7.1.1 角的推广(课件 学案 练习)高中数学人教B版(2019)必修 第二册

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名称 7.1.1 角的推广(课件 学案 练习)高中数学人教B版(2019)必修 第二册
格式 zip
文件大小 1.5MB
资源类型 教案
版本资源 人教B版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-05 22:30:34

文档简介

7.1.1 角的推广
1.(多选)在下列四个角中,属于第二象限角的是(  )
A.160°        B.480°
C.-960° D.1 530°
2.在0°到360°范围内,与角-120°终边相同的角是(  )
A.120° B.60°
C.180° D.240°
3.已知集合M={x|x=k·90°+45°,k∈Z},集合N={x|x=k·45°+90°,k∈Z},则有(  )
A.M=N B.N M
C.M N D.M∩N=
4.若角α与β的终边相同,则角α-β的终边(  )
A.在x轴的正半轴上
B.在x轴的负半轴上
C.在y轴的负半轴上
D.在y轴的正半轴上
5.(多选)下列命题正确的是(  )
A.第一象限角一定不是负角
B.若β=α+k·360°(k∈Z),则α与β的终边相同
C.α=45°+k·180°(k∈Z),则α的终边落在直线y=x上
D.终边在x轴上的角的集合是{α|α=k·180°,k∈Z}
6.角α与角β的终边互为反向延长线,则(  )
A.α=-β
B.α=180°+β
C.α=k·360°+β(k∈Z)
D.α=k·360°+180°+β(k∈Z)
7.已知-990°<α<-630°,且α与120°角的终边相同,则α=    .
8.已知点P(0,-1)在角α的终边上,则所有角α组成的集合S=    .
9.如果将钟表拨快10分钟,则时针所转成的角度是    度,分针所转成的角度是    度.
10.如图所示:
(1)分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合;
(2)写出终边落在阴影部分的角的集合.
11.(多选)如果α是第三象限角,那么可能是哪个象限的角(  )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
12.角α,β的终边关于y=x对称,若α=30°,则β=    .
13.已知角的集合M={α|α=30°+k·90°,k∈Z},回答下列问题:
(1)集合M中大于-360°且小于360°的角是哪几个?
(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式.
7.1.1 角的推广
1.ABC 160°显然在第二象限;480°=120°+360°是第二象限角;-960°=-3×360°+120°是第二象限角;1 530°=4×360°+90°不是第二象限角.
2.D ∵与-120°终边相同的角的集合为{α|α=-120°+k·360°,k∈Z}.取k=1,可得在0°到360°范围内,与角-120°终边相同的角是240°.故选D.
3.C 由于k·90°(k∈Z)表示终边在x轴或y轴上的角,所以k·90°+45°(k∈Z)表示终边落在y=x或y=-x上的角(如图①).
又由于k·45°+90°(k∈Z)表示终边落在x轴、y轴、直线y=±x上8个位置的角(如图②),因而M N,故选C.
4.A 由已知可得α=β+k·360°(k∈Z),∴α-β=k·360°(k∈Z),∴α-β的终边在x轴的正半轴上.
5.BCD 对于A,-330°是第一象限角,它是负角,故A错误;对于B,β=α+k·360°(k∈Z),则α与β的终边相同,满足终边相同的角的定义,B正确;对于C,α=45°+k·180°(k∈Z),则α的终边落在直线y=x上,C正确;对于D,终边在x轴上的角的集合是{α|α=k·180°,k∈Z},D正确.
6.D ∵角α与角β的终边互为反向延长线,∴α-β=k·360°+180°(k∈Z),∴α=k+360°+180°+β(k∈Z).
7.-960° 解析:因为α与120°角终边相同,故有α=k·360°+120°,k∈Z.又因为-990°<α<-630°,所以-990°<k·360°+120°<-630°,即-1 110°<k·360°<-750°.所以-<k<-,当k=-3时,α=(-3)·360°+120°=-960°.
8.{α|α=270°+k·360°,k∈Z} 解析:∵点P(0,-1)在y轴的负半轴上,在0°~360°内满足条件的角为270°,∴所有角α组成的集合S={α|α=270°+k·360°,k∈Z}.
9.-5 -60 解析:将钟表拨快10分钟,则时针按顺时针方向转了10×=5°,所转成的角度是-5°;分针按顺时针方向转了10×=60°,所转成的角度是-60°.
10.解:(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α=30°+k·360°,k∈Z},
终边落在OB位置上的角的集合为{β|β=105°+k·360°,k∈Z}.
(2)由(1)及题图知,阴影部分的角的集合为{θ|30°+k·360°≤θ<105°+k·360°,k∈Z}.
11.ACD 因为α是第三象限的角,则α∈(k·360°+180°,k·360°+270°),k∈Z,所以∈(k·120°+60°,k·120°+90°),k∈Z,按照k=3n,k=3n+1,k=3n+2(n∈Z)进行讨论可知可以是第一、第三、第四象限角.
12.60°+k·360°,k∈Z 解析:因为30°与60°的终边关于y=x对称,所以β的终边与60°角的终边相同.所以β=60°+k·360°,k∈Z.
13.解:(1)令-360°<30°+k·90°<360°,得-<k<,又∵k∈Z,∴k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,∴集合M中大于-360°且小于360°的角共有8个,分别是-330°,-240°,-150°,-60°,30°,120°,210°,300°.
(2)∵集合M中的第二象限角与120°角的终边相同,
∴β=120°+k·360°,k∈Z.
2 / 27.1 任意角的概念与弧度制
7.1.1 角的推广
新课程标准解读 核心素养
1.了解任意角的概念,能区分各类角 数学抽象
2.掌握终边相同的角的含义及其表示方法 数学运算
3.理解象限角的概念并能用集合表示各类象限角 直观想象
  周日早晨,小明起床后发现自己的闹钟指针停在5:00这一时刻,他立即更换了电池,调整到了正常时间6:30,并开始正常的学习.
【问题】 小明在调整闹钟时间时,时针与分针各转过了多少度?
                                             
                                             
                                             
知识点一 角的概念的推广
1.角的概念
一条   绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角,这两条射线分别称为角的   和   .
2.角的表示
如图所示:
(1)始边:射线OA;
(2)终边:射线OB;
(3)顶点:射线的端点O;
(4)记法:图中的角α也可记为“   ”或“    ”.
3.角的分类
名称 定义 图示
正角 按照    方向旋转而成的角
负角 按照    方向旋转而成的角
零角 一条射线   旋转而成的角
由于角是旋转生成的,所以也常称为   .
4.角的加减运算的一个几何意义(β>0°)
(1)α+β:把角α的终边    方向旋转角β,如图①;
图①     图②
(2)α-β:把角α的终边    方向旋转角β,如图②.
提醒 对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字:①要明确旋转方向;②要明确旋转角度的大小;③要明确射线未作任何旋转时的位置.
【想一想】
1.角的三要素是什么?
2.用几何意义表示角的加、减时,按逆时针、顺时针旋转的是角的哪条边?
经过1个小时,时针转过的角度是    .
知识点二 象限角
1.象限角
角的顶点与坐标原点重合,角的始边落在x轴的正半轴上,这时,角的终边在第几象限,就把这个角称为       .如果终边在     上,就认为这个角不属于任何象限.
2.终边相同的角
(1)所有与α终边相同的角连同角α在内组成一个集合,这个集合可记为S=      ;
(2)所有与角α终边相同的角,连同角α在内都可以用式子k·360°+α,k∈Z表示,在运用时需注意以下几点:
①k是整数,这个条件不能漏掉;
②α是任意角;
③k·360°与α之间用“+”连接,如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°),k∈Z;
④终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数个,它们相差周角的整数倍,相等的角终边一定相同.
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)终边相同的角一定相等.(  )
(2)钝角为第二象限角.(  )
(3)第一象限的角一定是锐角.(  )
(4)第二象限角大于第一象限角.(  )
2.(多选)给出下列四个选项,其中正确的选项是(  )
A.-75°角是第四象限的角 B.225°角是第三象限的角
C.475°角是第二象限的角 D.-315°角是第四象限的角
3.将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为    ,将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为    .
题型一 有关角的概念问题
【例1】 下列命题正确的是(  )
A.终边与始边重合的角是零角
B.终边和始边都相同的两个角一定相等
C.在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
D.小于90°的角是锐角
尝试解答                                      
通性通法
理解与角的概念有关问题的关键
  关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.
【跟踪训练】
1.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置,由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置,则∠AOC=(  )
A.150°        B.-150°
C.390° D.-390°
2.某电影片长158分钟,在电影播放的时间里,钟表的分针转过的角为(  )
A.132° B.-132°
C.948° D.-948°
题型二 终边相同的角的表示
【例2】 已知α=-1 120°.
(1)把α写成β+k·360°(k∈Z)的形式,其中0°≤β<360°;
(2)写出与角α终边相同的角θ的集合S,并求出S中满足不等式-720°≤θ ≤0°的元素.
尝试解答                                      
通性通法
1.求终边落在直线上的角的集合的步骤
(1)写出在0°~360°范围内相应的角;
(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合;
(3)根据条件能合并的一定要合并,使结果简洁.
2.与终边相同的角的有关结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍;
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍;
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍.
【跟踪训练】
1.下列各角中与2 025°角终边相同的是(  )
A.45°      B.135°
C.-45° D.-135°
2.在直角坐标系中写出下列角的集合:
(1)终边在x轴的正半轴上;
(2)终边在y=x(x≥0)上.
题型三 象限角与区域角的表示
【例3】 (1)如图所示,终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合为    ;
(2)已知α是第二象限角,求角所在的象限.
尝试解答                                      
【母题探究】
1.(变条件,变设问)若将本例(2)中的“第二象限角”改为“第三象限角”,求角2α的终边的位置.
2.(变条件)若将本例(2)中的“第二象限角”改为“第一象限角”,如何求解?
通性通法
1.给定一个角判断它是第几象限角的思路
判断角α是第几象限角的常用方法为将α写成β+k·360°(其中k∈Z,β在0°~360°范围内)的形式,观察角β的终边所在的象限即可.
2.分角、倍角所在象限的判定思路
(1)求解的思维模式应是:由欲求想需求,由已知想可知,抓住内在联系,确定解题方略;
(2)由α的象限确定2α的象限时,应注意2α可能不再是象限角,对此特殊情况应特别指出.如当α=135°,而2α=270°就不再是象限角.
【跟踪训练】
1.已知α是第二象限角,则180°-α是(  )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2.写出图中终边在阴影部分的角的集合(包括边界).
1.若α=k·180°+45°,k∈Z,则α终边所在的象限是(  )
A.第一、三象限   B.第一、二象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
2.如图,终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是(  )
A.{α|120°≤α≤330°}
B.{α|-30°≤α≤120°}
C.{α|k·360°+120°≤α≤k·360°+330°,k∈Z}
D.{α|k·360°-30°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}
3.(多选)已知集合A={θ|θ为锐角},B={θ|θ为小于90°的角},C={θ|θ为第一象限角},D={θ|θ为小于90°的正角},则下列等式中成立的是(  )
A.A=B B.B C C.A C D.A=D
4.已知0°≤α<360°,且α与600°角终边相同,则α=    ,它是第    象限角.
5.将下列各角表示为k·360°+α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式,并指出是第几象限角.
(1)420°;(2)-510°;(3)1 020°.
7.1.1 角的推广
【基础知识·重落实】
知识点一
1.射线 始边 终边 2.(4)α ∠AOB 3.逆时针 顺时针 没有 转角 4.(1)逆时针 (2)顺时针
想一想
1.提示:角的三要素是顶点、始边、终边.
2.提示:在表示α±β时第二次旋转的是角α的终边.
自我诊断
 -30°
知识点二
1.第几象限角 坐标轴 2.(1){β|β=α+k·360°,k∈Z}
自我诊断
1.(1)× (2)√ (3)× (4)×
2.ABC 因为-90°<-75°<0°,180°<225°<270°,360°+90°<475°<360°+180°,-360°<-315°<-270°,所以A、B、C是正确的.
3.-25° 395°
【典型例题·精研析】
【例1】 C 终边与始边重合的角还可能是360°,720°,…,故A不正确;终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍,如30°与-330°,故B不正确;由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角,所以不一定是钝角,C正确;小于90°的角可以是0°,也可以是负角,故D不正确,故选C.
跟踪训练
1.B 各角和的旋转量等于各角旋转量的和.所以120°+(-270°)=-150°,故选B.
2.D 分针是按顺时针方向旋转的,因此分针1分钟转过的角为-6°,则分针158分钟转过的角为-6°×158=-948°.
【例2】 解:(1)用-1 120°除以360°,得商为-4,余数为320°,
∴α=320°+(-4)×360°.
(2)法一 与角α=-1 120°终边相同的角θ的集合S={θ|θ=320°+k·360°,k∈Z}.
则由-720°≤320°+k·360°≤0°,得-≤k≤-,k∈Z,∴k=-2或-1.
当k=-2时,θ=-2×360°+320°=-400°;
当k=-1时,θ=-1×360°+320°=-40°.
故在-720°~0°之间的角θ=-400°或-40°.
法二 与角α=-1 120°终边相同的角θ的集合S={θ|θ=-1 120°+k·360°,k∈Z}.
则由-720°≤-1 120°+k·360°≤0,得≤k≤,k∈Z,∴k=2或3.
当k=2时,θ=-1 120°+2×360°=-400°;
当k=3时,θ=-1 120°+3×360°=-40°.
故在-720°~0°之间的角θ=-400°或-40°.
跟踪训练
1.D 因为2 025°=360°×6-135°,所以-135°角与2 025°角的终边相同.
2.解:(1)在0°~360°范围内,终边在x轴的正半轴上的角有一个0°.故终边落在x轴的正半轴上的角的集合为{α|α=k·360°,k∈Z}.
(2)在0°~360°范围内,终边在y=x(x≥0)上的角有一个45°.故终边在y=x(x≥0)上的角的集合为{α|α=45°+k·360°,k∈Z}.
【例3】 (1){α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}
解析:终边落在OA位置上的角的集合为{γ|γ=90°+45°+k·360°,k∈Z}={γ|γ=135°+k·360°,k∈Z},终边落在OB位置上的角的集合为{β|β=-30°+k·360°,k∈Z}.由题图可知,终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.
(2)解:法一 ∵α是第二象限角,
∴k·360°+90°<α<k·360°+180°(k∈Z).
∴·360°+45°<<·360°+90°(k∈Z).
当k为偶数时,令k=2n(n∈Z),得
n·360°+45°<<n·360°+90°,n∈Z,
这表明是第一象限角;
当k为奇数时,令k=2n+1(n∈Z),得
n·360°+225°<<n·360°+270°,n∈Z,
这表明是第三象限角.
∴为第一或第三象限角.
法二 如图,先将各象限分成2等份,再从x轴正半轴上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则标有二的区域即为的终边所在的区域,故为第一或第三象限角.
母题探究
1.解:∵α是第三象限角,
∴k·360°+180°<α<k·360°+270°(k∈Z),
∴k·720°+360°<2α<k·720°+540°(k∈Z),
∴角2α的终边在第一或第二象限或在y轴的正半轴上.
2.解:∵k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z),
∴k·180°<<k·180°+45°(k∈Z).
当k=2n(n∈Z)时,n·360°<<n·360°+45°,
∴是第一象限角.
当k=2n+1(n∈Z)时,n·360°+180°<<n·360°+225°,
∴是第三象限角.
∴是第一或第三象限角.
跟踪训练
1.A 由α是第二象限角可得,90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z.所以180°-(180°+k·360°)<180°-α<180°-(90°+k·360°),k∈Z.-k·360°<180°-α<90°-k·360°,k∈Z,所以180°-α是第一象限角.
2.解:(1)先表示出一个周期内满足条件的不等式45°≤α≤120°,再加360°的整数倍,得{α|45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.
(2)从135°角的终边开始逆时针旋转到与-45°终边相同的角应为135°+180°=315°,所以{α|135°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}.
随堂检测
1.A 由题意知α=k·180°+45°,k∈Z.当k=2n+1,n∈Z时,α=2n·180°+180°+45°=n·360°+225°,n∈Z,其终边在第三象限;当k=2n,n∈Z时,α=2n·180°+45°=n·360°+45°,n∈Z,其终边在第一象限.综上,α终边所在的象限是第一或第三象限.
2.D 330°角的终边与-30°角的终边相同,因此终边落在阴影部分(包括边界)的一个区间角为{α|-30°≤α≤120°},在此区间角的两端分别加上“k·360°”,右端注明“k∈Z”即可得到终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
3.CD 集合A中锐角θ满足0°<θ<90°;集合B中θ<90°,可以为负角;集合C中θ满足k·360°<θ<k·360°+90°,k∈Z;集合D中θ满足0°<θ<90°.故A C,A=D.
4.240° 三 解析:因为600°=360°+240°,所以240°角与600°角终边相同,且180°<240°<270°,故α=240°,它是第三象限角.
5.解:(1)420°=360°+60°,
而60°角是第一象限角,故420°是第一象限角.
(2)-510°=-2×360°+210°,
而210°是第三象限角,故-510°是第三象限角.
(3)1 020°=2×360°+300°,
而300°是第四象限角,故1 020°是第四象限角.
5 / 5(共63张PPT)
7.1.1 角的推广
新课程标准解读 核心素养
1.了解任意角的概念,能区分各类角 数学抽象
2.掌握终边相同的角的含义及其表示方法 数学运算
3.理解象限角的概念并能用集合表示各类象限角 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
  
  周日早晨,小明起床后发现自己的闹钟指针停在5:00这一时
刻,他立即更换了电池,调整到了正常时间6:30,并开始正常的
学习.
【问题】 小明在调整闹钟时间时,时针与分针各转过了多少度?
知识点一 角的概念的推广
1. 角的概念
一条 绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角,这
两条射线分别称为角的 和 .
射线 
始边 
终边 
2. 角的表示
如图所示:
(1)始边:射线OA;
(2)终边:射线OB;
(3)顶点:射线的端点O;
(4)记法:图中的角α也可记为“ ”或“ ”.
α 
∠AOB 
3. 角的分类
名称 定义 图示
正角 按照 方向旋转而成的

负角 按照 方向旋转而成的

零角 一条射线 旋转而成的角
由于角是旋转生成的,所以也常称为 .
逆时针 
顺时针 
没有 
转角 
4. 角的加减运算的一个几何意义(β>0°)
(1)α+β:把角α的终边 方向旋转角β,如图①;
       图①      图②
逆时针 
(2)α-β:把角α的终边 方向旋转角β,如图②.
提醒 对角的概念的认识关键是抓住“旋转”二字:①要明
确旋转方向;②要明确旋转角度的大小;③要明确射线未作
任何旋转时的位置.
顺时针 
【想一想】
1. 角的三要素是什么?
提示:角的三要素是顶点、始边、终边.
2. 用几何意义表示角的加、减时,按逆时针、顺时针旋转的是角的哪
条边?
提示:在表示α±β时第二次旋转的是角α的终边.
 经过1个小时,时针转过的角度是 .
-30°
知识点二 象限角
1. 象限角
角的顶点与坐标原点重合,角的始边落在x轴的正半轴上,这时,
角的终边在第几象限,就把这个角称为 .如果终边
在 上,就认为这个角不属于任何象限.
第几象限角 
坐标轴 
2. 终边相同的角
(1)所有与α终边相同的角连同角α在内组成一个集合,这个集
合可记为S= ;
{β|β=α+k·360°,k∈Z} 
(2)所有与角α终边相同的角,连同角α在内都可以用式子
k·360°+α,k∈Z表示,在运用时需注意以下几点:
①k是整数,这个条件不能漏掉;
②α是任意角;
③k·360°与α之间用“+”连接,如k·360°-30°应看
成k·360°+(-30°),k∈Z;
④终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数个,它们
相差周角的整数倍,相等的角终边一定相同.
1. 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)终边相同的角一定相等. ( × )
(2)钝角为第二象限角. ( √ )
(3)第一象限的角一定是锐角. ( × )
(4)第二象限角大于第一象限角. ( × )
×

×
×
2. (多选)给出下列四个选项,其中正确的选项是(  )
A. -75°角是第四象限的角
B. 225°角是第三象限的角
C. 475°角是第二象限的角
D. -315°角是第四象限的角
解析:  因为-90°<-75°<0°,180°<225°<270°,
360°+90°<475°<360°+180°,-360°<-315°<-
270°,所以A、B、C是正确的.
3. 将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为
,将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数
为  .

25° 
395°
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
  题型一 有关角的概念问题
【例1】 下列命题正确的是(  )
A. 终边与始边重合的角是零角
B. 终边和始边都相同的两个角一定相等
C. 在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
D. 小于90°的角是锐角
解析:  终边与始边重合的角还可能是360°,720°,…,故A不
正确;终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍,如30°
与-330°,故B不正确;由于在90°≤β<180°范围内的角β包含
90°角,所以不一定是钝角,C正确;小于90°的角可以是0°,也可
以是负角,故D不正确,故选C.
通性通法
理解与角的概念有关问题的关键
  关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概
念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论
正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举
一个反例即可.
【跟踪训练】
1. 射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置,由OB位置顺时
针旋转270°到达OC位置,则∠AOC=(  )
A. 150° B. -150°
C. 390° D. -390°
解析:  各角和的旋转量等于各角旋转量的和.所以120°+(-
270°)=-150°,故选B.
2. 某电影片长158分钟,在电影播放的时间里,钟表的分针转过的角
为(  )
A. 132° B. -132°
C. 948° D. -948°
解析:  分针是按顺时针方向旋转的,因此分针1分钟转过的角
为-6°,则分针158分钟转过的角为-6°×158=-948°.
题型二 终边相同的角的表示
【例2】 已知α=-1 120°.
(1)把α写成β+k·360°(k∈Z)的形式,其中0°≤β<
360°;
解: 用-1 120°除以360°,得商为-4,余数为320°,
∴α=320°+(-4)×360°.
(2)写出与角α终边相同的角θ的集合S,并求出S中满足不等式-
720°≤θ ≤0°的元素.
解: 法一 与角α=-1 120°终边相同的角θ的集合S=
{θ|θ=320°+k·360°,k∈Z}.
则由-720°≤320°+k·360°≤0°,得- ≤k≤- ,
k∈Z,∴k=-2或-1.
当k=-2时,θ=-2×360°+320°=-400°;
当k=-1时,θ=-1×360°+320°=-40°.
故在-720°~0°之间的角θ=-400°或-40°.
法二 与角α=-1 120°终边相同的角θ的集合S={θ|θ=-1
120°+k·360°,k∈Z}.
则由-720°≤-1 120°+k·360°≤0,得 ≤k≤ ,k∈Z,
∴k=2或3.
当k=2时,θ=-1 120°+2×360°=-400°;
当k=3时,θ=-1 120°+3×360°=-40°.
故在-720°~0°之间的角θ=-400°或-40°.
通性通法
1. 求终边落在直线上的角的集合的步骤
(1)写出在0°~360°范围内相应的角;
(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合;
(3)根据条件能合并的一定要合并,使结果简洁.
2. 与终边相同的角的有关结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍;
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍;
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍.
【跟踪训练】
1. 下列各角中与2 025°角终边相同的是(  )
A. 45° B. 135°
C. -45° D. -135°
解析:  因为2 025°=360°×6-135°,所以-135°角与2
025°角的终边相同.
2. 在直角坐标系中写出下列角的集合:
(1)终边在x轴的正半轴上;
解: 在0°~360°范围内,终边在x轴的正半轴上的角
有一个0°.故终边落在x轴的正半轴上的角的集合为{α|α
=k·360°,k∈Z}.
(2)终边在y=x(x≥0)上.
解: 在0°~360°范围内,终边在y=x(x≥0)上的
角有一个45°.故终边在y=x(x≥0)上的角的集合为
{α|α=45°+k·360°,k∈Z}.
题型三 象限角与区域角的表示
【例3】 (1)如图所示,终边落在阴影部分(包括边界)的角α的
集合为

{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,
k∈Z} 
解析:终边落在OA位置上的角的集合为{γ|γ=90°+45°+
k·360°,k∈Z}={γ|γ=135°+k·360°,k∈Z},终边落在
OB位置上的角的集合为{β|β=-30°+k·360°,k∈Z}.由题
图可知,终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α|-30°+
k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.
(2)已知α是第二象限角,求角 所在的象限.
解:法一 ∵α是第二象限角,
∴k·360°+90°<α<k·360°+180°(k∈Z).
∴ ·360°+45°< < ·360°+90°(k∈Z).
当k为偶数时,令k=2n(n∈Z),得
n·360°+45°< <n·360°+90°,n∈Z,
这表明 是第一象限角;
当k为奇数时,令k=2n+1(n∈Z),得
n·360°+225°< <n·360°+270°,n∈Z,
这表明 是第三象限角.
∴ 为第一或第三象限角.
法二 如图,先将各象限分成2等份,再从x轴正半
轴上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则
标有二的区域即为 的终边所在的区域,故 为第
一或第三象限角.
【母题探究】
1. (变条件,变设问)若将本例(2)中的“第二象限角”改为“第
三象限角”,求角2α的终边的位置.
解:∵α是第三象限角,
∴k·360°+180°<α<k·360°+270°(k∈Z),
∴k·720°+360°<2α<k·720°+540°(k∈Z),
∴角2α的终边在第一或第二象限或在y轴的正半轴上.
解:∵k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z),
∴k·180°< <k·180°+45°(k∈Z).
当k=2n(n∈Z)时,n·360°< <n·360°+45°,
∴ 是第一象限角.
当k=2n+1(n∈Z)时,n·360°+180°< <n·360°+
225°,
∴ 是第三象限角.∴ 是第一或第三象限角.
2. (变条件)若将本例(2)中的“第二象限角”改为“第一象限
角”,如何求解?
通性通法
1. 给定一个角判断它是第几象限角的思路
判断角α是第几象限角的常用方法为将α写成β+k·360°(其
中k∈Z,β在0°~360°范围内)的形式,观察角β的终边所在
的象限即可.
2. 分角、倍角所在象限的判定思路
(1)求解的思维模式应是:由欲求想需求,由已知想可知,抓住
内在联系,确定解题方略;
(2)由α的象限确定2α的象限时,应注意2α可能不再是象限
角,对此特殊情况应特别指出.如当α=135°,而2α=
270°就不再是象限角.
【跟踪训练】
1. 已知α是第二象限角,则180°-α是(  )
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
解析:  由α是第二象限角可得,90°+k·360°<α<180°
+k·360°,k∈Z. 所以180°-(180°+k·360°)<180°-
α<180°-(90°+k·360°),k∈Z. -k·360°<180°-
α<90°-k·360°,k∈Z,所以180°-α是第一象限角.
2. 写出图中终边在阴影部分的角的集合(包括边界).
解: 先表示出一个周期内满足条件的不等式
45°≤α≤120°,再加360°的整数倍,得{α|45°+
k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.
解:从135°角的终边开始逆时针旋转到与-45°终边相同的角应
为135°+180°=315°,所以{α|135°+
k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}.
1. 若α=k·180°+45°,k∈Z,则α终边所在的象限是(  )
A. 第一、三象限 B. 第一、二象限
C. 第二、四象限 D. 第三、四象限
解析:  由题意知α=k·180°+45°,k∈Z. 当k=2n+1,
n∈Z时,α=2n·180°+180°+45°=n·360°+225°,
n∈Z,其终边在第三象限;当k=2n,n∈Z时,α=2n·180°
+45°=n·360°+45°,n∈Z,其终边在第一象限.综上,α
终边所在的象限是第一或第三象限.
2. 如图,终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是(  )
A. {α|120°≤α≤330°}
B. {α|-30°≤α≤120°}
C. {α|k·360°+120°≤α≤k·360°+330°,
k∈Z}
D. {α|k·360°-30°≤α≤k·360°+120°,k∈Z}
解析:  330°角的终边与-30°角的终边相同,因此终边落在
阴影部分(包括边界)的一个区间角为{α|-30°≤α≤120°},在此区间角的两端分别加上“k·360°”,右端注明“k∈Z”即可得到终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
3. (多选)已知集合A={θ|θ为锐角},B={θ|θ为小于90°
的角},C={θ|θ为第一象限角},D={θ|θ为小于90°的正
角},则下列等式中成立的是(  )
A. A=B B. B C
C. A C D. A=D
解析:  集合A中锐角θ满足0°<θ<90°;集合B中θ<
90°,可以为负角;集合C中θ满足k·360°<θ<k·360°+
90°,k∈Z;集合D中θ满足0°<θ<90°.故A C,A=D.
4. 已知0°≤α<360°,且α与600°角终边相同,则α
= ,它是第 象限角.
解析:因为600°=360°+240°,所以240°角与600°角终边相
同,且180°<240°<270°,故α=240°,它是第三象限角.
240° 
三 
5. 将下列各角表示为k·360°+α(k∈Z,0°≤α<360°)的形
式,并指出是第几象限角.
(1)420°;(2)-510°;(3)1 020°.
解:(1)420°=360°+60°,
而60°角是第一象限角,故420°是第一象限角.
(2)-510°=-2×360°+210°,
而210°是第三象限角,故-510°是第三象限角.
(3)1 020°=2×360°+300°,
而300°是第四象限角,故1 020°是第四象限角.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. (多选)在下列四个角中,属于第二象限角的是(  )
A. 160° B. 480°
C. -960° D. 1 530°
解析:  160°显然在第二象限;480°=120°+360°是第二
象限角;-960°=-3×360°+120°是第二象限角;1 530°=
4×360°+90°不是第二象限角.
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2. 在0°到360°范围内,与角-120°终边相同的角是(  )
A. 120° B. 60°
C. 180° D. 240°
解析:  ∵与-120°终边相同的角的集合为{α|α=-120°
+k·360°,k∈Z}.取k=1,可得在0°到360°范围内,与角-
120°终边相同的角是240°.故选D.
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3. 已知集合M={x|x=k·90°+45°,k∈Z},集合N={x|x
=k·45°+90°,k∈Z},则有(  )
A. M=N B. N M
解析:  由于k·90°
(k∈Z)表示终边在x轴或y轴
上的角,所以k·90°+45°
(k∈Z)表示终边落在y=x或
y=-x上的角(如图①).
又由于k·45°+90°(k∈Z)表示终边落在x轴、y轴、直线y
=±x上8个位置的角(如图②),因而M N,故选C.
C. M N D. M∩N=
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4. 若角α与β的终边相同,则角α-β的终边(  )
A. 在x轴的正半轴上 B. 在x轴的负半轴上
C. 在y轴的负半轴上 D. 在y轴的正半轴上
解析:  由已知可得α=β+k·360°(k∈Z),∴α-β=
k·360°(k∈Z),∴α-β的终边在x轴的正半轴上.
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5. (多选)下列命题正确的是(  )
A. 第一象限角一定不是负角
B. 若β=α+k·360°(k∈Z),则α与β的终边相同
C. α=45°+k·180°(k∈Z),则α的终边落在直线y=x上
D. 终边在x轴上的角的集合是{α|α=k·180°,k∈Z}
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解析:  对于A,-330°是第一象限角,它是负角,故A
错误;对于B,β=α+k·360°(k∈Z),则α与β的终边
相同,满足终边相同的角的定义,B正确;对于C,α=45°+
k·180°(k∈Z),则α的终边落在直线y=x上,C正确;对
于D,终边在x轴上的角的集合是{α|α=k·180°,k∈Z},
D正确.
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6. 角α与角β的终边互为反向延长线,则(  )
A. α=-β
B. α=180°+β
C. α=k·360°+β(k∈Z)
D. α=k·360°+180°+β(k∈Z)
解析:  ∵角α与角β的终边互为反向延长线,∴α-β=
k·360°+180°(k∈Z),∴α=k+360°+180°+β
(k∈Z).
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7. 已知-990°<α<-630°,且α与120°角的终边相同,则α
= .
解析:因为α与120°角终边相同,故有α=k·360°+120°,
k∈Z. 又因为-990°<α<-630°,所以-990°<k·360°+
120°<-630°,即-1 110°<k·360°<-750°.所以- <
k<- ,当k=-3时,α=(-3)·360°+120°=-960°.
-960° 
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8. 已知点P(0,-1)在角α的终边上,则所有角α组成的集合S
= .
解析:∵点P(0,-1)在y轴的负半轴上,在0°~360°内满足
条件的角为270°,∴所有角α组成的集合S={α|α=270°+
k·360°,k∈Z}.
{α|α=270°+k·360°,k∈Z} 
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9. 如果将钟表拨快10分钟,则时针所转成的角度是 度,分针
所转成的角度是 度.
解析:将钟表拨快10分钟,则时针按顺时针方向转了10× =
5°,所转成的角度是-5°;分针按顺时针方向转了10× =
60°,所转成的角度是-60°.
-5 
-60 
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10. 如图所示:
(1)分别写出终边落在OA,OB位置上的
角的集合;
解: 终边落在OA位置上的角的集合
为{α|α=30°+k·360°,k∈Z},
终边落在OB位置上的角的集合为{β|β
=105°+k·360°,k∈Z}.
(2)写出终边落在阴影部分的角的集合.
解: 由(1)及题图知,阴影部分的角的集合为{θ|30°+k·360°≤θ<105°+k·360°,k∈Z}.
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11. (多选)如果α是第三象限角,那么 可能是哪个象限的角
(  )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
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解析:  因为α是第三象限的角,则α∈(k·360°+
180°,k·360°+270°),k∈Z,所以 ∈(k·120°+
60°,k·120°+90°),k∈Z,按照k=3n,k=3n+1,k
=3n+2(n∈Z)进行讨论可知 可以是第一、第三、第四象
限角.
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12. 角α,β的终边关于y=x对称,若α=30°,则β=
.
解析:因为30°与60°的终边关于y=x对称,所以β的终边与
60°角的终边相同.所以β=60°+k·360°,k∈Z.
60°+
k·360°,k∈Z 
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13. 已知角的集合M={α|α=30°+k·90°,k∈Z},回答下列
问题:
(1)集合M中大于-360°且小于360°的角是哪几个?
解: 令-360°<30°+k·90°<360°,得- <k
< ,又∵k∈Z,∴k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,
3,∴集合M中大于-360°且小于360°的角共有8个,分
别是-330°,-240°,-150°,-60°,30°,120°,
210°,300°.
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(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式.
解: ∵集合M中的第二象限角与120°角的终边相
同,
∴β=120°+k·360°,k∈Z.
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谢 谢 观 看!