7.3.1 第二课时 正弦函数的图象(课件 学案 练习)高中数学人教B版(2019)必修 第二册

文档属性

名称 7.3.1 第二课时 正弦函数的图象(课件 学案 练习)高中数学人教B版(2019)必修 第二册
格式 zip
文件大小 2.5MB
资源类型 教案
版本资源 人教B版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-05 22:34:06

文档简介

第二课时 正弦函数的图象
1.用“五点法”作y=2sin 2x的图象时,首先描出的五个点的横坐标是(  )
A.0,,π,π,2π
B.0,,,π,π
C.0,π,2π,3π,4π
D.0,,,,π
2.(多选)下列函数图象相同的是(  )
A.y=sin x与y=sin(π-x)
B.y=sin与y=sin
C.y=sin x与y=sin(-x)
D.y=sin(2π+x)与y=sin x
3.函数y=sin|x|的图象是(  )
4.函数y=的图象是(  )
5.(多选)函数y=sin(π-x)-1的图象(  )
A.关于直线x=对称
B.关于直线x=π对称
C.关于原点对称
D.关于点(π,-1)对称
6.下列各点:M(0,0),N,P,Q(π,-2)在函数y=2sin x图象上的是    .
7.用“五点法”作函数y=2+sin x,x∈[0,2π]的图象时的五个点分别是    ,    ,    ,    ,    .
8.在[0,2π]内,不等式sin x<-的解集是    .
9.已知函数y=sin x(x∈[m,n])的值域为,则n-m的最大值为    .
10.用“五点法”作出函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题:
(1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间:
①y>1;②y<1.
(2)若直线y=a与y=1-2sin x有两个交点,求a的取值范围;
(3)求函数y=1-2sin x的最大值,最小值及相应的自变量的值.
11.(多选)设函数f(x)=sin x,则下列结论正确的是(  )
A.f(x)的一个周期为-2π
B.f(x)的图象关于直线x=0对称
C.f(x)的图象关于点对称
D.f(x)在区间上单调递增
12.若sin θ=1-log2x,则实数x的取值范围是    .
13.(1)利用sin(3π-x)=sin x,证明正弦曲线关于x=对称;
(2)利用sin(2π-x)=-sin x,证明正弦曲线关于点(π,0)对称.
14.已知函数y=2sin x的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形,那么此封闭图形的面积为(  )
A.4         B.8
C.4π D.2π
15.已知函数f(x)=sin x-2|sin x|,x∈[0,2π].
(1)作出函数f(x)的图象,并写出f(x)的单调区间;
(2)讨论g(x)=sin x-2|sin x|-k,x∈[0,2π]的零点个数,并求此时k的取值范围.
第二课时 正弦函数的图象
1.B 由五点作图法,令2x=0,,π,π,2π,解得x=0,,,π,π.
2.AD 根据诱导公式,y=sin(π-x)=sin x,故A符合;y=sin(2π+x)=sin x,故D符合.
3.B 因为函数y=sin |x|是偶函数,且x≥0时,sin |x|=sin x.故选B.
4.C 由y==|sin x|易知该函数为偶函数,当sin x≥0时,y=sin x,当sin x<0时,y=-sin x,作x≥0时y=sin x的图象,将x轴下方的图象翻折到x轴上方,再关于y轴对称即作出y=|sin x|的图象.
5.AD 由三角函数的诱导公式得y=sin(π-x)-1=sin x-1,所以函数y=sin(π-x)-1的图象关于直线x=对称,关于点(π,-1)对称.
6.M,N 解析:将点的坐标代入可知符合条件的是点M与N.
7.(0,2)  (π,2)  (2π,2) 解析:可结合函数y=sin x的图象的五个关键点寻找,即把y=sin x的图象上五个关键点向上平移2个单位.
8. 解析:画出y=sin x,x∈[0,2π]的图象如下:
因为sin=,所以sin=-,
sin=-.
即在[0,2π]内,满足sin x=-的是x=或x=.
可知不等式sin x<-的解集是.
9. 解析:
作出正弦函数y=sin x(x∈R)的图象,如图所示,∵函数y=sin x的定义域为[m,n],值域为,又sin=sin =-,结合图象可知n-m的最大值为-=.
10.解:按五个关键点列表
x -π - 0 π
sin x 0 -1 0 1 0
1-2sin x 1 3 1 -1 1
描点连线得:
(1)由图象可知函数y=1-2sin x在y=1上方的部分y>1,在y=1下方的部分y<1,
所以当x∈(-π,0)时,y>1,当x∈(0,π)时,y<1.
(2)如图,当直线y=a与y=1-2sin x有两个交点时,1<a<3或-1<a<1,
所以a的取值范围是{a|1<a<3或-1<a<1}.
(3)由图象可知ymax=3,此时x=-;
ymin=-1,此时x=.
11.AD 函数f(x)=sin x的最小正周期为2π;对称轴方程为x=kπ+,k∈Z;对称中心为(kπ,0),k∈Z;单调增区间为,k∈Z.则A正确,B错误,C错误,D正确.故选A、D.
12.[1,4] 解析:由正弦函数的图象,可知-1≤sin θ≤1,所以-1≤1-log2x≤1,整理得0≤log2x≤2,解得1≤x≤4.
13.证明:(1)令f(x)=sin x,
f(3π-x)=sin(3π-x)=sin x,
∴f(3π-x)=f(x),
令t=-x,则x=-t,
∴f=f,
即f=f,
∴f(x)=sin x关于x=对称.
(2)令f(x)=sin x.
∴f(2π-x)=sin(2π-x)=-sin x,
∴f(2π-x)=-f(x),
令t=π-x,则x=π-t,
∴f[2π-(π-t)]=-f(π-t),
即f(π+t)=-f(π-t),
∴f(x)=sin x关于点(π,0)对称.
14.C 数形结合,如图所示,y=2sin x,x∈的图象与直线y=2围成的封闭平面图形的面积相当于由x=,x=,y=0,y=2围成的矩形面积,即S=×2=4π.
15.解:(1)f(x)=
图象如图,
由图象可知f(x)的递增区间为,;
f(x)的递减区间为,.
(2)由图象可知:
当k>0或k<-3时,直线y=k与函数f(x)有0个交点,故g(x)没有零点;
当k=-3时,直线y=k与函数f(x)有1个交点,故g(x)有1个零点;
当-3<k<-1时,直线y=k与函数f(x)有2个交点,故g(x)有2个零点;
当k=0或k=-1时,直线y=k与函数f(x)有3个交点,故g(x)有3个零点;
当-1<k<0时,直线y=k与函数f(x)有4个交点,故g(x)有4个零点.
2 / 2(共52张PPT)
第二课时 
正弦函数的图象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成
了一个简易单摆(如图所示).在漏斗下方放一块纸板,板的中间画
一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置,放手
使它摆动,同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线,它
就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”.它
表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的
情况.
【问题】 (1)通过上述实验,你对正弦函数
图象的直观印象是怎样的?
(2)你能比较精确地画出y= sin x在[0,2π]上
的图象吗?
(3)以上方法作图虽然精确,但太麻烦,有没
有快捷画y= sin x,
x∈[0,2π]图象的方法?你认为图象上哪些点是关键点?
知识点 正弦函数的图象
1. 正弦函数y= sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,
0),    ,(π,0),    ,(2π,0).
2. 正弦曲线是轴对称图形,对称轴为 ;正弦
曲线也是中心对称图形,且对称中心为 .
 
 
x= +kπ(k∈Z) 
(kπ,0)(k∈Z) 
1. 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数y= sin x的图象关于y轴对称. ( × )
(2)正弦函数的图象向左右是无限伸展的. ( √ )
(3)正弦函数y= sin x的图象在x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)上
的图象形状相同,只是位置不同. ( √ )
×


2. 下列图象中,符合y=- sin x在[0,2π]上的图象的是(  )
解析:  把y= sin x,x∈[0,2π]上的图象关于x轴对称,即可
得到y=- sin x,x∈[0,2π]上的图象,故选D.
3. 点M 在函数y= sin x的图象上,则m= .
解析:由题意-m= sin ,∴-m=1,∴m=-1.
-1 
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
  
题型一 “五点法”作正弦曲线
【例1】 用“五点法”作出下列函数的简图:
(1)y=- sin x-1(0≤x≤2π);
解: 找关键的五个点,列表如下:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
- sin x 0 -1 0 1 0
- sin x-1 -1 -2 -1 0 -1
描点作图,如图:
(2)y=| sin x|,x∈R.
解: 找关键的五个点,列表如下:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
| sin x| 0 1 0 1 0
描点并用光滑的曲线
将它们连接起来,通
过平移得到y=| sin
x|,x∈R的图象,如图所示.
通性通法
用“五点法”作函数y=A sin x+B(A≠0)在[0,2π]上的简图的
步骤
(1)列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
y=A sin x+B B A+B B -A+B B
(2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点:(0,B),
,(π,B), ,(2π,B),这里的y
是通过函数式计算得到的;
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,不要用线段进
行连接.
注意 作图时一定要找准这五个关键点,这是“五点法”作图
的关键所在.
【跟踪训练】
用“五点法”画出函数y=2 sin x在区间[0,2π]上的图象.
解:按五个关键点列表如下:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
2 sin x 0 2 0 -2 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示.
题型二 正弦函数图象的简单应用
【例2】 求函数y=log3 的定义域.
解:要使函数有意义,则 sin x> ,
作出y= sin x在[0,2π]内的图象如
图所示.
由图象知,在[0,2π]内使 sin x> 的x的取值范围是 .
故原函数的定义域为 (k∈Z).
通性通法
利用三角函数图象解 sin x>a的三个步骤
(1)作出直线y=a,y= sin x的图象;
(2)确定 sin x=a的x值;
(3)确定 sin x>a的解集.
注意 解三角不等式 sin x>a,如果不限定范围时,一般先利
用图象求出x∈[0,2π]范围内x的取值范围,然后根据终边相
同角的同一三角函数值相等,写出原不等式的解集.
【跟踪训练】
 当x=[0,3π]时,设关于x的方程 sin x+2| sin x|=m(m∈R)
的根的个数为n,那么n的取值构成的集合为
(用列举法表示).
解析:求方程的根的个数等价于求直线y=m与y= sin x+2| sin x|,x∈[0,3π]的图象的交点个数,由题意得y= sin x+2| sin x|=其图象如图所示,
由图可以看到交点的个数可能为0,2,
4,5,6.故n的取值构成的集合为{0,2,4,5,6}.
{0,2,4,5,6} 
题型三 正弦曲线的对称性
【例3】 求函数y=2 sin x+1的图象的对称中心和对称轴.
解:由正弦函数的对称性可知z= sin
x的对称中心为(kπ,0),k∈Z,
作出y=2 sin x+1的图象如图所示.
结合正弦函数的对称性可知y=2 sin x+1的图象的对称中心是(kπ,1)(k∈Z),对称轴是直线x=kπ+ (k∈Z).
通性通法
正弦函数y= sin x的对称性
  对称中心:点(kπ,0)(k∈Z),对称轴:直线x=kπ+
(k∈Z),要明确两者的不同.
【跟踪训练】
 (多选)函数y= sin x与y= sin (-x)的图象关于(  )
A. x轴对称 B. y轴对称
C. 直线y=x对称
解析:  ∵函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称,
∴函数y= sin x与y= sin (-x)的图象关于y轴对称.∵函数y=f
(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称,y= sin (-x)=- sin
x,∴函数y= sin x与y= sin (-x)的图象关于x轴对称.
1. 以下对于正弦函数y= sin x的图象描述不正确的是(  )
A. 在x∈[2kπ,2kπ+2π],k∈Z上的图象形状相同,只是位置不同
B. 关于x轴对称
C. 介于直线y=1和y=-1之间
D. 与y轴仅有一个交点
解析:   观察y= sin x图象可知A、C、D项正确,且关于原点中
心对称,故选B.
2. 已知a是实数,则函数f(x)=1+a sin ax的图象不可能是(  )
解析:  当a=0时,f(x)=1,选项C符合;当0<|a|<1时,T>2π,f(x)的最大值小于2,选项A符合;当|a|>1时,T<2π,f(x)的最大值大于2,选项B符合.排除选项A、B、C,故选D.
3. 函数y=1- sin x(x∈[0,2π])的大致图象是(  )
解析:  用五点法作图时五个关键点是(0,1), ,
(π,1), ,(2π,1),故只有选项B的图象符合.
4. y=1+ sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y=2的交点个数是
(  )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析:B 由五点法作出函数y=1+ sin
x,x∈[0,2π]的图象(如图所示),由图
可知其与直线y=2只有1个交点.
5. 求方程 sin x=lg x的解的个数.
解:建立平面直角坐标系xOy,先用五
点法画出函数y= sin x,x∈[0,2π]的
图象,再向右连续平移2π个单位,得到
y= sin x的图象.
描出点(1,0),(10,1),并用光滑曲线连接得到y=lg x的图象,如图所示.
由图象可知方程 sin x=lg x的解有3个.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1. 用“五点法”作y=2 sin 2x的图象时,首先描出的五个点的横坐
标是(  )
C. 0,π,2π,3π,4π
解析:  由五点作图法,令2x=0, ,π, π,2π,解得x=
0, , , π,π.
2. (多选)下列函数图象相同的是(  )
A. y= sin x与y= sin (π-x)
C. y= sin x与y= sin (-x)
D. y= sin (2π+x)与y= sin x
解析:   根据诱导公式,y= sin (π-x)= sin x,故A符合;
y= sin (2π+x)= sin x,故D符合.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 函数y= sin |x|的图象是(  )
解析:  因为函数y= sin |x|是偶函数,且x≥0时, sin |
x|= sin x.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 函数y= 的图象是(  )
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析:  由y= =| sin x|易知该函数为偶函数,
当 sin x≥0时,y= sin x,当 sin x<0时,y=- sin x,作x≥0时y
= sin x的图象,将x轴下方的图象翻折到x轴上方,再关于y轴对
称即作出y=| sin x|的图象.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. (多选)函数y= sin (π-x)-1的图象(  )
B. 关于直线x=π对称
C. 关于原点对称 D. 关于点(π,-1)对称
解析:  由三角函数的诱导公式得y= sin (π-x)-1= sin x
-1,所以函数y= sin (π-x)-1的图象关于直线x= 对称,关
于点(π,-1)对称.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. 下列各点:M(0,0),N ,P ,Q(π,-2)
在函数y=2 sin x图象上的是 .
解析:将点的坐标代入可知符合条件的是点M与N.
M,N 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 用“五点法”作函数y=2+ sin x,x∈[0,2π]的图象时的五个点
分别是 , ,
, , .
解析:可结合函数y= sin x的图象的五个关键点寻找,即把y= sin
x的图象上五个关键点向上平移2个单位.
(0,2) 
 
(π,
2) 
 
(2π,2) 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 在[0,2π]内,不等式 sin x<- 的解集是    .
解析:画出y= sin x,x∈[0,2π]的图象如下:
因为 sin = ,所以 sin =- ,
sin =- .
即在[0,2π]内,满足 sin x=- 的是x= 或x= .
可知不等式 sin x<- 的解集是 .
 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 已知函数y= sin x(x∈[m,n])的值域为 ,则n-m的
最大值为 .
解析:作出正弦函数y= sin x(x∈R)的图象,
如图所示,∵函数y= sin x的定义域为[m,n],
值域为 ,又 sin = sin =- ,
结合图象可知n-m的最大值为 - = .
 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 用“五点法”作出函数y=1-2 sin x,x∈[-π,π]的简图,并回
答下列问题:
(1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间:
①y>1;②y<1.
解:按五个关键点列表
x -π 0 π
sin x 0 -1 0 1 0
1-2 sin x 1 3 1 -1 1
描点连线得:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(1)由图象可知函数y=1-2 sin x在y=1上方的部分
y>1,在y=1下方的部分y<1,
所以当x∈(-π,0)时,y>1,
当x∈(0,π)时,
y<1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(2)若直线y=a与y=1-2 sin x有两个交点,求a的取值范围;
解:如图,当直线y=a与y=1-2 sin x有两个交点时,1<a<3或-1<a<1,
所以a的取值范围是{a|1<a<3或-1<a<1}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(3)求函数y=1-2 sin x的最大值,最小值及相应的自变量
的值.
解:由图象可知ymax=3,
此时x=- ;
ymin=-1,此时x= .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. (多选)设函数f(x)= sin x,则下列结论正确的是(  )
A. f(x)的一个周期为-2π
B. f(x)的图象关于直线x=0对称
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析:  函数f(x)= sin x的最小正周期为2π;对称轴方程
为x=kπ+ ,k∈Z;对称中心为(kπ,0),k∈Z;单调增区
间为[2kπ- ,2kπ+ ],k∈Z. 则A正确,B错误,C错误,
D正确.故选A、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 若 sin θ=1-log2x,则实数x的取值范围是 .
解析:由正弦函数的图象,可知-1≤ sin θ≤1,所以-1≤1-
log2x≤1,整理得0≤log2x≤2,解得1≤x≤4.
[1,4] 
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. (1)利用 sin (3π-x)= sin x,证明正弦曲线关于x= 对
称;
证明: 令f(x)= sin x,f(3π-x)= sin (3π-
x)= sin x,
∴f(3π-x)=f(x),令t= -x,则x= -t,
∴f =f ,
即f =f ,∴f(x)= sin x关于x= 对称.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(2)利用 sin (2π-x)=- sin x,证明正弦曲线关于点(π,
0)对称.
证明:  令f(x)= sin x.∴f(2π-x)= sin (2π-
x)=- sin x,
∴f(2π-x)=-f(x),令t=π-x,则x=π-t,
∴f[2π-(π-t)]=-f(π-t),即f(π+t)=-f(π
-t),
∴f(x)= sin x关于点(π,0)对称.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 已知函数y=2 sin x 的图象与直线y=2围成一个封闭
的平面图形,那么此封闭图形的面积为(  )
A. 4 B. 8
解析:  数形结合,如图所示,y=
2 sin x,x∈ 的图象与直线y=
2围成的封闭平面图形的面积相当于由
x= ,x= ,y=0,y=2围成的矩形面积,即S= ×2=4π.
C. 4π D. 2π
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 已知函数f(x)= sin x-2| sin x|,x∈[0,2π].
(1)作出函数f(x)的图象,并写出f(x)的单调区间;
解:  f(x)=
图象如图,
由图象可知f(x)的递增区间为[ ,
π],[ ,2π];f(x)的递减区间为 , .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
(2)讨论g(x)= sin x-2| sin x|-k,x∈[0,2π]的零点
个数,并求此时k的取值范围.
解: 由图象可知:
当k>0或k<-3时,直线y=k与函数f(x)有0个交点,
故g(x)没有零点;
当k=-3时,直线y=k与函数f(x)有1个交点,故g
(x)有1个零点;
当-3<k<-1时,直线y=k与函数f(x)有2个交点,故
g(x)有2个零点;
当k=0或k=-1时,直线y=k与函数f(x)有3个交点,
故g(x)有3个零点;
当-1<k<0时,直线y=k与函数f(x)有4个交点,故g
(x)有4个零点.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
谢 谢 观 看!第二课时 正弦函数的图象
将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆(如图所示).在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板.这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图象.物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.
【问题】 (1)通过上述实验,你对正弦函数图象的直观印象是怎样的?
(2)你能比较精确地画出y=sin x在[0,2π]上的图象吗?
(3)以上方法作图虽然精确,但太麻烦,有没有快捷画y=sin x,x∈[0,2π]图象的方法?你认为图象上哪些点是关键点?
                                             
                                             
知识点 正弦函数的图象
1.正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),    ,(π,0),    ,(2π,0).
2.正弦曲线是轴对称图形,对称轴为     ;正弦曲线也是中心对称图形,且对称中心为      .
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数y=sin x的图象关于y轴对称.(  )
(2)正弦函数的图象向左右是无限伸展的.(  )
(3)正弦函数y=sin x的图象在x∈[2kπ,2kπ+2π](k∈Z)上的图象形状相同,只是位置不同.(  )
2.下列图象中,符合y=-sin x在[0,2π]上的图象的是(  )
3.点M在函数y=sin x的图象上,则m=    .
题型一 “五点法”作正弦曲线
【例1】 用“五点法”作出下列函数的简图:
(1)y=-sin x-1(0≤x≤2π);
(2)y=|sin x|,x∈R.
尝试解答                                      
通性通法
  用“五点法”作函数y=Asin x+B(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤
(1)列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
y=Asin x+B B A+B B -A+B B
(2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点:(0,B),,(π,B),,(2π,B),这里的y是通过函数式计算得到的;
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点连接起来,不要用线段进行连接.
注意 作图时一定要找准这五个关键点,这是“五点法”作图的关键所在.
【跟踪训练】
用“五点法”画出函数y=2sin x在区间[0,2π]上的图象.
题型二 正弦函数图象的简单应用
【例2】 求函数y=log3的定义域.
尝试解答                                      
通性通法
利用三角函数图象解sin x>a的三个步骤
(1)作出直线y=a,y=sin x的图象;
(2)确定sin x=a的x值;
(3)确定sin x>a的解集.
注意 解三角不等式sin x>a,如果不限定范围时,一般先利用图象求出x∈[0,2π]范围内x的取值范围,然后根据终边相同角的同一三角函数值相等,写出原不等式的解集.
【跟踪训练】
 当x=[0,3π]时,设关于x的方程sin x+2|sin x|=m(m∈R)的根的个数为n,那么n的取值构成的集合为    (用列举法表示).
题型三 正弦曲线的对称性
【例3】 求函数y=2sin x+1的图象的对称中心和对称轴.
尝试解答                                      
通性通法
正弦函数y=sin x的对称性
  对称中心:点(kπ,0)(k∈Z),对称轴:直线x=kπ+(k∈Z),要明确两者的不同.
【跟踪训练】
 (多选)函数y=sin x与y=sin(-x)的图象关于(  )
A.x轴对称
B.y轴对称
C.直线y=x对称
D.直线x=对称
1.以下对于正弦函数y=sin x的图象描述不正确的是(  )
A.在x∈[2kπ,2kπ+2π],k∈Z上的图象形状相同,只是位置不同
B.关于x轴对称
C.介于直线y=1和y=-1之间
D.与y轴仅有一个交点
2.已知a是实数,则函数f(x)=1+asin ax的图象不可能是(  )
3.函数y=1-sin x(x∈[0,2π])的大致图像是(  )
4.y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y=2的交点个数是(  )
A.0   B.1   C.2   D.3
5.求方程sin x=lg x的解的个数.
第二课时 正弦函数的图象
【基础知识·重落实】
知识点
1.  2.x=+kπ(k∈Z) (kπ,0)(k∈Z)
自我诊断
1.(1)× (2)√ (3)√
2.D 把y=sin x,x∈[0,2π]上的图象关于x轴对称,即可得到y=-sin x,x∈[0,2π]上的图象,故选D.
3.-1 解析:由题意-m=sin ,∴-m=1,∴m=-1.
【典型例题·精研析】
【例1】 解:(1)找关键的五个点,列表如下:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
-sin x 0 -1 0 1 0
-sin x-1 -1 -2 -1 0 -1
描点作图,如图:
(2)找关键的五个点,列表如下:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
|sin x| 0 1 0 1 0
描点并用光滑的曲线将它们连接起来,通过平移得到y=|sin x|,x∈R的图象,如图所示.
跟踪训练
 解:按五个关键点列表如下:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
2sin x 0 2 0 -2 0
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示.
【例2】 解:要使函数有意义,则sin x>,作出y=sin x在[0,2π]内的图象如图所示.
由图象知,在[0,2π]内使sin x>的x的取值范围是.
故原函数的定义域为(k∈Z).
跟踪训练
 {0,2,4,5,6} 解析:求方程的根的个数等价于求直线y=m与y=sin x+2|sin x|,x∈[0,3π]的图象的交点个数,由题意得y=sin x+2|sin x|=其图象如图所示,
由图可以看到交点的个数可能为0,2,4,5,6.故n的取值构成的集合为{0,2,4,5,6}.
【例3】 解:由正弦函数的对称性可知z=sin x的对称中心为(kπ,0),k∈Z,
作出y=2sin x+1的图象如图所示.
结合正弦函数的对称性可知y=2sin x+1的图象的对称中心是(kπ,1)(k∈Z),对称轴是直线x=kπ+(k∈Z).
跟踪训练
 AB ∵函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称,∴函数y=sin x与y=sin(-x)的图象关于y轴对称.∵函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称,y=sin(-x)=-sin x,∴函数y=sin x与y=sin(-x)的图象关于x轴对称.
随堂检测
1.B 观察y=sin x图象可知A、C、D项正确,且关于原点中心对称,故选B.
2.D 当a=0时,f(x)=1,选项C符合;当0<|a|<1时,T>2π,f(x)的最大值小于2,选项A符合;当|a|>1时,T<2π,f(x)的最大值大于2,选项B符合.排除选项A、B、C,故选D.
3.B 用五点法作图时五个关键点是(0,1),,(π,1),,(2π,1),故只有选项B的图象符合.
4.B 由五点法作出函数y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象(如图所示),由图可知其与直线y=2只有1个交点.
5.解:建立平面直角坐标系xOy,先用五点法画出函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,再向右连续平移2π个单位,得到y=sin x的图象.
描出点(1,0),(10,1),并用光滑曲线连接得到y=lg x的图象,如图所示.
由图象可知方程sin x=lg x的解有3个.
3 / 3