7.3.2 正弦型函数的性质与图象
第一课时 正弦型函数的图象
1.为了得到函数y＝sin（x－1）的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点（ ）
A.向左平移1个单位 B.向右平移1个单位
C.向左平移π个单位 D.向右平移π个单位
2.函数y＝sin在区间上的简图是（ ）
3.（多选）函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，为了与g（x）＝－Acos ωx的图象重合，可以将f（x）的图象（ ）
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
4.要得到y＝sin的图象，只要将函数y＝sin 的图象（ ）
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
5.函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ ω＞0，－＜φ＜）的部分图象如图，则ω，φ的值分别为（ ）
A.2，－ B.2，－
C.4，－ D.4，
6.把函数y＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜π）的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为y＝sin x，则（ ）
A.ω＝2，φ＝ B.ω＝2，φ＝－
C.ω＝，φ＝ D.ω＝，φ＝－
7.函数f（x）＝sin｜ax＋1｜的图象恒过定点 ；当a＝π时，f＝ .
8.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）的图象如图所示，则ω＝ .
9.将函数y＝sin 2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，然后纵坐标缩短为原来的，则所得图象的函数解析式为 .
10.已知曲线y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
（1）试求这条曲线的函数表达式；
（2）用“五点法”画出（1）中函数在[0，π]上的图象.
11.（多选）有下列四种变换方式：
①向左平移个单位，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）；②横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位；③横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位；④向左平移个单位，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）.
其中能将正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin的图象的是（ ）
A.① B.②
C.③ D.④
12.已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，－＜φ＜）在一个周期内的图象如图所示.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设0＜x＜π，且方程f（x）＝m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围.
13.若将函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）＝sin的图象，则ω的最小值为 .
14.函数y＝f（x）的图象与直线x＝a，x＝b及x轴所围成图形的面积称为函数f（x）在[a，b]上的面积.已知函数y＝sin nx在上的面积为（n∈N＋）.
（1）求函数y＝sin 3x在上的面积；
（2）求函数y＝sin（3x－π）＋1在上的面积.
第一课时 正弦型函数的图象
1.B
2.A 当x＝0时，y＝sin＝－＜0，排除B、D；当x＝时，y＝sin＝sin 0＝0，排除C，故选A.
3.BC 由题图所示可知A＝1，T＝4＝π，所以ω＝＝2，又2×＋φ＝π，所以φ＝，f（x）＝sin，g（x）＝－cos 2x＝－sin＝sin＝sin（k∈Z），可验证得k＝0时，B正确，k＝－1时，C正确，故选B、C.
4.C 由于y＝sin＝sin，所以要得到y＝sin的图象，只要将函数y＝sin 的图象向左平移个单位长度即可.
5.A ∵T＝π－＝π，∴T＝π，∴＝π（ω＞0），∴ω＝2.由图象知当x＝π时，2×π＋φ＝2kπ＋（k∈Z），即φ＝2kπ－（k∈Z）.∵－＜φ＜，∴φ＝－.
6.B 将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为y＝sin 2x，再将此函数图象向右平移个单位长度可得y＝sin的图象，即y＝sin的图象，所以ω＝2，φ＝－.
7.（0，sin 1） － 解析：∵f（0）＝sin｜a×0＋1｜＝sin 1，∴f（x）＝sin｜ax＋1｜的图象恒过定点（0，sin 1）.当a＝π时，f＝sin＝sin ＝－.
8. 解析：由题意设函数周期为T，则＝－＝，∴T＝.∴ω＝＝.
9.y＝sin x 解析：y＝sin 2x的图象y＝sin ＝sin x的图象y＝sin x的图象，即所得图象的函数解析式为y＝sin x.
10.解：（1）依题意，A＝，T＝4×＝π.
∵T＝＝π，ω＞0，∴ω＝2，∴y＝sin（2x＋φ），
又曲线上的最高点为，
∴sin＝1.
∵－＜φ＜，∴φ＝.
∴y＝sin.
（2）列出x，y的对应值表：
x 0 π π π π
2x＋ π π 2π
y 1 0 － 0 1
作图如下：
11.AB ①向左平移个单位，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变），则正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin的图象；②横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位，则正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin ＝sin的图象；③横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位，则正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin ＝sin的图象；④向左平移个单位，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变），则正弦函数y＝sin x的图象变为y＝sin的图象，因此①和②符合题意，故选A、B.
12.解：（1）由题设图象，易得A＝2，T＝－＝，
所以T＝π，所以ω＝＝2.
所以f（x）＝2sin（2x＋φ）.
因为函数f（x）的图象经过点.
所以2sin＝2，即sin＝1.
又因为－＜φ＜，所以－＜＋φ＜.
所以＋φ＝，所以φ＝.
故所求函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin.
（2）由题意，知方程f（x）＝m有两个不同的实数根等价于函数f（x）＝2sin的图象与g（x）＝m的图象有两个不同的交点.
因为0＜x＜π，
易画出函数f（x）＝2sin的图象与函数g（x）＝m的图象（如图所示）.
依据图象可知：
当－2＜m＜1或1＜m＜2时，直线g（x）＝m与曲线f（x）＝2sin有两个不同的交点，
即方程f（x）＝m有两个不同的实数根，
故所求实数m的取值范围为（－2，1）∪（1，2）.
13. 解析：f（x）＝sin ωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平移个单位长度得y＝sin，则y＝sin和g（x）＝sin相同，所以＝＋2kπ，k∈Z，解得ω＝＋6k，k∈Z，因为ω＞0，所以当k＝0时，ω的最小值为.
14.解：（1）y＝sin 3x在上的图象如图所示，
由函数y＝sin 3x在上的面积为，
所以在上的面积为.
（2）结合（1），由图可知阴影面积为S＝SABCD＋＝π＋.
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7.3.2
正弦型函数的性质与图象
新课程标准解读 核心素养
1.了解正弦型函数y＝A sin （ωx＋φ）的实际意
义及各参数对图象变化的影响，会求其周期、最
值、单调区间等 数学抽象、
数学运算
2.会用“图象变换法”作正弦型函数y＝A sin
（ωx＋φ）的图象 数学运算、
直观想象
第一课时
正弦型函数的图象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交
流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝A sin （ωx＋φ）的函数.
如图①所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象.
将测得的图象放大，如图②所示，可以看出它和正弦曲线很相
似.那么函数y＝A sin （ωx＋φ）与函数y＝ sin x有什么关系呢？
【问题】 （1）函数y＝A sin （ωx＋φ）的周期、最值分别受哪些
量的影响？
（2）如何作出函数y＝A sin （ωx＋φ）的图象？
知识点一 正弦型函数
1. 形如y＝A sin （ωx＋φ）（其中A，ω，φ都是常数）的函数，通常
叫做正弦型函数.
2. 函数y＝A sin （ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0，x∈R）的周期T
＝ ，频率f＝ ，初相为 ，值域为
， 也称为振幅，｜A｜的大小反映了y
＝A sin （ωx＋φ）的波动幅度的大小.
φ
[－｜
A｜，｜A｜]
｜A｜
知识点二 A，ω，φ对函数y＝A sin （ωx＋φ）图象的影响
1. φ对函数y＝ sin （x＋φ）图象的影响
2. ω对函数y＝ sin （ωx＋φ）图象的影响
3. A对函数y＝A sin （ωx＋φ）图象的影响
提醒 在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不
同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了｜
φ｜个单位长度，而后者平移了 个单位长度，这是因为由y＝
sin ωx的图象变换为y＝ sin （ωx＋φ）的图象的过程中，各点的
横坐标增加或减少了 个单位长度，即y＝ sin ωx的图象 y＝
sin ＝ sin （ωx＋φ）的图象.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝ sin x的图象向右平移 个单位长度，得到函数y＝
sin 的图象. （ × ）
（2）将函数y＝ sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到
函数y＝2 sin x的图象. （ √ ）
（3）函数y＝2 sin 2x的振幅为2. （ √ ）
×
√
√
2. 函数f（x）＝ sin 的最小正周期为（ ）
B. π C. 2π D. 4π
解析： 函数的最小正周期T＝ ＝4π.
3. 要得到y＝ sin 的图象，只要将y＝ sin x的图象（ ）
解析： 将y＝ sin x的图象向左平移 个单位可得到y＝
sin 的图象.
4. 已知函数y＝3 sin ，则该函数的振幅、初相分别
是 ， .
3
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 正弦型函数图象的变换
【例1】 （1）函数y＝ cos 的图象可以看作是由y＝ sin x的
图象经过怎样的变换得到的？
解： y＝ cos ＝ sin ＝ sin ，
可以看作是把y＝ sin x的图象上所有的点向左平移 个单位长
度得到.
（2）函数y＝2 sin －2的图象是由函数y＝ sin x的图象通过
怎样的变换得到的？
解：
通性通法
三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略
（1）确定函数y＝ sin x的图象经过平移变换后图象对应的解析式，
关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注
意平移只对“x”而言；
（2）已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解
析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位.
【跟踪训练】
1. 先将函数y＝ sin x的图象上各点向右平移 个单位，再将所得各点
的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析
式是（ ）
解析： 将函数y＝ sin x所有的点向右平移 个单位，所得图象
的函数解析式为y＝ sin ，再把所得各点的横坐标伸长到原
来的2倍得到y＝ sin ，故选C.
2. 为了得到函数y＝ sin ，x∈R的图象，只需把函数y＝ sin
x，x∈R的图象上所有的点：
①向左平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 （纵
坐标不变）；
②向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 （纵
坐标不变）；
③向左平移 个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍
（纵坐标不变）；
④向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍
（纵坐标不变）.
其中正确的是 .
解析：y＝ sin x y＝ sin
y＝ sin .
③
题型二 求正弦型函数y＝A sin （ωx＋φ）的解析式
【例2】 （多选）如图是函数y＝ sin （ωx＋φ）的部分图象，则 sin （ωx＋φ）＝（ ）
解析： 由题图可知，函数的最小正周期T＝2 ＝π，
∴ ＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y＝ sin （2x＋φ），将点
代入得， sin ＝0，∴2× ＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝
2kπ＋ ，k∈Z，故y＝ sin .由于y＝ sin （2x＋ ）＝
sin ＝ sin ，故选项B正确；y＝ sin
＝ cos ＝ cos （2x＋ ），选项C
正确；对于选项A，当x＝ 时， sin （ ＋ ）＝1≠0，错误；对于选
项D，当x＝ ＝ 时， cos ＝1≠－1，错误；当ω＝
－2时，y＝ sin （－2x＋φ），将 代入，得 sin
＝0，结合函数图象，知－2× ＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝ ＋2kπ，
k∈Z，∴y＝ sin （－2x＋ ），但当x＝0时，y＝ sin （－2x＋ ）
＝－ ＜0，与图象不符合，舍去.故选B、C.
通性通法
根据函数的部分图象求解析式的方法
（1）直接由图象确定振幅和周期，则可确定函数式y＝A sin （ωx＋
φ）中的参数A和ω，再选取最大值点的数据代入ωx＋φ＝2kπ
＋ ，k∈Z，结合φ的范围求出φ；
（2）通过若干特殊点代入函数式，解方程组求相关待定系数A，
ω，φ；
（3）运用逆向思维的方法，先确定函数的基本函数式y＝A sin ωx，
再根据图象平移规律确定相关的参数.
【跟踪训练】
函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的
图象如图所示，则f（1）＝（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析： 由题意可知A＝3，T＝2×（7－3）＝8，所以ω＝ ＝ .
因为函数f（x）的图象经过点（3，0），所以 ＋φ＝π＋2kπ
（k∈Z），φ＝ ＋2kπ（k∈Z）.又φ∈[0，2π），所以φ＝ ，所以
f（x）＝3 sin ，所以f（1）＝3.故选B.
1. 函数y＝2 sin 的周期、振幅依次是（ ）
A. 6π，－2 B. 6π，2
C. π，2 D. π，－2
解析： 振幅为2，周期为 ＝6π.
2. 为了得到函数y＝3 sin 的图象，只要把函数y＝3 sin
图象上的所有点（ ）
A. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
解析： 由函数图象的伸缩规律知，将函数y＝3 sin 图象
上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数y＝3
sin 的图象.故选B.
3. 如图是函数y＝A sin （ωx＋φ） 的图象的
一部分，试求该函数的解析式.
解：由图象可知A＝2，T＝4×（6－2）＝16，ω＝ ＝ .
又x＝6时， ×6＋φ＝2kπ，又｜φ｜＜π，所以φ＝－ .
所以所求函数的解析式为y＝2 sin .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 为了得到函数y＝ sin （x－1）的图象，只需把函数y＝ sin x的图
象上所有的点（ ）
A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位
C. 向左平移π个单位 D. 向右平移π个单位
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2. 函数y＝ sin 在区间 上的简图是（ ）
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解析： 当x＝0时，y＝ sin ＝－ ＜0，排除B、D；当x
＝ 时，y＝ sin ＝ sin 0＝0，排除C，故选A.
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3. （多选）函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象如
图所示，为了与g（x）＝－A cos ωx的图象重合，可以将f（x）
的图象（ ）
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解析： 由题图所示可知A＝1，T＝4（ π－ ）＝π，所以ω
＝ ＝2，又2× ＋φ＝π，所以φ＝ ，f（x）＝ sin ，g
（x）＝－ cos 2x＝－ sin （ －2x＋2kπ）＝ sin
＝ sin ［2（x－ －kπ）＋ ］（k∈Z），可验证得k＝0时，B
正确，k＝－1时，C正确，故选B、C.
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4. 要得到y＝ sin 的图象，只要将函数y＝ sin 的图象
（ ）
解析： 由于y＝ sin ＝ sin ，所以要得到y＝
sin 的图象，只要将函数y＝ sin 的图象向左平移 个单位
长度即可.
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5. 函数f（x）＝2 sin （ωx＋φ）（ ω＞0，－ ＜φ＜ ）的部分图象
如图，则ω，φ的值分别为（ ）
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解析： ∵ T＝ π－ ＝ π，∴T＝π，∴ ＝π（ω＞
0），∴ω＝2.由图象知当x＝ π时，2× π＋φ＝2kπ＋
（k∈Z），即φ＝2kπ－ （k∈Z）.∵－ ＜φ＜ ，∴φ＝－ .
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6. 把函数y＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜π）的图象向左平移
个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐
标不变），所得图象的函数解析式为y＝ sin x，则（ ）
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解析： 将y＝ sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为y＝ sin 2x，再将此函
数图象向右平移 个单位长度可得y＝ sin 的图象，即y
＝ sin 的图象，所以ω＝2，φ＝－ .
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7. 函数f（x）＝ sin ｜ax＋1｜的图象恒过定点 ；
当a＝π时，f ＝ － .
解析：∵f（0）＝ sin ｜a×0＋1｜＝ sin 1，∴f（x）＝ sin ｜ax
＋1｜的图象恒过定点（0， sin 1）.当a＝π时，f ＝ sin
＝ sin ＝－ .
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8. 已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0）的图象如图所示，则ω
＝ .
解析：由题意设函数周期为T，则 ＝ － ＝ ，∴T＝ .∴ω
＝ ＝ .
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9. 将函数y＝ sin 2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，然
后纵坐标缩短为原来的 ，则所得图象的函数解析式为 y＝ sin
.
解析：y＝ sin 2x的图象 y＝ sin ＝ sin x的图象
y＝ sin x的图象，即所得图象的函数解析式为y＝ sin x.
y＝ sin
x
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10. 已知曲线y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）上的一个最高点的
坐标为 ，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点
，若φ∈ .
（1）试求这条曲线的函数表达式；
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解： 依题意，A＝ ，T＝4× ＝π.
∵T＝ ＝π，ω＞0，∴ω＝2，
∴y＝ sin （2x＋φ），又曲线上的最高点为 ，
∴ sin ＝1.
∵－ ＜φ＜ ，∴φ＝ .
∴y＝ sin .
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（2）用“五点法”画出（1）中函数在[0，π]上的图象.
解： 列出x，y的对应值表：
x 0 π
π 2π
y 1 0 0 1
作图如下：
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11. （多选）有下列四种变换方式：
①向左平移 个单位，再将横坐标变为原来的 （纵坐标不变）；
②横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位；
③横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位；
④向左平移 个单位，再将横坐标变为原来的 （纵坐标不变）.
其中能将正弦函数y＝ sin x的图象变为y＝ sin 的图象的
是（ ）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
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解析： ①向左平移 个单位，再将横坐标变为原来的 （纵
坐标不变），则正弦函数y＝ sin x的图象变为y＝ sin 的
图象；②横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单
位，则正弦函数y＝ sin x的图象变为y＝ sin ＝ sin
的图象；
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③横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位，则正
弦函数y＝ sin x的图象变为y＝ sin ＝ sin 的图象；
④向左平移 个单位，再将横坐标变为原来的 （纵坐标不变），则
正弦函数y＝ sin x的图象变为y＝ sin （2x＋ ）的图象，因此①和②
符合题意，故选A、B.
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12. 已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，－ ＜φ＜
）在一个周期内的图象如图所示.
（1）求函数f（x）的解析式；
解： 由题设图象，易得A＝2， T＝
－ ＝ ，
所以T＝π，所以ω＝ ＝2.
所以f（x）＝2 sin （2x＋φ）.
因为函数f（x）的图象经过点 .
所以2 sin ＝2，即 sin ＝1.
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又因为－ ＜φ＜ ，所以－ ＜ ＋φ＜ .
所以 ＋φ＝ ，所以φ＝ .
故所求函数f（x）的解析式为f（x）＝2 sin （2x＋ ）.
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（2）设0＜x＜π，且方程f（x）＝m有两个不同的实数根，求实
数m的取值范围.
解： 由题意，知方程f（x）＝m有两个不同的实数
根等价于函数f（x）＝2 sin
的图象与g（x）＝m的图象有两个不同的交点.
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因为0＜x＜π，易画出函数f（x）＝2 sin
的图象与函数g（x）＝m的图象
（如图所示）.
依据图象可知：
当－2＜m＜1或1＜m＜2时，直线g（x）＝m与曲线f（x）＝2 sin 有两个不同的交点，
即方程f（x）＝m有两个不同的实数根，
故所求实数m的取值范围为（－2，1）∪（1，2）.
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13. 若将函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平
移 个单位长度（纵坐标不变），得到函数g（x）＝ sin
的图象，则ω的最小值为 .
解析：f（x）＝ sin ωx（ω＞0）图象上所有点的横坐标向右平
移 个单位长度得y＝ sin ，则y＝ sin 和g
（x）＝ sin 相同，所以 ＝ ＋2kπ，k∈Z，解得ω＝
＋6k，k∈Z，因为ω＞0，所以当k＝0时，ω的最小值为 .
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14. 函数y＝f（x）的图象与直线x＝a，x＝b及x轴所围成图形的面
积称为函数f（x）在[a，b]上的面积.已知函数y＝ sin nx在
上的面积为 （n∈N＋）.
（1）求函数y＝ sin 3x在 上的面积；
解： y＝ sin 3x在［0， ］上的图象如
图所示，
由函数y＝ sin 3x在［0， π］上的面积为 ，所以在［0， π］上的面积为 .
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（2）求函数y＝ sin （3x－π）＋1在 上的面积.
解： 结合（1），由图可知阴影面积为S＝SABCD＋ ＝
π＋ .
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谢 谢 观 看！7.3.2 正弦型函数的性质与图象
新课程标准解读 核心素养
1.了解正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）的实际意义及各参数对图象变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等 数学抽象、数学运算
2.会用“图象变换法”作正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象 数学运算、直观想象
第一课时 正弦型函数的图象
在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin（ωx＋φ）的函数.如图①所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象.
将测得的图象放大，如图②所示，可以看出它和正弦曲线很相似.那么函数y＝Asin（ωx＋φ）与函数y＝sin x有什么关系呢？
【问题】 （1）函数y＝Asin（ωx＋φ）的周期、最值分别受哪些量的影响？
（2）如何作出函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象？
知识点一 正弦型函数
1.形如y＝Asin（ωx＋φ）（其中A，ω，φ都是常数）的函数，通常叫做正弦型函数.
2.函数y＝Asin（ωx＋φ）（其中A≠0，ω＞0，x∈R）的周期T＝ ，频率f＝ ，初相为 ，值域为 ， 也称为振幅，｜A｜的大小反映了y＝Asin（ωx＋φ）的波动幅度的大小.
知识点二 A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响
1.φ对函数y＝sin（x＋φ）图象的影响
2.ω对函数y＝sin（ωx＋φ）图象的影响
3.A对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响
提醒 在进行图象变换时，先平移后伸缩与先伸缩后平移是两种不同的变换，且这两种变换中，平移的单位长度不同，前者平移了｜φ｜个单位长度，而后者平移了个单位长度，这是因为由y＝sin ωx的图象变换为y＝sin（ωx＋φ）的图象的过程中，各点的横坐标增加或减少了个单位长度，即y＝sin ωx的图象y＝sin＝sin（ωx＋φ）的图象.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象.（ ）
（2）将函数y＝sin x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到函数y＝2sin x的图象.（ ）
（3）函数y＝2sin 2x的振幅为2.（ ）
2.函数f（x）＝sin的最小正周期为（ ）
A. B.π
C.2π D.4π
3.要得到y＝sin的图象，只要将y＝sin x的图象（ ）
A.向右平移个单位 B.向左平移个单位
C.向上平移个单位 D.向下平移个单位
4.已知函数y＝3sin（x＋），则该函数的振幅、初相分别是 ， .
题型一 正弦型函数图象的变换
【例1】 （1）函数y＝cos的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的？
（2）函数y＝2sin－2的图象是由函数y＝sin x的图象通过怎样的变换得到的？
尝试解答
通性通法
三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略
（1）确定函数y＝sin x的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x”而言；
（2）已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位.
【跟踪训练】
1.先将函数y＝sin x的图象上各点向右平移个单位，再将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）
A.y＝sin B.y＝sin
C.y＝sin D.y＝sin
2.为了得到函数y＝sin，x∈R的图象，只需把函数y＝sin x，x∈R的图象上所有的点：
①向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）；②向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）；③向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）；④向右平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）.
其中正确的是 .
题型二 求正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
【例2】 （多选）如图是函数y＝sin（ωx＋φ）的部分图象，则sin（ωx＋φ）＝（ ）
A.sin B.sin
C.cos D.cos
尝试解答
通性通法
根据函数的部分图象求解析式的方法
（1）直接由图象确定振幅和周期，则可确定函数式y＝Asin（ωx＋φ）中的参数A和ω，再选取最大值点的数据代入ωx＋φ＝2kπ＋，k∈Z，结合φ的范围求出φ；
（2）通过若干特殊点代入函数式，解方程组求相关待定系数A，ω，φ；
（3）运用逆向思维的方法，先确定函数的基本函数式y＝Asin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数.
【跟踪训练】
函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））的图象如图所示，则f（1）＝（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
1.函数y＝2sin的周期、振幅依次是（ ）
A.6π，－2 B.6π，2
C.π，2 D.π，－2
2.为了得到函数y＝3sin的图象，只要把函数y＝3sin图象上的所有点（ ）
A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
3.如图是函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π）的图象的一部分，试求该函数的解析式.
第一课时 正弦型函数的图象
【基础知识·重落实】
知识点一
2. φ [－｜A｜，｜A｜] ｜A｜
知识点二
1.左 右 2.缩短 伸长 3.伸长 缩短
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√
2.D 函数的最小正周期T＝＝4π.
3.B 将y＝sin x的图象向左平移个单位可得到y＝sin的图象.
4.3
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）y＝cos＝sin＝sin，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度得到.
（2）
跟踪训练
1.C 将函数y＝sin x所有的点向右平移个单位，所得图象的函数解析式为y＝sin，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin，故选C.
2.③ 解析：y＝sin xy＝sin
y＝sin.
【例2】 BC 由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，∴＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y＝sin（2x＋φ），将点代入得，sin＝0，∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，故y＝sin.由于y＝sin＝sin［π－］＝sin，故选项B正确；y＝sin＝cos＝cos，选项C正确；对于选项A，当x＝时，sin＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝＝时，cos＝1≠－1，错误；当ω＝－2时，y＝sin（－2x＋φ），将代入，得sin＝0，结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin，但当x＝0时，y＝sin＝－＜0，与图象不符合，舍去.故选B、C.
跟踪训练
B 由题意可知A＝3，T＝2×（7－3）＝8，所以ω＝＝.因为函数f（x）的图象经过点（3，0），所以＋φ＝π＋2kπ（k∈Z），φ＝＋2kπ（k∈Z）.又φ∈[0，2π），所以φ＝，所以f（x）＝3sin，所以f（1）＝3.故选B.
随堂检测
1.B 振幅为2，周期为＝6π.
2.B 由函数图象的伸缩规律知，将函数y＝3sin图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝3sin的图象.故选B.
3.解：由图象可知A＝2，T＝4×（6－2）＝16，ω＝＝.
又x＝6时，×6＋φ＝2kπ，又｜φ｜＜π，所以φ＝－.
所以所求函数的解析式为y＝2sin.
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