7.2.4 诱导公式
第一课时 诱导公式①、②、③、④
1.sin＝（ ）
A. B.－
C. D.－
2.化简sin（π－2）－cos（4π－2）的结果为（ ）
A.sin 2－cos 2 B.－1
C.2sin 2 D.－2sin 2
3.已知tan＝，则tan＝（ ）
A. B.－
C. D.－
4.若sin（π－α）＝log8 ，且α∈，则cos（π＋α）＝（ ）
A. B.－
C.± D.以上都不对
5.（多选）下列各式正确的是（ ）
A.sin（α＋180°）＝－sin α
B.cos（－α＋β）＝－cos（α－β）
C.sin（－α－360°）＝－sin α
D.cos（－α－β）＝cos（α＋β）
6.（多选）在△ABC中，三个内角分别为A，B，C.下列结论正确的是（ ）
A.sin（B＋C）＝sin A
B.若cos A＞0，则△ABC为锐角三角形
C.cos（B＋C）＝cos A
D.若sin（π－A）＝sin B，则A＝B
7.tan 690°＝ .
8.已知sin（α＋π）＝，且sin αcos α＜0，则＝ .
9.化简：·sin（α－2π）cos（2π－α）＝ .
10.在△ABC中，若sin（2π－A）＝－sin（π－B），cos A＝－cos（π－B），求△ABC的三个内角.
11.已知sin＝，则sin的值为（ ）
A. B.－ C. D.－
12.（多选）定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π，则称θ与φ“广义互补”.已知sin（π＋α）＝－，下列角β中，可能与角α“广义互补”的是（ ）
A.sin β＝ B.cos（π＋β）＝
C.tan β＝ D.cos（2π－β）＝－
13.已知函数f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β）＋x，且f（2 024）＝0，则f（2 025）＝ .
14.是否存在角α和β，当α∈，β∈（0，π）时，等式sin（3π－α）＝sin（2π＋β），cos（－α）＝－cos（π＋β）同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由.
第一课时 诱导公式①、②、③、④
1.C sin＝sin＝sin＝.故选C.
2.A 原式＝sin 2－cos 2，故选A.
3.B ∵tan＝tan＝－tan，∴tan＝－.
4.B 因为sin（π－α）＝sin α＝lo 2－2＝－，所以cos（π＋α）＝－cos α＝－＝－＝－.
5.ACD sin（α＋180°）＝－sin α，cos（－α＋β）＝cos[－（α－β）]＝cos（α－β），sin（－α－360°）＝－sin（α＋360°）＝－sin α，cos（－α－β）＝cos[－（α＋β）]＝cos（α＋β）.
6.AD 由A＋B＋C＝π，故A正确，C错误；对B，若cos A＞0，可得A为锐角，△ABC不一定是锐角三角形，B错误；由sin（π－A）＝sin A＝sin B，A，B∈（0，π）知，A＝B，故D正确.
7.－ 解析：tan 690°＝tan（2×360°－30°）＝tan（－30°）＝－tan 30°＝－.
8.－ 解析：∵sin（α＋π）＝，∴sin α＝－.
又∵sin αcos α＜0，∴cos α＞0，cos α＝＝，∴tan α＝－.原式＝＝＝－.
9.cos2α 解析：原式＝·[－sin（2π－α）]cos（2π－α）＝sin αcos α＝cos2α.
10.解：由条件得sin A＝sin B，cos A＝cos B，
平方相加得2cos2A＝1，cos A＝±，
又因为A∈（0，π），所以A＝或π.
当A＝π时，cos B＝－＜0，所以B∈，
所以A，B均为钝角，不合题意，舍去.
所以A＝，cos B＝，所以B＝，所以C＝π.
综上所述，A＝，B＝，C＝π.
11.D sin＝sin＝sin＝－sin＝－.
12.ABD ∵sin（π＋α）＝－sin α＝－，∴sin α＝，若α＋β＝π，则β＝π－α.A中，sin β＝sin＝sin α＝，故A符合条件；B中，cos（π＋β）＝cos＝cos α＝±，故B符合条件；C中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，即C不符合条件；D中，cos（2π－β）＝cos[2π－（π－α）]＝cos（π＋α）＝－cos α＝±，故D符合条件.故选A、B、D.
13.4 049 解析：因为f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β）＋x，所以f（2 024）＝asin（2 024π＋α）＋bcos（2 024π＋β）＋2 024＝asin α＋bcos β＋2 024＝0，得到asin α＋bcos β＝－2 024，所以f（2 025）＝asin（2 025π＋α）＋bcos（2 025π＋β）＋2 025＝asin（π＋α）＋bcos（π＋β）＋2 025＝－asin α－bcos β＋2 025＝－（－2 024）＋2 025＝4 049.
14.解：存在α＝，β＝使等式同时成立.理由如下：
由sin（3π－α）＝sin（2π＋β），cos（－α）＝－cos（π＋β）得，sin α＝sin β，cos α＝cos β，两式平方相加得，sin2α＋3cos2α＝2，得到sin2α＝，即sin α＝±.因为α∈，所以α＝或α＝－.将α＝代入cos α＝cos β，得cos β＝，由于β∈（0，π），所以β＝.将α＝－代入sin α＝sin β，得sin β＝－，由于β∈（0，π），这样的角β不存在.综上可知，存在α＝，β＝使等式同时成立.
2 / 27.2.4 诱导公式
新课程标准解读 核心素养
1.能借助对称，会推导三角函数的诱导公式 逻辑推理
2.会用诱导公式进行简单的三角求值、化简与恒等式的证明 数学运算
第一课时 诱导公式①、②、③、④
南京眼和辽宁的生命之环均利用完美的对称展现了自己的和谐之美.而三角函数与（单位）圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系.圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形.
【问题】 你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终边与π±α，－α有什么样的对称关系？
知识点 诱导公式①、②、③、④
公式 公式① 公式② 公式③ 公式④
角 α＋2kπ（k∈Z） －α π－α π＋α
图示
与角α 终边的 关系 相同 关于 轴对称 关于 轴对称 关于 对称
正弦 sin（α＋2kπ）＝ （k∈Z） sin（－α）＝ sin（π－α）＝ sin（π＋α）＝
余弦 cos（α＋2kπ）＝ （k∈Z） cos（－α）＝ cos（π－α）＝ cos（π＋α） ＝
正切 tan（α＋2kπ） ＝ （k∈Z） tan（－α）＝ tan（π－α） ＝ tan（π＋α） ＝
记忆 口诀 函数名不变，符号看象限
提醒 诱导公式的记忆：诱导公式①、②、③、④的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.
【想一想】
1.根据三角函数的诱导公式①，终边相同的角的同名三角函数值有何关系？
2.角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2（cos（－α），sin（－α））与点P（cos α，sin α）有怎样的关系？
3.角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3（cos（π－α），sin（π－α））与点P（cos α，sin α）有怎样的关系？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）点P（x，y）关于x轴的对称点是P'（－x，y）.（ ）
（2）诱导公式中的符号是由角α的象限决定的.（ ）
（3）诱导公式①、②、③、④中函数的名称都不变.（ ）
（4）公式tan（α－π）＝tan α中，α＝不成立.（ ）
2.cos 等于（ ）
A. B.
C.－ D.－
3.已知tan α＝，则tan（2π－α）＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.
4.sin 300°的值为 .
题型一 给角求值问题
【例1】 求下列各三角函数式的值：
（1）cos 210°；（2）sin ；
（3）sin；（4）tan（－855°）.
尝试解答
通性通法
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
（1）“负化正”：用公式②或③来转化；
（2）“大化小”：用公式①将角化为0°到360°间的角；
（3）“小化锐”：用公式②或④将大于90°的角转化为锐角；
（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
【跟踪训练】
（1）sin 750°＝ ；cos（－2 040°）＝ ；
（2）计算：sin－cos＝ .
题型二 化简、求值问题
【例2】 化简：
（1）；
（2）.
尝试解答
通性通法
利用诱导公式①～④化简应注意的问题
（1）利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
（2）化简时函数名没有改变，但一定要注意函数值的符号有没有改变；
（3）同时有切（正切）与弦（正弦、余弦）的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切.
【跟踪训练】
化简：（n∈Z）.
题型三 给值（式）求值问题
【例3】 已知cos＝，求：
（1）cos的值；
（2）cos的值.
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）在本例条件下，求sin2的值.
2.（变条件）若将本例中条件“cos＝”改为“sin＝，α∈”，如何求得（1）的值？
通性通法
解决条件求值问题的2技巧
【跟踪训练】
1.若sin（π＋α）＝，α∈，则tan（π－α）＝（ ）
A.－ B.－ C.－ D.－
2.已知sin＝－，求sin的值.
1.cos＝（ ）
A.－ B. C.－ D.
2.已知cos（α－π）＝－，且α是第四象限角，则sin（－2π＋α）＝（ ）
A.－ B. C.± D.
3.点P（cos 2 025°，sin 2 025°）落在（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.的化简结果为 .
5.求下列各式的值：
（1）sin（－1 395°）cos 1 110°＋cos（－1 020°）·sin 750°；
（2）sin·cos ·tan .
第一课时 诱导公式①、②、③、④
【基础知识·重落实】
知识点
x y 原点 sin α －sin α sin α －sin α cos α
cos α －cos α －cos α tan α －tan α －tan α tan α
想一想
1.提示：终边相同的角，其同名三角函数的值相等.
2.提示：角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称.
3.提示：角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√ （4）√
2.D cos ＝cos ＝cos＝－cos ＝－.
3.A ∵tan α＝，∴tan（2π－α）＝－tan α＝－.
4.－ 解析：sin 300°＝sin（360°－60°）＝sin（－60°）＝－sin 60°＝－.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）cos 210°＝cos（180°＋30°）＝－cos 30°＝－.
（2）sin＝sin＝sin＝sin＝sin＝.
（3）sin＝－sin＝－sin＝－sin（π＋）＝sin＝.
（4）tan（－855°）＝－tan 855°＝－tan（2×360°＋135°）＝－tan 135°＝－tan（180°－45°）＝tan 45°＝1.
跟踪训练
（1） － （2）1 解析：（1）sin 750°＝sin（2×360°＋30°）＝sin 30°＝；cos（－2 040°）＝cos 2 040°＝cos（5×360°＋240°）＝cos 240°＝cos（180°＋60°）＝－cos 60°＝－.
（2）原式＝－sin －cos ＝－sin－cos＝sin ＋cos ＝＋＝1.
【例2】 解：（1）原式＝＝＝＝1.
（2）原式＝
＝
＝＝－1.
跟踪训练
解：当n＝2k时，原式＝＝1；
当n＝2k＋1时，原式＝＝1.
综上，原式＝1.
【例3】 解：（1）cos＝cos
＝－cos＝－.
（2）cos＝cos
＝cos＝.
母题探究
1.解：sin2＝sin2＝sin2＝1－cos2＝1－＝.
2.解：因为α∈，则α－∈.
所以cos＝－cos＝－cos
＝＝＝.
跟踪训练
1.D 因为sin（π＋α）＝－sin α，根据条件得sin α＝－，又α∈，所以cos α＝－＝－.所以tan α＝＝＝.所以tan（π－α）＝－tan α＝－.
2.解：∵－＝2π，
∴α－＝－2π.
∵sin＝－，
∴sin＝sin＝sin＝－.
随堂检测
1.C cos＝cos ＝－cos ＝－.
2.A 由cos（α－π）＝－，得cos α＝.又α为第四象限角，所以sin（－2π＋α）＝sin α＝－＝－.
3.C 2 025°＝6×360°－135°，所以cos 2 025°＝cos（－135°）＝cos 135°＜0，sin 2 025°＝sin（－135°）＝－sin 135°＜0，所以点P在第三象限.
4.1 解析：原式＝＝1.
5.解：（1）原式＝sin（－4×360°＋45°）cos（3×360°＋30°）＋cos（－3×360°＋60°）sin（2×360°＋30°）＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝＋＝.
（2）原式＝sin·cos·tan＝sin ·cos·tan ＝sin·cos ·tan ＝－sin ·cos ·tan ＝－××＝－.
4 / 4(共58张PPT)
7.2.4 诱导公式
新课程标准解读 核心素养
1.能借助对称，会推导三角函数的诱
导公式 逻辑推理
2.会用诱导公式进行简单的三角求
值、化简与恒等式的证明 数学运算
第一课时
诱导公式①、②、③、④
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
南京眼和辽宁的生命之环均利用完美的对称展现了自己的和谐之
美.而三角函数与（单位）圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几
何性质的代数表示，例如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某
些线段之间的关系.圆有很好的对称性：以圆心为对称中心的中心对
称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形.
【问题】 你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨论任意角α的终
边与π±α，－α有什么样的对称关系？
知识点 诱导公式①、②、③、④
公式 公式① 公式② 公式③ 公式④
角 α＋2kπ
（k∈Z） －α π－α π＋α
图示
与角α终边
的关系 相同 关于
轴对称 关于
轴对称 关于
对称
x
y
原
点
公式 公式① 公式② 公式③ 公式④
正弦 sin （α＋2kπ）
＝
（k∈Z） sin （－α） ＝ sin （π－
α）＝ sin （π＋
α）＝
余弦 cos （α＋
2kπ）＝
（k∈Z） cos （－α） ＝ cos （π－
α）＝ cos （π＋
α）＝
sin α
－ sin α
sin α
－ sin α
cosα
cosα
－ cos α
－ cos α
公式 公式① 公式② 公式③ 公式④
正切 tan（α＋
2kπ）＝
k∈Z） tan（－α）
＝ tan（π－
α）＝ tan（π＋
α）
＝
记忆口诀 函数名不变，符号看象限 tan α
－tanα
－ tan α
tan α
提醒 诱导公式的记忆：诱导公式①、②、③、④的记忆口诀是“函
数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，
符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成
锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.
【想一想】
1. 根据三角函数的诱导公式①，终边相同的角的同名三角函数值有何
关系？
提示：终边相同的角，其同名三角函数的值相等.
2. 角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的
交点P2（ cos （－α）， sin （－α））与点P（ cos α， sin α）
有怎样的关系？
提示：角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x
轴对称.
3. 角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆
的交点P3（ cos （π－α）， sin （π－α））与点P（ cos α， sin
α）有怎样的关系？
提示：角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y
轴对称.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）点P（x，y）关于x轴的对称点是P'（－x，y）.
（ × ）
（2）诱导公式中的符号是由角α的象限决定的. （ × ）
（3）诱导公式①、②、③、④中函数的名称都不变. （ √ ）
（4）公式tan（α－π）＝tan α中，α＝ 不成立. （ √ ）
×
×
√
√
2. cos 等于（ ）
解析： cos ＝ cos ＝ cos ＝－ cos ＝－ .
3. 已知tan α＝ ，则tan（2π－α）＝（ ）
解析： ∵tan α＝ ，∴tan（2π－α）＝－tan α＝－ .
解析： sin 300°＝ sin （360°－60°）＝ sin （－60°）＝－ sin
60°＝－ .
－
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 给角求值问题
【例1】 求下列各三角函数式的值：
（1） cos 210°；
解： cos 210°＝ cos （180°＋30°）＝－ cos 30°＝－ .
解： sin ＝ sin ＝ sin ＝ sin ＝ sin ＝ .
（2） sin ；
解： sin ＝－ sin ＝－ sin ＝－ sin
＝ sin ＝ .
解： tan（－855°）＝－tan 855°＝－tan（2×360°＋
135°）＝－tan 135°＝－tan（180°－45°）＝tan 45°＝1.
（3） sin ；
（4）tan（－855°）.
通性通法
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
（1）“负化正”：用公式②或③来转化；
（2）“大化小”：用公式①将角化为0°到360°间的角；
（3）“小化锐”：用公式②或④将大于90°的角转化为锐角；
（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
【跟踪训练】
（1） sin 750°＝ ； cos （－2 040°）＝ － ；
解析： sin 750°＝ sin （2×360°＋30°）＝ sin 30°＝
； cos （－2 040°）＝ cos 2 040°＝ cos （5×360°＋
240°）＝ cos 240°＝ cos （180°＋60°）＝－ cos 60°＝－
.
－
（2）计算： sin － cos ＝ .
解析： 原式＝－ sin － cos ＝－ sin （4π＋π＋ ）－
cos ＝ sin ＋ cos ＝ ＋ ＝1.
1
题型二 化简、求值问题
【例2】 化简：
（1） ；
解： 原式＝ ＝ ＝ ＝1.
（2） .
解： 原式＝
＝
＝ ＝－1.
通性通法
利用诱导公式①～④化简应注意的问题
（1）利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
（2）化简时函数名没有改变，但一定要注意函数值的符号有没有
改变；
（3）同时有切（正切）与弦（正弦、余弦）的式子化简，一般采用
切化弦，有时也将弦化切.
【跟踪训练】
化简： （n∈Z）.
解：当n＝2k时，原式＝ ＝1；
当n＝2k＋1时，原式＝ ＝1.
综上，原式＝1.
题型三 给值（式）求值问题
【例3】 已知 cos ＝ ，求：
（1） cos 的值；
解： cos ＝ cos
＝－ cos ＝－ .
（2） cos 的值.
解： cos ＝ cos ＝ cos ＝ .
【母题探究】
1. （变设问）在本例条件下，求 sin 2 的值.
解： sin 2 ＝ sin 2 ＝ sin 2 ＝1－ cos
2 ＝1－ ＝ .
2. （变条件）若将本例中条件“ cos ＝ ”改为“ sin
＝ ，α∈ ”，如何求得（1）的值？
解：因为α∈ ，则α－ ∈ .
所以 cos ＝－ cos ＝－ cos
＝ ＝ ＝ .
通性通法
解决条件求值问题的2技巧
【跟踪训练】
1. 若 sin （π＋α）＝ ，α∈ ，则tan（π－α）＝（ ）
解析： 因为 sin （π＋α）＝－ sin α，根据条件得 sin α＝－
，又α∈ ，所以 cos α＝－ ＝－ .所以tan
α＝ ＝ ＝ .所以tan（π－α）＝－tan α＝－ .
2. 已知 sin ＝－ ，求 sin 的值.
解：∵ － ＝2π，
∴α－ ＝ －2π.
∵ sin ＝－ ，
∴ sin （α－ ）＝ sin ＝ sin （α＋ ）＝－ .
1. cos ＝（ ）
解析： cos ＝ cos ＝－ cos ＝－ .
2. 已知 cos （α－π）＝－ ，且α是第四象限角，则 sin （－2π＋
α）＝（ ）
解析： 由 cos （α－π）＝－ ，得 cos α＝ .又α为第四象
限角，所以 sin （－2π＋α）＝ sin α＝－ ＝－ .
3. 点P（ cos 2 025°， sin 2 025°）落在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： 2 025°＝6×360°－135°，所以 cos 2 025°＝ cos
（－135°）＝ cos 135°＜0， sin 2 025°＝ sin （－135°）＝－
sin 135°＜0，所以点P在第三象限.
4. 的化简结果为 .
解析：原式＝ ＝1.
1
5. 求下列各式的值：
（1） sin （－1 395°） cos 1 110°＋ cos （－1 020°） sin
750°；
解： 原式＝ sin （－4×360°＋45°） cos （3×360°
＋30°）＋ cos （－3×360°＋60°） sin （2×360°＋
30°）＝ sin 45° cos 30°＋ cos 60° sin 30°＝ × ＋
× ＝ ＋ ＝ .
（2） sin · cos ·tan .
解： 原式＝ sin · cos ·tan
＝ sin · cos ·tan ＝ sin · cos ·tan ＝
－ sin · cos ·tan ＝－ × × ＝－ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. sin ＝（ ）
解析： sin ＝ sin ＝ sin ＝ .故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2. 化简 sin （π－2）－ cos （4π－2）的结果为（ ）
A. sin 2－ cos 2 B. －1
C. 2 sin 2 D. －2 sin 2
解析： 原式＝ sin 2－ cos 2，故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3. 已知tan ＝ ，则tan ＝（ ）
解析： ∵tan ＝tan ＝－tan ，
∴tan ＝－ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4. 若 sin （π－α）＝log8 ，且α∈ ，则 cos （π＋α）＝
（ ）
D. 以上都不对
解析： 因为 sin （π－α）＝ sin α＝lo 2－2＝－ ，所以 cos
（π＋α）＝－ cos α＝－ ＝－ ＝－ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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5. （多选）下列各式正确的是（ ）
A. sin （α＋180°）＝－ sin α
B. cos （－α＋β）＝－ cos （α－β）
C. sin （－α－360°）＝－ sin α
D. cos （－α－β）＝ cos （α＋β）
解析： sin （α＋180°）＝－ sin α， cos （－α＋β）＝
cos [－（α－β）]＝ cos （α－β）， sin （－α－360°）＝－
sin （α＋360°）＝－ sin α， cos （－α－β）＝ cos [－（α＋
β）]＝ cos （α＋β）.
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6. （多选）在△ABC中，三个内角分别为A，B，C. 下列结论正确
的是（ ）
A. sin （B＋C）＝ sin A
B. 若 cos A＞0，则△ABC为锐角三角形
C. cos （B＋C）＝ cos A
D. 若 sin （π－A）＝ sin B，则A＝B
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解析： 由A＋B＋C＝π，故A正确，C错误；对B，若 cos A
＞0，可得A为锐角，△ABC不一定是锐角三角形，B错误；由
sin （π－A）＝ sin A＝ sin B，A，B∈（0，π）知，A＝B，故
D正确.
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解析：tan 690°＝tan（2×360°－30°）＝tan（－30°）＝－tan
30°＝－ .
－
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8. 已知 sin （α＋π）＝ ，且 sin α cos α＜0，则
＝ － .
解析：∵ sin （α＋π）＝ ，∴ sin α＝－ .
又∵ sin α cos α＜0，∴ cos α＞0， cos α＝ ＝ ，
∴tan α＝－ .原式＝ ＝ ＝－ .
－
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9. 化简： · sin （α－2π） cos （2π－α）＝
.
解析：原式＝ ·[－ sin （2π－α）] cos （2π－α）＝
sin α cos α＝ cos 2α.
cos
2α
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10. 在△ABC中，若 sin （2π－A）＝－ sin （π－B）， cos A＝
－ cos （π－B），求△ABC的三个内角.
解：由条件得 sin A＝ sin B， cos A＝ cos B，
平方相加得2 cos 2A＝1， cos A＝± ，
又因为A∈（0，π），所以A＝ 或 π.
当A＝ π时， cos B＝－ ＜0，所以B∈ ，
所以A，B均为钝角，不合题意，舍去.
所以A＝ ， cos B＝ ，所以B＝ ，所以C＝ π.
综上所述，A＝ ，B＝ ，C＝ π.
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11. 已知 sin ＝ ，则 sin 的值为（ ）
解析： sin ＝ sin ＝ sin ＝－ sin
＝－ .
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12. （多选）定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π，则称θ
与φ“广义互补”.已知 sin （π＋α）＝－ ，下列角β中，可能
与角α“广义互补”的是（ ）
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解析： ∵ sin （π＋α）＝－ sin α＝－ ，∴ sin α＝ ，
若α＋β＝π，则β＝π－α.A中， sin β＝ sin ＝ sin α
＝ ，故A符合条件；B中， cos （π＋β）＝ cos ＝ cos
α＝± ，故B符合条件；C中，tan β＝ ，即 sin β＝
cos β，又 sin 2β＋ cos 2β＝1，故 sin β＝± ，即C不符合条
件；D中， cos （2π－β）＝ cos [2π－（π－α）]＝ cos （π＋
α）＝－ cos α＝± ，故D符合条件.故选A、B、D.
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13. 已知函数f（x）＝a sin （πx＋α）＋b cos （πx＋β）＋x，且f
（2 024）＝0，则f（2 025）＝ .
解析：因为f（x）＝a sin （πx＋α）＋b cos （πx＋β）＋x，
所以f（2 024）＝a sin （2 024π＋α）＋b cos （2 024π＋β）＋2
024＝a sin α＋b cos β＋2 024＝0，得到a sin α＋b cos β＝－2
024，所以f（2 025）＝a sin （2 025π＋α）＋b cos （2 025π＋
β）＋2 025＝a sin （π＋α）＋b cos （π＋β）＋2 025＝－a sin
α－b cos β＋2 025＝－（－2 024）＋2 025＝4 049.
4 049
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14. 是否存在角α和β，当α∈ ，β∈（0，π）时，等式
sin （3π－α）＝ sin （2π＋β）， cos （－α）＝－ cos
（π＋β）同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说
明理由.
解：存在α＝ ，β＝ 使等式同时成立.理由如下：
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由 sin （3π－α）＝ sin （2π＋β）， cos （－α）＝－ cos
（π＋β）得， sin α＝ sin β， cos α＝ cos β，两式平方相
加得， sin 2α＋3 cos 2α＝2，得到 sin 2α＝ ，即 sin α＝± .因为
α∈ ，所以α＝ 或α＝－ .将α＝ 代入 cos α＝
cos β，得 cos β＝ ，由于β∈（0，π），所以β＝ .将α＝－
代入 sin α＝ sin β，得 sin β＝－ ，由于β∈（0，π），这样的
角β不存在.综上可知，存在α＝ ，β＝ 使等式同时成立.
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