第5章 一元一次方程（新课预习.含解析）-2025-2026学年七年级上册数学人教版（2024）
文档属性
| 名称 | 第5章 一元一次方程（新课预习.含解析）-2025-2026学年七年级上册数学人教版（2024） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 368.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-07 15:38:06 | ||
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文档简介
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第5章 一元一次方程
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 蒙阴县期末）若a＝b，则下列等式变形不正确的是（ ）
A．2a＝2b B．
C．a﹣6＝b﹣6 D．
2．（2025春 洛江区期中）解方程，去分母后正确的是（ ）
A．2x﹣2﹣3x+1＝1 B．2x﹣2﹣3x+1＝6
C．2x﹣2﹣3x﹣1＝6 D．2x﹣2﹣3x﹣1＝1
3．（2025 高新区模拟）我国古代名著《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”意思是：“快马每天走240里，慢马每天走150里．慢马先走12天，问快马几天可以追上慢马？”若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）
A．150（12+x）＝240x
B．240x﹣150（x﹣12）＝12×150
C．150x＝240（x﹣12）
D．150（x+12）＝240（x﹣12）
4．（2025春 宜阳县期中）方程x﹣2＝﹣4的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．x＝﹣2
5．（2025春 宜阳县期中）在“今年，小明的年龄是他父亲年龄的，6年后，父亲的年龄比小明年龄的2倍还大7，问小明今年几岁？”中，若设小明今年x岁，下列方程中正确的是（ ）
A．2（x+6）+7＝3x B．2x+7＝3x
C．3x+6＝2x+7 D．2（x+6）+7＝3x+6
6．（2025春 莱西市期中）下列一元一次方程的变形中，不正确的是（ ）
A．由2x﹣1＝x+5，移项得：2x﹣x＝5+1
B．由﹣3（x﹣1）＝2（x+1），去括号得：﹣3x+3＝2x+2
C．由1，去分母得：2x﹣1＝1
D．由x＝2，系数化为1得：x＝6
7．（2025春 淄川区期中）某市按以下规定收取每月的燃气费，用燃气不超过30立方米，按每立方米1.2元收费；如果超过30立方米，超过部分按每立方米2元收费．已知3月份张老师家的燃气费平均每立方米1.50元，那么3月份张老师家应缴燃气费（ ）
A．48元 B．60元 C．72元 D．90元
8．（2025春 成都校级月考）甲、乙两车同时从相距570km的A，B两地相向而行，甲车的速度是90km/h，乙车的速度是100km/h，求两车相遇时的行驶时间．若设行驶x h后相遇，则下面所列方程正确的是（ ）
A．100x+90＝570 B．100x+90x＝570
C．100+90x＝570 D．100x﹣90x＝570
9．（2025 邯郸一模）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第2根上的一个绳结表示5个，第3根上的一个绳结表示5×5个），用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了42个野果，则在第2根绳子上的打结数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．（2025 贵州模拟）若a+3＝2b﹣5，则下列等式不一定成立的是（ ）
A．a+8＝2b B．a+5＝2b+3 C．a﹣2b＝﹣8 D．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 翁牛特旗期末）当x＝ 时，代数式3（x﹣1）与2（x+1）的值互为相反数．
12．（2024秋 成华区期末）对于两个非零有理数a与b，规定：a b＝ab﹣（a+b）．若3 （x+1）＝1，则x的值为 ．
13．（2025春 朝阳区校级月考）某市今年进行天然气工程改造，甲乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程若甲队单独做需要8天完成；若乙队单独做需要12天完成．若甲乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成，问乙队还需要 天能够完成任务．
14．（2025 湖南模拟）若x0是方程的解，则x0＝ ．
15．（2024秋 江岸区期末）已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝2，则关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2y+2+b的解为 ．
三．解答题（共8小题）
16．（2025春 嵩明县期中）如图，是两张不同类型火车的车票（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）：
已知该动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A，B两地之间的距离与两车何时到达终点B地．
17．（2025春 海口期中）解下列方程．
（1）3x+7＝﹣6x﹣2；
（2）3（2x+5）＝2（4x+3）+1；
（3）．
18．（2025春 沙坪坝区校级期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：2×6+4×（8﹣6）＝20（元）．
每月用水量 单价
不超出6立方米的部分 2元/立方米
超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米
超出10立方米的部分 8元/立方米
（1）若小明家2月份用水12.5立方米，则应交水费 元；
（2）若小明家3月用水量为a立方米，当6＜a≤10时，小明家应交水费 元，当a＞10时，小明家应交水费 元；（请用含a的代数式表示）
（3）若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？
19．（2025春 翠屏区校级期中）用“ ”定义一种新运算，规则如下：a b＝ab﹣2a+b．
（1）计算：（﹣6） 10＝ ；
（2）若（10+x） （﹣8）＝12，求x的值．
20．（2025春 镇平县期中）小丽和小华所在的美术社团活动小组计划做一批中国结，如果每人做10个，那么比计划多了20个；如果每人做7个，那么比计划少16个．问题：该小组共有多少人？计划做多少个中国结？她俩经过独立思考后，分别列出如下方程．
小丽的方法：10x﹣20＝7x+16．
小华的方法：．
（1）在小丽所列的方程中，未知数x表示的意义是 ，在小华所列的方程中，未知数y表示的意义是 ．
（2）试选择一种方法，将原题中的问题解答完整．
21．（2025春 南靖县期中）规定：若关于x的一元一次方程mx＝n的解满足，则称该方程是“平均值方程”．例如：方程3x＝﹣9的解为x＝﹣3，而，则该方程是“平均值方程”．请根据上述规定解答下列问题：
（1）若关于x的一元一次方程﹣2x＝t是“平均值方程”，求t的值；
（2）若关于x的一元一次方程4x＝ab﹣a是“平均值方程”，求代数式﹣2ab+2a+7的值．
22．（2025 大兴区一模）列方程解应用题：
小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路．走普通公路比高速公路的路程多60公里，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百公里耗电增加20%，该车选择的充电站充电综合电费均为1.5元/度．最终发现走普通公路的电费比高速公路的电费少15元，求返回时所走高速公路的路程．
23．（2025 房山区一模）某校礼堂舞台正上方有一个长为1800cm的长方形电子显示屏，如图所示．每次活动都会在电子显示屏显示主题活动的标题．由于每次活动的主题不同，标题字数也就不等，为了显示时方便美观，工作人员对有关数据作出了如下规定：
边空宽：字宽：字距＝3：4：1．每个字的字宽相等，每个字之间的字距相等．
若某次主题活动的标题字数为17个字，求字距是多少cm．
第5章 一元一次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 蒙阴县期末）若a＝b，则下列等式变形不正确的是（ ）
A．2a＝2b B．
C．a﹣6＝b﹣6 D．
【考点】等式的性质．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】利用等式的性质逐项判断即可．
【解答】解：若a＝b，
两边同乘2得2a＝2b，则A不符合题意，
两边同除以m（m≠0）得，则B符合题意，
两边同减去6得a﹣6＝b﹣6，则C不符合题意，
两边同除以m2+1得，则D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
2．（2025春 洛江区期中）解方程，去分母后正确的是（ ）
A．2x﹣2﹣3x+1＝1 B．2x﹣2﹣3x+1＝6
C．2x﹣2﹣3x﹣1＝6 D．2x﹣2﹣3x﹣1＝1
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据解一元一次方程的方法，去分母，去括号解答即可．
【解答】解：，
去分母，得2（x﹣1）﹣（3x+1）＝6，
去括号，得2x﹣2﹣3x﹣1＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
3．（2025 高新区模拟）我国古代名著《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”意思是：“快马每天走240里，慢马每天走150里．慢马先走12天，问快马几天可以追上慢马？”若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）
A．150（12+x）＝240x
B．240x﹣150（x﹣12）＝12×150
C．150x＝240（x﹣12）
D．150（x+12）＝240（x﹣12）
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】由慢马先走12天及快马x天可以追上慢马，可得出快马追上慢马时慢马走了（12+x）天，利用路程＝速度×时间，结合快马追上慢马时两马走过的路程相等，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：150（12+x）＝240x．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4．（2025春 宜阳县期中）方程x﹣2＝﹣4的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．x＝﹣2
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】利用移项，合并同类项的步骤解方程即可．
【解答】解：原方程移项得：x＝﹣4+2，
系数化为1得：x＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
5．（2025春 宜阳县期中）在“今年，小明的年龄是他父亲年龄的，6年后，父亲的年龄比小明年龄的2倍还大7，问小明今年几岁？”中，若设小明今年x岁，下列方程中正确的是（ ）
A．2（x+6）+7＝3x B．2x+7＝3x
C．3x+6＝2x+7 D．2（x+6）+7＝3x+6
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据小明及父亲年龄间的关系可得出小明父亲现在的年龄为3x岁，再根据“6年后，小明父亲的年龄是小明年龄的2倍还多7岁”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：∵小明的年龄是他父亲年龄的，且今年小明的年龄为x岁，
∴小明爸爸现在的年龄为3x岁，
又∵6年后，父亲的年龄比小明年龄的2倍还大7，
∴2（x+6）+7＝3x+6，
∴根据题意可列方程为2（x+6）+7＝3x+6．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6．（2025春 莱西市期中）下列一元一次方程的变形中，不正确的是（ ）
A．由2x﹣1＝x+5，移项得：2x﹣x＝5+1
B．由﹣3（x﹣1）＝2（x+1），去括号得：﹣3x+3＝2x+2
C．由1，去分母得：2x﹣1＝1
D．由x＝2，系数化为1得：x＝6
【考点】解一元一次方程；等式的性质．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据等式的性质和乘法分配律，逐项判断即可．
【解答】解：∵由2x﹣1＝x+5，移项得：2x﹣x＝5+1，
∴选项A不符合题意；
∵由﹣3（x﹣1）＝2（x+1），去括号得：﹣3x+3＝2x+2，
∴选项B不符合题意；
∵由1，去分母得：2x﹣1＝3，
∴选项C符合题意；
∵由x＝2，系数化为1得：x＝6，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，注意等式的性质的应用和去括号时乘法分配律的应用．
7．（2025春 淄川区期中）某市按以下规定收取每月的燃气费，用燃气不超过30立方米，按每立方米1.2元收费；如果超过30立方米，超过部分按每立方米2元收费．已知3月份张老师家的燃气费平均每立方米1.50元，那么3月份张老师家应缴燃气费（ ）
A．48元 B．60元 C．72元 D．90元
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】设3月份张老师用了x立方米的燃气，根据3月份张老师家的燃气费平均每立方米1.50元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入1.5x中，即可求出结论．
【解答】解：设3月份张老师用了x立方米的燃气，
根据题意得：1.2×30+2（x﹣30）＝1.5x，
解得：x＝48，
∴1.5x＝1.5×48＝72（元），
∴3月份张老师家应缴燃气费72元．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．（2025春 成都校级月考）甲、乙两车同时从相距570km的A，B两地相向而行，甲车的速度是90km/h，乙车的速度是100km/h，求两车相遇时的行驶时间．若设行驶x h后相遇，则下面所列方程正确的是（ ）
A．100x+90＝570 B．100x+90x＝570
C．100+90x＝570 D．100x﹣90x＝570
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据“甲、乙两车同时从相距570km的A，B两地相向而行”结合速度公式即可列出方程．
【解答】解：根据题意得100x+90x＝570．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系是解决问题的关键．
9．（2025 邯郸一模）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第2根上的一个绳结表示5个，第3根上的一个绳结表示5×5个），用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了42个野果，则在第2根绳子上的打结数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出方程，然后求解即可得出答案．
【解答】解：设在第2根绳子上的打结数是x，根据题意得：2+5x+1×5×5＝42，
解得x＝3，
即在第2根绳子上的打结数是3，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，正确列出方程是解答本题的关键；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
10．（2025 贵州模拟）若a+3＝2b﹣5，则下列等式不一定成立的是（ ）
A．a+8＝2b B．a+5＝2b+3 C．a﹣2b＝﹣8 D．
【考点】等式的性质．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据等式的性质对各选项进行计算判断即可．
【解答】解：A．若a+3＝2b﹣5，
等式两边同时加5，得a+3+5＝2b﹣5+5，
即a+8＝2b，故选项A成立；
B．若a+3＝2b﹣5，
等式的两边同时加2，得a+3+2＝2b﹣5+2，
即a+5＝2b﹣3，故选项B不成立；
C．若a+3＝2b﹣5，
等式两边同时减去2b，得a+3﹣2b＝2b﹣5﹣2b，
即a+3﹣2b＝﹣5，
等式两边再同时减去3，得a+3﹣2b﹣3＝﹣5﹣3，
即a﹣2b＝﹣8，故选项C成立；
D．若a+3＝2b﹣5，
等式两边同时减去2b，得a+3﹣2b＝2b﹣5﹣2b，
即a+3﹣2b＝﹣5，
等式两边再同时减去3，得a+3﹣2b﹣3＝﹣5﹣3，
即a﹣2b＝﹣8，
等式两边同时除以2，得，故选项D成立．
故选：B．
【点评】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 翁牛特旗期末）当x＝ 时，代数式3（x﹣1）与2（x+1）的值互为相反数．
【考点】解一元一次方程；相反数．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：3（x﹣1）+2（x+1）＝0，
去括号得：3x﹣3+2x+2＝0，
移项合并得：5x＝1，
解得：x，
故答案为：
【点评】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数．
12．（2024秋 成华区期末）对于两个非零有理数a与b，规定：a b＝ab﹣（a+b）．若3 （x+1）＝1，则x的值为 1 ．
【考点】解一元一次方程．
【专题】新定义；一次方程（组）及应用；运算能力；创新意识．
【答案】1．
【分析】先根据新定义运算，得出关于x的方程，然后再根据解一元一次方程的方法求解即可．
【解答】解：∵a b＝ab﹣（a+b），
∴3 （x+1）＝3（x+1）﹣（3+x+1）＝3x+3﹣3﹣x﹣1＝2x﹣1，
∴2x﹣1＝1，
移项、合并同类项，得2x＝2，
将系数化为1，得x＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了解一元一次方程，新定义，理解新定义，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
13．（2025春 朝阳区校级月考）某市今年进行天然气工程改造，甲乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程若甲队单独做需要8天完成；若乙队单独做需要12天完成．若甲乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成，问乙队还需要 2 天能够完成任务．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】2．
【分析】设甲乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成，乙队还需要x天能够完成任务，利用甲队完成的工程量+乙队完成的工程量＝总工程量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设乙队还需要x天能够完成任务，
，
∴x＝2，
∴乙队还需要2天能够完成任务，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
14．（2025 湖南模拟）若x0是方程的解，则x0＝ 4 ．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】4．
【分析】根据去分母，去括号，移项，合并同类项，求出未知数的值即可．
【解答】解：，
3x＝2（x﹣1）+6，
3x＝2x﹣2+6，
解得：x＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的步骤是关键．
15．（2024秋 江岸区期末）已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝2，则关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2y+2+b的解为 y＝1 ．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】y＝1．
【分析】把关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2y+2+b化成（y+1）+3＝2（y+1）+b，再根据关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝2得到关于y的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：∵（y+1）+3＝2y+2+b，
∴（y+1）+3＝2（y+1）+b，
∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝2，
∴y+1＝2，
解得：y＝1，
∴关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2y+2+b的解为y＝1，
故答案为：y＝1．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义．
三．解答题（共8小题）
16．（2025春 嵩明县期中）如图，是两张不同类型火车的车票（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）：
已知该动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A，B两地之间的距离与两车何时到达终点B地．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A，B两地之间的距离为600km，两车13：00到达终点B地．
【分析】设A，B两地之间的距离为x km，利用时间＝路程÷速度，结合动车比高铁多用1小时，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即A，B两地之间的距离），将其代入中，可求出动车到达B地所需时间，再结合动车的出发时间，即可求出两车到达终点B地的时间．
【解答】解：设A，B两地之间的距离为x km，
根据题意得：1，
解得：x＝600，
∴3（小时），
∴10：00+3小时＝13：00．
答：A，B两地之间的距离为600km，两车13：00到达终点B地．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
17．（2025春 海口期中）解下列方程．
（1）3x+7＝﹣6x﹣2；
（2）3（2x+5）＝2（4x+3）+1；
（3）．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＝﹣1；
（2）x＝4；
（3）x＝2．
【分析】各个小题均按照解一元一次方程的一般步骤进行解答即可．
【解答】解：（1）3x+7＝﹣6x﹣2，
3x+6x＝﹣2﹣7，
9x＝﹣9，
x＝﹣1；
（2）3（2x+5）＝2（4x+3）+1，
6x+15＝8x+6+1，
6x﹣8x＝6+1﹣15，
﹣2x＝﹣8，
x＝4；
（3），
4（2x+5）﹣24＝3（3x﹣2），
8x+20﹣24＝9x﹣6，
8x﹣4＝9x﹣6，
8x﹣9x＝﹣6+4，
﹣x＝﹣2，
x＝2．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤．
18．（2025春 沙坪坝区校级期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：2×6+4×（8﹣6）＝20（元）．
每月用水量 单价
不超出6立方米的部分 2元/立方米
超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米
超出10立方米的部分 8元/立方米
（1）若小明家2月份用水12.5立方米，则应交水费 48 元；
（2）若小明家3月用水量为a立方米，当6＜a≤10时，小明家应交水费 （4a﹣12） 元，当a＞10时，小明家应交水费 （8a﹣52） 元；（请用含a的代数式表示）
（3）若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？
【考点】一元一次方程的应用；有理数的混合运算；列代数式．
【专题】实数；整式；一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）48；
（2）（4a﹣12），（8a﹣52）；
（3）小明家3月份用水1立方米，4月份用水11立方米．
【分析】（1）利用小明家应交水费＝2×6+4×（10﹣6）+8×超过10立方米的部分，即可求出结论；
（2）利用小明家应交水费＝2×6+4×超过6立方米的部分，可用含a的代数式表示出小明家应交水费；利用小明家应交水费＝2×6+4×（10﹣6）+8×超过10立方米的部分，可用含a的代数式表示出小明家应交水费；
（3）设小明家3月份用水x立方米，则小明家4月份用水（12﹣x）立方米，分0＜x＜2及2≤x＜6两种情况考虑，根据小明家3月份，4月份共交水费38元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：2×6+4×（10﹣6）+8×（12.5﹣10）
＝2×6+4×4+8×2.5
＝12+16+20
＝48（元），
∴应交水费48元．
故答案为：48；
（2）根据题意得：当6＜a≤10时，小明家应交水费2×6+4（a﹣6）＝（4a﹣12）元；
当a＞10时，小明家应交水费2×6+4×（10﹣6）+8（a﹣10）＝（8a﹣52）元．
故答案为：（4a﹣12），（8a﹣52）；
（3）设小明家3月份用水x立方米，则小明家4月份用水（12﹣x）立方米，
当0＜x＜2时，2x+2×6+4×（10﹣6）+8（12﹣x﹣10）＝38，
解得：x＝1，
∴12﹣x＝12﹣1＝11（立方米）；
当2≤x＜6时，2x+2×6+4（12﹣x﹣6）＝38，
解得：x＝﹣1（不符合题意，舍去）．
答：小明家3月份用水1立方米，4月份用水11立方米．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出小明家应交水费；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
19．（2025春 翠屏区校级期中）用“ ”定义一种新运算，规则如下：a b＝ab﹣2a+b．
（1）计算：（﹣6） 10＝ ﹣38 ；
（2）若（10+x） （﹣8）＝12，求x的值．
【考点】解一元一次方程；有理数的混合运算．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）﹣38；
（2）x＝﹣12．
【分析】（1）根据新定义可得（﹣6） 10＝（﹣6）×10﹣2×（﹣6）+10，据此计算求解即可；
（2）根据新定义可得（10+x）×（﹣8）﹣2（10+x）﹣8＝12，解方程即可得求解．
【解答】解：（1）∵a b＝ab﹣2a+b，
∴原式＝（﹣6）×10﹣2×（﹣6）+10
＝﹣60+12+10
＝﹣38．
故答案为：﹣38．
（2）由题意可得：
（10+x）×（﹣8）﹣2（10+x）﹣8＝12，
解得：x＝﹣12．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，有理数混合运算及新定义，解题的关键是理解新定义．
20．（2025春 镇平县期中）小丽和小华所在的美术社团活动小组计划做一批中国结，如果每人做10个，那么比计划多了20个；如果每人做7个，那么比计划少16个．问题：该小组共有多少人？计划做多少个中国结？她俩经过独立思考后，分别列出如下方程．
小丽的方法：10x﹣20＝7x+16．
小华的方法：．
（1）在小丽所列的方程中，未知数x表示的意义是 该小组的人数 ，在小华所列的方程中，未知数y表示的意义是 计划做中国结的个数 ．
（2）试选择一种方法，将原题中的问题解答完整．
【考点】一元一次方程的应用；由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）该小组的人数，计划做中国结的个数；
（2）该小组共有12人，计划做100个中国结．
【分析】（1）根据题意，结合小丽及小华所列方程，即可找出x，y的意义；
（2）选择小丽（小华）的方程，解方程，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵如果每人做10个，那么比计划多了20个；如果每人做7个，那么比计划少16个，且小丽所列方程为10x﹣20＝7x+16，
∴未知数x表示的意义是：该小组的人数；
∵如果每人做10个，那么比计划多了20个；如果每人做7个，那么比计划少16个，小华所列方程为，
∴未知数y表示的意义是：计划做中国结的个数．
故答案为：该小组的人数，计划做中国结的个数；
（2）小丽的方法：10x﹣20＝7x+16，
解得：x＝12，
∴10x﹣20＝10×12﹣20＝100（个）．
答：该小组共有12人，计划做100个中国结；
小华的方法：，
解得：y＝100，
∴12（人）．
答：该小组共有12人，计划做100个中国结．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及由实际问题抽象出一元一次方程，根据所列方程，找出未知数x，y的意义是解题的关键．
21．（2025春 南靖县期中）规定：若关于x的一元一次方程mx＝n的解满足，则称该方程是“平均值方程”．例如：方程3x＝﹣9的解为x＝﹣3，而，则该方程是“平均值方程”．请根据上述规定解答下列问题：
（1）若关于x的一元一次方程﹣2x＝t是“平均值方程”，求t的值；
（2）若关于x的一元一次方程4x＝ab﹣a是“平均值方程”，求代数式﹣2ab+2a+7的值．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）﹣1；
（2）23．
【分析】（1）先求出方程﹣2x＝t的解，再根据已知条件中的新定义，列出关于t的方程，解方程求出t即可；
（2）先求出方程4x＝ab﹣a的解，再根据已知条件中的新定义，列出关于a，b的等式，求出a（1﹣b），再代入所求式子进行计算即可．
【解答】解：（1）﹣2x＝t，
解得：，
∵关于x的一元一次方程﹣2x＝t是“平均值方程”，
∴，
﹣t＝﹣2+t，
2t＝﹣2，
t＝﹣1；
（2）4x＝ab﹣a，
解得：，
∵关于x的一元一次方程4x＝ab﹣a是“平均值方程”，
∴，
ab﹣a＝2（4+ab﹣a），
ab﹣a＝8+2ab﹣2a，
﹣ab+a＝8，
a（1﹣b）＝8，
∴﹣2ab+2a+7
＝2a（1﹣b）+7
＝2×8+7
＝16+7
＝23．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是理解已知条件中的新定义的含义．
22．（2025 大兴区一模）列方程解应用题：
小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路．走普通公路比高速公路的路程多60公里，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百公里耗电增加20%，该车选择的充电站充电综合电费均为1.5元/度．最终发现走普通公路的电费比高速公路的电费少15元，求返回时所走高速公路的路程．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】返回时所走高速公路的路程为550公里．
【分析】设返回时所走高速公路的路程为x公里，则去时走普通公路的路程为（x+60）公里，根据走普通公路的电费比高速公路的电费少15元，列方程求解即可．
【解答】解：设返回时所走高速公路的路程为x公里，则去时走普通公路的路程为（x+60）公里，
根据题意得（x+60）+15 x，
解得x＝550，
答：返回时所走高速公路的路程为550公里．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
23．（2025 房山区一模）某校礼堂舞台正上方有一个长为1800cm的长方形电子显示屏，如图所示．每次活动都会在电子显示屏显示主题活动的标题．由于每次活动的主题不同，标题字数也就不等，为了显示时方便美观，工作人员对有关数据作出了如下规定：
边空宽：字宽：字距＝3：4：1．每个字的字宽相等，每个字之间的字距相等．
若某次主题活动的标题字数为17个字，求字距是多少cm．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】20cm．
【分析】设字距是x cm，则字宽是4x cm，边空宽是3x cm，根据长方形电子显示屏的长度为1800cm，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设字距是x cm，则字宽是4x cm，边空宽是3x cm，
根据题意得：2×3x+17×4x+（17﹣1）x＝1800，
解得：x＝20．
答：字距是20cm．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
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第5章 一元一次方程
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 蒙阴县期末）若a＝b，则下列等式变形不正确的是（ ）
A．2a＝2b B．
C．a﹣6＝b﹣6 D．
2．（2025春 洛江区期中）解方程，去分母后正确的是（ ）
A．2x﹣2﹣3x+1＝1 B．2x﹣2﹣3x+1＝6
C．2x﹣2﹣3x﹣1＝6 D．2x﹣2﹣3x﹣1＝1
3．（2025 高新区模拟）我国古代名著《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”意思是：“快马每天走240里，慢马每天走150里．慢马先走12天，问快马几天可以追上慢马？”若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）
A．150（12+x）＝240x
B．240x﹣150（x﹣12）＝12×150
C．150x＝240（x﹣12）
D．150（x+12）＝240（x﹣12）
4．（2025春 宜阳县期中）方程x﹣2＝﹣4的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．x＝﹣2
5．（2025春 宜阳县期中）在“今年，小明的年龄是他父亲年龄的，6年后，父亲的年龄比小明年龄的2倍还大7，问小明今年几岁？”中，若设小明今年x岁，下列方程中正确的是（ ）
A．2（x+6）+7＝3x B．2x+7＝3x
C．3x+6＝2x+7 D．2（x+6）+7＝3x+6
6．（2025春 莱西市期中）下列一元一次方程的变形中，不正确的是（ ）
A．由2x﹣1＝x+5，移项得：2x﹣x＝5+1
B．由﹣3（x﹣1）＝2（x+1），去括号得：﹣3x+3＝2x+2
C．由1，去分母得：2x﹣1＝1
D．由x＝2，系数化为1得：x＝6
7．（2025春 淄川区期中）某市按以下规定收取每月的燃气费，用燃气不超过30立方米，按每立方米1.2元收费；如果超过30立方米，超过部分按每立方米2元收费．已知3月份张老师家的燃气费平均每立方米1.50元，那么3月份张老师家应缴燃气费（ ）
A．48元 B．60元 C．72元 D．90元
8．（2025春 成都校级月考）甲、乙两车同时从相距570km的A，B两地相向而行，甲车的速度是90km/h，乙车的速度是100km/h，求两车相遇时的行驶时间．若设行驶x h后相遇，则下面所列方程正确的是（ ）
A．100x+90＝570 B．100x+90x＝570
C．100+90x＝570 D．100x﹣90x＝570
9．（2025 邯郸一模）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第2根上的一个绳结表示5个，第3根上的一个绳结表示5×5个），用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了42个野果，则在第2根绳子上的打结数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．（2025 贵州模拟）若a+3＝2b﹣5，则下列等式不一定成立的是（ ）
A．a+8＝2b B．a+5＝2b+3 C．a﹣2b＝﹣8 D．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 翁牛特旗期末）当x＝ 时，代数式3（x﹣1）与2（x+1）的值互为相反数．
12．（2024秋 成华区期末）对于两个非零有理数a与b，规定：a b＝ab﹣（a+b）．若3 （x+1）＝1，则x的值为 ．
13．（2025春 朝阳区校级月考）某市今年进行天然气工程改造，甲乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程若甲队单独做需要8天完成；若乙队单独做需要12天完成．若甲乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成，问乙队还需要 天能够完成任务．
14．（2025 湖南模拟）若x0是方程的解，则x0＝ ．
15．（2024秋 江岸区期末）已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝2，则关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2y+2+b的解为 ．
三．解答题（共8小题）
16．（2025春 嵩明县期中）如图，是两张不同类型火车的车票（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）：
已知该动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A，B两地之间的距离与两车何时到达终点B地．
17．（2025春 海口期中）解下列方程．
（1）3x+7＝﹣6x﹣2；
（2）3（2x+5）＝2（4x+3）+1；
（3）．
18．（2025春 沙坪坝区校级期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：2×6+4×（8﹣6）＝20（元）．
每月用水量 单价
不超出6立方米的部分 2元/立方米
超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米
超出10立方米的部分 8元/立方米
（1）若小明家2月份用水12.5立方米，则应交水费 元；
（2）若小明家3月用水量为a立方米，当6＜a≤10时，小明家应交水费 元，当a＞10时，小明家应交水费 元；（请用含a的代数式表示）
（3）若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？
19．（2025春 翠屏区校级期中）用“ ”定义一种新运算，规则如下：a b＝ab﹣2a+b．
（1）计算：（﹣6） 10＝ ；
（2）若（10+x） （﹣8）＝12，求x的值．
20．（2025春 镇平县期中）小丽和小华所在的美术社团活动小组计划做一批中国结，如果每人做10个，那么比计划多了20个；如果每人做7个，那么比计划少16个．问题：该小组共有多少人？计划做多少个中国结？她俩经过独立思考后，分别列出如下方程．
小丽的方法：10x﹣20＝7x+16．
小华的方法：．
（1）在小丽所列的方程中，未知数x表示的意义是 ，在小华所列的方程中，未知数y表示的意义是 ．
（2）试选择一种方法，将原题中的问题解答完整．
21．（2025春 南靖县期中）规定：若关于x的一元一次方程mx＝n的解满足，则称该方程是“平均值方程”．例如：方程3x＝﹣9的解为x＝﹣3，而，则该方程是“平均值方程”．请根据上述规定解答下列问题：
（1）若关于x的一元一次方程﹣2x＝t是“平均值方程”，求t的值；
（2）若关于x的一元一次方程4x＝ab﹣a是“平均值方程”，求代数式﹣2ab+2a+7的值．
22．（2025 大兴区一模）列方程解应用题：
小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路．走普通公路比高速公路的路程多60公里，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百公里耗电增加20%，该车选择的充电站充电综合电费均为1.5元/度．最终发现走普通公路的电费比高速公路的电费少15元，求返回时所走高速公路的路程．
23．（2025 房山区一模）某校礼堂舞台正上方有一个长为1800cm的长方形电子显示屏，如图所示．每次活动都会在电子显示屏显示主题活动的标题．由于每次活动的主题不同，标题字数也就不等，为了显示时方便美观，工作人员对有关数据作出了如下规定：
边空宽：字宽：字距＝3：4：1．每个字的字宽相等，每个字之间的字距相等．
若某次主题活动的标题字数为17个字，求字距是多少cm．
第5章 一元一次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 蒙阴县期末）若a＝b，则下列等式变形不正确的是（ ）
A．2a＝2b B．
C．a﹣6＝b﹣6 D．
【考点】等式的性质．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】利用等式的性质逐项判断即可．
【解答】解：若a＝b，
两边同乘2得2a＝2b，则A不符合题意，
两边同除以m（m≠0）得，则B符合题意，
两边同减去6得a﹣6＝b﹣6，则C不符合题意，
两边同除以m2+1得，则D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
2．（2025春 洛江区期中）解方程，去分母后正确的是（ ）
A．2x﹣2﹣3x+1＝1 B．2x﹣2﹣3x+1＝6
C．2x﹣2﹣3x﹣1＝6 D．2x﹣2﹣3x﹣1＝1
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据解一元一次方程的方法，去分母，去括号解答即可．
【解答】解：，
去分母，得2（x﹣1）﹣（3x+1）＝6，
去括号，得2x﹣2﹣3x﹣1＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
3．（2025 高新区模拟）我国古代名著《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”意思是：“快马每天走240里，慢马每天走150里．慢马先走12天，问快马几天可以追上慢马？”若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）
A．150（12+x）＝240x
B．240x﹣150（x﹣12）＝12×150
C．150x＝240（x﹣12）
D．150（x+12）＝240（x﹣12）
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】由慢马先走12天及快马x天可以追上慢马，可得出快马追上慢马时慢马走了（12+x）天，利用路程＝速度×时间，结合快马追上慢马时两马走过的路程相等，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：150（12+x）＝240x．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4．（2025春 宜阳县期中）方程x﹣2＝﹣4的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝2 C．x＝﹣3 D．x＝﹣2
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】利用移项，合并同类项的步骤解方程即可．
【解答】解：原方程移项得：x＝﹣4+2，
系数化为1得：x＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
5．（2025春 宜阳县期中）在“今年，小明的年龄是他父亲年龄的，6年后，父亲的年龄比小明年龄的2倍还大7，问小明今年几岁？”中，若设小明今年x岁，下列方程中正确的是（ ）
A．2（x+6）+7＝3x B．2x+7＝3x
C．3x+6＝2x+7 D．2（x+6）+7＝3x+6
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据小明及父亲年龄间的关系可得出小明父亲现在的年龄为3x岁，再根据“6年后，小明父亲的年龄是小明年龄的2倍还多7岁”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：∵小明的年龄是他父亲年龄的，且今年小明的年龄为x岁，
∴小明爸爸现在的年龄为3x岁，
又∵6年后，父亲的年龄比小明年龄的2倍还大7，
∴2（x+6）+7＝3x+6，
∴根据题意可列方程为2（x+6）+7＝3x+6．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6．（2025春 莱西市期中）下列一元一次方程的变形中，不正确的是（ ）
A．由2x﹣1＝x+5，移项得：2x﹣x＝5+1
B．由﹣3（x﹣1）＝2（x+1），去括号得：﹣3x+3＝2x+2
C．由1，去分母得：2x﹣1＝1
D．由x＝2，系数化为1得：x＝6
【考点】解一元一次方程；等式的性质．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据等式的性质和乘法分配律，逐项判断即可．
【解答】解：∵由2x﹣1＝x+5，移项得：2x﹣x＝5+1，
∴选项A不符合题意；
∵由﹣3（x﹣1）＝2（x+1），去括号得：﹣3x+3＝2x+2，
∴选项B不符合题意；
∵由1，去分母得：2x﹣1＝3，
∴选项C符合题意；
∵由x＝2，系数化为1得：x＝6，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，注意等式的性质的应用和去括号时乘法分配律的应用．
7．（2025春 淄川区期中）某市按以下规定收取每月的燃气费，用燃气不超过30立方米，按每立方米1.2元收费；如果超过30立方米，超过部分按每立方米2元收费．已知3月份张老师家的燃气费平均每立方米1.50元，那么3月份张老师家应缴燃气费（ ）
A．48元 B．60元 C．72元 D．90元
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】设3月份张老师用了x立方米的燃气，根据3月份张老师家的燃气费平均每立方米1.50元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入1.5x中，即可求出结论．
【解答】解：设3月份张老师用了x立方米的燃气，
根据题意得：1.2×30+2（x﹣30）＝1.5x，
解得：x＝48，
∴1.5x＝1.5×48＝72（元），
∴3月份张老师家应缴燃气费72元．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8．（2025春 成都校级月考）甲、乙两车同时从相距570km的A，B两地相向而行，甲车的速度是90km/h，乙车的速度是100km/h，求两车相遇时的行驶时间．若设行驶x h后相遇，则下面所列方程正确的是（ ）
A．100x+90＝570 B．100x+90x＝570
C．100+90x＝570 D．100x﹣90x＝570
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据“甲、乙两车同时从相距570km的A，B两地相向而行”结合速度公式即可列出方程．
【解答】解：根据题意得100x+90x＝570．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系是解决问题的关键．
9．（2025 邯郸一模）据我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位老者在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一（例如：图中第2根上的一个绳结表示5个，第3根上的一个绳结表示5×5个），用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了42个野果，则在第2根绳子上的打结数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出方程，然后求解即可得出答案．
【解答】解：设在第2根绳子上的打结数是x，根据题意得：2+5x+1×5×5＝42，
解得x＝3，
即在第2根绳子上的打结数是3，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，正确列出方程是解答本题的关键；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
10．（2025 贵州模拟）若a+3＝2b﹣5，则下列等式不一定成立的是（ ）
A．a+8＝2b B．a+5＝2b+3 C．a﹣2b＝﹣8 D．
【考点】等式的性质．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据等式的性质对各选项进行计算判断即可．
【解答】解：A．若a+3＝2b﹣5，
等式两边同时加5，得a+3+5＝2b﹣5+5，
即a+8＝2b，故选项A成立；
B．若a+3＝2b﹣5，
等式的两边同时加2，得a+3+2＝2b﹣5+2，
即a+5＝2b﹣3，故选项B不成立；
C．若a+3＝2b﹣5，
等式两边同时减去2b，得a+3﹣2b＝2b﹣5﹣2b，
即a+3﹣2b＝﹣5，
等式两边再同时减去3，得a+3﹣2b﹣3＝﹣5﹣3，
即a﹣2b＝﹣8，故选项C成立；
D．若a+3＝2b﹣5，
等式两边同时减去2b，得a+3﹣2b＝2b﹣5﹣2b，
即a+3﹣2b＝﹣5，
等式两边再同时减去3，得a+3﹣2b﹣3＝﹣5﹣3，
即a﹣2b＝﹣8，
等式两边同时除以2，得，故选项D成立．
故选：B．
【点评】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 翁牛特旗期末）当x＝ 时，代数式3（x﹣1）与2（x+1）的值互为相反数．
【考点】解一元一次方程；相反数．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【解答】解：根据题意得：3（x﹣1）+2（x+1）＝0，
去括号得：3x﹣3+2x+2＝0，
移项合并得：5x＝1，
解得：x，
故答案为：
【点评】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数．
12．（2024秋 成华区期末）对于两个非零有理数a与b，规定：a b＝ab﹣（a+b）．若3 （x+1）＝1，则x的值为 1 ．
【考点】解一元一次方程．
【专题】新定义；一次方程（组）及应用；运算能力；创新意识．
【答案】1．
【分析】先根据新定义运算，得出关于x的方程，然后再根据解一元一次方程的方法求解即可．
【解答】解：∵a b＝ab﹣（a+b），
∴3 （x+1）＝3（x+1）﹣（3+x+1）＝3x+3﹣3﹣x﹣1＝2x﹣1，
∴2x﹣1＝1，
移项、合并同类项，得2x＝2，
将系数化为1，得x＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了解一元一次方程，新定义，理解新定义，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
13．（2025春 朝阳区校级月考）某市今年进行天然气工程改造，甲乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程若甲队单独做需要8天完成；若乙队单独做需要12天完成．若甲乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成，问乙队还需要 2 天能够完成任务．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】2．
【分析】设甲乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成，乙队还需要x天能够完成任务，利用甲队完成的工程量+乙队完成的工程量＝总工程量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设乙队还需要x天能够完成任务，
，
∴x＝2，
∴乙队还需要2天能够完成任务，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
14．（2025 湖南模拟）若x0是方程的解，则x0＝ 4 ．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】4．
【分析】根据去分母，去括号，移项，合并同类项，求出未知数的值即可．
【解答】解：，
3x＝2（x﹣1）+6，
3x＝2x﹣2+6，
解得：x＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的步骤是关键．
15．（2024秋 江岸区期末）已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝2，则关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2y+2+b的解为 y＝1 ．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】y＝1．
【分析】把关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2y+2+b化成（y+1）+3＝2（y+1）+b，再根据关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝2得到关于y的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：∵（y+1）+3＝2y+2+b，
∴（y+1）+3＝2（y+1）+b，
∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝2，
∴y+1＝2，
解得：y＝1，
∴关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2y+2+b的解为y＝1，
故答案为：y＝1．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义．
三．解答题（共8小题）
16．（2025春 嵩明县期中）如图，是两张不同类型火车的车票（“Dxxx次”表示动车，“Gxxx次”表示高铁）：
已知该动车和高铁的平均速度分别为200km/h，300km/h，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求A，B两地之间的距离与两车何时到达终点B地．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A，B两地之间的距离为600km，两车13：00到达终点B地．
【分析】设A，B两地之间的距离为x km，利用时间＝路程÷速度，结合动车比高铁多用1小时，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即A，B两地之间的距离），将其代入中，可求出动车到达B地所需时间，再结合动车的出发时间，即可求出两车到达终点B地的时间．
【解答】解：设A，B两地之间的距离为x km，
根据题意得：1，
解得：x＝600，
∴3（小时），
∴10：00+3小时＝13：00．
答：A，B两地之间的距离为600km，两车13：00到达终点B地．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
17．（2025春 海口期中）解下列方程．
（1）3x+7＝﹣6x﹣2；
（2）3（2x+5）＝2（4x+3）+1；
（3）．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＝﹣1；
（2）x＝4；
（3）x＝2．
【分析】各个小题均按照解一元一次方程的一般步骤进行解答即可．
【解答】解：（1）3x+7＝﹣6x﹣2，
3x+6x＝﹣2﹣7，
9x＝﹣9，
x＝﹣1；
（2）3（2x+5）＝2（4x+3）+1，
6x+15＝8x+6+1，
6x﹣8x＝6+1﹣15，
﹣2x＝﹣8，
x＝4；
（3），
4（2x+5）﹣24＝3（3x﹣2），
8x+20﹣24＝9x﹣6，
8x﹣4＝9x﹣6，
8x﹣9x＝﹣6+4，
﹣x＝﹣2，
x＝2．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤．
18．（2025春 沙坪坝区校级期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：2×6+4×（8﹣6）＝20（元）．
每月用水量 单价
不超出6立方米的部分 2元/立方米
超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米
超出10立方米的部分 8元/立方米
（1）若小明家2月份用水12.5立方米，则应交水费 48 元；
（2）若小明家3月用水量为a立方米，当6＜a≤10时，小明家应交水费 （4a﹣12） 元，当a＞10时，小明家应交水费 （8a﹣52） 元；（请用含a的代数式表示）
（3）若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？
【考点】一元一次方程的应用；有理数的混合运算；列代数式．
【专题】实数；整式；一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）48；
（2）（4a﹣12），（8a﹣52）；
（3）小明家3月份用水1立方米，4月份用水11立方米．
【分析】（1）利用小明家应交水费＝2×6+4×（10﹣6）+8×超过10立方米的部分，即可求出结论；
（2）利用小明家应交水费＝2×6+4×超过6立方米的部分，可用含a的代数式表示出小明家应交水费；利用小明家应交水费＝2×6+4×（10﹣6）+8×超过10立方米的部分，可用含a的代数式表示出小明家应交水费；
（3）设小明家3月份用水x立方米，则小明家4月份用水（12﹣x）立方米，分0＜x＜2及2≤x＜6两种情况考虑，根据小明家3月份，4月份共交水费38元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意得：2×6+4×（10﹣6）+8×（12.5﹣10）
＝2×6+4×4+8×2.5
＝12+16+20
＝48（元），
∴应交水费48元．
故答案为：48；
（2）根据题意得：当6＜a≤10时，小明家应交水费2×6+4（a﹣6）＝（4a﹣12）元；
当a＞10时，小明家应交水费2×6+4×（10﹣6）+8（a﹣10）＝（8a﹣52）元．
故答案为：（4a﹣12），（8a﹣52）；
（3）设小明家3月份用水x立方米，则小明家4月份用水（12﹣x）立方米，
当0＜x＜2时，2x+2×6+4×（10﹣6）+8（12﹣x﹣10）＝38，
解得：x＝1，
∴12﹣x＝12﹣1＝11（立方米）；
当2≤x＜6时，2x+2×6+4（12﹣x﹣6）＝38，
解得：x＝﹣1（不符合题意，舍去）．
答：小明家3月份用水1立方米，4月份用水11立方米．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含a的代数式表示出小明家应交水费；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
19．（2025春 翠屏区校级期中）用“ ”定义一种新运算，规则如下：a b＝ab﹣2a+b．
（1）计算：（﹣6） 10＝ ﹣38 ；
（2）若（10+x） （﹣8）＝12，求x的值．
【考点】解一元一次方程；有理数的混合运算．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）﹣38；
（2）x＝﹣12．
【分析】（1）根据新定义可得（﹣6） 10＝（﹣6）×10﹣2×（﹣6）+10，据此计算求解即可；
（2）根据新定义可得（10+x）×（﹣8）﹣2（10+x）﹣8＝12，解方程即可得求解．
【解答】解：（1）∵a b＝ab﹣2a+b，
∴原式＝（﹣6）×10﹣2×（﹣6）+10
＝﹣60+12+10
＝﹣38．
故答案为：﹣38．
（2）由题意可得：
（10+x）×（﹣8）﹣2（10+x）﹣8＝12，
解得：x＝﹣12．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，有理数混合运算及新定义，解题的关键是理解新定义．
20．（2025春 镇平县期中）小丽和小华所在的美术社团活动小组计划做一批中国结，如果每人做10个，那么比计划多了20个；如果每人做7个，那么比计划少16个．问题：该小组共有多少人？计划做多少个中国结？她俩经过独立思考后，分别列出如下方程．
小丽的方法：10x﹣20＝7x+16．
小华的方法：．
（1）在小丽所列的方程中，未知数x表示的意义是 该小组的人数 ，在小华所列的方程中，未知数y表示的意义是 计划做中国结的个数 ．
（2）试选择一种方法，将原题中的问题解答完整．
【考点】一元一次方程的应用；由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）该小组的人数，计划做中国结的个数；
（2）该小组共有12人，计划做100个中国结．
【分析】（1）根据题意，结合小丽及小华所列方程，即可找出x，y的意义；
（2）选择小丽（小华）的方程，解方程，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵如果每人做10个，那么比计划多了20个；如果每人做7个，那么比计划少16个，且小丽所列方程为10x﹣20＝7x+16，
∴未知数x表示的意义是：该小组的人数；
∵如果每人做10个，那么比计划多了20个；如果每人做7个，那么比计划少16个，小华所列方程为，
∴未知数y表示的意义是：计划做中国结的个数．
故答案为：该小组的人数，计划做中国结的个数；
（2）小丽的方法：10x﹣20＝7x+16，
解得：x＝12，
∴10x﹣20＝10×12﹣20＝100（个）．
答：该小组共有12人，计划做100个中国结；
小华的方法：，
解得：y＝100，
∴12（人）．
答：该小组共有12人，计划做100个中国结．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及由实际问题抽象出一元一次方程，根据所列方程，找出未知数x，y的意义是解题的关键．
21．（2025春 南靖县期中）规定：若关于x的一元一次方程mx＝n的解满足，则称该方程是“平均值方程”．例如：方程3x＝﹣9的解为x＝﹣3，而，则该方程是“平均值方程”．请根据上述规定解答下列问题：
（1）若关于x的一元一次方程﹣2x＝t是“平均值方程”，求t的值；
（2）若关于x的一元一次方程4x＝ab﹣a是“平均值方程”，求代数式﹣2ab+2a+7的值．
【考点】一元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）﹣1；
（2）23．
【分析】（1）先求出方程﹣2x＝t的解，再根据已知条件中的新定义，列出关于t的方程，解方程求出t即可；
（2）先求出方程4x＝ab﹣a的解，再根据已知条件中的新定义，列出关于a，b的等式，求出a（1﹣b），再代入所求式子进行计算即可．
【解答】解：（1）﹣2x＝t，
解得：，
∵关于x的一元一次方程﹣2x＝t是“平均值方程”，
∴，
﹣t＝﹣2+t，
2t＝﹣2，
t＝﹣1；
（2）4x＝ab﹣a，
解得：，
∵关于x的一元一次方程4x＝ab﹣a是“平均值方程”，
∴，
ab﹣a＝2（4+ab﹣a），
ab﹣a＝8+2ab﹣2a，
﹣ab+a＝8，
a（1﹣b）＝8，
∴﹣2ab+2a+7
＝2a（1﹣b）+7
＝2×8+7
＝16+7
＝23．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是理解已知条件中的新定义的含义．
22．（2025 大兴区一模）列方程解应用题：
小华一家驾驶某款新能源汽车外出游玩，去时选择普通公路，返回时选择高速公路．走普通公路比高速公路的路程多60公里，这款新能源汽车在普通公路上行驶平均每百公里耗电20度，在高速公路上行驶比普通公路上行驶平均每百公里耗电增加20%，该车选择的充电站充电综合电费均为1.5元/度．最终发现走普通公路的电费比高速公路的电费少15元，求返回时所走高速公路的路程．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】返回时所走高速公路的路程为550公里．
【分析】设返回时所走高速公路的路程为x公里，则去时走普通公路的路程为（x+60）公里，根据走普通公路的电费比高速公路的电费少15元，列方程求解即可．
【解答】解：设返回时所走高速公路的路程为x公里，则去时走普通公路的路程为（x+60）公里，
根据题意得（x+60）+15 x，
解得x＝550，
答：返回时所走高速公路的路程为550公里．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
23．（2025 房山区一模）某校礼堂舞台正上方有一个长为1800cm的长方形电子显示屏，如图所示．每次活动都会在电子显示屏显示主题活动的标题．由于每次活动的主题不同，标题字数也就不等，为了显示时方便美观，工作人员对有关数据作出了如下规定：
边空宽：字宽：字距＝3：4：1．每个字的字宽相等，每个字之间的字距相等．
若某次主题活动的标题字数为17个字，求字距是多少cm．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】20cm．
【分析】设字距是x cm，则字宽是4x cm，边空宽是3x cm，根据长方形电子显示屏的长度为1800cm，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设字距是x cm，则字宽是4x cm，边空宽是3x cm，
根据题意得：2×3x+17×4x+（17﹣1）x＝1800，
解得：x＝20．
答：字距是20cm．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
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