章末检测（七） 三角函数
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.把－765°化成2kπ＋α（0≤α＜2π），k∈Z的形式是（ ）
A.－4π－ B.－4π＋
C.－6π－ D.－6π＋
2.若角α的终边经过点P（1，－2），则tan α的值为（ ）
A. B.－
C.－2 D.－
3.在直径为20 cm的圆中，165°圆心角所对应的弧长为（ ）
A. cm B. cm
C. cm D. cm
4.已知cos＝，且｜φ｜＜，则tan φ＝（ ）
A.－ B.
C.－ D.
5.如果函数y＝3sin（2x＋φ）的图象关于点中心对称，那么｜φ｜的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
6.为了得到函数y＝tan的图象，只需把函数y＝tan 2x的图象上所有的点（ ）
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
7.若函数f（x）＝sin2x＋2cos x在区间上的最大值为1，则θ的值是（ ）
A.0 B. C. D.－
8.若函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则ω和φ的取值是（ ）
A.ω＝1，φ＝ B.ω＝1，φ＝－
C.ω＝，φ＝ D.ω＝，φ＝－
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.若角α是第四象限的角，则（ ）
A.sin α＞0 B.cos α＞0
C.tan α＞0 D.sin αcos α＜0
10.同时满足下列三个条件的函数为（ ）
①在上是增函数；②为R上的奇函数；③最小正周期为T≥π.
A.y＝tan x B.y＝｜cos x｜
C.y＝tan D.y＝sin x
11.设函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）（ω＞0，－＜φ＜）的图象关于直线x＝对称，最小正周期是π，则（ ）
A.f（x）的图象过点
B.f（x）在上是减函数
C.f（x）图象的一个对称中心是点
D.将f（x）的图象向右平移｜φ｜个单位长度，得到函数y＝3sin ωx的图象
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.函数f（x）＝2sin x＋1，x∈的值域为 .
13.已知sin α－cos α＝－，则tan α＋＝ .
14.将函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，－≤φ≤）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f（x）的解析式为 ，f＝ .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）（1）化简：·sin（α－π）·cos（2π－α）；
（2）求值：sin cos＋sin cos .
16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜π）的一段图象如图所示.
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈，求函数f（x）的值域.
17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝3tan（2x－）.
（1）求f（x）的定义域；
（2）试比较f与f的大小.
18.（本小题满分17分）在①将函数f（x）图象向右平移个单位所得图象关于y轴对称；②函数y＝f是奇函数；③当x＝时，函数y＝f取得最大值.三个条件中任选一个，补充在题干中的横线处，然后解答问题.
已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ），其中ω＞0，｜φ｜＜，其图象相邻的对称中心之间的距离为， .
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
（2）求函数y＝f（x）在上的最小值，并写出取得最小值时x的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
19.（本小题满分17分）对于分别定义在D1，D2上的函数f（x），g（x）以及实数k，若存在x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）－g（x2）＝k，则称函数f（x）与g（x）具有关系M（k）.
（1）若f（x）＝cos x，x∈[0，π]；g（x）＝sin x，x∈[0，π]，判断f（x）与g（x）是否具有关系M（－2），并说明理由；
（2）若f（x）＝cos x－1与g（x）＝－2sin2x＋sin x＋1具有关系M（k），求实数k的取值范围；
（3）已知a＞0，h（x）为定义在R上的奇函数，且满足：①在[0，2a]上，当且仅当x＝时，h（x）取得最大值1；②对任意x∈R，有h（a＋x）＋h（a－x）＝0.
判断是否存在实数a（a＞0），使得f（x）＝sin 2πx＋h（x）与g（x）＝h（x）－cos 2πx具有关系M（4），若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
章末检测（七） 三角函数
1.D 2.C 3.B 4.C 5.C 6.C 7.D 8.C
9.BD 若角α是第四象限的角，则sin α＜0， cos α＞0，tan α＜0，sin αcos α＜0，故选B、D.
10.AD A中y＝tan x，在上是增函数且为奇函数又是以π为最小正周期的函数，三个条件均满足；B中y＝｜cos x｜，为偶函数且在上是减函数又是以π为最小正周期的函数，不满足条件①②；C中y＝tan ，以2π为最小正周期，不满足条件③；D中y＝sin ，在上是增函数且为奇函数又以4π为最小正周期的函数，满足三个条件.故选A、D.
11.BC 由题意得T＝π＝，则ω＝2，故f（x）＝3sin（2x＋φ）.∵直线x＝是f（x）的图象的一条对称轴，∴＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝－π＋kπ，k∈Z，又－＜φ＜，∴φ＝，∴f（x）＝3sin.f（0）＝3sin ＝，故A错误；当x∈时，2x＋∈，f（x）单调递减，故B正确；f＝3sin＝0，故C正确；将f（x）的图象向右平移｜φ｜个单位长度，得到函数y＝3sin［2＋］＝3sin的图象，故D错误.故选B、C.
12.[0，3] 解析：易知函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，又f（0）＝1，f＝3，f＝0，故所求的最大值为3，最小值为0.
13.－ 解析：∵sin α－cos α＝－，∴sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝－，∴tan α＋＝＋＝＝＝－.
14.f（x）＝sin
解析：将y＝sin x的图象向左平移个单位长度可得y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍可得y＝sin的图象，故f（x）＝sin（x＋），所以f＝sin＝sin＝.
15.解：（1）原式＝·（－sin α）cos α＝－sin2α.
（2）原式＝sin cos ＋＝×＋×＝.
16.解：（1）由题图可得f（x）＝2sin，
由－＋2kπ≤2x＋π≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤－＋kπ，k∈Z，
所以函数f（x）的单调增区间为，k∈Z.
（2）因为x∈，所以2x＋π∈，
所以当x＝时，f（x）min＝－，
当x＝－时，f（x）max＝2，
所以函数f（x）的值域为[－，2].
17.解：（1）由已知得2x－≠kπ＋（k∈Z），
即x≠＋（k∈Z），
所以f（x）的定义域为.
（2）f＝3tan＝－3tan ＜0，f＝3tan＝3tan＝3tan＝3tan ＞0，所以f＜f.
18.解：（1）因为函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）的图象相邻的对称中心之间的距离为，所以周期＝，即T＝π，所以ω＝＝2.
若选择①，
因为函数f（x）图象向右平移个单位所得图象关于y轴对称，
所以g（x）＝2sin＝2sin的图象关于y轴对称，所以φ－＝kπ＋，k∈Z，
因为｜φ｜＜，所以φ＝－.
所以函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝2sin.
若选择②，
因为y＝f＝2sin＝2sin（2x＋＋φ）是奇函数，
所以＋φ＝kπ，k∈Z，因为｜φ｜＜，所以φ＝－.所以函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝2sin.
若选择③，
y＝f＝2sin＝2sin（2x－＋φ），
由题设，当x＝时，函数y＝f取得最大值，
所以2×－＋φ＝2kπ＋（k∈Z），
即φ＝2kπ－（k∈Z），因为｜φ｜＜，所以φ＝－.
所以函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝2sin.
（2）因为f（x）＝2sin，x∈，
所以2x－∈，所以当2x－＝－，
即x＝－时，函数f（x）取得最小值，最小值为－2.
19.解：（1）f（x）与g（x）具有关系M（－2），理由如下：
当x∈[0，π]时，f（x）＝cos x∈[－1，1]，g（x）＝sin x∈[0，1]，
当x1＝π时，f（x1）＝f（π）＝－1，当x2＝时，g（x2）＝g（）＝1，
此时f（π）－g（）＝－2，则f（x）与g（x）具有关系M（－2）.
（2）由函数f（x）＝cos x－1∈[－2，0]，
且g（x）＝－2sin2x＋sin x＋1＝－2（sin x－）2＋，
因为sin x∈[－1，1]，所以当sin x＝－1时，g（x）min＝－2×（－1－）2＋＝－2，当sin x＝时，g（x）max＝，
所以g（x）∈［－2，］，
所以[f（x1）－g（x2）]∈［－，2］，所以k∈［－，2］，即实数k的取值范围为［－，2］.
（3）不存在实数a使得f（x）与g（x）具有关系M（4）.理由如下：
因为在[0，2a]上，当且仅当x＝时，h（x）取得最大值1，且h（x）为定义在R上的奇函数，
所以在[－2a，0]上，当且仅当x＝－时，h（x）取得最小值－1，故h（x）的值域为[－1，1]，
由对任意x∈R有h（a＋x）＋h（a－x）＝0，可得y＝h（x）关于点（a，0）对称，
又h（a＋x）＝－h（a－x）＝h（x－a），故h（x）的周期为2a，
又sin 2πx∈[－1，1]，cos 2πx∈[－1，1]，
所以当h（x1）＝1时，x1＝＋2na，n∈Z，sin 2πx1＝1时，x1＝＋k，k∈Z，
若＋2na＝＋k，即a＝，k，n∈Z，此时有f（x1）＝sin 2πx1＋h（x1）＝2；
当h（x2）＝－1时，x2＝－＋2ma，m∈Z，cos 2πx2＝1时，x2＝t，t∈Z，
若－＋2ma＝t，则a＝，t，m∈Z时，有g（x2）＝h（x2）－cos 2πx2＝－2，
因为≠，所以sin 2πx1＋h（x1）＋cos 2πx2－h（x2）＜4，
所以不存在x1∈R，x2∈R使得sin 2πx1＋f（x1）＋cos 2πx2－f（x2）＝4，
故不存在实数a使得f（x）＝sin 2πx＋h（x）与g（x）＝h（x）－cos 2πx具有关系M（4）.
3 / 3(共38张PPT)
章末检测（七） 三角函数
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 把－765°化成2kπ＋α（0≤α＜2π），k∈Z的形式是（ ）
A. －4π－ B. －4π＋
C. －6π－ D. －6π＋
解析： 由题意，可得－765°＝－720°－45°＝－1 080°＋
315°＝－6π＋ ，故选D.
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2. 若角α的终边经过点P（1，－2），则tan α的值为（ ）
A. B. －
C. －2 D. －
解析： 由任意角的正切的定义得tan α＝ ＝ ＝－2.故选C.
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3. 在直径为20 cm的圆中，165°圆心角所对应的弧长为（ ）
A. cm B. cm
C. cm D. cm
解析： ∵165°＝ ×165 rad＝ rad，∴l＝ ×10＝
（cm）.
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4. 已知 cos ＝ ，且｜φ｜＜ ，则tan φ＝（ ）
A. － B.
C. － D.
解析： 由 cos ＝ ，得 sin φ＝－ .又｜φ｜＜ ，
∴ cos φ＝ ，∴tan φ＝－ .
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5. 如果函数y＝3 sin （2x＋φ）的图象关于点 中心对称，那
么｜φ｜的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 由题意知2× ＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－
（k∈Z），由此易得｜φ｜min＝ .
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6. 为了得到函数y＝tan 的图象，只需把函数y＝tan 2x的图
象上所有的点（ ）
A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位
C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位
解析： ∵y＝tan ＝tan 2 ，∴把函数y＝tan 2x
的图象上所有的点向左平移 个单位，即可得到函数y＝tan
的图象.
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7. 若函数f（x）＝ sin 2x＋2 cos x在区间 上的最大值为1，
则θ的值是（ ）
A. 0 B.
C. D. －
解析： 由f（x）＝ sin 2x＋2 cos x＝1－ cos 2x＋2 cos x取到
最大值1，可知 cos x＝0，结合三角函数的图象易知θ＝－ ，
故选D.
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8. 若函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）的部分图象如图所示，则ω和φ的
取值是（ ）
A. ω＝1，φ＝ B. ω＝1，φ＝－
C. ω＝ ，φ＝ D. ω＝ ，φ＝－
解析： 由图象知，T＝4 ＝4π＝ ，所以ω＝ .又当x
＝ 时，y＝1，所以 sin （ × ＋φ）＝1，即 ＋φ＝2kπ＋ ，
（k∈Z），当k＝0时，φ＝ .
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选
对的得部分分，有选错的得0分）
9. 若角α是第四象限的角，则（ ）
A. sin α＞0 B. cos α＞0
C. tan α＞0 D. sin α cos α＜0
解析： 若角α是第四象限的角，则 sin α＜0， cos α＞0，
tan α＜0， sin α cos α＜0，故选B、D.
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10. 同时满足下列三个条件的函数为（ ）
①在 上是增函数；②为R上的奇函数；③最小正周期为
T≥π.
A. y＝tan x B. y＝｜ cos x｜
C. y＝tan D. y＝ sin x
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解析： A中y＝tan x，在 上是增函数且为奇函数又是
以π为最小正周期的函数，三个条件均满足；B中y＝｜ cos x｜，
为偶函数且在 上是减函数又是以π为最小正周期的函数，
不满足条件①②；C中y＝tan ，以2π为最小正周期，不满足条件
③；D中y＝ sin ，在 上是增函数且为奇函数又以4π为最
小正周期的函数，满足三个条件.故选A、D.
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11. 设函数f（x）＝3 sin （ωx＋φ） 的图象关于
直线x＝ 对称，最小正周期是π，则（ ）
A. f（x）的图象过点
B. f（x）在 上是减函数
C. f（x）图象的一个对称中心是点
D. 将f（x）的图象向右平移｜φ｜个单位长度，得到函数y＝3 sin
ωx的图象
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解析： 由题意得T＝π＝ ，则ω＝2，故f（x）＝3 sin
（2x＋φ）.∵直线x＝ 是f（x）的图象的一条对称轴，∴ ＋
φ＝ ＋kπ，k∈Z，即φ＝－ π＋kπ，k∈Z，又－ ＜φ＜ ，
∴φ＝ ，∴f（x）＝3 sin .f（0）＝3 sin ＝ ，故A错
误；当x∈ 时，2x＋ ∈ ，f（x）单调递减，故
B正确；f ＝3 sin （2× ＋ ）＝0，故C正确；
将f（x）的图象向右平移｜φ｜个单位长度，得到函数y＝3 sin
［2 ＋ ］＝3 sin 的图象，故D错误.故选B、C.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 函数f（x）＝2 sin x＋1，x∈ 的值域为 .
解析：易知函数f（x）在 上单调递增，在 上单调
递减，又f（0）＝1，f ＝3，f ＝0，故所求的最大值为
3，最小值为0.
[0，3]
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13. 已知 sin α－ cos α＝－ ，则tan α＋ ＝ － .
解析：∵ sin α－ cos α＝－ ，∴ sin 2α＋ cos 2α－2 sin α
cos α＝ ，∴ sin α cos α＝－ ，∴tan α＋ ＝ ＋
＝ ＝ ＝－ .
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14. 将函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0，－ ≤φ≤ ）图象上每
一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 个
单位长度得到y＝ sin x的图象，则f（x）的解析式为
sin ，f ＝ .
f（x）＝
sin
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解析：将y＝ sin x的图象向左平移 个单位长度可得y＝ sin
的图象，保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍可得y＝
sin 的图象，故f（x）＝ sin ，所以f ＝ sin
＝ sin ＝ .
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）（1）化简： · sin （α－
π）· cos （2π－α）；
解： 原式＝ ·（－ sin α） cos α＝－ sin 2α.
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（2）求值： sin cos ＋ sin cos .
解： 原式＝ sin cos ＋ ＝ × ＋
× ＝ .
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16. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞
0，ω＞0，｜φ｜＜π）的一段图象如图所示.
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
解：由题图可得f（x）＝2 sin ，
由－ ＋2kπ≤2x＋ π≤ ＋2kπ，k∈Z，
得－ ＋kπ≤x≤－ ＋kπ，k∈Z，
所以函数f（x）的单调增区间为［－ ＋
kπ，－ ＋kπ］，k∈Z.
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（2）若x∈ ，求函数f（x）的值域.
解： 因为x∈ ，
所以2x＋ π∈ ，
所以当x＝ 时，f（x）min＝－ ，
当x＝－ 时，f（x）max＝2，
所以函数f（x）的值域为[－ ，2].
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17. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝3tan .
（1）求f（x）的定义域；
解： 由已知得2x－ ≠kπ＋ （k∈Z），
即x≠ ＋ （k∈Z），
所以f（x）的定义域为 .
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（2）试比较f 与f 的大小.
解： f ＝3tan ＝－3tan ＜0，f ＝
3tan ＝3tan ＝3tan ＝3tan ＞0，所
以f ＜f .
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18. （本小题满分17分）在①将函数f（x）图象向右平移 个单位所
得图象关于y轴对称；②函数y＝f 是奇函数；③当x＝
时，函数y＝f 取得最大值.三个条件中任选一个，补充在
题干中的横线处，然后解答问题.
已知函数f（x）＝2 sin （ωx＋φ），其中ω＞0，｜φ｜＜ ，其
图象相邻的对称中心之间的距离为 ， .
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（1）求函数y＝f（x）的解析式；
解： 因为函数f（x）＝2 sin （ωx＋φ）的图象相邻
的对称中心之间的距离为 ，
所以周期 ＝ ，即T＝π，所以ω＝ ＝2.
若选择①，
因为函数f（x）图象向右平移 个单位所得图象关于y轴
对称，
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所以g（x）＝2 sin ＝2 sin （2x－ ＋
φ）的图象关于y轴对称，所以φ－ ＝kπ＋ ，k∈Z，
因为｜φ｜＜ ，所以φ＝－ .
所以函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝2 sin .
若选择②，
因为y＝f ＝2 sin ＝2 sin 是奇函数，
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所以 ＋φ＝kπ，k∈Z，因为｜φ｜＜ ，所以φ＝－ .所
以函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝2 sin .
若选择③，
y＝f ＝2 sin ＝2 sin （2x－ ＋
φ），
由题设，当x＝ 时，函数y＝f 取得最大值，
所以2× － ＋φ＝2kπ＋ （k∈Z），
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即φ＝2kπ－ （k∈Z），
因为｜φ｜＜ ，所以φ＝－ .
所以函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝2 sin .
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（2）求函数y＝f（x）在 上的最小值，并写出取得最
小值时x的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
解： 因为f（x）＝2 sin ，x∈ ，
所以2x－ ∈ ，
所以当2x－ ＝－ ，即x＝－ 时，函数f（x）取得最小
值，最小值为－2.
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19. （本小题满分17分）对于分别定义在D1，D2上的函数f（x），g
（x）以及实数k，若存在x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）－g
（x2）＝k，则称函数f（x）与g（x）具有关系M（k）.
（1）若f（x）＝ cos x，x∈[0，π]；g（x）＝ sin x，x∈[0，
π]，判断f（x）与g（x）是否具有关系M（－2），并说
明理由；
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解： f（x）与g（x）具有关系M（－2），理由如下：
当x∈[0，π]时，f（x）＝ cos x∈[－1，1]，g（x）＝
sin x∈[0，1]，
当x1＝π时，f（x1）＝f（π）＝－1，当x2＝ 时，g（x2）
＝g（ ）＝1，
此时f（π）－g（ ）＝－2，则f（x）与g（x）具有关系
M（－2）.
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（2）若f（x）＝ cos x－1与g（x）＝－2 sin 2x＋ sin x＋1具有
关系M（k），求实数k的取值范围；
解：由函数f（x）＝ cos x－1∈[－2，0]，
且g（x）＝－2 sin 2x＋ sin x＋1＝－2（ sin x－ ）2＋ ，
因为 sin x∈[－1，1]，所以当 sin x＝－1时，g（x）min＝
－2×（－1－ ）2＋ ＝－2，当 sin x＝ 时，g（x）max＝ ，
所以g（x）∈［－2， ］，
所以[f（x1）－g（x2）]∈［－ ，2］，所以k∈［－ ，2］，即实数k的取值范围为［－ ，2］.
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（3）已知a＞0，h（x）为定义在R上的奇函数，且满足：①在
[0，2a]上，当且仅当x＝ 时，h（x）取得最大值1；②
对任意x∈R，有h（a＋x）＋h（a－x）＝0.
判断是否存在实数a（a＞0），使得f（x）＝ sin 2πx＋h
（x）与g（x）＝h（x）－ cos 2πx具有关系M（4），若
存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
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解：不存在实数a使得f（x）与g（x）具有关系M（4）.
理由如下：
因为在[0，2a]上，当且仅当x＝ 时，h（x）取得最大值
1，且h（x）为定义在R上的奇函数，
所以在[－2a，0]上，当且仅当x＝－ 时，h（x）取得最
小值－1，故h（x）的值域为[－1，1]，
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由对任意x∈R有h（a＋x）＋h（a－x）＝0，可得y＝h
（x）关于点（a，0）对称，
又h（a＋x）＝－h（a－x）＝h（x－a），故h（x）的
周期为2a，
又 sin 2πx∈[－1，1]， cos 2πx∈[－1，1]，
所以当h（x1）＝1时，x1＝ ＋2na，n∈Z， sin 2πx1＝1
时，x1＝ ＋k，k∈Z，
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若 ＋2na＝ ＋k，即a＝ ，k，n∈Z，此时有f
（x1）＝ sin 2πx1＋h（x1）＝2；
当h（x2）＝－1时，x2＝－ ＋2ma，m∈Z， cos 2πx2＝1
时，x2＝t，t∈Z，
若－ ＋2ma＝t，则a＝ ，t，m∈Z时，有g（x2）
＝h（x2）－ cos 2πx2＝－2，
因为 ≠ ，所以 sin 2πx1＋h（x1）＋ cos 2πx2－h（x2）＜4，
所以不存在x1∈R，x2∈R使得 sin 2πx1＋f（x1）＋ cos 2πx2
－f（x2）＝4，
故不存在实数a使得f（x）＝ sin 2πx＋h（x）与g（x）
＝h（x）－ cos 2πx具有关系M（4）.
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