7.4 数学建模活动：周期现象的描述
数学建模活动一般要经历选题、开题、做题、结题四个过程.选题是指根据要求选定合适的研究对象的过程，开题是指讨论与确定建模步骤的过程，做题是指按照讨论的步骤进行实际建模的过程，结题是指总结与交流的过程.
1.选题
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，同学们按照原有的学习小组组成一个数学建模小组，采用分工合作的方式，寻找日常生活或其他学科中有关的周期现象，借助合适的仪器，采集数据，并尝试通过建立与三角函数有关的数学模型去描述该周期现象.
2.开题（实例分析）
【例1】 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：m）记录表.
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00
水深 值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
（1）选用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深值与时间的函数关系，给出整点时水深的近似数值；
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能停多久？
（3）某船的吃水深度为4 m，安全间隙为1.5 m，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3 m的速度减小，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
3.做题
分析：（1）考察数据，可选用正弦函数，再利用待定系数法求解；
（2）在涉及三角不等式时，可利用图象求解.
解：（1）设所求函数为f（x）＝Asin ωx＋k，则由已知数据可以求得A＝2.5，k＝5，T＝12，ω＝＝，
故f（x）＝2.5sin＋5.
（2）由2.5sin＋5≥5.5，得sin≥0.2，
画出y＝sin的图象（如图），
由图象可得0.4≤x≤5.6或12.4≤x≤17.6，
（3）若2≤x≤24，x时刻的吃水深度为h（x）＝4－0.3（x－2），由f（x）≥h（x）＋1.5，得sin≥0.44－0.12x.
画出y＝sin和y＝0.44－0.12x的图象（如图）.
4.结题（解决实际问题）
（1）由解析式可得在整点时的水深近似为：1：00，5：00，13：00，17：00为6.3 m；2：00，4：00，14：00，16：00为7.2 m；7：00，11：00，19：00，23：00为3.7 m；8：00，10：00，20：00，22：00为2.8 m.
（2）该船在0：24至5：36和12：24至17：36期间可以进港.
（3）由图象可知当x＝6.7时，即6：42时，该船必须停止卸货，驶向较深的水域.
【例2】 如图为小球在做单摆运动时，离开平衡位置时的位移y（cm）随时间x（s）变化所满足的函数图象，已知该图象满足y＝Asin（ωx＋φ）（x∈[0，＋∞），ω＞0，0＜φ＜）的形式.试根据函数图象求出这个单摆运动的函数解析式，此单摆的周期是多少？
分析：已知函数图象满足y＝Asin（ωx＋φ）的形式，根据图象上的一些关键点可以确定A，ω，φ，进而确定函数解析式.
解：由图象知，周期T＝2＝π，所以ω＝＝2.
因为点在函数图象上.
所以Asin＝0，即sin＝0.
又已知0＜φ＜，则＜＋φ＜，
从而＋φ＝π，即φ＝.
又点（0，1）在函数图象上，
所以Asin＝1，得A＝2.
故所求函数的解析式为y＝2sin.
此单摆的周期T＝＝π.
例2还可以通过待定系数法来解决.由于及在图象上，由“五点法”可知：解得ω＝2，φ＝.
活动小结：潮涨潮落、月圆月缺、四季交替等自然界中按一定的规律周而复始出现的现象，这都说明周期变化的现象在现实生活中比比皆是.三角函数作为描述现实世界中周期现象的重要数学模型有着广泛的应用.针对现实生活中的某种周期现象，用适当的方法搜集数据，并利用这些数据为这种周期现象建立一个函数模型.
建模练习：
1.已知一正弦电流I（A）随时间t（s）的部分变化曲线如图所示，试写出I关于t的函数解析式.
2.仿照本节例1，尝试解决以下问题.
某港口相邻两次高潮发生时间间隔12 h 20 min，低潮时入口处水的深度为2.8 m，高潮时为8.4 m，一次高潮发生在10月3日2：00.
（1）若从10月3日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深d（单位：m）和时间t（单位：h）之间的函数关系；
（2）求10月3日4：00水的深度；
（3）求10月3日吃水深度为5 m的轮船能进入港口的时间.
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7.4
数学建模活动：周期现象的描述
数学建模活动一般要经历选题、开题、做题、结题四个过程.选
题是指根据要求选定合适的研究对象的过程，开题是指讨论与确定建
模步骤的过程，做题是指按照讨论的步骤进行实际建模的过程，结题
是指总结与交流的过程.
1. 选题
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，同学们按
照原有的学习小组组成一个数学建模小组，采用分工合作的方式，
寻找日常生活或其他学科中有关的周期现象，借助合适的仪器，采
集数据，并尝试通过建立与三角函数有关的数学模型去描述该周期
现象.
2. 开题（实例分析）
【例1】 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮
汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航
道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每
天的时间与水深值（单位：m）记录表.
时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：
00 15：
00 18：
00 21：
00 24：
00
水深
值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
（1）选用一个三角函数来近似地描述这个港口的水深值与时间的
函数关系，给出整点时水深的近似数值；
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4 m，安全条例
规定至少要有1.5 m的安全间隙（船底与海底的距离），该船
何时能进入港口？在港口能停多久？
（3）某船的吃水深度为4 m，安全间隙为1.5 m，该船在2：00开
始卸货，吃水深度以每小时0.3 m的速度减小，那么该船在什
么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
3. 做题
分析：（1）考察数据，可选用正弦函数，再利用待定系数法求
解；
（2）在涉及三角不等式时，可利用图象求解.
解：（1）设所求函数为f（x）＝A sin ωx＋k，则由已知数
据可以求得A＝2.5，k＝5，T＝12，ω＝ ＝ ，
故f（x）＝2.5 sin ＋5.
（2）由2.5 sin ＋5≥5.5，得 sin ≥0.2，
画出y＝ sin 的图象（如图），
由图象可得0.4≤x≤5.6或12.4≤x≤17.6，
（3）若2≤x≤24，x时刻的吃水深度为h（x）＝4－0.3（x
－2），
由f（x）≥h（x）＋1.5，得 sin ≥0.44－0.12x.
画出y＝ sin 和y＝0.44－0.12x的图象（如图）.
4. 结题（解决实际问题）
（1）由解析式可得在整点时的水深近似为：1：00，5：00，13：
00，17：00为6.3 m；2：00，4：00，14：00，16：00为7.2
m；7：00，11：00，19：00，23：00为3.7 m；8：00，10：
00，20：00，22：00为2.8 m.
（2）该船在0：24至5：36和12：24至17：36期间可以进港.
（3）由图象可知当x＝6.7时，即6：42时，该船必须停止卸货，
驶向较深的水域.
【例2】 如图为小球在做单摆运动时，离开平衡位置时的位移y
（cm）随时间x（s）变化所满足的函数图象，已知该图象满足y＝A
sin （ωx＋φ）（x∈[0，＋∞），ω＞0，0＜φ＜ ）的形式.试根据
函数图象求出这个单摆运动的函数解析式，此单摆的周期是多少？
分析：已知函数图象满足y＝A sin （ωx＋φ）的形式，根据图象上的
一些关键点可以确定A，ω，φ，进而确定函数解析式.
解：由图象知，周期T＝2 ＝π，所以ω＝ ＝2.
因为点 在函数图象上.
所以A sin ＝0，即 sin ＝0.
又已知0＜φ＜ ，则 ＜ ＋φ＜ ，
从而 ＋φ＝π，即φ＝ .
又点（0，1）在函数图象上，所以A sin ＝1，得A＝2.
故所求函数的解析式为y＝2 sin .
此单摆的周期T＝ ＝π.
例2还可以通过待定系数法来解决.由于 及 在图象
上，由“五点法”可知：解得ω＝2，φ＝ .
活动小结：潮涨潮落、月圆月缺、四季交替等自然界中按一定的规律
周而复始出现的现象，这都说明周期变化的现象在现实生活中比比皆
是.三角函数作为描述现实世界中周期现象的重要数学模型有着广泛
的应用.针对现实生活中的某种周期现象，用适当的方法搜集数据，
并利用这些数据为这种周期现象建立一个函数模型.
建模练习：
1. 已知一正弦电流I（A）随时间t（s）的部分变化曲线如图所示，
试写出I关于t的函数解析式.
2. 仿照本节例1，尝试解决以下问题.
某港口相邻两次高潮发生时间间隔12 h 20 min，低潮时入口处水的
深度为2.8 m，高潮时为8.4 m，一次高潮发生在10月3日2：00.
（1）若从10月3日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似
描述这个港口的水深d（单位：m）和时间t（单位：h）之
间的函数关系；
（2）求10月3日4：00水的深度；
（3）求10月3日吃水深度为5 m的轮船能进入港口的时间.
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