第4章 图形的相似（新课预习.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学北师大版

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第4章图形的相似
一．选择题（共10小题）
1．（2025 青羊区模拟）在△ABC中，AB＜AC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，交BC于点D，连接AD；②以A为圆心，以BD的长为半径作弧，以D为圆心，以AB的长为半径作弧，两弧在AC右侧交于点E；③连接AE，连接DE交AC于点F，下列结论错误的是（　　）
A．∠BCA＝∠EAF B．△DBA≌△AED C． D．CF＝AF
2．（2025 启东市一模）如图，在等边三角形ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°，若BD＝4，CE＝2，则△CDE的面积为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025 开州区二模）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．9：1
4．（2025 汝南县二模）如图，已知AB∥CD，联结AD、BC交于点O，联结AC，∠ACB＝∠BAD，如果AB＝2，CD＝6，那么CO长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2025 蓝田县二模）如图，AD、BE是△ABC的两条高，连接DE，CD＝6，AC＝8，若DE＝kAB，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025春 仓山区校级期中）如图，DE是△ABC的中位线，点F为DE上一点，且EF＝2DF，CF的延长线交AB于点G，若DG＝1，则AG的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
7．（2025春 深圳校级期中）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论中正确结论的个数是（　　）
①DE＝EF；②四边形DFBE是菱形；③BM＝3FM；④S△FOM：S矩形ABCD＝1：14．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2025 綦江区一模）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA：AE＝1：2，且四边形ABCD的周长为5，则四边形EFGH的周长为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．45
9．（2025 广东模拟）如图，AB∥CD∥EF，分别截两直线于六点．若，BD＝8，则BF＝（　　）
A．12 B． C．20 D．
10．（2025 柳州一模）如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒AB与它的物像A′B′平行，已知玻璃棒AB＝18厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像A′B′的长是（　　）厘米．
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共5小题）
11．（2025 门头沟区一模）如图，在正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BDC的平分线分别交BC、AC于M、N两点．若，则线段ON的长为 　 　 ．
12．（2025 辽阳模拟）如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若S△DOE：S△COB＝9：25，则AD：DB＝　 　 ．
13．（2025 朝阳区一模）如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，垂足为点E．若AB＝5，CE＝3，则△BCE的面积为 　 　 ．
14．（2024秋 兰州期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为2cm/s，点Q由点D出发沿DA方向向点A匀速移动，速度为1cm/s，如果动点P、Q同时从A、D两点出发，连接PQ、PC，设运动的时间为t（s）（0≤t≤6）．若以Q、A、P为顶点的三角形与△BPC相似时，则t的值为　 　 ．
15．（2025春 青山区期中）如图，在边长为的正方形ABCD中，M为对角线BD上一点，连接AM并延长交CD于点P．若PM＝PC，则AM＝　 　 ．
三．解答题（共8小题）
16．（2025 盱眙县一模）如图，在四边形ABCD中，对角线BD与AC交于点F，∠ADB＝∠ACB．
（1）求证：∠ABD＝∠ACD；
（2）过点A作AE∥DC交BD于点E，求证：EF BC＝AD AF．
17．（2025 杨浦区二模）已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠BAE＝∠DAF，延长AE、AF分别交DC、BC延长线于点H、G．
（1）求证：DF CD＝BE BC；
（2）联结EF、HG，如果EF∥HG，求证：四边形ABCD是正方形．
18．（2025春 庐江县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，连接CD，CD＝CB，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点E，求证：△ADE∽△ABC．
19．（2025 河北模拟）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝4m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝5m．已知光在镜面反射中的入射角∠GBH等于反射角∠EBH，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的长；
（2）求灯泡到地面的高度AG．
20．（2025 盐城一模）如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．
21．（2025 宣城一模）如图，△ABC是平面直角坐标系xOy中的格点三角形（顶点都是网格线的交点），已知顶点A为（2，3）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）以点O为位似中心，在给定的网格里作△A2B2C2，使得△A2B2C2与△A1B1C1位似，其中点A2的坐标为（﹣4，6），并求出△A1B1C1与△A2B2C2的位似比．
22．（2024秋 沐川县期末）已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）求证：AF＝DF；
（3）若△FCD的面积为5，BC＝10，求DE的长．
23．（2025春 虹口区月考）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接BE、AD交于点G，点F在线段DC上，且∠EFD+∠ADF＝180°，，连接FG．
（1）求证：四边形AGFE是平行四边形；
（2）如果∠BDA＝∠BAC，求证：AG＝AE．
第4章 图形的相似
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 青羊区模拟）在△ABC中，AB＜AC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，交BC于点D，连接AD；②以A为圆心，以BD的长为半径作弧，以D为圆心，以AB的长为半径作弧，两弧在AC右侧交于点E；③连接AE，连接DE交AC于点F，下列结论错误的是（　　）
A．∠BCA＝∠EAF B．△DBA≌△AED C． D．CF＝AF
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定与性质．
【专题】图形的全等；多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力．
【答案】D
【分析】由步骤②可知AE＝BD，DE＝AB，则可得四边形ABDE是平行四边形，根据平行线的性质可判断A、B、C选项都正确，故D选项错误．
【解答】解：由步骤②可知AE＝BD，DE＝AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴BC∥AE，DE∥BA，
∴∠BCA＝∠EAF，故A选项正确，不符合题意；
∵AE＝BD，DE＝AB，AD＝DA，
∴△DBA≌△AED，故B选项正确，不符合题意；
∵DE∥BA，
∴∠CDF＝∠CBA，∠CFD＝∠CAB，
∴△CDF∽△CBA，
∴，
又∵BA＝DE，
∴，故C选项正确，不符合题意；
∵∠BCA＝∠EAF，∠CFD＝∠AFE，
∴△CDF∽△AEF，
∴1，
∴CF≠AF，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（2025 启东市一模）如图，在等边三角形ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°，若BD＝4，CE＝2，则△CDE的面积为（　　）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】利用等边三角形的性质和相似三角形点P的与性质求得CD，过点E作EH⊥DC于点H，利用直角三角形的边角关系定理求得EH，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论．
【解答】解：设CD＝x，则BC＝BD+CD＝x+4，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝x+4，∠ABD＝∠C＝60°，
∴∠BAD+∠ADB＝120°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠EDC＝120°，
∴∠BAD＝∠EDC，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABD∽△DCE，
∴，
∴，
∴x＝4，
∴CD＝4．
过点E作EH⊥DC于点H，如图，
则EH＝EC sin60°＝2，
∴△CDE的面积2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，三角形的面积公式，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
3．（2025 开州区二模）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．9：1
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：3，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：9，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于相似比，相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
4．（2025 汝南县二模）如图，已知AB∥CD，联结AD、BC交于点O，联结AC，∠ACB＝∠BAD，如果AB＝2，CD＝6，那么CO长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由AB∥CD，证明△AOB∽△DOC，得，则CO＝3BO，所以CB＝4BO，由∠ACB＝∠BAD，∠B＝∠B，证明△ACB∽△OAB，所以，则CB BO＝AB2＝22＝4，所以4BO2＝4，求得BO＝1，则CO＝3，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB∥CD，AB＝2，CD＝6，
∴△AOB∽△DOC，
∴，
∴CO＝3BO，
∴CB＝BO+3BO＝4BO，
∵∠ACB＝∠BAD，∠B＝∠B，
∴△ACB∽△OAB，
∴，
∴CB BO＝AB2＝22＝4，
∴4BO2＝4，
解得BO＝1或BO＝﹣1（不符合题意，舍去），
∴CO＝3，
故选：C．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△AOB∽△DOC及△ACB∽△OAB是解题的关键．
5．（2025 蓝田县二模）如图，AD、BE是△ABC的两条高，连接DE，CD＝6，AC＝8，若DE＝kAB，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】A
【分析】利用相似三角形点P的与性质解答即可．
【解答】解：∵AD、BE是△ABC的两条高，
∴∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCE，
∴，
∵∠C＝C，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∴DEAB．
故选：A．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的高线的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键．
6．（2025春 仓山区校级期中）如图，DE是△ABC的中位线，点F为DE上一点，且EF＝2DF，CF的延长线交AB于点G，若DG＝1，则AG的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】过点E作EM∥AB交CG于点M，证明△FEM∽△FDG，△CME∽△CGA，根据相似三角形的性质以及中位线的性质，即可求解．
【解答】解：EF＝2DF，DG＝1，如图，过点E作EM∥AB交CG于点M，
∴△FEM∽△FDG，
∴，
∴EM＝2，
∵DE是△ABC的中位线，
∴AC＝2EC，
∵EM∥AB，
∴△CME∽△CGA，
∴，
∴AG＝2EM＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
7．（2025春 深圳校级期中）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论中正确结论的个数是（　　）
①DE＝EF；②四边形DFBE是菱形；③BM＝3FM；④S△FOM：S矩形ABCD＝1：14．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】利用矩形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质对每个结论进行逐一判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵O为AC中点，
∴OA＝OC＝OBAC，
∵∠COB＝60°，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°，OB＝OC＝BC．
∴∠FCO＝30°，∠OBA＝30°，
∵FO＝FC，
∴∠FCO＝∠FOC＝30°，
∴∠OFC＝120°，
在△OBF和△CBF中，
，
∴△OBF≌△CBF（SSS），
∴∠OBF＝∠CBF＝30°，∠OFM＝∠CFM＝60°．
∴∠OMB＝∠CMB＝90°，∠ABM＝60°，
∴BF⊥AC，∠CAB＝30°，
∴△BEF为等边三角形，
∴BE＝EF＝BF，
同理：△DEF为等边三角形，
∴DE＝DF＝EF，
∴DE＝DF＝EF＝BE＝BF，
∴四边形DFBE是菱形，
∴①，②的结论正确；
∵BF⊥AC，∠FOC＝∠OBF＝30°，
∴BMOM，FMOM，
∴，
∴BM＝3FM．
∴③的结论正确；
∵四边形ABCD为矩形，
∴．
∵BF⊥AC，BM＝3FM，
∴，
∵△BOC为等边三角形，BF⊥AC，
∴S△BOM＝S△BCM，
∴，
∵O为AC中点，
∴S△AOB＝S△BOC，
∴，
∴，
∴④的结论不正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键．
8．（2025 綦江区一模）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA：AE＝1：2，且四边形ABCD的周长为5，则四边形EFGH的周长为（　　）
A．10 B．15 C．20 D．45
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】根据相似比等于位似比可得：四边形ABCD的周长：四边形EFGH的周长＝1：3，据此解答即可得解．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，OA：AE＝1：2，
∴OA：OE＝1：3，四边形ABCD与四边形EFGH的相似比为1：3，
∴四边形ABCD的周长：四边形EFGH的周长＝1：3，
∵四边形ABCD的周长为5，
∴四边形EFGH的周长为3×5＝15，
故选：B．
【点评】本题考查了位似变换，掌握位似图形的性质是解题的关键．
9．（2025 广东模拟）如图，AB∥CD∥EF，分别截两直线于六点．若，BD＝8，则BF＝（　　）
A．12 B． C．20 D．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，
∵BD＝8，
∴，
∴DF＝12，
∴BF＝8+12＝20．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
10．（2025 柳州一模）如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒AB与它的物像A′B′平行，已知玻璃棒AB＝18厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像A′B′的长是（　　）厘米．
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】D
【分析】过点O作OC⊥AB，垂足为C，延长CO交A′B′于点D，根据题意可得：AB∥A′B′，从而可得∠A＝∠A′，∠ABO＝∠A′B′O，进而可得△ABO∽△A′B′O，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，延长CO交A′B′于点D，
由题意得：AB∥A′B′，
∴∠A＝∠A′，∠ABO＝∠A′B′O，
∴△ABO∽△A′B′O，
∴，
∴，
解得：A′B′＝6，
∴它的物像A′B′的长是6厘米，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 门头沟区一模）如图，在正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BDC的平分线分别交BC、AC于M、N两点．若，则线段ON的长为 　　 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；正方形的性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】．
【分析】过M点作MH⊥BD，根据等腰直角三角形的性质求出HM长，再根据角平分线性质可得CM长，由此得到正方形的边长，求出OD和HD长，根据ON∥HM得到，从而可求ON长．
【解答】解：过M点作MH⊥BD，
∵∠HBM＝45°，
∴BH＝HMBM＝1．
∵DM平分∠BDC，HM⊥BD，MB⊥AB，
∴CM＝HM＝1．
∴正方形边长CB＝1，
∴正方形对角线BD＝2，OD＝1．
∴HD＝BD﹣BH＝21，
∵ON∥HM，
∴，
∴，
∴ON．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是逐步推导出相关线段的长度．
12．（2025 辽阳模拟）如图，已知DE∥BC，CD和BE相交于O，若S△DOE：S△COB＝9：25，则AD：DB＝　3：2　 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据DE∥BC，即可求得△ADE∽△ABC，根据三角形面积计算公式和相似三角形对应边比值相等的性质可以求得AD：AB，即可求得AD：DB，即可解题．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∠CDE＝∠BCD，∠DEB＝∠CBE，
∴△ADE∽△ABC，△DOE∽△COB，
∵S△DOE：S△COB＝9：25，
∴DE：BC＝3：5，
∴AD：AB＝DE：BC＝3：5，
∴AD：DB＝3：2．
故答案为：3：2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，三角形面积的计算公式，相似三角形对应边比值相等的性质，本题中求得是解题的关键．
13．（2025 朝阳区一模）如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，垂足为点E．若AB＝5，CE＝3，则△BCE的面积为 　　 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】．
【分析】利用勾股定理求出DE，再利用相似三角形的性质求出BE可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝5，∠BCD＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEB＝∠CED＝90°，
∴DE4，
∵∠BCE+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CDE＝90°，
∴∠BCE＝∠CDE，
∴△CEB∽△DEC，
∴，
∴，
∴EB，
∴△BCE的面积 BE EC3．
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
14．（2024秋 兰州期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为2cm/s，点Q由点D出发沿DA方向向点A匀速移动，速度为1cm/s，如果动点P、Q同时从A、D两点出发，连接PQ、PC，设运动的时间为t（s）（0≤t≤6）．若以Q、A、P为顶点的三角形与△BPC相似时，则t的值为　或9﹣3　 ．
【考点】相似三角形的判定；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】△APQ与△BPC都是直角三角形，两个三角形相似时，AP的对应边是BP或BC．分两种情形构建方程，分别求解即可．
【解答】解：分两种情况：
①当△AQP∽△BPC时，，
即，
∴t或t＝6（舍去），
∴t；
②当△APQ∽△BPC时，，
即，
∴t2﹣18t+36＝0，
∴t＝9﹣3或t＝9+3，
经检验，t＝9±3是分式方程的解，t＝9+3不符合题意，舍去，
∴当t或9﹣3时，以Q、A、P为顶点的三角形与△BPC相似．
故答案为：或9﹣3．
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
15．（2025春 青山区期中）如图，在边长为的正方形ABCD中，M为对角线BD上一点，连接AM并延长交CD于点P．若PM＝PC，则AM＝　6﹣2　 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】6﹣2．
【分析】过点M作ME⊥AB于点E，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质得到∠DAM＝∠DCM，利用等腰三角形的性质，三角形的外角的性质和三角形的内角和定理求得∠DAM＝30°，∠DPA＝60°，利用只剩下的边角关系定理和等腰直角三角形的性质得到AB＝BE+AE＝（）AM，再利用正方形的边长为2得到关于AM的方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：过点M作ME⊥AB于点E，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠CDB＝45°，
在△ADM和△CDM中，
，
∴△ADM≌△CDM（SAS），
∴∠DAM＝∠DCM．
∵PM＝PC，
∴∠DCM＝∠PMC，
∴∠DPA＝∠DCM+∠PMC＝2∠DCM，
∴∠DPA＝2∠DAM．
∵∠DAM+∠DPA＝90°，
∴∠DAM＝30°，∠DPA＝60°，
∴∠EAM＝90°﹣∠DAM＝60°，
∵ME⊥AB，
∴AE＝AM cos60°，EM＝AM sin60°，
∵∠ABD＝45°，ME⊥AB，
∴BE＝EMAM．
∴AB＝BE+AE＝（）AM，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴（）AM＝2，
∴AM＝6﹣2．
故答案为：6﹣2．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，等腰直角三角形的性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
16．（2025 盱眙县一模）如图，在四边形ABCD中，对角线BD与AC交于点F，∠ADB＝∠ACB．
（1）求证：∠ABD＝∠ACD；
（2）过点A作AE∥DC交BD于点E，求证：EF BC＝AD AF．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）（2）证明见解答过程．
【分析】（1）由∠ADB＝∠ACB，∠AFD＝∠BFC，得△ADF∽△BCF，有，又∠AFB＝∠DFC，即得△AFB∽△DFC，故∠ABD＝∠ACD；
（2）由AE∥DC，∠AFE＝∠CFD，可得△AFE∽△CFD，有，而△ADF∽△BCF，有，即可得EF BC＝AD AF．
【解答】证明：（1）∵∠ADB＝∠ACB，∠AFD＝∠BFC，
∴△ADF∽△BCF，
∴，
∴，
∵∠AFB＝∠DFC，
∴△AFB∽△DFC，
∴∠ABF＝∠DCF，即∠ABD＝∠ACD；
（2）∵AE∥DC，
∴∠AEF＝∠CDF，
∵∠AFE＝∠CFD，
∴△AFE∽△CFD，
∴，
∴，
由（1）知△ADF∽△BCF，
∴，
∴，
∴EF BC＝AD AF．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
17．（2025 杨浦区二模）已知：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠BAE＝∠DAF，延长AE、AF分别交DC、BC延长线于点H、G．
（1）求证：DF CD＝BE BC；
（2）联结EF、HG，如果EF∥HG，求证：四边形ABCD是正方形．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的判定．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）由矩形的性质可得AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，再证明△BAE∽△DAF推出DF AB＝CE AD，则DF CD＝BE BC；
（2）先证明∠CEH＝∠CFG，则可证明△ECH∽△FCG，证明△ECF∽△GCH，进而可证明CH＝CG，CE＝CF，再证明△EAG≌△FAH，得到AE＝AF，即可证明AB＝AD，据此可证明结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D＝90°，
又∵∠BAE＝∠DAF，
∴△BAE∽△DAF，
∴，
∴DF AB＝CE AD，
即DF CD＝BE BC；
（2）如图，
∵△BAE∽△DAF，
∴∠AEB＝∠AFD，
∵∠CEH＝∠AEB，∠CFG＝∠AFD，
∴∠CEH＝∠CFG，
又∵∠ECH＝∠FCG，
∴△ECH∽△FCG，
∴，
∵EF∥GH，
∴△ECF∽△GCH，
∴，
∴，
∴，
∴CH＝CG，
∴CE＝CF，
∴CG+CE＝CH+CF，
即EG＝FH，
又∵∠EAG＝∠FAH，∠EGA＝∠FHA，
∴△EAG≌△FAH（AAS），
∴AE＝AF，
∵△BAE∽△DAF，
∴1，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
18．（2025春 庐江县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，连接CD，CD＝CB，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点E，求证：△ADE∽△ABC．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】先根据等腰三角形的性质得∠B＝∠CDB，又由对顶角相等可证得∠ADE＝∠B，再由∠E＝∠ACB＝90°，根据两角分别相等的两个三角形相似即可得出结论．
【解答】证明：∵点D是边AB上一点，CD＝CB，∠CDB＝∠ADE，
∴∠B＝∠CDB，
∴∠ADE＝∠B，
∵过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点E，
∴AE⊥CE，
∴∠E＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠E＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握并运用相似三角形的判定定理是解题的关键．
19．（2025 河北模拟）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝4m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝5m．已知光在镜面反射中的入射角∠GBH等于反射角∠EBH，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
（1）求BC的长；
（2）求灯泡到地面的高度AG．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】（1）BC＝3；
（2）灯泡到地面的高度AG为1.2m．
【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出BC的长；
（2）根据相似三角形的性质列方程进而求出AG的长．
【解答】解：（1）FC∥DE，
则△BFC∽△BED，
则，
即，
∴BC＝3；
（2）∵AC＝5.4m，
∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m），
∵∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴，
∴，
解得：AG＝1.2（m），
答：灯泡到地面的高度AG为1.2m．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
20．（2025 盐城一模）如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠PCD＝∠PDC，根据三角形的外角性质得出∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，求出∠B＝∠APC，再根据相似三角形的判定推出即可．
【解答】证明：∵PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC，
∵∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，
又∵∠A＝∠BPD，
∴∠B＝∠APC，
∴△APC∽△PBD．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定等知识点，注意：如果两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似．
21．（2025 宣城一模）如图，△ABC是平面直角坐标系xOy中的格点三角形（顶点都是网格线的交点），已知顶点A为（2，3）．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）以点O为位似中心，在给定的网格里作△A2B2C2，使得△A2B2C2与△A1B1C1位似，其中点A2的坐标为（﹣4，6），并求出△A1B1C1与△A2B2C2的位似比．
【考点】作图﹣位似变换；作图﹣轴对称变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析1：2．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；、
（2）利用位似变换的性质求出B1，C1的对应点B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点A1（2，﹣3），B1（1，﹣2），C1（3，﹣1）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，△A1B1C1与△A2B2C2的位似比为1：2．
【点评】本题考查作图﹣位似变换，轴对称变换，解题的关键是掌握位似变换，轴对称变换的性质．
22．（2024秋 沐川县期末）已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）求证：AF＝DF；
（3）若△FCD的面积为5，BC＝10，求DE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）．
【分析】（1）由AD＝AC可以得到∠ACB＝∠FDC，利用D是BC边上的中点，DE⊥BC可以得到∠ABC＝∠FCD，再利用相似三角形的判定，就可以证明题目结论；
（2）由△ABC∽△FCD可以得到，再根据AD＝AC，BC＝2CD就可以证明AF＝DF；
（3）利用相似三角形的性质就可以求出△ABC的面积，然后利用面积公式再根据比例就可以求出DE的长．
【解答】（1）证明：在△ABC中，D是BC的中点，AD＝AC，DE⊥BC，
∴BD＝CD，∠ACB＝∠FDC，
∴EB＝EC，
∴∠ABC＝∠FCD，
∴△ABC∽△FCD；
（2）证明：∵△ABC∽△FCD，
∴，
∵AD＝AC，BC＝2CD，
∴，
∴AF＝DF．
（3）解：△FCD的面积为5，BC＝10，如图，作AM⊥BC于M，
∵△ABC∽△FCD，
∴，
∴S△ABC＝4S△FCD＝20，
∵S△ABCBC AM10 AM，
∴AM＝4，
∴DM，BM，
∵DE∥AM，
∴，
∴DE BM＝AM BD，
即：，
∴．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用三角形的面积公式求线段的长是解题的关键．
23．（2025春 虹口区月考）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接BE、AD交于点G，点F在线段DC上，且∠EFD+∠ADF＝180°，，连接FG．
（1）求证：四边形AGFE是平行四边形；
（2）如果∠BDA＝∠BAC，求证：AG＝AE．
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；平行线分线段成比例．
【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）由题意得AD∥EF，可知，进而可得，证得△BFG∽△BCE，可知∠BFG＝∠BCE，得GF∥AC，即可证明结论；
（2）连接AF交GE于点O，由平行四边形的性质可知OA＝OF，再证△ABD∽△CBA，得，即AB2＝BC BD，由，即BF2＝BC BD，可得AB＝BF，结合等腰三角形的性质可知AF⊥GE，可知四边形AGFE是菱形，即可证得结论．
【解答】证明：（1）∵∠EFD+∠ADF＝180°，
∴AD∥EF，
∴，
又∵，
∴，
∵∠DBG＝∠CBE，
∴△BFG∽△BCE，
∴∠BFG＝∠BCE，
∴GF∥AC，
∴四边形AGFE是平行四边形；
（2）由（1）得四边形AGFE是平行四边形，∠BDA＝∠BAC，且∠ABD＝∠ABC，如图，连接AF交GE于点O，
∴OA＝OF，△ABD∽△CBA，
∴，即AB2＝BC BD，
∵，即BF2＝BC BD，
∴AB＝BF，
∴BO⊥AF，
即：AF⊥GE，
∴四边形AGFE是菱形，
∴AG＝AE．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．
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