7.2.2 单位圆与三角函数线(课件 学案 练习)高中数学人教B版(2019)必修 第二册

文档属性

名称 7.2.2 单位圆与三角函数线(课件 学案 练习)高中数学人教B版(2019)必修 第二册
格式 zip
文件大小 4.0MB
资源类型 教案
版本资源 人教B版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-05 22:32:06

文档简介

7.2.2 单位圆与三角函数线
1.(多选)下列命题正确的是(  )
A.α一定时,单位圆中的正弦线一定
B.单位圆中,有相同正弦线的角相等
C.α和α+π有相同的正切线
D.具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上
2.(多选)已知的正弦线为,正切线为,则有(  )
A.与的方向相同
B.||=||
C.sin =||
D.tan =||
3.sin 1,cos 1,tan 1的大小关系为(  )
A.sin 1>cos 1>tan 1 B.sin 1>tan 1>cos 1
C.tan 1>sin 1>cos 1 D.tan 1>cos 1>sin 1
4.有三个命题:①与的正弦线相等;②与的正切线相等;③与的余弦线相等.其中真命题的个数为(  )
A.1    B.2 C.3    D.0
5.设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则有(  )
A.a<b<c B.b<a<c
C.c<a<b D.a<c<b
6.(多选)如图,在平面直角坐标系中,以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点A(1,0).已知点B(x1,y1)在圆O上,点T的坐标是(x0,sin x0),则下列说法中正确的是(  )
A.若∠AOB=α,则=α B.若y1=sin x0,则x1=x0
C.y1=sin x0,则=x0 D.若=x0,则y1=sin x0
7.若角α的正弦线的长度为,且方向与y轴的正方向相反,则sin α的值为    .
8.借助三角函数线比较sin ,sin ,sin 的大小,由大到小排列为      .
9.函数y=的定义域为    .
10.利用三角函数线,求满足下列条件的角α的集合:
(1)tan α=-1;(2)sin α<-.
11.若0≤θ<2π,且不等式cos θ<sin θ和tan θ<sin θ成立,则角θ的取值范围是(  )
A. B.
C. D.
12.(多选)已知sin α>sin β,那么下列说法不成立的是(  )
A.若α,β是第一象限角,则cos α>cos β
B.若α,β是第二象限角,则tan α>tan β
C.若α,β是第三象限角,则cos α>cos β
D.若α,β是第四象限角,则tan α>tan β
13.已知α∈,求证:1<sin α+cos α<.
7.2.2 单位圆与三角函数线
1.AD 由三角函数线的定义A、D正确,B、C不正确.B中有相同正弦线的角可能不等,如与;C中当α=时,α与α+π都没有正切线.
2.ACD 三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的.sin =||>0,tan =||>0.
3.C 易知<1<,在单位圆中,作出锐角1的正切线、正弦线、余弦线,观察它们的长度,则有tan 1>sin 1>cos 1>0.
4.B 根据三角函数线定义可知,与的正弦线相等,与的正切线相等,与的余弦线相反.
5.C 如图,作α=-1的正弦线,余弦线,正切线,因为-<-1<-,所以b=cos(-1)>0,a=sin(-1)<0,c=tan(-1)<0,又正切线的长度大于正弦线的长度,所以a>c,即c<a<b.
6.AD 由于单位圆的半径为1,根据弧长公式有=1·α=α,所以A正确;由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点,y1是对应∠AOB的正弦值,即y1=sin x0,所以x1是对应∠AOB的余弦值,即x1=cos x0,所以B错误;当y1=sin x0时,∠AOB=x0+2kπ,k∈Z,所以C错误;反过来,当∠AOB=x0,即=x0时,y1=sin x0一定成立,所以D正确.故选A、D.
7.- 解析:三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的,由题设可知sin α的值为-.
8.sin >sin >sin  解析:在单位圆中作出,,角的正弦线,可知sin >sin >sin .
9.(k∈Z) 解析:要使函数有意义,有1-2sin x≥0,得sin x≤,
如图,确定正弦值为的角的终边OP与OP',其对应的一个角分别为π,π,所求函数定义域为[2kπ+π,2kπ+π](k∈Z).
10.解:(1)如图①所示,过点(1,-1)和原点作直线交单位圆于点P和P',则OP和OP'就是角α的终边,
∴∠xOP==π-,∠xOP'=-,
∴满足条件的所有角α的集合是{α|α=-+kπ,k∈Z}.
(2)如图②所示,过点作x轴的平行线,交单位圆于点P和P',
则sin∠xOP=sin∠xOP'=-,
∴∠xOP=,∠xOP'=,
∴满足条件的所有角α的集合是
.
11.B 由三角函数线知,在[0,2π)内使cos θ<sin θ的角θ∈,使tan θ<sin θ的角θ∈∪,故θ的取值范围是.
12.ABC 分别在四个象限内作出满足sin α>sin β的两个角α,β,再作出要比较的余弦线或正弦线.通过图形(图略)易得选A、B、C.
13.证明:如图所示,设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),过P作PM⊥Ox,PN⊥Oy,M,N分别为垂足.
所以MP=y=sin α,OM=x=cos α,
在△OMP中,OM+MP>OP,
所以sin α+cos α>1.
因为S△OAP=OA·MP=y=sin α,
S△OBP=OB·NP=x=cos α,
S扇形OAB=π×12=,
又因为S△OAP+S△OBP<S扇形OAB,
所以sin α+cos α<,即sin α+cos α<,
所以1<sin α+cos α<.
1 / 27.2.2 单位圆与三角函数线
新课程标准解读 核心素养
1.了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切 数学抽象
2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题 直观想象
  江南水乡,水车在清清的河流里悠悠转动,缓缓地把河流里的水倒进水渠,流向绿油油的大地,流向美丽的大自然,在水车转动的瞬间,同学们能想到些什么呢?
【问题】 将图中的水车抽象出一个数学模型,建立平面直角坐标系(如图所示),设水车的轮廓为单位圆.在平面直角坐标系中,任意角α的终边与单位圆交于点P,过点P作PM⊥x轴.过点A(1,0)作单位圆的切线,交α的终边或其反向延长线于点T,结合三角函数的定义,你能得到sin α,cos α,tan α与,,的关系吗?
                                             
                                             
                                             
                                             
知识点一 单位圆
1.在平面直角坐标系中,坐标满足x2+y2=1的点组成的集合称为单位圆.
2.角α的   和   分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.
【想一想】
1.单位圆的圆心和半径分别是什么?
2.角α的终边与单位圆的交点是否可以表示为(cos α,sin α)?
 角的终边与单位圆的交点的坐标是    .
知识点二 三角函数线
 正弦线、余弦线和正切线都称为      .
提醒 三角函数线的特征:①位置:三条三角函数线中有两条在以坐标原点为圆心的单位圆内,一条在以坐标原点为圆心的单位圆外;②方向:正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向x轴上的垂足;正切线由切点指向切线与α的终边(或其反向延长线)的交点;③正负:三条三角函数线的正负可简记为“同向为正,反向为负”;④书写:起点(比如点A)在前,终点(比如点B)在后,写为.
【想一想】
1.三角函数线的长度与三角函数的值有何关系?
2.三角函数线的方向能表示三角函数的正负吗?请说明理由.
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)余弦线也可写成 .(  )
(2)三角函数线的长度等于三角函数值.(  )
(3)三角函数线的方向表示三角函数值的正负.(  )
(4)当角α的终边在y轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在.(  )
2.如图所示,在单位圆中角α的正弦线,正切线分别是(  )
A., B.,
C., D.,
3.角和角有相同的(  )
A.正弦线      B.余弦线
C.正切线 D.不能确定
题型一 三角函数线的意义
【例1】 (1)角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等,且正、余弦符号相异,那么α的值为(  )
A.         B.
C. D.或
(2)作出π的正弦线、余弦线和正切线.
尝试解答                                      
通性通法
1.作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得到正弦线和余弦线.
2.作正切线时,应从A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T,即可得到正切线,要特别注意,当角的终边在第二或第三象限时,应将角的终边反向延长,再按上述作法来作正切线.
【跟踪训练】
1.已知角α的正弦线的长度为单位长度,那么角α的终边(  )
A.在x轴上 B.在y轴上
C.在直线y=x上 D.在直线y=-x上
2.有下列说法:①和的正弦线长度相等;②和的正切线长度相等;③和的余弦线长度相等.其中正确说法的个数为(  )
A.1   B.2 C.3   D.0
题型二 利用三角函数线比较大小
【例2】 利用三角函数线比较下列各组数的大小:
(1)sin 与sin ;(2)cos 与cos ;(3)tan 与tan .
尝试解答                                      
通性通法
利用三角函数线比较三角函数值的大小的步骤
(1)角的位置标注清楚;
(2)比较三角函数线的有向线段的长度;
(3)确定有向线段的正负.
【跟踪训练】
 若-<α<-,比较sin α,cos α,tan α的大小.
题型三 利用三角函数线解简单三角不等式(组)
【例3】 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合.
(1)sin α≥;(2)cos α≤-.
尝试解答                                      
通性通法
利用三角函数线解简单的三角不等式的步骤
(1)在单位圆中作出边界角的终边;
(2)利用三角函数线的直观性,在单位圆中确定满足不等式的角的范围;
(3)将图中角的范围用不等式表示出来.
【跟踪训练】
 若0<α<2π,则使sin α<和cos α>同时成立的α的取值范围是(  )
A.     B.
C. D.∪
三角函数在单位圆中的几何表示及应用
 设角α的顶点在原点O,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P,如图①,过点P作PM垂直x轴于点M,作PN垂直y轴于点N,则点P的坐标为(cos α,sin α),其中cos α=OM,sin α=ON,即角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.以A为原点建立y'轴与y轴同向,y'轴与α的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T'),如图②,则tan α=AT(或AT').
我们把有向线段OM,ON和AT(或AT')分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线,它们分别是余弦函数、正弦函数和正切函数的一种几何表示.
【问题探究】
1.设角α=x rad,且0<x< ,于是x,sin x,tan x都是实数,请你给x一个具体的值,比较三个实数的大小.
提示: 我们先给x一个具体的值来进行比较:取x=,则sin x=,tan x=.因为=<,所以sin<.又tan==>,所以tan >.从而可得sin <<tan .即当x=时,sin x<x<tan x.
2.你在第1问中得到的大小关系是否对区间上的任意x都成立?
提示:设角α的顶点与圆心O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P,如图所示.过点P作PM⊥x轴于点M,过x轴正半轴与以坐标原点为圆心的单位圆的交点A作该单位圆的切线AT,交α的终边于点T,连接AP,则MP=sin x,AT=tan x,S△OAP<S扇形AOP <S△OAT.
因为S△OAP=OA·MP=sin x,
S扇形AOP=x·12=x,
S△OAT=OA·AT=tan x,
所以sin x<x<tan x,
即sin x<x<tan x.
因此当x∈时,sin x<x<tan x.
【迁移应用】
 利用三角函数线证明:正弦函数在上是增函数.
1.若角α的正切线位于第一象限,则角α是(  )
A.第一象限的角
B.第一、第二象限的角
C.第三象限的角
D.第一、第三象限的角
2.使不等式-2sin x≥0成立的x的取值集合是(  )
A.
B.
C.
D.
3.函数y=的定义域为    .
4.在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边.
(1)sin α=;(2)cos α=-.
7.2.2 单位圆与三角函数线
【基础知识·重落实】
知识点一
2.余弦 正弦
想一想
1.提示:单位圆的圆心在原点,半径为单位长度即半径等于1.
2.提示:可以.
自我诊断
  解析:由于角的终边与单位圆的交点横坐标是cos =-,纵坐标是sin =,所以角的终边与单位圆的交点的坐标是.
知识点二
    三角函数线
想一想
1.提示:三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值.
2.提示:能,当三角函数线与x轴(或y轴)正向同向时,所表示三角函数值为正的,与x轴(或y轴)正向反向时,所表示三角函数值为负的.
自我诊断
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.C α为第三象限角,故正弦线为,正切线为,所以C正确.
3.C 与的终边互为反向延长线,故它们有相同的正切线.
【典型例题·精研析】
【例1】 (1)D 根据三角函数值的符号可知,当角α在二、四象限时,角α的正弦、余弦符号相反.又角α的正、余弦线的长度相等,0<α<2π,所以α=或.
(2)解:在直角坐标系中作单位圆,如图所示,以Ox轴为始边作角π,角的终边与单位圆交于点P,作PM⊥Ox轴,垂足为M,由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线,与OP的反向延长线交于T点,则sin π=,cosπ=,tan π=,即π的正弦线为,余弦线为,正切线为.
跟踪训练
1.B 根据正弦线的定义知,|sin α|=1,所以sin α=±1,所以角α的终边在y轴上.
2.C 和的正弦线关于y轴对称,长度相等;和两角的正切线长度相等;和的余弦线长度相等.故①②③都正确,故选C.
【例2】 解:如图所示,设的终边与单位圆交于点P1,的终边与单位圆交于点P2.
(1)过点P1作P1M1垂直x轴于点M1,过点P2作P2M2垂直x轴于点M2,则,分别是,的正弦线.
∵||>||,且与的方向都与y轴的正方向相同,∴sin >sin .
(2)易知,分别是,的余弦线.
∵||<||,且与的方向都与x轴的正方向相反,∴cos >cos .
(3)过点A(1,0)作x轴的垂线,交的终边的反向延长线于点T1,交的终边的反向延长线于点T2,则,分别是,的正切线.
∵||>||,且与的方向都与y轴的正方向相反,∴tan <tan .
跟踪训练
 解:如图,在单位圆中,作出-<α<-内的任意一个角α及其余弦线、正弦线、正切线,,.
由图知,||<||<||,
∴-||<-||<||,
即sin α<cos α<tan α.
【例3】 解:(1)作直线y=交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区域(如图①所示的阴影部分,包括边界),即为角α的终边的范围.
故满足要求的角α的集合为
.
(2)作直线x=-交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则OC与OD围成的区域(如图②所示的阴影部分,包括边界),即为角α的终边的范围.
故满足条件的角α的集合为,.
跟踪训练
 D 如图,适合sin α<的角α的范围和适合cos α>的角α的范围的公共部分,即为角α的范围.
拓视野 三角函数在单位圆中的几何表示及应用
迁移应用
 解:设0≤α1<α2≤,分别作出α1,α2的正弦线,,如图所示.
∵||<||,且与的方向都与y轴的正方向相同,
∴sin α1<sin α2,
故正弦函数在上是增函数.
随堂检测
1.D 由正切线的定义知,当角α是第一、第三象限的角时,正切线都在第一象限.
2.C 由-2sin x≥0,得sin x≤,利用单位圆与三角函数线可得2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.
3. 解析:利用三角函数线,画出满足条件的终边的范围(如图阴影部分所示).因此所求定义域为{x≤x≤2kπ+,k∈Z}.
4.解:(1)作直线y=交单位圆于P,Q两点,连接OP,OQ,则OP与OQ为角α的终边,如图甲.
(2)作直线x=-交单位圆于M,N两点,连接OM,ON,则OM与ON为角α的终边,如图乙.
4 / 5(共60张PPT)
7.2.2 单位圆与三角函数线
新课程标准解读 核心素养
1.了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一
个角的正弦、余弦和正切 数学抽象
2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
  江南水乡,水车在清清的河流里悠悠转动,缓缓地把河流里的水
倒进水渠,流向绿油油的大地,流向美丽的大自然,在水车转动的瞬
间,同学们能想到些什么呢?
将图中的水车抽象出一个数学模型,建立平面直角坐标系(如图所示),设水车的轮廓为单位圆.在平面直角坐标系中,任意角α的终边与单位圆交于点P,过点P作PM⊥x轴.过点A(1,0)作单位圆
的切线,交α的终边或其反向延长线于点T,结合三角函数的定义,
你能得到 sin α, cos α,tan α与 , , 的关系吗?
【问题】 
知识点一 单位圆
1. 在平面直角坐标系中,坐标满足x2+y2=1的点组成的集合称为单
位圆.
2. 角α的 和 分别等于角α终边与单位圆交点的横坐
标和纵坐标.
余弦 
正弦 
【想一想】
1. 单位圆的圆心和半径分别是什么?
提示:单位圆的圆心在原点,半径为单位长度即半径等于1.
2. 角α的终边与单位圆的交点是否可以表示为( cos α, sin α)?
提示:可以.
 角 的终边与单位圆的交点的坐标是    .
解析:由于角 的终边与单位圆的交点横坐标是 cos =- ,纵坐
标是 sin = ,所以角 的终边与单位圆的交点的坐标是
.
 
知识点二 三角函数线
 正弦线、余弦线和正切线都称为 .
三角函数线 
提醒 三角函数线的特征:①位置:三条三角函数线中有两条在以坐
标原点为圆心的单位圆内,一条在以坐标原点为圆心的单位圆外;②
方向:正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指
向x轴上的垂足;正切线由切点指向切线与α的终边(或其反向延长
线)的交点;③正负:三条三角函数线的正负可简记为“同向为正,
反向为负”;④书写:起点(比如点A)在前,终点(比如点B)在
后,写为 .
【想一想】
1. 三角函数线的长度与三角函数的值有何关系?
提示:三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值.
2. 三角函数线的方向能表示三角函数的正负吗?请说明理由.
提示:能,当三角函数线与x轴(或y轴)正向同向时,所表示三
角函数值为正的,与x轴(或y轴)正向反向时,所表示三角函数
值为负的.
1. 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)余弦线 也可写成 . ( × )
(2)三角函数线的长度等于三角函数值. ( × )
(3)三角函数线的方向表示三角函数值的正负. ( √ )
(4)当角α的终边在y轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存
在. ( √ )
×
×


2. 如图所示,在单位圆中角α的正弦线,正切线分别是(  )
解析:  α为第三象限角,故正弦线为 ,正切线为 ,所以C正确.
3. 角 和角 有相同的(  )
A. 正弦线 B. 余弦线
C. 正切线 D. 不能确定
解析:   与 的终边互为反向延长线,故它们有相同的正切线.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 三角函数线的意义
【例1】 (1)角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等,且
正、余弦符号相异,那么α的值为(  )
解析:  根据三角函数值的符号可知,当角α在二、四
象限时,角α的正弦、余弦符号相反.又角α的正、余弦线的长
度相等,0<α<2π,所以α= 或 .
(2)作出 π的正弦线、余弦线和正切线.
解:在直角坐标系中作单位圆,如图所
示,以Ox轴为始边作角 π,角的终边与单位
圆交于点P,作PM⊥Ox轴,垂足为M,由
单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂
线,与OP的反向延长线交于T点,则 sin π= , cos π= ,tan π= ,即 π的正弦线为 ,余弦线为 ,正切线为 .
通性通法
1. 作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过
此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得到正弦线和余弦线.
2. 作正切线时,应从A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点
T,即可得到正切线 ,要特别注意,当角的终边在第二或第三
象限时,应将角的终边反向延长,再按上述作法来作正切线.
【跟踪训练】
1. 已知角α的正弦线的长度为单位长度,那么角α的终边(  )
A. 在x轴上 B. 在y轴上
C. 在直线y=x上 D. 在直线y=-x上
解析: 根据正弦线的定义知,| sin α|=1,所以 sin α=
±1,所以角α的终边在y轴上.
2. 有下列说法:① 和 的正弦线长度相等;② 和 的正切线长度
相等;③ 和 的余弦线长度相等.其中正确说法的个数为
(  )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
解析:   和 的正弦线关于y轴对称,长度相等; 和 两角
的正切线长度相等; 和 的余弦线长度相等.故①②③都正确,
故选C.
题型二 利用三角函数线比较大小
【例2】 利用三角函数线比较下列各组数的大小:
(1) sin 与 sin ;
解:如图所示,设 的终边与单位
圆交于点P1, 的终边与单位圆交
于点P2.
(1)过点P1作P1M1垂直x轴于点M1,过点P2作P2M2垂直x轴
于点M2,则 , 分别是 , 的正弦线.
∵| |>| |,且 与 的方向都与y轴的正
方向相同,∴ sin > sin .
解:易知 , 分别是 , 的余弦线.
∵| |<| |,且 与 的方向都与x轴的正方
向相反,∴ cos > cos .
(2) cos 与 cos ;
解:过点A(1,0)作x轴的垂线,交 的终边的反向延长线
于点T1,交 的终边的反向延长线于点T2,则 , 分别
是 , 的正切线.
∵| |>| |,且 与 的方向都与y轴的正方向
相反,∴tan <tan .
(3)tan 与tan .
通性通法
利用三角函数线比较三角函数值的大小的步骤
(1)角的位置标注清楚;
(2)比较三角函数线的有向线段的长度;
(3)确定有向线段的正负.
【跟踪训练】
 若- <α<- ,比较 sin α, cos α,tan α的大小.
解:如图,在单位圆中,作出- <α<- 内的任
意一个角α及其余弦线、正弦线、正切线 ,
, .
由图知,| |<| |<| |,
∴-| |<-| |<| |,
即 sin α< cos α<tan α.
题型三 利用三角函数线解简单三角不等式(组)
【例3】 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由
此写出角α的集合.
(1) sin α≥ ;
解: 作直线y= 交单位圆于A,
B两点,连接OA,OB,则OA与
OB围成的区域(如图①所示的
阴影部分,包括边界),即为角
α的终边的范围.故满足要求的角α的集合为{α|2kπ+ ≤α≤2kπ+ ,k∈Z}.
(2) cos α≤- .
解: 作直线x=- 交单位圆于C,D两点,连接OC,
OD,则OC与OD围成的区域(如图②所示的阴影部分,包括
边界),即为角α的终边的范围.
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+ ≤α≤2kπ+ ,
k∈Z}.
通性通法
利用三角函数线解简单的三角不等式的步骤
(1)在单位圆中作出边界角的终边;
(2)利用三角函数线的直观性,在单位圆中确定满足不等式的角的
范围;
(3)将图中角的范围用不等式表示出来.
【跟踪训练】
 若0<α<2π,则使 sin α< 和 cos α> 同时成立的α的取值范
围是(  )
解析:  如图,适合 sin α< 的角α的范围和适
合 cos α> 的角α的范围的公共部分,即为角α的
范围.
 三角函数在单位圆中的几何表示及应用
  
  设角α的顶点在原点O,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单
位圆相交于点P,如图①,过点P作PM垂直x轴于点M,作PN垂直
y轴于点N,则点P的坐标为( cos α, sin α),其中 cos α=
OM, sin α=ON,即角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位
圆交点的横坐标和纵坐标.以A为原点建立y'轴与y轴同向,y'轴与α
的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T'),如图②,则tan α=
AT(或AT').
我们把有向线段OM,ON和AT(或AT')分别叫做α的余弦线、正弦
线和正切线,它们分别是余弦函数、正弦函数和正切函数的一种几何
表示.
【问题探究】
1. 设角α=x rad,且0<x< ,于是x, sin x,tan x都是实数,请你
给x一个具体的值,比较三个实数的大小.
提示: 我们先给x一个具体的值来进行比较:取x= ,则 sin x=
,tan x= .因为 = < ,所以 sin < .又tan = = >
,所以tan > .从而可得 sin < <tan .即当x= 时, sin x<
x<tan x.
2. 你在第1问中得到的大小关系是否对区间 上的任意x都成
立?
提示:设角α的顶点与圆心O重合,始边与x轴
的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P,如
图所示.过点P作PM⊥x轴于点M,过x轴正半轴
与以坐标原点为圆心的单位圆的交点A作该单位
圆的切线AT,交α的终边于点T,连接AP,则MP= sin x,AT=tan x,S△OAP<S扇形AOP <S△OAT.
因为S△OAP= OA·MP= sin x,
S扇形AOP= x·12= x,
S△OAT= OA·AT= tan x,
所以 sin x< x< tan x,
即 sin x<x<tan x.
因此当x∈ 时, sin x<x<tan x.
【迁移应用】
 利用三角函数线证明:正弦函数在 上是增函数.
解:设0≤α1<α2≤ ,分别作出α1,α2的正弦
线 , ,如图所示.
∵| |<| |,且 与 的方向
都与y轴的正方向相同,
∴ sin α1< sin α2,
故正弦函数在 上是增函数.
1. 若角α的正切线位于第一象限,则角α是(  )
A. 第一象限的角 B. 第一、第二象限的角
C. 第三象限的角 D. 第一、第三象限的角
解析:  由正切线的定义知,当角α是第一、第三象限的角时,
正切线都在第一象限.
2. 使不等式 -2 sin x≥0成立的x的取值集合是(  )
解析:  由 -2 sin x≥0,得 sin x≤ ,利用单位圆与三角函
数线可得2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z.
3. 函数y= 的定义域为
解析:利用三角函数线,画出满足条件的终边
的范围(如图阴影部分所示).因此所求定义域
为{x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z}.
4. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边.
(1) sin α= ;
解: 作直线y= 交单位圆于P,Q两点,连接OP,OQ,则OP与OQ为角α的终边,如图甲.
(2) cos α=- .
解: 作直线x=- 交单位圆于M,N两点,连接
OM,ON,则OM与ON为角α的终边,如图乙.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1. (多选)下列命题正确的是(  )
A. α一定时,单位圆中的正弦线一定
B. 单位圆中,有相同正弦线的角相等
C. α和α+π有相同的正切线
D. 具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上
解析:  由三角函数线的定义A、D正确,B、C不正确.B中有
相同正弦线的角可能不等,如 与 ;C中当α= 时,α与α+π
都没有正切线.
2. (多选)已知 的正弦线为 ,正切线为 ,则有(  )
解析:  三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的. sin
=| |>0,tan =| |>0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3. sin 1, cos 1,tan 1的大小关系为(  )
A. sin 1> cos 1>tan 1 B. sin 1>tan 1> cos 1
C. tan 1> sin 1> cos 1 D. tan 1> cos 1> sin 1
解析:  易知 <1< ,在单位圆中,作出锐角1的正切线、正
弦线、余弦线,观察它们的长度,则有tan 1> sin 1> cos 1>0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4. 有三个命题:① 与 的正弦线相等;② 与 的正切线相等;③
与 的余弦线相等.其中真命题的个数为(  )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 0
解析:  根据三角函数线定义可知, 与 的正弦线相等, 与
的正切线相等, 与 的余弦线相反.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5. 设a= sin (-1),b= cos (-1),c=tan(-1),则有
(  )
A. a<b<c B. b<a<c
C. c<a<b D. a<c<b
解析:  如图,作α=-1的正弦线,余弦线,
正切线,因为- <-1<- ,所以b= cos
(-1)>0,a= sin (-1)<0,c=tan(-
1)<0,又正切线的长度大于正弦线的长度,所
以a>c,即c<a<b.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
6. (多选)如图,在平面直角坐标系中,以原点O为圆心的圆与x轴
正半轴交于点A(1,0).已知点B(x1,y1)在圆O上,点T的坐
标是(x0, sin x0),则下列说法中正确的是(  )
B. 若y1= sin x0,则x1=x0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解析:  由于单位圆的半径为1,根据弧长公式有 =1·α
=α,所以A正确;由于B是∠AOB的一边与单位圆的交点,y1是
对应∠AOB的正弦值,即y1= sin x0,所以x1是对应∠AOB的余弦
值,即x1= cos x0,所以B错误;当y1= sin x0时,∠AOB=x0+
2kπ,k∈Z,所以C错误;反过来,当∠AOB=x0,即 =x0
时,y1= sin x0一定成立,所以D正确.故选A、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
7. 若角α的正弦线的长度为 ,且方向与y轴的正方向相反,则 sin α
的值为 .
解析:三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的,由题设可
知 sin α的值为- .
-  
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8. 借助三角函数线比较 sin , sin , sin 的大小,由大到小排列
为 .
解析:在单位圆中作出 , , 角的正弦线,可知 sin > sin
> sin .
sin > sin > sin  
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9. 函数y= 的定义域为  
.
解析:要使函数有意义,有1-2 sin x≥0,得
sin x≤ ,如图,确定正弦值为 的角的终边
OP与OP',其对应的一个角分别为 π, π,
所求函数定义域为[2kπ+ π,2kπ+ π]
(k∈Z).
(k∈Z) 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
10. 利用三角函数线,求满足下列条件的角α的集合:
(1)tan α=-1;
解: 如图①所示,
过点(1,-1)和原点
作直线交单位圆于点P
和P',则OP和OP'就是
角α的终边,∴∠xOP= =π- ,∠xOP'=- ,
∴满足条件的所有角α的集合是{α|α=- +kπ,k∈Z}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解:如图②所示,过点 作x轴的平行线,交单位圆
于点P和P',
则 sin ∠xOP= sin ∠xOP'=- ,
∴∠xOP= ,∠xOP'= ,
∴满足条件的所有角α的集合是 .
(2) sin α<- .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
11. 若0≤θ<2π,且不等式 cos θ< sin θ和tan θ< sin θ成立,则
角θ的取值范围是(  )
解析:  由三角函数线知,在[0,2π)内使 cos θ< sin θ的角
θ∈ ,使tan θ< sin θ的角θ∈ ∪ ,
故θ的取值范围是 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12. (多选)已知 sin α> sin β,那么下列说法不成立的是(  )
A. 若α,β是第一象限角,则 cos α> cos β
B. 若α,β是第二象限角,则tan α>tan β
C. 若α,β是第三象限角,则 cos α> cos β
D. 若α,β是第四象限角,则tan α>tan β
解析:  分别在四个象限内作出满足 sin α> sin β的两个角
α,β,再作出要比较的余弦线或正弦线.通过图形(图略)易得
选A、B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
13. 已知α∈ ,求证:1< sin α+ cos α< .
证明:如图所示,设角α的终边与单位圆交于
点P(x,y),过P作PM⊥Ox,PN⊥Oy,
M,N分别为垂足.
所以MP=y= sin α,OM=x= cos α,
在△OMP中,OM+MP>OP,
所以 sin α+ cos α>1.
因为S△OAP= OA·MP= y= sin α,
S△OBP= OB·NP= x= cos α,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
S扇形OAB= π×12= ,
又因为S△OAP+S△OBP<S扇形OAB,
所以 sin α+ cos α< ,即 sin α+ cos α< ,
所以1< sin α+ cos α< .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
谢 谢 观 看!