第二课时 正弦型函数的性质（习题课）
1.函数y＝2sin（x∈[－π，0]）的单调递增区间是（ ）
A. B.
C. D.
2.函数y＝3sin的图象的一条对称轴方程是（ ）
A.x＝0 B.x＝
C.x＝－ D.x＝
3.若函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）对任意x都有f＝f，则有f＝（ ）
A.3或0 B.－3或0
C.0 D.－3或3
4.已知函数f（x）＝2sin，若对任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则｜x1－x2｜的最小值是（ ）
A.4 B.2
C.1 D.
5.（多选）已知函数f（x）＝sin（ω＞0）的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）
A.关于点对称 B.关于直线x＝对称
C.关于点对称 D.关于直线x＝对称
6.将函数y＝sin的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增（ ）
A. B.
C. D.
7.函数y＝sin的单调递减区间是 .
8.已知f（x）＝2sin（x∈R）为奇函数，则当正数φ取最小值时，函数f（x）的图象的对称轴方程是 .
9.函数f（x）＝sin（2x＋φ）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数是奇函数，则函数f（x）＝ ，在上的最小值为 .
10.已知曲线y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜≤）上最高点为（2，），该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点（6，0）.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在x∈[－6，0]上的值域.
11.（多选）已知函数f（x）＝sin，则（ ）
A.f（x）的最小值为－1
B.点是f（x）的图象的一个对称中心
C.f（x）的最小正周期为π
D.f（x）在上单调递增
12.关于x的方程sin＝2m在[0，π]内有相异两实根，则实数m的取值范围为 .
13.已知函数f（x）＝Asin（A＞0，ω＞0）的最小正周期为π，且该函数图象上的最低点的纵坐标为－3.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间及对称轴方程.
14.（多选）若将函数f（x）＝Asin（A≠0）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则下列选项错误的是（ ）
A.g（x）的最大值为A
B.g（x）的图象有一条对称轴是直线x＝
C.g（x）的图象有一个对称中心是点
D.g（x）是奇函数
15.某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
Asin（ωx＋φ） 0 5 －5 0
（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y＝f（x）的图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y＝g（x）的图象.若y＝g（x）的图象的一个对称中心为，求θ的最小值.
第二课时 正弦型函数的性质（习题课）
1.D 法一 由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.由于x∈[－π，0]，
所以所求单调递增区间为.
法二 当x＝时，函数y＝2sin取得最大值，且其最小正周期为2π，则函数y＝2sin的一个单调递增区间为，即，所以当x∈[－π，0]时，所求单调递增区间为.
2.B 令sin＝±1，得2x＋＝kπ＋（k∈Z），即x＝π＋（k∈Z），取k＝1，得x＝.
3.D 由f＝f知，x＝是函数的对称轴，解得f＝－3或3.故选D.
4.B 函数f（x）的最小正周期T＝＝4.由于对任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则f（x1）＝f（x）min＝－2，f（x2）＝f（x）max＝2，从而｜x1－x2｜的最小值为＝2.
5.AB ∵f（x）的周期为π，∴ω＝2.∴f（x）＝sin，∴f（x）的图象关于点（k∈Z）对称，关于直线x＝＋（k∈Z）对称.
6.A 依题意，原函数经图象变换后，得到函数y＝sin的图象.令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），解得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），则函数y＝sin的单调递增区间为（k∈Z）.结合选项可知，当k＝0时，函数y＝sin在区间上单调递增.
7.（k∈Z） 解析：令＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，则＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z.
8.x＝＋（k∈Z） 解析：因为f（x）＝2sin（2x＋2φ＋）（x∈R）为奇函数，所以f（0）＝2sin＝0，所以2φ＋＝kπ（k∈Z），即φ＝－（k∈Z），所以当k＝1时，正数φ取得最小值，此时f（x）＝－2sin 2x.令2x＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），故所求函数f（x）图象的对称轴方程是x＝＋（k∈Z）.
9.sin － 解析：函数f（x）的图象向左平移个单位得g（x）＝sin的图象.因为g（x）是奇函数，所以φ＋＝kπ，k∈Z.又因为｜φ｜＜，所以φ＝－，所以f（x）＝sin.又x∈，所以2x－∈，所以当x＝0时，f（x）取得最小值－.
10.解：（1）由题意可知A＝，＝6－2＝4，
∴T＝16，即＝16，∴ω＝，
∴y＝sin.
又图象过最高点（2，），
∴sin＝1，
故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
φ＝＋2kπ，k∈Z，
由｜φ｜≤，得φ＝，
∴y＝sin.
（2）∵－6≤x≤0，∴－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1.
即函数在[－6，0]上的值域为[－，1].
11.ACD 由正弦函数性质知f（x）的最小值是－1，A正确；令2x＋＝kπ，x＝－，k∈Z，没有一个整数k，能使－＝，B错误；T＝＝π，C正确；由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.当k＝0时，－≤x≤，而 ，D正确.故选A、C、D.
12. 解析：由于0≤x≤π，所以≤x＋≤，由于关于x的方程sin＝2m在[0，π]内有相异两实根，令u＝x＋，由函数y＝sin u与y＝2m的图象（图略）可知，≤2m＜1，解得≤m＜.
13.解：（1）∵f（x）的最小正周期为π，又ω＞0，T＝＝π，∴ω＝＝2.
又函数f（x）图象上的最低点纵坐标为－3，且A＞0，∴A＝3.
∴f（x）＝3sin.
（2）由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z，
由2x＋＝＋kπ，得x＝＋，k∈Z，
∴函数f（x）的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
14.ACD 将函数f（x）＝Asin（A≠0）的图象向左平移个单位得到函数g（x）＝Asin＝Asin的图象，因为A≠0，正负不知，所以A错；又因为g＝Asin（ 2×＋）＝Asin ＝A，所以直线x＝是g（x）图象的一条对称轴，所以B正确；因为g＝Asin［2×＋］＝Asin≠0，所以C错；g（x）＝Asin为非奇非偶函数，所以D错误.
15.解：（1）根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
Asin（ωx＋φ） 0 5 0 －5 0
函数解析式为f（x）＝5sin.
（2）由（1）知f（x）＝5sin，
所以g（x）＝5sin.
由于y＝sin x的图象的对称中心为（kπ，0），k∈Z.
所以令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函数y＝g（x）的图象关于点成中心对称，则＋－θ＝，
解得θ＝－，k∈Z.
由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
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第二课时
正弦型函数的性质（习题课）
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 正弦型函数的周期
【例1】 求下列函数的周期：
（1）y＝ sin ；
解： 法一（定义法） y＝ sin
＝ sin
＝ sin ，
∴周期为π.
法二（公式法） y＝ sin 中ω＝2，
T＝ ＝ ＝π.
（2）y＝2 sin ；
解： ∵ω＝ ，∴T＝ ＝6π.
（3）y＝｜ sin x｜.
解： 作图如下.
观察图象可知周期为π.
通性通法
求三角函数周期的方法
（1）定义法：利用周期的定义，对定义域内每一个x判断是否存在非
零常数T，使f（x＋T）＝f（x），若存在，则T是它的一个
周期；
（2）公式法：正弦型函数y＝A sin （ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常
数，且A≠0，ω≠0）的周期T＝ ；
（3）图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断.
【跟踪训练】
1. 若函数f（x）＝ sin （ω＞0）的最小正周期为π，则ω的
值等于（ ）
A. 2 B. 1
C. D.
解析： 由已知得 ＝π，解得ω＝1.故选B.
2. 已知函数f（x）＝ sin 3x＋｜ sin 3x｜，则f（x）为（ ）
A. 周期函数，最小正周期为
B. 周期函数，最小正周期为
C. 周期函数，最小正周期为2π
D. 非周期函数
解析： 画出f（x）＝ sin 3x＋｜ sin 3x｜的部
分图象，如图所示.由图象可知，函数为周期函
数，最小正周期为 ，故选A.
题型二 正弦型函数的单调性
【例2】 求函数y＝1＋ sin ，x∈[－4π，4π]的单调递减
区间.
解：y＝1＋ sin ＝－ sin ＋1.
由2kπ－ ≤ x－ ≤2kπ＋ （k∈Z），
解得4kπ－ ≤x≤4kπ＋ π（k∈Z）.
又∵x∈[－4π，4π]，
∴函数y＝1＋ sin 的单调递减区间为 ， ， .
通性通法
求正弦型函数的单调区间的策略
（1）结合正弦函数的图象，熟记它的单调区间；
（2）在求形如y＝A sin （ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的函数的单调区
间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整
体“z”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出原函数的单调
区间.当A＞0时y＝A sin z与y＝ sin x的单调性相同，当A＜0
时，y＝A sin z与y＝ sin x的单调性相反；
（3）求形如y＝A sin （ωx＋φ），x∈D的单调区间时，先求y＝A
sin （ωx＋φ），x∈R的单调区间，再把所求的单调区间和区
间D取交集即得y＝A sin （ωx＋φ），x∈D上的单调区间.
【跟踪训练】
求函数y＝ sin 的单调递增区间.
解：法一 函数y＝ sin x的单调递增区间为［－ ＋2kπ， ＋
2kπ］，k∈Z.
令－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，
解得－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z，
所以函数y＝ sin 的单调递增区间为 ，
k∈Z.
法二 令2x－ ＝ ，解得x＝ ，
所以函数y＝ sin 在x＝ 处取得最大值.
又函数的最小正周期为π，根据周期性与单调性的关系可知，函数y＝
sin 的一个单调递增区间为 ，即 ，
所以函数y＝ sin 的单调递增区间为［－ ＋kπ， ＋
kπ］，k∈Z.
题型三 正弦型函数的最值（值域）
【例3】 已知函数f（x）＝ sin .给出下列结论：
①f（x）的最小正周期为2π；②f 是f（x）的最大值；③把函数y
＝ sin x的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数y＝f
（x）的图象.其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ① B. ①③
C. ②③ D. ①②③
解析： f（x）＝ sin 的最小正周期为2π，①正确； sin
＝1＝f 为f（x）的最大值，②错误；将y＝ sin x的图象上所有
点向左平移 个单位长度得到f（x）＝ sin 的图象，③正
确.故选B.
通性通法
求正弦型函数的最值（值域）的策略
求函数y＝A sin （ωx＋φ）的值域与最值问题时，要在x取值
范围的基础之上，把ωx＋φ看成整体，通过正弦函数的最值情况来
求解.
当A＞0时， sin （ωx＋φ）最大时y＝A sin （ωx＋φ）就最大，
sin （ωx＋φ）最小时y＝A sin （ωx＋φ）就最小；
当A＜0时， sin （ωx＋φ）最大时y＝A sin （ωx＋φ）就最小，
sin （ωx＋φ）最小时y＝A sin （ωx＋φ）就最大.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝ sin ＋ ，若f（x）在区间 上
的最大值为 ，求m的最小值.
解：由题意得－ ≤x≤m，∴－ ≤2x≤2m，
∴－ ≤2x－ ≤2m－ .∵函数f（x）的最大值为 ，∴y＝ sin
在 上的最大值为1，
∴2m－ ≥ ，∴m≥ .∴m的最小值为 .
正弦函数图象对称性问题的探究
1. 下列图案中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？有没有既
是轴对称又是中心对称的图形？
2. 正弦函数的图象如图.利用图象探索正弦函数图象的对称性.
【问题探究】
1. 正弦函数的图象有对称轴吗？如果有，请写出对称轴方程，如果没
有，请说明理由.
提示：由正弦函数的图象可以看出，它是轴对称图形，有无数条对
称轴，经过最高点或最低点且与x轴垂直的直线都是它的对称轴，
对称轴方程为x＝ ＋kπ，k∈Z.
2. 正弦函数的图象有对称中心吗？如果有，请写出对称中心的坐标，
如果没有，请说明理由.
提示：由正弦函数的图象可以看出，它也是中心对称图形，有无数
个对称中心，图象与x轴的交点都是它的对称中心，对称中心坐标
为（kπ，0），k∈Z.
3. 画出函数y＝ sin ｜x｜的图象，并利用图象说明它的对称性.
提示：画出函数图象如图，由图象可知，函
数y＝ sin ｜x｜的图象是轴对称图形，对称
轴为y轴，它不是中心对称图形.
【迁移应用】
1. 已知函数y＝ sin 的图象在R上关于原点对称，则φ的
值可以是（ ）
A. 0 B. － C. D. π
解析： 因为y＝ sin 的函数图象在R上关于原
点对称，所以y＝ sin 为奇函数，则只需 ＋φ＝
kπ，k∈Z，从而φ＝kπ－ ，k∈Z，显然当k＝0时，φ＝－ 满
足题意.
2. 求函数y＝2 sin 的对称轴方程及对称中心坐标.
解：由x－ ＝ ＋kπ，k∈Z，得对称轴方程为x＝ π＋kπ，
k∈Z. 由x－ ＝kπ，k∈Z，得x＝ ＋kπ，k∈Z，∴对称中心坐
标为 ，k∈Z.
1. 函数f（x）＝ sin 的最小正周期为（ ）
A. B. π
C. 2π D. 4π
解析： 函数f（x）＝ sin 的最小正周期T＝ ＝4π.
2. （多选）对于函数f（x）＝ sin 2x，下列选项中错误的是
（ ）
A. f（x）在 上是递增的
B. f（x）的图象关于原点对称
C. f（x）的最小正周期为2π
D. f（x）的最大值为2
解析： 因为函数y＝ sin x在 上是单调递减的，所以f
（x）＝ sin 2x在 上是单调递减的，故A错误；因为f（－
x）＝ sin 2（－x）＝ sin （－2x）＝－ sin 2x＝－f（x），所以f
（x）为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f（x）的最小正
周期为π，故C错误；f（x）的最大值为1，故D错误.
3. 求函数y＝3 sin （x∈[0，π]）的单调递增区间.
解：函数y＝3 sin ＝－3 sin ，
令2kπ＋ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z，求得kπ＋ ≤x≤kπ＋
，k∈Z，
又x∈[0，π]，所以函数的单调递增区间为 .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数y＝2 sin （x∈[－π，0]）的单调递增区间是（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 法一 由－ ＋2kπ≤x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，得－
＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z. 由于x∈[－π，0]，所以所求单调
递增区间为 .
法二 当x＝ 时，函数y＝2 sin 取得最大值，且其最小正周
期为2π，则函数y＝2 sin （x－ ）的一个单调递增区间为 ，即［－ ， ］，所以当x∈[－π，0]时，所求单调递增区间为
.
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2. 函数y＝3 sin 的图象的一条对称轴方程是（ ）
A. x＝0 B. x＝
C. x＝－ D. x＝
解析： 令 sin ＝±1，得2x＋ ＝kπ＋ （k∈Z），即
x＝ π＋ （k∈Z），取k＝1，得x＝ .
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3. 若函数f（x）＝3 sin （ωx＋φ）对任意x都有f ＝
f ，则有f ＝（ ）
A. 3或0 B. －3或0
C. 0 D. －3或3
解析： 由f ＝f 知，x＝ 是函数的对称轴，解得
f ＝－3或3.故选D.
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4. 已知函数f（x）＝2 sin ，若对任意的x∈R都有f（x1）
≤f（x）≤f（x2）成立，则｜x1－x2｜的最小值是（ ）
A. 4 B. 2
C. 1 D.
解析： 函数f（x）的最小正周期T＝ ＝4.由于对任意的
x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则f（x1）＝f（x）
min＝－2，f（x2）＝f（x）max＝2，从而｜x1－x2｜的最小值为
＝2.
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5. （多选）已知函数f（x）＝ sin （ω＞0）的最小正周期为
π，则该函数的图象（ ）
A. 关于点 对称 B. 关于直线x＝ 对称
C. 关于点 对称 D. 关于直线x＝ 对称
解析： ∵f（x）的周期为π，∴ω＝2.∴f（x）＝ sin
，∴f（x）的图象关于点（ － ，0）（k∈Z）对称，关于
直线x＝ ＋ （k∈Z）对称.
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6. 将函数y＝ sin 的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍
（纵坐标不变），所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增
（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 依题意，原函数经图象变换后，得到函数y＝ sin
的图象.令2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ （k∈Z），解得kπ－
≤x≤kπ＋ （k∈Z），则函数y＝ sin 的单调递增区间
为 （k∈Z）.结合选项可知，当k＝0时，函数y
＝ sin 在区间 上单调递增.
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7. 函数y＝ sin 的单调递减区间是
.
解析：令 ＋2kπ≤ x＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z，则 ＋
4kπ≤x≤ ＋4kπ，k∈Z.
（k∈Z）
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8. 已知f（x）＝2 sin （x∈R）为奇函数，则当正数φ
取最小值时，函数f（x）的图象的对称轴方程是
.
x＝ ＋
（k∈Z）
解析：因为f（x）＝2 sin （x∈R）为奇函数，所
以f（0）＝2 sin ＝0，所以2φ＋ ＝kπ（k∈Z），即φ＝
－ （k∈Z），所以当k＝1时，正数φ取得最小值 ，此时f
（x）＝－2 sin 2x.令2x＝kπ＋ （k∈Z），得x＝ ＋
（k∈Z），故所求函数f（x）图象的对称轴方程是x＝ ＋
（k∈Z）.
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9. 函数f（x）＝ sin （2x＋φ） 的图象向左平移 个单位
后所得图象对应的函数是奇函数，则函数f（x）＝
，在 上的最小值为 － .
sin
－
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解析：函数f（x）的图象向左平移 个单位得g（x）＝ sin
的图象.因为g（x）是奇函数，所以φ＋ ＝kπ，
k∈Z. 又因为｜φ｜＜ ，所以φ＝－ ，所以f（x）＝ sin
.又x∈ ，所以2x－ ∈ ，所以当x＝0时，f
（x）取得最小值－ .
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10. 已知曲线y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜≤ ）上最
高点为（2， ），该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交
于点（6，0）.
（1）求函数的解析式；
解： 由题意可知A＝ ， ＝6－2＝4，
∴T＝16，即 ＝16，∴ω＝ ，
∴y＝ sin .
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又图象过最高点（2， ），
∴ sin ＝1，
故 ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z，
φ＝ ＋2kπ，k∈Z，
由｜φ｜≤ ，得φ＝ ，
∴y＝ sin .
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（2）求函数在x∈[－6，0]上的值域.
解： ∵－6≤x≤0，∴－ ≤ x＋ ≤ ，
∴－ ≤ sin ≤1.
即函数在[－6，0]上的值域为[－ ，1].
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11. （多选）已知函数f（x）＝ sin ，则（ ）
A. f（x）的最小值为－1
B. 点 是f（x）的图象的一个对称中心
C. f（x）的最小正周期为π
D. f（x）在 上单调递增
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解析： 由正弦函数性质知f（x）的最小值是－1，A正确；
令2x＋ ＝kπ，x＝ － ，k∈Z，没有一个整数k，能使 －
＝ ，B错误；T＝ ＝π，C正确；由2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ
＋ 得kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z. 当k＝0时，－ ≤x≤ ，
而 ，D正确.故选A、C、D.
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12. 关于x的方程 sin ＝2m在[0，π]内有相异两实根，则实数
m的取值范围为 .
解析：由于0≤x≤π，所以 ≤x＋ ≤ ，由于关于x的方程 sin
＝2m在[0，π]内有相异两实根，令u＝x＋ ，由函数y
＝ sin u与y＝2m的图象（图略）可知， ≤2m＜1，解得 ≤m
＜ .
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13. 已知函数f（x）＝A sin （A＞0，ω＞0）的最小正周期
为π，且该函数图象上的最低点的纵坐标为－3.
（1）求函数f（x）的解析式；
解： ∵f（x）的最小正周期为π，又ω＞0，T＝ ＝
π，∴ω＝ ＝2.
又函数f（x）图象上的最低点纵坐标为－3，且A＞0，∴A
＝3.
∴f（x）＝3 sin .
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（2）求函数f（x）的单调递增区间及对称轴方程.
解： 由2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z，
可得kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为［kπ－ ，kπ＋ ］，
k∈Z，
由2x＋ ＝ ＋kπ，得x＝ ＋ ，k∈Z，
∴函数f（x）的对称轴方程为x＝ ＋ ，k∈Z.
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14. （多选）若将函数f（x）＝A sin （A≠0）的图象向左
平移 个单位得到函数g（x）的图象，则下列选项错误的是
（ ）
A. g（x）的最大值为A
B. g（x）的图象有一条对称轴是直线x＝
C. g（x）的图象有一个对称中心是点
D. g（x）是奇函数
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解析： 将函数f（x）＝A sin （A≠0）的图象向
左平移 个单位得到函数g（x）＝A sin ［2（ x＋ ）－ ］＝A
sin 的图象，因为A≠0，正负不知，所以A错；又因为
g ＝A sin （ 2× ＋ ）＝A sin ＝A，所以直线x＝ 是g
（x）图象的一条对称轴，所以B正确；因为g ＝A sin
［2× ＋ ］＝A sin ≠0，所以C错；g（x）＝A sin
为非奇非偶函数，所以D错误.
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15. 某同学用“五点法”画函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）
在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
A sin （ωx
＋φ） 0 5 －5 0
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（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析
式；
解： 根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－ .
数据补全如下表：
ωx＋φ 0 π 2π
x
A sin （ωx
＋φ） 0 5 0 －5 0
函数解析式为f（x）＝5 sin .
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（2）将y＝f（x）的图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位
长度，得到y＝g（x）的图象.若y＝g（x）的图象的一个
对称中心为 ，求θ的最小值.
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解： 由（1）知f（x）＝5 sin ，
所以g（x）＝5 sin .
由于y＝ sin x的图象的对称中心为（kπ，0），k∈Z.
所以令2x＋2θ－ ＝kπ，解得x＝ ＋ －θ，k∈Z.
由于函数y＝g（x）的图象关于点 成中心对称，
则 ＋ －θ＝ ，
解得θ＝ － ，k∈Z.
由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值 .
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谢 谢 观 看！第二课时 正弦型函数的性质（习题课）
题型一 正弦型函数的周期
【例1】 求下列函数的周期：
（1）y＝sin；
（2）y＝2sin；
（3）y＝｜sin x｜.
尝试解答
通性通法
求三角函数周期的方法
（1）定义法：利用周期的定义，对定义域内每一个x判断是否存在非零常数T，使f（x＋T）＝f（x），若存在，则T是它的一个周期；
（2）公式法：正弦型函数y＝Asin（ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω≠0）的周期T＝；
（3）图象法：画出函数的图象，通过图象直观判断.
【跟踪训练】
1.若函数f（x）＝sin（ω＞0）的最小正周期为π，则ω的值等于（ ）
A.2 B.1
C. D.
2.已知函数f（x）＝sin 3x＋｜sin 3x｜，则f（x）为（ ）
A.周期函数，最小正周期为
B.周期函数，最小正周期为
C.周期函数，最小正周期为2π
D.非周期函数
题型二 正弦型函数的单调性
【例2】 求函数y＝1＋sin，x∈[－4π，4π]的单调递减区间.
尝试解答
通性通法
求正弦型函数的单调区间的策略
（1）结合正弦函数的图象，熟记它的单调区间；
（2）在求形如y＝Asin（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.当A＞0时y＝Asin z与y＝sin x的单调性相同，当A＜0时，y＝Asin z与y＝sin x的单调性相反；
（3）求形如y＝Asin（ωx＋φ），x∈D的单调区间时，先求y＝Asin（ωx＋φ），x∈R的单调区间，再把所求的单调区间和区间D取交集即得y＝Asin（ωx＋φ），x∈D上的单调区间.
【跟踪训练】
求函数y＝sin的单调递增区间.
题型三 正弦型函数的最值（值域）
【例3】 已知函数f（x）＝sin.给出下列结论：
①f（x）的最小正周期为2π；
②f是f（x）的最大值；
③把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f（x）的图象.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A.① B.①③
C.②③ D.①②③
尝试解答
通性通法
求正弦型函数的最值（值域）的策略
求函数y＝Asin（ωx＋φ）的值域与最值问题时，要在x取值范围的基础之上，把ωx＋φ看成整体，通过正弦函数的最值情况来求解.
当A＞0时，sin（ωx＋φ）最大时y＝Asin（ωx＋φ）就最大，sin（ωx＋φ）最小时y＝Asin（ωx＋φ）就最小；
当A＜0时，sin（ωx＋φ）最大时y＝Asin（ωx＋φ）就最小，sin（ωx＋φ）最小时y＝Asin（ωx＋φ）就最大.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝sin＋，若f（x）在区间上的最大值为，求m的最小值.
正弦函数图象对称性问题的探究
1.下列图案中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？有没有既是轴对称又是中心对称的图形？
2.正弦函数的图象如下图.利用图象探索正弦函数图象的对称性.
【问题探究】
1.正弦函数的图象有对称轴吗？如果有，请写出对称轴方程，如果没有，请说明理由.
提示：由正弦函数的图象可以看出，它是轴对称图形，有无数条对称轴，经过最高点或最低点且与x轴垂直的直线都是它的对称轴，对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z.
2.正弦函数的图象有对称中心吗？如果有，请写出对称中心的坐标，如果没有，请说明理由.
提示：由正弦函数的图象可以看出，它也是中心对称图形，有无数个对称中心，图象与x轴的交点都是它的对称中心，对称中心坐标为（kπ，0），k∈Z.
3.画出函数y＝sin ｜x｜的图象，并利用图象说明它的对称性.
提示：画出函数图象如图，由图象可知，函数y＝sin ｜x｜的图象是轴对称图形，对称轴为y轴，它不是中心对称图形.
【迁移应用】
1.已知函数y＝sin的图象在R上关于原点对称，则φ的值可以是（ ）
A.0 B.－ C. D.π
2.求函数y＝2sin的对称轴方程及对称中心坐标.
1.函数f（x）＝sin的最小正周期为（ ）
A. B.π C.2π D.4π
2.（多选）对于函数f（x）＝sin 2x，下列选项中错误的是（ ）
A.f（x）在上是递增的
B.f（x）的图象关于原点对称
C.f（x）的最小正周期为2π
D.f（x）的最大值为2
3.求函数y＝3sin（x∈[0，π]）的单调递增区间.
第二课时 正弦型函数的性质（习题课）
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）法一（定义法） y＝sin
＝sin
＝sin，
∴周期为π.
法二（公式法） y＝sin中ω＝2，
T＝＝＝π.
（2）∵ω＝，∴T＝＝6π.
（3）作图如下.
观察图象可知周期为π.
跟踪训练
1.B 由已知得＝π，解得ω＝1.故选B.
2.A 画出f（x）＝sin 3x＋｜sin 3x｜的部分图象，如图所示.由图象可知，函数为周期函数，最小正周期为，故选A.
【例2】 解：y＝1＋sin＝－sin（ x－）＋1.
由2kπ－≤x－≤2kπ＋（k∈Z），
解得4kπ－≤x≤4kπ＋π（k∈Z）.
又∵x∈[－4π，4π]，
∴函数y＝1＋sin的单调递减区间为［－4π，－］，，.
跟踪训练
解：法一 函数y＝sin x的单调递增区间为［－＋2kπ，＋2kπ］，k∈Z.
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数y＝sin的单调递增区间为［－＋kπ，＋kπ］，k∈Z.
法二 令2x－＝，解得x＝，
所以函数y＝sin在x＝处取得最大值.
又函数的最小正周期为π，根据周期性与单调性的关系可知，函数y＝sin的一个单调递增区间为，即，
所以函数y＝sin的单调递增区间为［－＋kπ，＋kπ］，k∈Z.
【例3】 B f（x）＝sin的最小正周期为2π，①正确；sin ＝1＝f为f（x）的最大值，②错误；将y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度得到f（x）＝sin的图象，③正确.故选B.
跟踪训练
解：由题意得－≤x≤m，∴－≤2x≤2m，
∴－≤2x－≤2m－.∵函数f（x）的最大值为，∴y＝sin在上的最大值为1，
∴2m－≥，∴m≥.∴m的最小值为.
拓视野 正弦函数图象对称性问题的探究
迁移应用
1.B 因为y＝sin的函数图象在R上关于原点对称，所以y＝sin为奇函数，则只需＋φ＝kπ，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z，显然当k＝0时，φ＝－满足题意.
2.解：由x－＝＋kπ，k∈Z，得对称轴方程为x＝π＋kπ，k∈Z.由x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，∴对称中心坐标为，k∈Z.
随堂检测
1.D 函数f（x）＝sin的最小正周期T＝＝4π.
2.ACD 因为函数y＝sin x在上是单调递减的，所以f（x）＝sin 2x在上是单调递减的，故A错误；因为f（－x）＝sin 2（－x）＝sin（－2x）＝－sin 2x＝－f（x），所以f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f（x）的最小正周期为π，故C错误；f（x）的最大值为1，故D错误.
3.解：函数y＝3sin＝－3sin，
令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，求得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
又x∈[0，π]，所以函数的单调递增区间为.
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