7.3.4 正切函数的性质与图象(课件 学案 练习)高中数学人教B版(2019)必修 第二册

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名称 7.3.4 正切函数的性质与图象(课件 学案 练习)高中数学人教B版(2019)必修 第二册
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资源类型 教案
版本资源 人教B版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-05 22:35:03

文档简介

7.3.4 正切函数的性质与图象
1.函数f(x)=|tan 2x|是(  )
A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数
C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数
2.当x∈时,函数y=tan|x|的图象(  )
A.关于原点对称 B.关于y轴对称
C.关于x轴对称 D.没有对称轴
3.(多选)若直线y=m(m为常数)与函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支相交于A,B两点,且|AB|=,则(  )
A.函数f(x)的最小正周期为
B.ω=4
C.函数f(x)图象的对称中心的坐标为(,0)(k∈Z)
D.函数|f(x)|图象的对称轴方程均可表示为x=(k∈Z)
4.函数y=tan在一个周期内的图象是下图中的(  )
5.函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=1所得的线段长为,则f的值是(  )
A.0    B. C.1    D.
6.(多选)下列说法错误的是(  )
A.函数y=tan x的所有对称中心是(kπ,0)(k∈Z)
B.直线y=a与正切函数y=tan x图象相邻两交点之间的距离为π
C.y=2tan x,x∈的值域为[0,+∞)
D.y=tan x在其定义域上是增函数
7.函数y=的定义域为    .
8.若函数f(x)=2tan的最小正周期T满足1<T<2,则自然数k的值为    .
9.函数y=tan的最小正周期为    ,其图象的对称中心为    .
10.已知函数f(x)=3tan.
(1)求f(x)的定义域与单调区间;
(2)比较f与f的大小.
11.已知函数y=tan ωx在内是减函数,则(  )
A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0
C.ω≥1 D.ω≤-1
12.(多选)下列关于函数y=tan的说法正确的是(  )
A.在区间上单调递增
B.最小正周期是π
C.图象关于点成中心对称
D.图象关于直线x=成轴对称
13.设函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,0<φ<),已知函数y=f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为,且图象关于点M对称.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集.
14.已知函数f(x)=tan(x+φ)的图象的一个对称中心为(,0),则φ的值为    ,最小正周期为    .
15.已知f(x)= .
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)当x∈[-π,π],且x≠±时,画出f(x)的简图,并指出函数的单调区间.
7.3.4 正切函数的性质与图象
1.D f(-x)=|tan(-2x)|=|tan 2x|=f(x)为偶函数,T=.
2.B ∵x∈,f(-x)=tan |-x|=tan |x|=f(x),∴f(x)为偶函数,即y=tan |x|的图象关于y轴对称.
3.BC ∵|AB|=,则T=,∴ω=4,故A错,B正确;令4x=kπ,k∈Z,∴x=kπ,k∈Z.∴y=tan 4x的图象的对称中心为(k∈Z),故C正确;y=|f(x)|图象的对称轴方程为x=(k∈Z),故D错.
4.A 由函数周期T==2π,排除选项B、D;将x=代入函数式中,得tan=tan 0=0.故函数图象与x轴的一个交点为.故选A.
5.D f(x)=tan ωx的图象的相邻两支截直线y=1所得的线段长度为函数的周期,所以该函数的周期是,所以=(ω>0),解得ω=4.所以f(x)=tan 4x,当x=时,f=tan=tan =.
6.AD A错,对称中心为(k∈Z);B对,同y=tan x的周期为π;C对,x∈时,tan x≥0;D错,它的单调区间只在(k∈Z)内,而不能说它在定义域内是增函数,由此可知D错.
7.(k∈Z) 解析:由题可得tan x+1≥0,即tan x≥-1,解得x∈(k∈Z).
8.2或3 解析:由T=,又1<T<2,∴k的值可取2或3.
9. (k∈Z) 解析:最小正周期T=.由=2x-(k∈Z)得x=+(k∈Z).∴对称中心为(k∈Z).
10.解:(1)由函数f(x)=3tan,
可得2x-≠kπ+求得x≠+,k∈Z,
故函数的定义域为.
令kπ-<2x-<kπ+,k∈Z,
求得-<x<+,k∈Z.
故函数的单调增区间为,k∈Z.
(2)f=3tan =-3tan <0,
f=3tan=3tan >0,
所以f<f.
11.B ∵y=tan ωx在内是减函数,∴ω<0且T=≥π.∴|ω|≤1,即-1≤ω<0.
12.BC 令kπ-<x+<kπ+,解得kπ-<x<kπ+,k∈Z,显然不满足上述关系式,故A错误;易知该函数的最小正周期为π,故B正确;令x+=,解得x=-,k∈Z,当k=1时,x=,故C正确;正切函数曲线没有对称轴,因此函数y=tan的图象也没有对称轴,故D错误.故选B、C.
13.解:(1)由题意知,函数f(x)的最小正周期为T=,即T==.
因为ω>0,所以ω=2,从而f(x)=tan(2x+φ).
因为函数y=f(x)的图象关于点M对称,
所以2×+φ=,k∈Z,即φ=+,k∈Z.
因为0<φ<,所以φ=,故f(x)=tan.
(2)由(1)知,f(x)=tan.
由-1≤tan≤,得-+kπ≤2x+≤+kπ,k∈Z,
即-+≤x≤+,k∈Z.
所以不等式-1≤f(x)≤的解集为[-+,+],k∈Z.
14.或- π 解析:由于是函数f(x)图象的对称中心,所以+φ=π,k∈Z,所以φ=π-,k∈Z,由于|φ|<,故取k=0,1,φ=-,,T=π.
15.解:(1)由函数f(x)=的解析式可得函数的定义域为关于原点对称,
又因为f(x)==,
所以f(-x)===-f(x),
所以函数f(x)=为奇函数.
(2)由(1)可得
f(x)=
其图象如图所示:
由图象可知f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为,.
2 / 27.3.4 正切函数的性质与图象
新课程标准解读 核心素养
1.了解正切函数,会画y=tan x的图象 直观想象
2.理解正切函数的性质,并能利用正切函数的图象及性质解决有关问题 数学运算、逻辑推理
孔子东游,见两小儿辩斗,问其故,一儿曰:“日初出沧沧凉凉,及其日中如探汤,此不为近者热而远者凉乎?”事实上,中午的气温较早晨高,主要原因是早晨太阳斜射大地,中午太阳直射大地.在相同的时间、相等的面积里,物体在直线状态下比在斜射状态下吸收的热量多,这就涉及太阳光和地面的角度问题.
  那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢?
  类比y=sin x,y=cos x的图象与性质.
【问题】 (1)y=tan x是周期函数吗?有最大(小)值吗?
(2)正切函数的图象是连续的吗?
                                             
                                             
                                             
                                             
知识点一 正切函数
 对于任意一个角x,只要        ,就有    确定的正切值tan x与之对应,因此y=tan x是一个函数,称为正切函数.
知识点二 正切函数的图象与性质
解析式 y=tan x
图象
定义域
值域 R
最小 正周期 π
奇偶性 奇函数
单调性 在每个开区间        上都是增函数
对称性 对称中心       
零点 kπ,k∈Z
提醒 “三点两线法”作正切函数的图象:①“三点”分别为(kπ,0),,,其中k∈Z;两线为直线x=kπ+和直线x=kπ-,其中k∈Z(两线也称为正切曲线的渐近线,即无限接近但不相交);②作图象时,只需先作出一个周期中的两条渐近线,然后描出三个点,用平滑的曲线连接得到一条曲线,最后平行移动至各个周期内即可.
【想一想】
1.正切函数在定义域上是单调函数吗?
2.正切函数只有一个对称中心吗?
3.正切曲线有无数条对称轴,其对称轴是x=+kπ(k∈Z),对吗?
 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R.(  )
(2)正切函数在R上是递增的.(  )
(3)正切曲线是中心对称图形,有无数个对称中心.(  )
题型一 正切函数的定义域及值域
【例1】 (1)函数y=+lg(1-tan x)的定义域是    ;
(2)函数y=tan(sin x)的值域为    .
尝试解答                                      
【母题探究】
 (变条件)本例(2)中函数变为“y=tan2x-2tan x,|x|≤”,求函数y=tan2x-2tan x的值域.
通性通法
1.求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠+kπ,k∈Z.而对于构建的三角不等式,常利用三角函数的图象求解;
(2)求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时,要将“ωx+φ”视为一个整体.令ωx+φ≠kπ+,k∈Z,解得x.
2.求正切函数值域的方法
(1)对于y=Atan(ωx+φ)的值域,可以把ωx+φ看成整体,结合图象,利用单调性求值域;
(2)对于与y=tan x相关的二次函数,可以把tan x看成整体,利用配方法求值域.
【跟踪训练】
1.函数y=tan的定义域为    .
2.函数y=tan,x∈的值域是    .
题型二 正切函数的周期性、奇偶性
【例2】 (1)函数y=4tan的最小正周期为    .
(2)判断下列函数的奇偶性:
①f(x)=;
②f(x)=tan+tan.
尝试解答                                      
通性通法
1.函数f(x)=Atan(ωx+φ)周期的求解方法
(1)定义法;
(2)公式法:对于函数f(x)=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=;
(3)观察法(或图象法):观察函数的图象,看自变量间隔多少,函数值重复出现.
2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
先求函数的定义域,看其定义域是否关于原点对称,若其不关于原点对称,则该函数为非奇非偶函数;若其关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.
【跟踪训练】
1.函数f(x)=tan的最小正周期为(  )
A.         B. C.π D.2π
2.判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=tan x+;
(2)f(x)=lg|tan x|.
题型三 正切函数的单调性
【例3】 (1)比较大小:tan 1,tan 2,tan 3;
(2)求函数y=2tan的单调区间.
尝试解答                                      
通性通法
1.正切型函数单调区间的求解思路
正切函数y=tan x在开区间(k∈Z)上是增函数,求函数y=Atan(ωx+φ)的单调区间,将“ωx+φ”视为一个整体,若ω<0,一般先用诱导公式化为ω>0,使x的系数为正值,然后求单调区间.当A>0(或A<0)时,函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的单调性与y=tan x,x∈R,x≠+kπ,k∈Z的单调性相同(或相反),解不等式即可得出对应单调区间.
2.利用正切函数的单调性,比较两个正切值大小的步骤
(1)利用诱导公式将任意角的正切值转化为内的正切值;
(2)确定转化到内的各角的大小顺序;
(3)利用y=tan x在上为增函数的性质得出大小顺序.
【跟踪训练】
1.若函数f(x)=tan x在区间上单调递增,则实数a的取值范围是    .
2.不通过求值,比较大小:tan和tan.
题型四 正切函数的图象及应用
【例4】 画出函数y=|tan x|的图象,并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性.
尝试解答                                      
通性通法
1.作函数y=|f(x)|的图象一般利用图象变换方法,具体步骤是:
(1)保留函数y=f(x)图象在x轴上方的部分;
(2)将函数y=f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折.
2.若函数为周期函数,可先研究其一个周期上的图象,再利用周期性,延拓到定义域上即可.
【跟踪训练】
 根据正切函数的图象,写出tan x≥-1的解集.
1.函数f(x)=tan,x∈R的最小正周期为(  )
A. B.π
C.2π D.4π
2.函数f(x)=2tan(-x)是(  )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数也是偶函数
D.非奇非偶函数
3.函数f(x)=tan的定义域是   .
4.函数y=tan的单调递增区间是    ,对称中心为    .
5.求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈[-,]的值域.
7.3.4 正切函数的性质与图象
【基础知识·重落实】
知识点一
 x≠+kπ,k∈Z 唯一
知识点二
 (k∈Z) (k∈Z) 
想一想
1.提示:不是.
2.提示:不是,点(k∈Z)是其对称中心,有无数个.
3.提示:不对.正切曲线没有对称轴.
自我诊断
 (1)× (2)× (3)√
【典型例题·精研析】
【例1】 (1) (2)[-tan 1,tan 1] 解析:(1)要使函数y=+lg(1-tan x)有意义,则即-1≤tan x<1.在(-,)上满足上述不等式的x的取值范围是.又因为y=tan x的周期为π,所以所求x的定义域为{x|-+kπ≤x<+kπ,k∈Z}.
(2)因为-1≤sin x≤1,且[-1,1] ,所以y=tan x在[-1,1]上是增函数,因此tan(-1)≤tan x≤tan 1,即函数y=tan(sin x)的值域为[-tan 1,tan 1].
母题探究
 解:令u=tan x,∵|x|≤,∴由正切函数的图象知u∈[-,],∴原函数可化为y=u2-2u,u∈[-,],∵二次函数y=u2-2u=(u-1)2-1图象开口向上,对称轴方程为u=1,∴当u=1时,ymin=-1,当u=-时,ymax=3+2,∴原函数的值域为[-1,3+2].
跟踪训练
1. 解析:要使函数有意义,自变量x的取值应满足3x-≠kπ+(k∈Z),得x≠+(k∈Z),∴函数的定义域为.
2.[-,0] 解析:y=tan=-tan.∵x∈,∴2x-∈.∴0≤tan(2x-)≤.∴-≤tan≤0,故函数y=tan,x∈的值域为[-,0].
【例2】  (1)解析:由于ω=3,故函数的最小正周期为T==.
(2)解:①由
得f(x)的定义域为,
不关于原点对称,
所以函数f(x)既不是偶函数,也不是奇函数.
②函数定义域为,
关于原点对称,
又f(-x)=tan+tan=-tan-tan=-f(x),
所以函数是奇函数.
跟踪训练
1.A 函数f(x)=tan(ωx+φ)的最小正周期是T=,直接利用公式,可得T==.
2.解:(1)要使函数有意义,需满足:tan x≠0,且tan x有意义,即x∈∪,k∈Z,
可知定义域关于原点对称.又对于定义域内的任意x,都有f(-x)=-tan x-=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.
(2)由得
∴函数f(x)的定义域为∪,k∈Z,定义域关于原点对称.
又对任意x∈∪,k∈Z,都有f(-x)=lg|tan(-x)|=lg|-tan x|=lg|tan x|=f(x),
∴函数f(x)是偶函数.
【例3】 解:(1)由诱导公式可知tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π),因为<2<π,<3<π,所以-<2-π<0,-<3-π<0,所以-<2-π<3-π<1<.因为函数y=tan x在上单调递增,所以tan(2-π)<tan(3-π)<tan 1,即tan 2<tan 3<tan 1.
(2)y=2tan=-2tan,
由-+kπ<2x-<+kπ,k∈Z,可得-<x<+,k∈Z,
故函数y=2tan的单调递减区间为( -+,+),k∈Z,无单调递增区间.
跟踪训练
1.(0,1] 解析:∵>,∴a>0,∵>0,<0,∴解得0<a≤1.
2.解:∵tan=-tan=tan,
tan=-tan=tan.
又0<<<,y=tan x在内单调递增,
∴tan<tan,即tan>tan.
【例4】 解:由y=|tan x|得,
y=其图象如图所示.
由图象可知,函数y=|tan x|是偶函数,
单调递增区间为(k∈Z),
单调递减区间为(k∈Z),周期为π.
跟踪训练
 解:作出y=tan x及y=-1的图象,如图.
∴满足此不等式的x的集合为{x+kπ≤x<+kπ,k∈Z}.
随堂检测
1.C 由=2π,故选C.
2.A 因为f(-x)=2tan x=-2tan(-x)=-f(x),且f(x)的定义域关于原点对称,所以函数f(x)=2tan(-x)是奇函数.
3. 解析:由题意知x+≠kπ+(k∈Z),即x≠+kπ(k∈Z).故定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z}.
4.(k∈Z) (k∈Z)
解析:由kπ-<+<kπ+,k∈Z,得2kπ-<x<2kπ+,k∈Z.令+=(k∈Z),则x=kπ-(k∈Z),所以对称中心坐标为(k∈Z).
5.解:∵-≤x≤,∴-1≤tan x≤1.
令tan x=t,则t∈[-1,1].
∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.
∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4,
当t=1,即x=时,ymax=4.
故所求函数的值域为[-4,4].
4 / 4(共67张PPT)
7.3.4 
正切函数的性质与图象
新课程标准解读 核心素养
1.了解正切函数,会画y=tan x的图象 直观想象
2.理解正切函数的性质,并能利用正切函数的图
象及性质解决有关问题 数学运算、逻辑推

目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
孔子东游,见两小儿辩斗,问其故,一儿曰:“日
初出沧沧凉凉,及其日中如探汤,此不为近者热而远者
凉乎?”事实上,中午的气温较早晨高,主要原因是早
晨太阳斜射大地,中午太阳直射大地.在相同的时间、
相等的面积里,物体在直线状态下比在斜射状态下吸收的热量多,这就涉及太阳光和地面的角度问题.
 那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢?
  类比y= sin x,y= cos x的图象与性质.
【问题】 (1)y=tan x是周期函数吗?有最大(小)值吗?
(2)正切函数的图象是连续的吗?

x≠ +kπ,k∈Z 
唯一 
知识点二 正切函数的图象与性质
解析式 y=tan x
图象
定义域
值域 R
最小正周期 π
解析式 y=tan x
奇偶性 奇函数
单调性 在每个开区间
上都是增函数
对称性 对称中心
零点 kπ,k∈Z
(k∈Z) 
(k∈Z) 
提醒 “三点两线法”作正切函数的图象:①“三点”分别为(kπ,
0), , ,其中k∈Z;两线为直线x=kπ
+ 和直线x=kπ- ,其中k∈Z(两线也称为正切曲线的渐近线,
即无限接近但不相交);②作图象时,只需先作出一个周期中的两条
渐近线,然后描出三个点,用平滑的曲线连接得到一条曲线,最后平
行移动至各个周期内即可.
【想一想】
1. 正切函数在定义域上是单调函数吗?
提示:不是.
2. 正切函数只有一个对称中心吗?
提示:不是,点 (k∈Z)是其对称中心,有无数个.
3. 正切曲线有无数条对称轴,其对称轴是x= +kπ(k∈Z),对
吗?
提示:不对.正切曲线没有对称轴.
 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R. ( × )
(2)正切函数在R上是递增的. ( × )
(3)正切曲线是中心对称图形,有无数个对称中心. ( √ )
×
×

典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
  
题型一 正切函数的定义域及值域
【例1】 (1)函数y= +lg(1-tan x)的定义域
是 ;
 
解析: 要使函数y= +lg(1-tan x)有意义,
则即-1≤tan x<1.在 上满足上述不
等式的x的取值范围是 .又因为y=tan x的周期为π,所
以所求x的定义域为 .
(2)函数y=tan( sin x)的值域为 .
解析: 因为-1≤ sin x≤1,且[-1,1] ,所
以y=tan x在[-1,1]上是增函数,因此tan(-1)≤tan x≤tan
1,即函数y=tan( sin x)的值域为[-tan 1,tan 1].
[-tan 1,tan 1] 
【母题探究】
 (变条件)本例(2)中函数变为“y=tan2x-2tan x,|x|
≤ ”,求函数y=tan2x-2tan x的值域.
解:令u=tan x,∵|x|≤ ,∴由正切函数的图象知u∈[- ,
],∴原函数可化为y=u2-2u,u∈[- , ],∵二次函数y
=u2-2u=(u-1)2-1图象开口向上,对称轴方程为u=1,∴当u
=1时,ymin=-1,当u=- 时,ymax=3+2 ,∴原函数的值域
为[-1,3+2 ].
通性通法
1. 求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的
一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠ +
kπ,k∈Z. 而对于构建的三角不等式,常利用三角函数的图
象求解;
(2)求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域
时,要将“ωx+φ”视为一个整体.令ωx+φ≠kπ+ ,
k∈Z,解得x.
2. 求正切函数值域的方法
(1)对于y=Atan(ωx+φ)的值域,可以把ωx+φ看成整体,
结合图象,利用单调性求值域;
(2)对于与y=tan x相关的二次函数,可以把tan x看成整体,利用
配方法求值域.
【跟踪训练】
1. 函数y=tan 的定义域为    .
解析:要使函数有意义,自变量x的取值应满足3x- ≠kπ+
(k∈Z),得x≠ + (k∈Z),∴函数的定义域为
.
 
2. 函数y=tan ,x∈ 的值域是  [- ,0] .
解析:y=tan =-tan .∵x∈ ,∴2x-
∈ .∴0≤tan ≤ .∴- ≤tan ≤0,故
函数y=tan ,x∈ 的值域为[- ,0].
[- ,0] 
题型二 正切函数的周期性、奇偶性
【例2】 (1)函数y=4tan 的最小正周期为    .
解析:由于ω=3,故函数的最小正周期为T= = .
(2)判断下列函数的奇偶性:
①f(x)= ;
②f(x)=tan +tan .
 
解:①由
得f(x)的定义域为{x|x≠kπ+ 且x≠kπ+ ,k∈Z},
不关于原点对称,
所以函数f(x)既不是偶函数,也不是奇函数.
②函数定义域为 ,
关于原点对称,
又f(-x)=tan +tan =-tan -
tan =-f(x),
所以函数是奇函数.
通性通法
1. 函数f(x)=Atan(ωx+φ)周期的求解方法
(1)定义法;
(2)公式法:对于函数f(x)=Atan(ωx+φ)的最小正周期T
= ;
(3)观察法(或图象法):观察函数的图象,看自变量间隔多
少,函数值重复出现.
2. 判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
先求函数的定义域,看其定义域是否关于原点对称,若其不关于原
点对称,则该函数为非奇非偶函数;若其关于原点对称,再看f
(-x)与f(x)的关系.
【跟踪训练】
1. 函数f(x)=tan 的最小正周期为(  )
C. π D. 2π
解析: 函数f(x)=tan(ωx+φ)的最小正周期是T=
,直接利用公式,可得T= = .
2. 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=tan x+ ;
解: 要使函数有意义,需满足:tan x≠0,且tan x有意
义,即x∈ ∪ ,k∈Z,可知定
义域关于原点对称.又对于定义域内的任意x,都有f(-x)
=-tan x- =-f(x),∴函数f(x)为奇函数.
解:由得
∴函数f(x)的定义域为(- +kπ,kπ)∪(kπ, +
kπ),k∈Z,定义域关于原点对称.
又对任意x∈(- +kπ,kπ)∪(kπ, +kπ),k∈Z,
都有f(-x)=lg|tan(-x)|=lg|-tan x|=lg|tan
x|=f(x),
∴函数f(x)是偶函数.
(2)f(x)=lg|tan x|.
题型三 正切函数的单调性
【例3】 (1)比较大小:tan 1,tan 2,tan 3;
解: 由诱导公式可知tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-
π),因为 <2<π, <3<π,所以- <2-π<0,- <3-
π<0,所以- <2-π<3-π<1< .因为函数y=tan x在
上单调递增,所以tan(2-π)<tan(3-π)<tan 1,
即tan 2<tan 3<tan 1.
(2)求函数y=2tan 的单调区间.
解: y=2tan =-2tan ,
由- +kπ<2x- < +kπ,k∈Z,可得 - <x< +
,k∈Z,
故函数y=2tan 的单调递减区间为
,k∈Z,无单调递增区间.
通性通法
1. 正切型函数单调区间的求解思路
正切函数y=tan x在开区间 (k∈Z)上是增函
数,求函数y=Atan(ωx+φ)的单调区间,将“ωx+φ”视为一
个整体,若ω<0,一般先用诱导公式化为ω>0,使x的系数为正
值,然后求单调区间.当A>0(或A<0)时,函数y=Atan(ωx
+φ)(A≠0,ω>0)的单调性与y=tan x,x∈R,x≠ +kπ,
k∈Z的单调性相同(或相反),解不等式即可得出对应单调区间.
2. 利用正切函数的单调性,比较两个正切值大小的步骤
(1)利用诱导公式将任意角的正切值转化为 内的正
切值;
(2)确定转化到 内的各角的大小顺序;
(3)利用y=tan x在 上为增函数的性质得出大小顺序.
【跟踪训练】
1. 若函数f(x)=tan x在区间 上单调递增,则实数a的
取值范围是 .
解析:∵ > ,∴a>0,∵ >0, <0,
∴解得0<a≤1.
(0,1] 
2. 不通过求值,比较大小:tan 和tan .
解:∵tan =-tan =tan ,
tan =-tan =tan .
又0< < < ,y=tan x在 内单调递增,
∴tan <tan ,即tan >tan .
题型四 正切函数的图象及应用
【例4】 画出函数y=|tan x|的图象,并根据图象判断其单调区
间、奇偶性、周期性.
解:由y=|tan x|得,
y=其图象如图所示.
由图象可知,函数y=|tan x|是偶函数,
单调递增区间为 (k∈Z),
单调递减区间为 (k∈Z),周期为π.
通性通法
1. 作函数y=|f(x)|的图象一般利用图象变换方法,具体步骤
是:
(1)保留函数y=f(x)图象在x轴上方的部分;
(2)将函数y=f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折.
2. 若函数为周期函数,可先研究其一个周期上的图象,再利用周期
性,延拓到定义域上即可.
【跟踪训练】
 根据正切函数的图象,写出tan x≥-1的解集.
解:作出y=tan x及y=-1的图象,如图.
∴满足此不等式的x的集合为{x +
kπ≤x< +kπ,k∈Z}.
1. 函数f(x)= tan ,x∈R的最小正周期为(  )
B. π
C. 2π D. 4π
解析:  由 =2π,故选C.
2. 函数f(x)=2tan(-x)是(  )
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 既是奇函数也是偶函数
D. 非奇非偶函数
解析:  因为f(-x)=2tan x=-2tan(-x)=-f(x),
且f(x)的定义域关于原点对称,所以函数f(x)=2tan(-x)
是奇函数.
3. 函数f(x)=tan 的定义域是   .
解析:由题意知x+ ≠kπ+ (k∈Z),即x≠ +kπ
(k∈Z).故定义域为{x|x≠kπ+ ,k∈Z}.
 
4. 函数y=tan 的单调递增区间是  
,对称中心为 .
解析:由kπ- < + <kπ+ ,k∈Z,得2kπ- <x<2kπ
+ ,k∈Z. 令 + = (k∈Z),则x=kπ- (k∈Z),
所以对称中心坐标为(kπ- ,0)(k∈Z).
(k∈Z) 
(kπ- ,0)(k∈Z) 
5. 求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈ 的值域.
解:∵- ≤x≤ ,∴-1≤tan x≤1.
令tan x=t,则t∈[-1,1].
∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.
∴当t=-1,即x=- 时,ymin=-4,
当t=1,即x= 时,ymax=4.
故所求函数的值域为[-4,4].
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数f(x)=|tan 2x|是(  )
A. 周期为π的奇函数 B. 周期为π的偶函数
解析:  f(-x)=|tan(-2x)|=|tan 2x|=f(x)为
偶函数,T= .
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2. 当x∈ 时,函数y=tan|x|的图象(  )
A. 关于原点对称 B. 关于y轴对称
C. 关于x轴对称 D. 没有对称轴
解析:  ∵x∈ ,f(-x)=tan |-x|=tan |x|
=f(x),∴f(x)为偶函数,即y=tan |x|的图象关于y轴对
称.
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3. (多选)若直线y=m(m为常数)与函数f(x)=tan ωx(ω>
0)的图象的相邻两支相交于A,B两点,且|AB|= ,则
(  )
B. ω=4
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解析:  ∵|AB|= ,则T= ,∴ω=4,故A错,B正确;
令4x= kπ,k∈Z,∴x= kπ,k∈Z. ∴y=tan 4x的图象的对
称中心为 (k∈Z),故C正确;y=|f(x)|图象的对
称轴方程为x= (k∈Z),故D错.
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4. 函数y=tan 在一个周期内的图象是如图中的(  )
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解析:  由函数周期T= =2π,排除选项B、D;将x= 代入
函数式中,得tan =tan 0=0.故函数图象与x轴的一个
交点为 .故选A.
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5. 函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=1所得
的线段长为 ,则f 的值是(  )
A. 0
C. 1
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解析:  f(x)=tan ωx的图象的相邻两支截直线y=1所得的线
段长度为函数的周期,所以该函数的周期是 ,所以 = (ω>
0),解得ω=4.所以f(x)=tan 4x,当x= 时,f =
tan =tan = .
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6. (多选)下列说法错误的是(  )
A. 函数y=tan x的所有对称中心是(kπ,0)(k∈Z)
B. 直线y=a与正切函数y=tan x图象相邻两交点之间的距离为π
D. y=tan x在其定义域上是增函数
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解析:  A错,对称中心为 (k∈Z);B对,同y=tan
x的周期为π;C对,x∈ 时,tan x≥0;D错,它的单调区间
只在(kπ- ,kπ+ )(k∈Z)内,而不能说它在定义域内是
增函数,由此可知D错.
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7. 函数y= 的定义域为   (k∈Z) .
解析:由题可得tan x+1≥0,即tan x≥-1,解得x∈ (k∈Z).
(k∈Z) 
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8. 若函数f(x)=2tan 的最小正周期T满足1<T<2,则自
然数k的值为 .
解析:由T= ,又1<T<2,∴k的值可取2或3.
2或3 
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9. 函数y=tan 的最小正周期为    ,其图象的对称中心
为 .
解析:最小正周期T= .由 =2x- (k∈Z)得x= +
(k∈Z).∴对称中心为 (k∈Z).
 
(k∈Z) 
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10. 已知函数f(x)=3tan .
(1)求f(x)的定义域与单调区间;
解: 由函数f(x)=3tan ,
可得2x- ≠kπ+ 求得x≠ + ,k∈Z,
故函数的定义域为 .
令kπ- <2x- <kπ+ ,k∈Z,
求得 - <x< + ,k∈Z.
故函数的单调增区间为 ,k∈Z.
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(2)比较f 与f 的大小.
解: f =3tan =-3tan <0,
f =3tan =3tan >0,
所以f <f .
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11. 已知函数y=tan ωx在 内是减函数,则(  )
A. 0<ω≤1 B. -1≤ω<0
C. ω≥1 D. ω≤-1
解析:  ∵y=tan ωx在 内是减函数,∴ω<0且T=
≥π.∴|ω|≤1,即-1≤ω<0.
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12. (多选)下列关于函数y=tan 的说法正确的是(  )
B. 最小正周期是π
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解析:  令kπ- <x+ <kπ+ ,解得kπ- <x<kπ+
,k∈Z,显然 不满足上述关系式,故A错误;易知
该函数的最小正周期为π,故B正确;令x+ = ,解得x=
- ,k∈Z,当k=1时,x= ,故C正确;正切函数曲线没有对
称轴,因此函数y=tan 的图象也没有对称轴,故D错误.
故选B、C.
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13. 设函数f(x)=tan(ωx+φ) ,已知函数y
=f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为 ,且图象关于点
M 对称.
(1)求f(x)的解析式;
解: 由题意知,函数f(x)的最小正周期为T= ,
即T= = .
因为ω>0,所以ω=2,从而f(x)=tan(2x+φ).
因为函数y=f(x)的图象关于点M 对称,
所以2× +φ= ,k∈Z,即φ= + ,k∈Z.
因为0<φ< ,所以φ= ,故f(x)=tan .
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(2)求不等式-1≤f(x)≤ 的解集.
解: 由(1)知,f(x)=tan .
由-1≤tan ≤ ,得- +kπ≤2x+ ≤ +
kπ,k∈Z,
即- + ≤x≤ + ,k∈Z.
所以不等式-1≤f(x)≤ 的解集为 ,k∈Z.
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14. 已知函数f(x)=tan(x+φ) 的图象的一个对称中
心为 ,则φ的值为   或-  ,最小正周期为 .
解析:由于 是函数f(x)图象的对称中心,所以 +φ=
π,k∈Z,所以φ= π- ,k∈Z,由于|φ|< ,故取k=0,
1,φ=- , ,T=π.
或-  
π 
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15. 已知f(x)= .
(1)判断f(x)的奇偶性;
解: 由函数f(x)= 的解析式可得函数的定义
域为 关于原点对称,
又因为f(x)= = ,
所以f(-x)= = =-f(x),
所以函数f(x)= 为奇函数.
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(2)当x∈[-π,π],且x≠± 时,
画出f(x)的简图,并指出函数的
单调区间.
解: 由(1)可得
f(x)=
其图象如图所示:
由图象可知f(x)的单调递增区间为 ,单调递减
区间为 , .
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谢 谢 观 看!