7.3.3 余弦函数的性质与图象
1.函数y=cos x+|cos x|,x∈[0,2π]的大致图象为( )
2.下列函数中,既为偶函数又在(0,π)上单调递增的是( )
A.y=cos|x| B.y=cos|-x|
C.y=sin(x-) D.y=-sin
3.函数y=|cos x|的一个单调减区间是( )
A. B.
C. D.
4.函数y=2sin2x+2cos x-3的最大值为( )
A.-1 B.1
C.- D.-5
5.(多选)设函数f(x)=cos,则下列结论正确的是( )
A.f(x)的一个周期可为-2π
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)在上单调递减
D.f(x+π)的一个零点为x=
6.已知m是函数f(x)=cos x图象的一个对称中心的横坐标,则f(m)=( )
A.-1 B.0
C. D.1
7.函数 (x)=3cos(ω>0)的最小正周期为,则 (π)= .
8.将函数y=cos的图象向左平移个单位长度,则所得图象的解析式为 .
9.函数y=Acos(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<)的图象在同一周期内有最高点,最低点,则该函数的解析式为 .
10.已知函数y1=a-bcos x的最大值是,最小值是-,求函数y=-4asin 3bx的最大值.
11.(多选)对于函数f(x)=下列说法中不正确的是( )
A.该函数的值域是[-1,1]
B.当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时,函数取得最大值1
C.当且仅当x=2kπ-(k∈Z)时,函数取得最小值-1
D.当且仅当2kπ+π<x<2kπ+(k∈Z)时,f(x)<0
12.已知函数f(x)=acos x+b的最大值为1,最小值为-3,则函数g(x)=bsin x+a的最大值为 ,最小值为 .
13.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若x∈,求f(x)的取值范围.
14.重庆是西部大开发重要的战略支点、“一带一路”和长江经济带重要联结点以及内陆开放高地;重庆是享誉世界的山城,雾都和英雄城,近年来又以桥都扬名世界.重庆有数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸,其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥,其主体造型为:拱桥部分(开口向下的抛物线)与主桁(图中粗线)部分(可视为余弦函数一个周期的图象)相结合.已知桥拱部分跨度长552 m,两端引桥各长190 m,主桁最高处距离桥面89.5 m,则下列函数中,将其图象上每一点的横、纵坐标等倍扩大后所得到的图象,与朝天门长江大桥主桁形状最接近的是( )
A.y=0.45cos x B.y=4.5cos x
C.y=0.9cos x D.y=9cos x
15.已知函数f(x)=2cos ωx(ω>0),且函数y=f(x)的图象的相邻两条对称轴间的距离为.
(1)求f的值;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,求y=g(x)的单调递减区间.
7.3.3 余弦函数的性质与图象
1.D 由题意得y=显然只有D合适.
2.C y=cos|x|在上是减函数,排除选项A;y=cos|-x|=cos|x|,排除选项B;y=sin=-sin=-cos x,是偶函数,且在(0,π)上单调递增,选项C符合题意;y=-sin 在(0,π)上是单调递减的.故选C.
3.C 作出函数y=|cos x|的图象如图所示,由图象可知,A、B都不是单调区间,D是单调增区间,C是单调减区间.
4.C 由题意,得y=2sin2x+2cos x-3=2(1-cos2x)+2cos x-3=-2-.因为-1≤cos x≤1,所以当cos x=时,函数有最大值-.
5.ABD 函数f(x)=cos,则函数的周期为π的倍数,故A正确.当x=时,f=-1,故f(x)的图象关于直线x=对称,故B正确.f(x)的单调递减区间为,故C错误.f=cos=0,故f(x+π)的一个零点为x=,故D正确.
6.B 函数f(x)=cos x图象的对称中心的横坐标为x=+kπ,k∈Z,则m=+kπ,k∈Z,从而f(m)=f=cos=0.
7.- 解析:由已知=得ω=3,∴ (x)=3cos,
∴ (π)=3cos=3cos=-3cos=-.
8.y=-cos 2x 解析:将函数y=cos的图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数为y=cos[2+]=cos(2x+π)=-cos 2x.
9.y=4cos-1 解析:∵2A=3-(-5)=8,∴A=4.
∵2b=3+(-5)=-2,∴b=-1.
又=-=,∴T=π,∴ω==2.
∴y=4cos(2x+φ)-1.
又函数的图象过点,从而3=4cos(2×+φ)-1,
∴cos=1,即+φ=2kπ,k∈Z,∴φ=-+2kπ,k∈Z,
又|φ|<,∴φ=-,∴y=4cos-1.
10.解:∵函数y1的最大值是,最小值是-,当b>0时,由题意得∴当b<0时,由题意得∴因此函数y=-2sin 3x或y=2sin 3x的最大值均为2.
11.ABC 画出函数f(x)的图象(如图),由图象容易看出:该函数的值域是;当x=2kπ+或x=2kπ,k∈Z时,函数取得最大值1;当且仅当x=2kπ+,k∈Z时,函数取得最小值-;当且仅当2kπ+π<x<2kπ+,k∈Z时,f(x)<0,可知A、B、C不正确.
12.-1或3 1或-3 解析:由题意知或解得或故函数g(x)的最大值为a-b=a+1,即最大值为3或-1,函数g(x)的最小值为a+b=a-1,即最小值为1或-3.
13.解:(1)由题图知A=2,=-=,
∴T=π,∴ω=2.
∴f(x)=2cos(2x+φ).
又f(x)过点代入得2cos=2,
∴cos=1,
∴+φ=2kπ,k∈Z,
∴φ=-+2kπ,k∈Z,
又|φ|<,∴φ=-.
∴f(x)=2cos.
(2)∵x∈,∴2x-∈,
∴cos∈,
∴f(x)∈(-,2].
∴当x∈时,f(x)的取值范围是(-,2].
14.A 由题意,建立平面直角坐标系,如图所示:
则f(x)=Acos ωx,其中A=≈45,T=552+190+190=932≈900,若按100∶1的比例缩小,则A'=0.45,T'=9,ω=≈=,所以函数y=0.45cosx.故选A.
15.解:(1)由题意可知=π,故ω=2,则f(x)=2cos 2x,故f=2cos =.
(2)将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到y=f的图象,再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),得到y=f的图象,故g(x)=f=2cos[2(-)]=2cos.
当2kπ≤-≤2kπ+π(k∈Z),即4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z)时,y=g(x)单调递减,故y=g(x)的单调递减区间为(k∈Z).
2 / 27.3.3 余弦函数的性质与图象
新课程标准解读 核心素养
1.会用“五点法”“图象变换法”作余弦函数y=cos x和y=Acos(ωx+φ)的图象 逻辑推理
2.理解余弦函数的性质,会求余弦函数的周期、单调区间及最值 直观想象、数学运算
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车的运动包含了许多物理学原理,人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理.如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果,那感觉真是妙不可言.一个基本的过山车构造中,包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)等几个循环路径.
【问题】 (1)函数y=cos x的图象也像过山车一样“爬升”“滑落”,这是它的什么性质?
(2)过山车爬升到最高点,接着滑落到最低点,然后再爬升,对应y=cos x的什么性质?y=cos x在什么位置取得最值?
知识点一 余弦函数的图象
1.余弦函数
对于任意一个角x,都有 确定的余弦cos x与之对应,所以y=cos x是一个函数,一般称为 .
2.余弦函数y=cos x图象的画法
(1)平移法:由cos x=sin知,余弦函数y=cos x 的图象可以通过将正弦曲线y=sin x向 平移 个单位得到;
(2)五点法:函数y=cos x在[0,2π]内的图象的五个关键点分别是:(0,1),, , ,(2π,1).
提醒 正(余)弦函数图象的说明:比较正弦函数y=sin x、余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象,二者的图象的最低点都只有一个;余弦函数的图象与x轴的交点有两个,而正弦函数的图象与x轴的交点有三个;余弦函数图象的最高点有两个,而正弦函数图象的最高点只有一个.
【想一想】
函数y=sin x的图象向右平移能得到函数y=cos x的图象吗?
用“五点法”作函数y=cos 2x,x∈R的图象时,首先应描出的五个点的横坐标是( )
A.0,,π,,2π B.0,,,,π
C.0,π,2π,3π,4π D.0,,,,
知识点二 余弦函数的性质
函数 y=cos x
定义域 R
值域 [-1,1]
最值 当x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1; 当x=(2k+1)π(k∈Z)时,ymin=-1
周期性 是周期函数,最小正周期为2π
奇偶性 是偶函数,图象关于y轴对称
单调性 当x∈[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)时,函数单调递增; 当x∈[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)时,函数单调递减
零点 +kπ(k∈Z)
图象的 对称性 对称中心为点,k∈Z; 对称轴为直线x=kπ,k∈Z
【想一想】
1.余弦函数的零点对应正弦函数的哪个性质?
2.余弦型函数y=Acos(ωx+φ)的周期是多少?
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)余弦函数在区间上是单调递增的.( )
(2)方程2cos x+3=0一定有解.( )
(3)函数y=cos的一条对称轴为.( )
2.函数y=1-2cos x的最小值,最大值分别是( )
A.-1,3 B.-1,1
C.0,3 D.0,1
3.函数y=cos的单调递减区间是 .
题型一 余弦型函数的图象
【例1】 用“五点法”作函数y=3-2cos x,x∈[0,2π]的简图.
尝试解答
通性通法
1.“五点法”作余弦函数y=cos x图象的策略
(1)“五点法”作图的实质是选取函数的一个周期,将其四等分,分别找出图象的最高点、最低点等五个关键点,由这五个点大致确定图象的位置和形状.连线要保持光滑,注意凸凹方向;
(2)五个关键点的确定:使函数中x取0,,π,,2π,然后求出相应的y值,再作出图象.
2.余弦函数图象变换技巧
当函数不是同名函数时,要先化为同名函数,再进行图象变换.在变换时要注意两点:一是平移变换的规则,“左加右减”“上加下减”;二是对于先伸缩后平移变换中,要注意函数y=cos(ωx+φ)(ω>0)中ω的值.
【跟踪训练】
用“五点法”作出函数y=cos,x∈的简图.
题型二 余弦型函数的单调性
【例2】 (1)函数f(x)=5cos的一个单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
(2)设a=cos ,b=sin ,c=cos ,则( )
A.a>c>b B.c>b>a
C.c>a>b D.b>c>a
尝试解答
通性通法
1.余弦型函数单调区间的求法
(1)如果x的系数为负,则利用诱导公式变为正;
(2)将ωx+φ看作整体,代入到余弦函数的单调区间解出x的范围;
(3)若求具体的或一个范围内的单调区间,则给k赋值,即可求出符合条件的单调区间.
2.关于三角函数值比较大小
利用诱导公式,统一成正弦或余弦函数,统一化到一个单调区间内,利用单调性比较大小.
【跟踪训练】
1.函数y=-3cos x-1的单调递减区间是 .
2.比较大小:cos π cos π.
题型三 余弦函数的最值问题
角度1 定区间上求值域
【例3】 求函数f(x)=cos x,x∈上的值域.
尝试解答
【母题探究】
(变条件)若将本例中的函数变为g(x)=cos,区间不变,求函数的值域.
通性通法
求定区间上余弦函数的值域
求定区间上的值域:可先计算t=ωx+φ的范围,根据y=cos t在所求出的范围内的单调性求值域.
角度2 与二次函数结合求最值
【例4】 求函数y=sin2x+cos x的值域.
尝试解答
通性通法
与余弦函数有关的最值问题
(1)求在R上的值域:当余弦在1或-1处取得最值,可直接代入验证,或分情况代入;
(2)关于余弦的二次式求最值:可用换元法,配方法求最值.
【跟踪训练】
函数y=sin2x+cos x的值域为 .
题型四 余弦型函数的奇偶性与对称性
【例5】 已知函数y=2cos.
(1)在该函数的对称轴中,求离y轴距离最近的那条对称轴的方程;
(2)把该函数的图象向右平移φ个单位后,图象关于原点对称,求φ的最小正值.
尝试解答
通性通法
关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论
(1)f(x)=Asin(ωx+φ)(或Acos(ωx+φ))的图象关于x=x0对称 f(x0)=A或-A;
(2)f(x)=Asin(ωx+φ)(或Acos(ωx+φ))的图象关于点(x0,0)中心对称 f(x0)=0.
【跟踪训练】
1.设函数f(x)=sin,x∈R,则f(x)是( )
A.最小正周期为π的奇函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数
D.最小正周期为的偶函数
2.若函数y=cos(ω∈N+)图象的一个对称中心是,则ω的最小值为( )
A.1 B.2
C.4 D.8
1.函数y=1-cos x,x∈[0,2π]的大致图象为( )
2.(多选)下列函数中,最小正周期为π的有( )
A.y=cos|2x| B.y=|cos x|
C.y=cos D.y=sin
3.比较大小:
(1)cos 15° cos 35°;
(2)cos cos.
4.求函数y=3-2cos的对称中心坐标,对称轴方程.
7.3.3 余弦函数的性质与图象
【基础知识·重落实】
知识点一
1.唯一 余弦函数 2.(1)左 (2)(π,-1)
想一想
提示:能.向右平移个单位.
自我诊断
B 令2x=0,,π,和2π,得x=0,,,,π,故选B.
知识点二
想一想
1.提示:余弦函数的零点对应正弦函数的对称轴.
2.提示:T=.
自我诊断
1.(1)× (2)× (3)×
2.A ∵-1≤cos x≤1,∴-1≤y≤3.
3.(k∈Z) 解析:由2kπ≤x-≤2kπ+π可得:2kπ+≤x≤2kπ+π+,即2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z).
【典型例题·精研析】
【例1】 解:按五个关键点列表、描点画出图象(如图).
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
y=3-2cos x 1 3 5 3 1
跟踪训练
解:列表如下:
x -
μ=x+ 0 π 2π
y=cos μ 1 0 -1 0 1
描点作图(如图).
【例2】 (1)B (2)A 解析:(1)f(x)=5cos,由2kπ≤3x+≤π+2kπ(k∈Z),得-≤x≤+(k∈Z),所以是f(x)的一个单调递减区间.
(2)sin =sin=-sin =sin =cos ,cos =cos=cos=cos ,因为y=cos x在上是减函数,所以cos >cos >cos ,即a>c>b.
跟踪训练
1.[-π+2kπ,2kπ](k∈Z) 解析:∵函数y=cos x的单调递增区间是[-π+2kπ,2kπ](k∈Z),∴函数y=-3cos x-1的单调递减区间是[-π+2kπ,2kπ](k∈Z).
2.> 解析:∵cos π=cos=cos ,cos =cos=cos ,而0<<<,∴cos >cos ,即cos >cos .
【例3】 解:由余弦函数的性质可知,f(x)=cos x在上递增,在上递减,
又因为f=,f(0)=1,f=,
所以函数的最大值为1,最小值为,
故值域为.
母题探究
解:因为-≤x≤,所以-≤2x-≤,
令t=2x-,则y=cos t在区间上递增,在[0,]上递减,所以y=cos t的最大值为1,因为cos(-)=cos <cos ,
故最小值为cos=-,
故原函数的值域为.
【例4】 解:y=sin2x+cos x=1-cos2x+cos x
=-cos2x+cos x+1=-+,
令t=cos x,则y=-+,t∈[-1,1].
因为-1≤t≤1,所以当t=时,ymax=;
当t=-1时,ymin=-.
因此函数y=sin2x+cos x的值域为.
跟踪训练
解析:设cos x=t,因为-≤x≤,则t∈,所以y=1-cos2x+cos x=-+,t∈,故当t=,即x=±时,y的最大值为;当t=1,即x=0时,y的最小值为1.所以函数的值域为.
【例5】 解:(1)令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-(k∈Z).令k=0,x=-;令k=1,x=.∴函数y=2cos的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x=.
(2)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y=f(x),则f(x)=2cos=2cos.∵y=f(x)的图象关于原点(0,0)对称,∴f(0)=2cos=0.∴-2φ=kπ+,k∈Z.解得φ=-(k∈Z).令k=0,得φ=,∴φ的最小正值是.
跟踪训练
1.B ∵sin=-sin=-cos 2x,∴f(x)=-cos 2x.又f(-x)=-cos(-2x)=-cos 2x=f(x),∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.
2.B 由题意有ω+=kπ+(k∈Z),整理得ω=6k+2(k∈Z).又ω∈N+,所以ω的最小值为2,故选B.
随堂检测
1.D 可根据x∈[0,2π]取x=0,π,2π验证知选D.
2.ABC y=cos|2x|=cos 2x的最小正周期为π;y=|cos x|的最小正周期为π;y=cos的最小正周期为π;y=sin的最小正周期为2π.
3.(1)> (2)< 解析:(1)∵0°<15°<35°<90°,且当0°≤x≤90°时,y=cos x单调递减,∴cos 15°>cos 35°.
(2)∵-<-<-<0,且y=cos x在上单调递增,∴cos<cos.
4.解:由于y=cos x的对称中心坐标为(k∈Z),对称轴方程为x=kπ(k∈Z),
又由2x-=kπ+,得x=+(k∈Z);
由2x-=kπ,得x=+(k∈Z),
故y=3-2cos的对称中心坐标为(+,3)(k∈Z),
对称轴方程为x=+(k∈Z).
5 / 5(共68张PPT)
7.3.3
余弦函数的性质与图象
新课程标准解读 核心素养
1.会用“五点法”“图象变换法”作余弦函数y=
cos x和y=A cos (ωx+φ)的图象 逻辑推理
2.理解余弦函数的性质,会求余弦函数的周期、单
调区间及最值 直观想象、
数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰
电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车的
运动包含了许多物理学原理,人们在设计过山车
时巧妙地运用了这些原理.如果能亲身体验一下
由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果,那感觉真是妙不可言.一个基本的过山车构造中,包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)等几个循环路径.
【问题】 (1)函数y= cos x的图象也像过山车一样“爬升”“滑
落”,这是它的什么性质?
(2)过山车爬升到最高点,接着滑落到最低点,然后再爬升,对应y
= cos x的什么性质?y= cos x在什么位置取得最值?
知识点一 余弦函数的图象
1. 余弦函数
对于任意一个角x,都有 确定的余弦 cos x与之对应,所
以y= cos x是一个函数,一般称为 .
2. 余弦函数y= cos x图象的画法
(1)平移法:由 cos x= sin 知,余弦函数y= cos x 的
图象可以通过将正弦曲线y= sin x向 平移 个
单位得到;
唯一
余弦函数
左
(2)五点法:函数y= cos x在[0,2π]内的图象的五个关键点分别
是:(0,1), , , ,
(2π,1).
提醒 正(余)弦函数图象的说明:比较正弦函数y= sin
x、余弦函数y= cos x,x∈[0,2π]的图象,二者的图象的
最低点都只有一个;余弦函数的图象与x轴的交点有两个,
而正弦函数的图象与x轴的交点有三个;余弦函数图象的最
高点有两个,而正弦函数图象的最高点只有一个.
(π,-1)
【想一想】
函数y= sin x的图象向右平移能得到函数y= cos x的图象吗?
提示:能.向右平移 个单位.
用“五点法”作函数y= cos 2x,x∈R的图象时,首先应描出的五
个点的横坐标是( )
C. 0,π,2π,3π,4π
解析: 令2x=0, ,π, 和2π,得x=0, , , ,π,故
选B.
知识点二 余弦函数的性质
函数 y= cos x
定义域 R
值域 [-1,1]
最值 当x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1;当x=(2k+1)π
(k∈Z)时,ymin=-1
周期性 是周期函数,最小正周期为2π
奇偶性 是偶函数,图象关于y轴对称
函数 y= cos x
单调性 当x∈[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)时,函数单调递
增;当x∈[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)时,函数单
调递减
零点
图象的对称性
【想一想】
1. 余弦函数的零点对应正弦函数的哪个性质?
提示:余弦函数的零点对应正弦函数的对称轴.
2. 余弦型函数y=A cos (ωx+φ)的周期是多少?
提示:T= .
1. 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)余弦函数在区间 上是单调递增的. ( × )
(2)方程2 cos x+3=0一定有解. ( × )
(3)函数y= cos 的一条对称轴为 . ( × )
×
×
×
2. 函数y=1-2 cos x的最小值,最大值分别是( )
A. -1,3 B. -1,1
C. 0,3 D. 0,1
解析: ∵-1≤ cos x≤1,∴-1≤y≤3.
3. 函数y= cos 的单调递减区间是
.
解析:由2kπ≤x- ≤2kπ+π可得:2kπ+ ≤x≤2kπ+π+ ,
即2kπ+ ≤x≤2kπ+ (k∈Z).
(k∈Z)
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 余弦型函数的图象
【例1】 用“五点法”作函数y=3-2 cos x,x∈[0,2π]的简图.
解:按五个关键点列表、描点画出图象(如图).
x 0 π 2π
cos x 1 0 -1 0 1
y=3-2
cos x 1 3 5 3 1
通性通法
1. “五点法”作余弦函数y= cos x图象的策略
(1)“五点法”作图的实质是选取函数的一个周期,将其四等
分,分别找出图象的最高点、最低点等五个关键点,由这五
个点大致确定图象的位置和形状.连线要保持光滑,注意凸凹
方向;
(2)五个关键点的确定:使函数中x取0, ,π, ,2π,然后
求出相应的y值,再作出图象.
2. 余弦函数图象变换技巧
当函数不是同名函数时,要先化为同名函数,再进行图象变换.在
变换时要注意两点:一是平移变换的规则,“左加右减”“上加下
减”;二是对于先伸缩后平移变换中,要注意函数y= cos (ωx+
φ)(ω>0)中ω的值.
【跟踪训练】
用“五点法”作出函数y= cos (x+ ),x∈[- , π]的
简图.
解:列表如下:
x
0 π 2π
y= cos μ 1 0 -1 0 1
描点作图(如图).
题型二 余弦型函数的单调性
【例2】 (1)函数f(x)=5 cos 的一个单调递减区间是
( )
解析: f(x)=5 cos ,由2kπ≤3x+ ≤π+
2kπ(k∈Z),得 - ≤x≤ + (k∈Z),所以
是f(x)的一个单调递减区间.
(2)设a= cos ,b= sin ,c= cos ,则( )
A. a>c>b B. c>b>a
C. c>a>b D. b>c>a
解析: sin = sin =- sin = sin = cos , cos
= cos = cos = cos ,因为y= cos x在 上
是减函数,所以 cos > cos > cos ,即a>c>b.
通性通法
1. 余弦型函数单调区间的求法
(1)如果x的系数为负,则利用诱导公式变为正;
(2)将ωx+φ看作整体,代入到余弦函数的单调区间解出x的
范围;
(3)若求具体的或一个范围内的单调区间,则给k赋值,即可求
出符合条件的单调区间.
2. 关于三角函数值比较大小
利用诱导公式,统一成正弦或余弦函数,统一化到一个单调区间
内,利用单调性比较大小.
【跟踪训练】
1. 函数y=-3 cos x-1的单调递减区间是
.
解析:∵函数y= cos x的单调递增区间是[-π+2kπ,2kπ]
(k∈Z),∴函数y=-3 cos x-1的单调递减区间是[-π+2kπ,
2kπ](k∈Z).
[-π+2kπ,2kπ]
(k∈Z)
2. 比较大小: cos π cos π.
解析:∵ cos π= cos = cos , cos = cos
= cos ,而0< < < ,∴ cos > cos ,即 cos > cos
.
>
题型三 余弦函数的最值问题
角度1 定区间上求值域
【例3】 求函数f(x)= cos x,x∈ 上的值域.
解:由余弦函数的性质可知,f(x)= cos x在 上递增,在
上递减,
又因为f = ,f(0)=1,f = ,
所以函数的最大值为1,最小值为 ,
故值域为 .
【母题探究】
(变条件)若将本例中的函数变为g(x)= cos (2x- ),区间
不变,求函数的值域.
解:因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x- ≤ ,
令t=2x- ,则y= cos t在区间 上递增,在 上递
减,所以y= cos t的最大值为1,因为 cos = cos < cos ,
故最小值为 cos =- ,
故原函数的值域为 .
通性通法
求定区间上余弦函数的值域
求定区间上的值域:可先计算t=ωx+φ的范围,根据y= cos t在
所求出的范围内的单调性求值域.
角度2 与二次函数结合求最值
【例4】 求函数y= sin 2x+ cos x的值域.
解:y= sin 2x+ cos x=1- cos 2x+ cos x
=- cos 2x+ cos x+1=- + ,
令t= cos x,则y=- + ,t∈[-1,1].
因为-1≤t≤1,所以当t= 时,ymax= ;
当t=-1时,ymin=- .
因此函数y= sin 2x+ cos x的值域为 .
通性通法
与余弦函数有关的最值问题
(1)求在R上的值域:当余弦在1或-1处取得最值,可直接代入验
证,或分情况代入;
(2)关于余弦的二次式求最值:可用换元法,配方法求最值.
【跟踪训练】
函数y= sin 2x+ cos x 的值域为 .
解析:设 cos x=t,因为- ≤x≤ ,则t∈ ,所以y=1-
cos 2x+ cos x=-(t- )2+ ,t∈[ ,1],故当t= ,即x
=± 时,y的最大值为 ;当t=1,即x=0时,y的最小值为1.
所以函数的值域为 .
题型四 余弦型函数的奇偶性与对称性
【例5】 已知函数y=2 cos .
(1)在该函数的对称轴中,求离y轴距离最近的那条对称轴的方程;
解: 令2x+ =kπ,k∈Z,解得x= - (k∈Z).
令k=0,x=- ;令k=1,x= .∴函数y=2 cos
的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x= .
(2)把该函数的图象向右平移φ个单位后,图象关于原点对称,求φ
的最小正值.
解: 设该函数向右平移φ个单位后解析式为y=f(x),
则f(x)=2 cos =2 cos (2x+ -
2φ).∵y=f(x)的图象关于原点(0,0)对称,∴f(0)=
2 cos =0.∴ -2φ=kπ+ ,k∈Z. 解得φ= -
(k∈Z).令k=0,得φ= ,∴φ的最小正值是 .
通性通法
关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论
(1)f(x)=A sin (ωx+φ)(或A cos (ωx+φ))的图象关于x
=x0对称 f(x0)=A或-A;
(2)f(x)=A sin (ωx+φ)(或A cos (ωx+φ))的图象关于
点(x0,0)中心对称 f(x0)=0.
【跟踪训练】
1. 设函数f(x)= sin ,x∈R,则f(x)是( )
A. 最小正周期为π的奇函数
B. 最小正周期为π的偶函数
解析: ∵ sin =- sin =- cos 2x,∴f(x)
=- cos 2x.又f(-x)=- cos (-2x)=- cos 2x=f(x),
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.
2. 若函数y= cos (ω∈N+)图象的一个对称中心是
,则ω的最小值为( )
A. 1 B. 2
C. 4 D. 8
解析: 由题意有 ω+ =kπ+ (k∈Z),整理得ω=6k+2
(k∈Z).又ω∈N+,所以ω的最小值为2,故选B.
1. 函数y=1- cos x,x∈[0,2π]的大致图象为( )
解析: 可根据x∈[0,2π]取x=0,π,2π验证知选D.
2. (多选)下列函数中,最小正周期为π的有( )
A. y= cos |2x| B. y=| cos x|
解析: y= cos |2x|= cos 2x的最小正周期为π;y=|
cos x|的最小正周期为π;y= cos (2x+ )的最小正周期为π;
y= sin 的最小正周期为2π.
3. 比较大小:
(1) cos 15° cos 35°;
解析: ∵0°<15°<35°<90°,且当0°≤x≤90°
时,y= cos x单调递减,∴ cos 15°> cos 35°.
(2) cos cos .
解析: ∵- <- <- <0,且y= cos x在[- ,
0]上单调递增,∴ cos < cos .
>
<
4. 求函数y=3-2 cos 的对称中心坐标,对称轴方程.
解:由于y= cos x的对称中心坐标为 (k∈Z),对
称轴方程为x=kπ(k∈Z),
又由2x- =kπ+ ,得x= + (k∈Z);
由2x- =kπ,得x= + (k∈Z),
故y=3-2 cos 的对称中心坐标为
(k∈Z),
对称轴方程为x= + (k∈Z).
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
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1. 函数y= cos x+| cos x|,x∈[0,2π]的大致图象为( )
解析: 由题意得y=
显然只有D合适.
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2. 下列函数中,既为偶函数又在(0,π)上单调递增的是( )
A. y= cos |x| B. y= cos |-x|
解析: y= cos |x|在 上是减函数,排除选项A;y=
cos |-x|= cos |x|,排除选项B;y= sin =- sin
=- cos x,是偶函数,且在(0,π)上单调递增,选项C
符合题意;y=- sin 在(0,π)上是单调递减的.故选C.
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3. 函数y=| cos x|的一个单调减区间是( )
解析: 作出函数y=| cos x|的
图象如图所示,由图象可知,A、B
都不是单调区间,D是单调增区间,
C是单调减区间.
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4. 函数y=2 sin 2x+2 cos x-3的最大值为( )
A. -1 B. 1
D. -5
解析: 由题意,得y=2 sin 2x+2 cos x-3=2(1- cos 2x)+
2 cos x-3=-2 - .因为-1≤ cos x≤1,所以当 cos x
= 时,函数有最大值- .
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5. (多选)设函数f(x)= cos ,则下列结论正确的是
( )
A. f(x)的一个周期可为-2π
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解析: 函数f(x)= cos ,则函数的周期为π的倍
数,故A正确.当x= 时,f =-1,故f(x)的图象关于直
线x= 对称,故B正确.f(x)的单调递减区间为 ,故C错误.f = cos =0,故f(x+π)的一个
零点为x= ,故D正确.
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6. 已知m是函数f(x)= cos x图象的一个对称中心的横坐标,则f
(m)=( )
A. -1 B. 0
D. 1
解析: 函数f(x)= cos x图象的对称中心的横坐标为x= +
kπ,k∈Z,则m= +kπ,k∈Z,从而f(m)=f =
cos =0.
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7. 函数 (x)=3 cos (ω>0)的最小正周期为 ,则
(π)= .
解析:由已知 = 得ω=3,∴ (x)=3 cos ,∴
(π)=3 cos =3 cos =-3 cos =- .
-
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8. 将函数y= cos 的图象向左平移 个单位长度,则所得
图象的解析式为 .
解析:将函数y= cos 的图象向左平移 个单位长度,
所得图象对应的函数为y= cos [2 + ]= cos (2x
+π)=- cos 2x.
y=- cos 2x
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9. 函数y=A cos (ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|< )的图象
在同一周期内有最高点 ,最低点 ,则该函数的解
析式为 .
y=4 cos -1
解析:∵2A=3-(-5)=8,∴A=4.
∵2b=3+(-5)=-2,∴b=-1.
又 = - = ,∴T=π,∴ω= =2.
∴y=4 cos (2x+φ)-1.
又函数的图象过点 ,从而3=4 cos (2× +φ)-1,
∴ cos =1,即 +φ=2kπ,k∈Z,∴φ=- +2kπ,k∈Z,
又|φ|< ,∴φ=- ,∴y=4 cos -1.
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10. 已知函数y1=a-b cos x的最大值是 ,最小值是- ,求函数y=
-4a sin 3bx的最大值.
解:∵函数y1的最大值是 ,最小值是- ,当b>0时,由题意得
∴当b<0时,由题意得
∴因此函数y=-2 sin 3x或y=2 sin 3x的
最大值均为2.
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11. (多选)对于函数f(x)=下列说法中不
正确的是( )
A. 该函数的值域是[-1,1]
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解析: 画出函数f(x)的图象
(如图),由图象容易看出:该函数
的值域是 ;当x=2kπ+
或x=2kπ,k∈Z时,函数取得最大值1;当且仅当x=2kπ+ ,k∈Z时,函数取得最小值- ;当且仅当2kπ+π<x<2kπ+ ,k∈Z时,f(x)<0,可知A、B、C不正确.
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12. 已知函数f(x)=a cos x+b的最大值为1,最小值为-3,则函
数g(x)=b sin x+a的最大值为 ,最小值为
.
-1或3
1或-
3
解析:由题意知或解得
或故函数g(x)的最大值为a-b=a+1,即最大值
为3或-1,函数g(x)的最小值为a+b=a-1,即最小值为1
或-3.
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13. 已知函数f(x)=A cos (ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )
的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
解: 由题图知A=2, = - = ,
∴T=π,∴ω=2.
∴f(x)=2 cos (2x+φ).
又f(x)过点 代入得2 cos =2,
∴ cos =1,
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∴ +φ=2kπ,k∈Z,
∴φ=- +2kπ,k∈Z,
又|φ|< ,∴φ=- .
∴f(x)=2 cos .
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(2)若x∈ ,求f(x)的取值范围.
解: ∵x∈ ,
∴2x- ∈ ,
∴ cos ∈ ,
∴f(x)∈(- ,2].
∴当x∈ 时,f(x)的取值范围是
(- ,2].
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14. 重庆是西部大开发重要的战略支点、“一带一路”和长江经济带
重要联结点以及内陆开放高地;重庆是享誉世界的山城,雾都和
英雄城,近年来又以桥都扬名世界.重庆有数十座各式各样的大桥
横跨长江、嘉陵江两岸,其中朝天门长江大桥是世界第一大拱
桥,其主体造型为:拱桥部分(开口向下的抛物线)与主桁(图
中粗线)部分(可视为余弦函数一个周期的图象)相结合.已知桥
拱部分跨度长552 m,两端引桥各长190 m,主桁最高处距离桥面
89.5 m,则下列函数中,将其图象上每一点的横、纵坐标等倍扩
大后所得到的图象,与朝天门长江大桥主桁形状最接近的是( )
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解析: 由题意,
建立平面直角坐标
系,如图所示:
则f(x)=A cos
ωx,其中A= ≈45,T=552+190+190=932≈900,若按100∶1的比例缩小,则A'=0.45,T'=9,ω= ≈ = ,所以
函数y=0.45 cos x.故选A.
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15. 已知函数f(x)=2 cos ωx(ω>0),且函数y=f(x)的图象
的相邻两条对称轴间的距离为 .
(1)求f 的值;
解: 由题意可知 =π,故ω=2,则f(x)=2 cos
2x,故f =2 cos = .
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(2)将函数y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后,再将得
到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不
变),得到函数y=g(x)的图象,求y=g(x)的单调
递减区间.
解: 将y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后,
得到y=f 的图象,再将得到的函数图象上各点的横
坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),得到y=f 的
图象,故g(x)=f( - )=2 cos =2 cos
.
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当2kπ≤ - ≤2kπ+π(k∈Z),即4kπ+ ≤x≤4kπ+
(k∈Z)时,y=g(x)单调递减,故y=g(x)的单调递减区间
为[4kπ+ ,4kπ+ ](k∈Z).
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谢 谢 观 看!