消耗氧气0.04升，他们共消耗氧气多少升？
【考点】有理数的混合运算；正数和负数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）此时他们没有登上峰顶，他们离峰顶还有70米；
（2）108.16升．
【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可．
【解答】解：（1）150﹣35﹣42+200+30+20﹣21+63﹣25+90＝430（米），
500﹣430＝70（米），
即此时他们没有登上峰顶，他们离峰顶还有70米；
（2）（150+35+42+200+30+20+21+63+25+90）×0.04×4
＝676×0.04×4
＝108.16（升），
即他们共消耗氧气108.16升．
【点评】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
22．（2024秋 栖霞市期末）某学校数学活动小组在一次活动中有这样一道题：
计算：．
小组成员犇犇是个善于观察与思考的同学，他发现，这个算式可以看作是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，他利用这种关系，顺利的解答了这道题．
（1）前后两部分存在的关系是 互为倒数 ；
（2）请选择比较筒单的那一部分先进行计算，然后利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果 ；
（3）请求出原式的结果．
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）互为倒数；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据被除数和除数之间的关系得出互为倒数；
（2）根据乘法分配律进行计算得出答案，根据倒数的性质得出答案；
（3）根据有理数的加法计算法则得出答案．
【解答】解：（1）∵，
∴前后两部分直接存在的关系是互为倒数．
故答案为：互为倒数；
（2）
＝24﹣36+42﹣45+46
＝31；
由题意得另一部分的结果．
故答案为：；
（3）原式＝3131．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．
23．（2024秋 漳平市期末）阅读材料：对于任意有理数a，b，规定一种特别的运算“◎”：a◎b＝a2﹣2b2+ab．
例如，5◎2＝52﹣2×22+5×2＝27．
（1）求3◎（﹣1）的值；
（2）试探究这种特别的运算“◎”是否具有交换律？
【考点】有理数的混合运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）4；
（2）不具有．
【分析】（1）根据题中定义的一种特别的运算“◎”规则代值求解即可得到答案；
（2）根据题中定义的一种特别的运算“◎”规则检验a◎b、b◎a的值是否相等即可验证．
【解答】解：（1）∵a◎b＝a2﹣2b2+ab，
∴原式＝32﹣2×（﹣1）2+3×（﹣1）＝4；
（2）由题意可得：
b◎a＝b2﹣2a2+ab，
若a2≠b2，则a2﹣2b2+ab≠b2﹣2a2+ab，即a◎b≠b◎a，
故这种特别的运算“◎”不具有交换律．
【点评】本题考查有理数混合运算，熟记相关运算法则是解决问题的关键．
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