一、数学抽象
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.在本章中主要体现在三角函数的定义中.
培优一 三角函数的定义
【例1】 在平面直角坐标系xOy中，已知角α的终边经过点P（－4a，3a）（a≠0）.
（1）求cos α的值；
（2）设a＞0，角β的终边与角α的终边关于y＝x对称，求cos β的值.
尝试解答
二、数学运算
在数学运算核心素养的形成过程中，学生可进一步发展数学运算能力；能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维发展.本章中同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用、三角函数的最值问题都彰显了学科素养中的数学运算.
培优二 同角三角函数的基本关系及诱导公式
【例2】 已知条件：①若α为第二象限角，sin＝－；②已知角α终边上一点P（－4，3）.现从上述条件选择一个解答以下问题：
（1）求sin α的值；
（2）若f（α）＝，
求f（α）的值.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
尝试解答
培优三 三角函数的最值
【例3】 （1）已知函数y＝asin＋b在x∈上的值域为[－5，1]，求a，b的值；
（2）求y＝的最大值和最小值.
尝试解答
三、逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.逻辑推理在本章中主要体现在三角函数式的化简与证明、三角函数的性质等问题中.
培优四 三角函数式的化简与证明问题
【例4】 已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1.
尝试解答
培优五 三角函数的性质
【例5】 （1）下列函数中最小正周期为π且为偶函数的是（ ）
A.y＝cos
B.y＝sin
C.y＝sin
D.y＝cos x
（2）已知函数f（x）＝sin x＋，则（ ）
A.f（x）的最小值为2
B.f（x）的图象关于y轴对称
C.f（x）的图象关于直线x＝π对称
D.f（x）的图象关于直线x＝对称
尝试解答
四、直观想象
直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，在本章中主要体现在三角函数图象的识别、变换及应用中.
培优六 三角函数的图象
【例6】 （1）（2024·新高考Ⅰ卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x－）的交点个数为（ ）
A.3 B.4
C.6 D.8
（2）（2023·全国乙卷理6题）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）在区间（，）上单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f（x）的图象的两条相邻对称轴，则f（－）＝（ ）
A.－ B.－
C. D.
（3）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（其中x∈R，A＞0，ω＞0，｜φ｜＜）的部分图象如图所示.
①求f（x）的解析式；
②请写出g（x）＝f的表达式，并求出函数y＝g（x）的图象的对称轴和对称中心.
尝试解答
五、数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.主要步骤为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题.
培优七 构建三角函数模型
【例7】 游客乘坐位于长沙贺龙体育场的摩天轮可近观长沙中心城区城市美景，据工作人员介绍，该摩天轮直径约100米，摩天轮的最低处P与地面的距离为20米，设有60个座舱，游客先乘坐直升电梯到入口（入口在摩天轮距地面的最低处）处等待，当座舱到达最低处P时有序进入座舱，摩天轮逆时针方向匀速运行一周约需20分钟，以摩天轮的圆心为坐标原点，水平线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）试将游客甲离地面的距离h（t）（单位：米）表示为其坐上摩天轮的时间t（单位：分钟）的函数；
（2）若游客乙在甲后的5分钟也在点P处坐上摩天轮，求在乙坐上摩天轮后，甲乙离地面距离之差的表达式.
尝试解答
章末复习与总结
【例1】 解：（1）因为x＝－4a，y＝3a，
所以r＝＝5｜a｜（a≠0），
当a＞0时，cos α＝＝＝－；
当a＜0时，cos α＝＝＝.
（2）因为角α的终边经过点P（－4a，3a），由角β的终边与角α的终边关于y＝x对称可得，角β的终边经过点Q（3a，－4a），
又a＞0，则r＝＝5｜a｜＝5a，故cos β＝＝＝.
【例2】 解：选①，（1）因为sin＝cos α＝－，
所以sin α＝±＝±.
又因为α为第二象限角，所以sin α＝.
（2）f（α）＝
＝＝sin α＝.
选②，（1）因为α终边上一点P（－4，3），
所以sin α＝，cos α＝－.
（2）f（α）＝
＝＝sin α＝.
【例3】 解：（1）∵x∈，
∴2x＋∈，sin∈.
∴当a＞0时，解得
当a＜0时，解得
∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1.
（2）由已知y＝，得sin x＝.
∵｜sin x｜≤1，
∴≤1，∴≤1，
∴
∴（y＋2）（3y－4）≤0且y≠3，
解得－2≤y≤.
故所求函数的最大值为，最小值为－2.
【例4】 证明：由tan2α＝2tan2β＋1，
得tan2α＋1＝2（tan2β＋1），
即＝2·，
所以＝，
即cos2β＝2cos2α，
即1－sin2β＝2（1－sin2α），
故sin2β＝2sin2α－1.
原式得证.
【例5】 （1）B （2）D 解析：（1）对于A，y＝cos的最小正周期T＝＝π，
但为非奇非偶函数，故A不符合题意；
对于B，y＝sin＝cos 2x，
最小正周期T＝＝π，由诱导公式，
可知cos（－2x）＝cos 2x，则y＝cos 2x为偶函数，
所以y＝sin的最小正周期为π且为偶函数，故B符合题意；
对于C，y＝sin的最小正周期T＝2π，故C不符合题意；
对于D，y＝cos x为偶函数，但其最小正周期T＝2π，故D不符合题意.故选B.
（2）由题意得sin x∈[－1，0）∪（0，1].对于A，当sin x∈（0，1]时，f（x）＝sin x＋≥2＝2，当且仅当sin x＝1时取等号；当sin x∈[－1，0）时，f（x）＝sin x＋＝－≤－2·＝－2，当且仅当sin x＝－1时取等号，所以A错误；对于B，f（－x）＝sin（－x）＋＝－＝－f（x），所以f（x）是奇函数，图象关于原点对称，所以B错误；对于C，f（x＋π）＝sin（x＋π）＋＝－，f（π－x）＝sin（π－x）＋＝sin x＋，则f（x＋π）≠f（π－x），f（x）的图象不关于直线x＝π对称，所以C错误；对于D，f＝sin＋＝cos x＋，f＝sin＋＝cos x＋，所以f＝f，f（x）的图象关于直线x＝对称，所以D正确.故选D.
【例6】 （1）C （2）D
解析：（1）因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin（3x－）的最小正周期为T＝，所以在x∈[0，2π]上函数y＝2sin（3x－）的图象恰有三个周期，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点.故选C.
（2）由函数f（x）在区间（，）上单调递增，且直线x＝和x＝是函数f（x）的图象的两条相邻对称轴，得＝2（－），解得ω＝2，则f（）＝sin（＋φ）＝－1，所以φ＝－＋2kπ－＝－＋2kπ，k∈Z，所以f（x）＝sin（2x－＋2kπ），k∈Z，则f（－）＝sin（－＋2kπ）＝sin（－）＝.故选D.
（3）解：①由题图可知A＝3，＝－，
所以T＝π ω＝2，f（x）＝3sin（2x＋φ），
所以＋φ＝，φ＝－，
所以f（x）＝3sin.
②由（1）知g（x）＝f＝3sin＝3sin＝3cos 2x，令2x＝kπ（k∈Z），所以所求的对称轴为直线x＝（k∈Z），令2x＝＋kπ（k∈Z），
x＝＋（k∈Z），所以所求的对称中心为（＋，0）（k∈Z）.
【例7】 解：（1）法一 据题意，游客甲绕原点按逆时针方向作角速度为＝弧度/分钟的匀速圆周运动，设经过t分钟后甲到达Q，则以OP为始边，OQ为终边的角的大小是t，因为圆的半径为r＝50米，由三角函数定义知点Q的纵坐标为y＝50sin，则其离地面的距离为h（t）＝20＋50＋50sin＝70－50cos t（t≥0）.
法二 因为摩天轮是做匀速圆周运动，故可设h（t）＝Asin（ωt＋φ）＋b（A＞0，ω＞0），据题意有
又周期T＝20，所以ω＝，由在最低点入舱得·0＋φ＝－ φ＝－，
故得h（t）＝50sin＋70＝70－50cos t，t≥0.
（2）由（1）可知游客乙离地面的距离：g（t）＝70－50cos＝70－50sin t，
其中时间t表示游客甲坐上摩天轮的时间，则甲乙离地面距离之差表达式为：Δh＝h（t）－g（t）＝50（sin t－cos t）.
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章末复习与总结
一、数学抽象
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映
了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中.在本
章中主要体现在三角函数的定义中.
培优一 三角函数的定义
【例1】 在平面直角坐标系xOy中，已知角α的终边经过点P（－
4a，3a）（a≠0）.
（1）求 cos α的值；
解： 因为x＝－4a，y＝3a，所以r＝
＝5｜a｜（a≠0），当a＞0时， cos α
＝ ＝ ＝－ ；当a＜0时， cos α＝ ＝ ＝ .
（2）设a＞0，角β的终边与角α的终边关于y＝x对称，求 cos β
的值.
解： 因为角α的终边经过点P（－4a，3a），由角β的
终边与角α的终边关于y＝x对称可得，角β的终边经过点Q
（3a，－4a），
又a＞0，则r＝ ＝5｜a｜＝5a，故 cos β
＝ ＝ ＝ .
二、数学运算
在数学运算核心素养的形成过程中，学生可进一步发展数学运算
能力；能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思
维发展.本章中同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用、三角函
数的最值问题都彰显了学科素养中的数学运算.
培优二 同角三角函数的基本关系及诱导公式
【例2】 已知条件：①若α为第二象限角， sin ＝－ ；
②已知角α终边上一点P（－4，3）.现从上述条件选择一个解答
以下问题：
（1）求 sin α的值；
解：选①，（1）因为 sin ＝ cos α＝－ ，
所以 sin α＝± ＝± .
又因为α为第二象限角，所以 sin α＝ .
（2）若f（α）＝ ，
求f（α）的值.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：选①，（2）f（α）＝
＝ ＝ sin α＝ .
选②，（1）因为α终边上一点P（－4，3），
所以 sin α＝ ， cos α＝－ .
（2）f（α）＝ ＝
＝ sin α＝ .
培优三 三角函数的最值
【例3】 （1）已知函数y＝a sin ＋b在x∈ 上的值域
为[－5，1]，求a，b的值；
解： ∵x∈ ，
∴2x＋ ∈ ， sin ∈ .
∴当a＞0时，解得
当a＜0时，解得
∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1.
（2）求y＝ 的最大值和最小值.
解： 由已知y＝ ，得 sin x＝ .
∵｜ sin x｜≤1，∴ ≤1，∴ ≤1，
∴
∴（y＋2）（3y－4）≤0且y≠3，解得－2≤y≤ .
故所求函数的最大值为 ，最小值为－2.
三、逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命
题的思维过程.逻辑推理在本章中主要体现在三角函数式的化简与证
明、三角函数的性质等问题中.
培优四 三角函数式的化简与证明问题
【例4】 已知tan2α＝2tan2β＋1，求证： sin 2β＝2 sin 2α－1.
证明：由tan2α＝2tan2β＋1，
得tan2α＋1＝2（tan2β＋1），
即 ＝2· ，
所以 ＝ ，即 cos 2β＝2 cos 2α，
即1－ sin 2β＝2（1－ sin 2α），
故 sin 2β＝2 sin 2α－1.原式得证.
培优五 三角函数的性质
【例5】 （1）下列函数中最小正周期为π且为偶函数的是（ ）
D. y＝ cos x
解析： 对于A，y＝ cos 的最小正周期T＝ ＝
π，但为非奇非偶函数，故A不符合题意；对于B，y＝ sin
＝ cos 2x，最小正周期T＝ ＝π，由诱导公式，可
知 cos （－2x）＝ cos 2x，则y＝ cos 2x为偶函数，所以y＝
sin 的最小正周期为π且为偶函数，故B符合题意；
对于C，y＝ sin 的最小正周期T＝2π，故C不符合题
意；对于D，y＝ cos x为偶函数，但其最小正周期T＝2π，故
D不符合题意.故选B.
（2）已知函数f（x）＝ sin x＋ ，则（ ）
A. f（x）的最小值为2
B. f（x）的图象关于y轴对称
C. f（x）的图象关于直线x＝π对称
解析：由题意得 sin x∈[－1，0）∪（0，1].对于A，当 sin x∈
（0，1]时，f（x）＝ sin x＋ ≥2 ＝2，当且仅
当 sin x＝1时取等号；当 sin x∈[－1，0）时，f（x）＝ sin x＋
＝－ ≤－2· ＝－2，当且仅
当 sin x＝－1时取等号，所以A错误；对于B，f（－x）＝ sin
（－x）＋ ＝－ ＝－f（x），所以f（x）
是奇函数，图象关于原点对称，所以B错误；
对于C，f（x＋π）＝ sin （x＋π）＋ ＝－ ，
f（π－x）＝ sin （π－x）＋ ＝ sin x＋ ，则f（x＋π）
≠f（π－x），f（x）的图象不关于直线x＝π对称，所以C错误；对
于D，f ＝ sin ＋ ＝ cos x＋ ，f ＝
sin ＋ ＝ cos x＋ ，所以f ＝f ，f（x）
的图象关于直线x＝ 对称，所以D正确.故选D.
四、直观想象
直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手
段，在本章中主要体现在三角函数图象的识别、变换及应用中.
培优六 三角函数的图象
【例6】 （1）（2024·新高考Ⅰ卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝
sin x与y＝2 sin （3x－ ）的交点个数为（ ）
A. 3 B. 4
C. 6 D. 8
解析： 因为函数y＝ sin x的最小正
周期为T＝2π，函数y＝2 sin （3x－
）的最小正周期为T＝ ，所以在
x∈[0，2π]上函数y＝2 sin （3x－ ）
的图象恰有三个周期，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点.故选C.
（2）（2023·全国乙卷理6题）已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）在
区间（ ， ）上单调递增，直线x＝ 和x＝ 为函数y＝f
（x）的图象的两条相邻对称轴，则f（－ ）＝（ ）
解析：由函数f（x）在区间（ ， ）上单调递增，且直线x＝ 和x＝ 是函数f（x）的图象的两条相邻对称轴，得 ＝2（ － ），
解得ω＝2，则f（ ）＝ sin （ ＋φ）＝－1，所以φ＝－ ＋2kπ－ ＝－ ＋2kπ，k∈Z，所以f（x）＝ sin （2x－ ＋2kπ），k∈Z，
则f（－ ）＝ sin （－ ＋2kπ）＝ sin （－ ）＝ .故选D.
（3）已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（其中x∈R，A＞0，ω＞
0，｜φ｜＜ ）的部分图象如图所示.
①求f（x）的解析式；
②请写出g（x）＝f 的表达式，
并求出函数y＝g（x）
的图象的对称轴和对称中心.
解：①由题图可知A＝3， ＝ － ，
所以T＝π ω＝2，f（x）＝3 sin （2x＋φ），
所以 ＋φ＝ ，φ＝－ ，所以f（x）＝3 sin .
②由（1）知g（x）＝f ＝3 sin ［2（x＋ ）－ ］＝3
sin ＝3 cos 2x，令2x＝kπ（k∈Z），所以所求的对称
轴为直线x＝ （k∈Z），令2x＝ ＋kπ（k∈Z），
x＝ ＋ （k∈Z），所以所求的对称中心为
（k∈Z）.
五、数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用
数学方法构建模型解决问题的素养.主要步骤为：发现和提出问题，
建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题.
培优七 构建三角函数模型
【例7】 游客乘坐位于长沙贺龙体育场的摩天轮可近观长沙中心
城区城市美景，据工作人员介绍，该摩天轮直径约100米，摩天轮
的最低处P与地面的距离为20米，设有60个座舱，游客先乘坐直升
电梯到入口（入口在摩天轮距地面的最低处）处等待，当座舱到
达最低处P时有序进入座舱，摩天轮逆时针方向匀速运行一周约需
20分钟，以摩天轮的圆心为坐标原点，水平线为x轴建立如图所示
的平面直角坐标系.
（1）试将游客甲离地面的距离h（t）（单位：米）表示为其坐上摩
天轮的时间t（单位：分钟）的函数；
解： 法一 据题意，游客甲绕原点按逆时针方向作角速度
为 ＝ 弧度/分钟的匀速圆周运动，设经过t分钟后甲到达
Q，则以OP为始边，OQ为终边的角的大小是 t，因为圆的半
径为r＝50米，由三角函数定义知点Q的纵坐标为y＝50 sin
（ t－ ），则其离地面的距离为h（t）＝20＋50＋50 sin
＝70－50 cos t（t≥0）.
法二 因为摩天轮是做匀速圆周运动，故可设h（t）＝A sin （ωt＋
φ）＋b（A＞0，ω＞0），据题意有
又周期T＝20，所以ω＝ ，由在最低点入舱得 ·0＋φ＝－ φ＝
－ ，
故得h（t）＝50 sin ＋70＝70－50 cos t，t≥0.
（2）若游客乙在甲后的5分钟也在点P处坐上摩天轮，求在乙坐上摩
天轮后，甲乙离地面距离之差的表达式.
解：由（1）可知游客乙离地面的距离：g（t）＝70－50 cos ＝70－50 sin t，
其中时间t表示游客甲坐上摩天轮的时间，则甲乙离地面距离之差表
达式为：Δh＝h（t）－g（t）＝50 .
谢 谢 观 看！
