第5章 投影与视图（新课预习.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学北师大版

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第5章 投影与视图
一．选择题（共10小题）
1．（2025 红桥区一模）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025 武都区模拟）下列几何体中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025 铁岭县一模）小明家有一个老物件，把它抽象成如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025 深圳模拟）景德镇白瓷，瓷质优良，造型轻巧，装饰多样，被誉为“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磬”，是世界陶瓷艺术中的瑰宝．如图是景德镇白瓷中的笔筒，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025 深圳模拟）榫卯结构是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025 武汉模拟）如图是水平放置的正六棱柱，关于它的三视图的描述正确的是（　　）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三视图都不相同
7．（2025春 青山区校级月考）【传统文化——文房四宝】笔、墨、纸、砚称为中国传统的文房四宝，是中国特有的文书工具，承载了中国文化的深刻内涵．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台的实物图和抽象图，则它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025 沈阳模拟）湖南自古就有“鱼米之乡”的美誉，明清时期更有“湖广熟，天下足”之说．如图①是某粮仓的实物图，图②是其抽离出来的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同 B．左视图与俯视图相同
C．主视图与俯视图相同 D．三个视图完全相同
9．（2025 河东区模拟）三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025 兴宁区校级开学）如图，下列水平放置的几何体，从正面看外框不是长方形的是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
11．（2020秋 福山区期末）有一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图（如图），若组成这个几何体的小正方体的块数为n，则n的所有可能值为 　 　 ．
12．（2021秋 梅江区校级月考）如图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序排列是 　 　 .
13．（2021秋 福山区期中）如图，用5个相同的小正方体拼了一个几何体，若抽掉标号为 　 　 的一个小正方体，则从正面看到的形状图和从左面看到的形状图相同．
14．（2021 梁溪区校级二模）已知几何体三视图如图所示，则这个几何体的侧面积为　 　 ．
15．（2021 市南区模拟）如图，是由几个边长为1的小立方体所组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则这个几何体的表面积为　 　 ．
三．解答题（共8小题）
16．（2023秋 龙口市期末）如图，正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为A1B1C1D1，其中边AB，CD与投影面平行，AD，BC与投影面不平行，若正方形ABCD的边长为4厘米，∠BCC1＝45°，求投影A1B1C1D1的面积．
17．（2023秋 大荔县期末）如图，甲楼AB高18米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是1：，已知两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？（结果保留根号）
18．（2024秋 市中区校级期中）某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位：mm）．
（1）图中的立体图形的名称是：　 　 ．
（2）请你按照视图确定制作一个茶叶罐所需铁皮的面积．
19．（2024秋 高州市期中）如图，是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体，其中每个小立方块的棱长均为2．
（1）请按要求在方格内分别画出从左面，上面看到的这个几何体的形状图；
（2）计算这个几何体的体积；
（3）若抽出若干小立方块之后，该几何体从正面看到的形状图不变，则共有　 　 种抽出方式．
20．（2024秋 郑州期中）画出如图所示几何体的三视图．
21．（2024秋 法库县期中）如图，是由几个大小相同的小正方体搭成一个几何体．
（1）分别画出从正面、左面、上面所看到的几何体的形状图；
（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从上面和左边看到的形状图不变，那么最多可以再添加几个小正方体？
22．（2024秋 沈阳期中）把边长为2厘米的6个相同正方体摆成如图的形式．
（1）画出从正面看、从左面看，从上面看该几何体得到的形状图．
（2）试求出其表面积．
（3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从左面看和从上面看得到的形状图不变，那么最多可以再添加 　 　 个小正方体．
23．（2024秋 雁塔区校级期中）某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的直径为4．请补全三视图并求出该几何体的体积．
第5章 投影与视图
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 红桥区一模）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】A
【分析】根据简单组合体三视图的画法画出它的主视图即可．
【解答】解：这个组合体的主视图为：
．
故选：A．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．
2．（2025 武都区模拟）下列几何体中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】简单几何体的三视图．
【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】D
【分析】根据简单几何体的三视图逐个判断即可．
【解答】解：A．圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是圆形，故此选项不符合题意；
B．长方体的三视图都是矩形，但3个矩形的长、宽不同，故此选项不符合题意；
C．三棱锥的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故此选项不符合题意；
D．球的三视图都是圆形，且大小一样，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，掌握常见几何体的三视图是解题的关键．
3．（2025 铁岭县一模）小明家有一个老物件，把它抽象成如图所示的几何体，则这个几何体的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】几何直观．
【答案】D
【分析】根据从上面看到的是带直径的圆可得答案．
【解答】解：根据题意得：这个几何体的俯视图是
故选：D．
【点评】本题考查的是简单几何体的三视图，掌握图形的特点是解题的关键．
4．（2025 深圳模拟）景德镇白瓷，瓷质优良，造型轻巧，装饰多样，被誉为“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磬”，是世界陶瓷艺术中的瑰宝．如图是景德镇白瓷中的笔筒，它的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】A
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：如图所示几何体的左视图是．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看到的线画实线，看不到的线画虚线．
5．（2025 深圳模拟）榫卯结构是中国传统建筑、家具及其它器械的一种结构方式，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：榫从正面看，是选项B的图形．
故选：B．
【点评】此题主要考查了简单组合体三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．
6．（2025 武汉模拟）如图是水平放置的正六棱柱，关于它的三视图的描述正确的是（　　）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三视图都不相同
【考点】简单几何体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】D
【分析】根据三视图的定义判断即可．
【解答】解：主视图是一行三个相邻的矩形，左视图是一行两个相邻的矩形，俯视图是一个六边形．
故选：D．
【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图．用到的知识点为：主视图指从物体的正面看，左视图是指从物体的左面看，俯视图是指从物体的上面看．准确掌握定义是解题的关键．
7．（2025春 青山区校级月考）【传统文化——文房四宝】笔、墨、纸、砚称为中国传统的文房四宝，是中国特有的文书工具，承载了中国文化的深刻内涵．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台的实物图和抽象图，则它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】B
【分析】根据俯视图的定义及图形即可作答．
【解答】解：B选项符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查简单组合体的三视图，灵活运用此知识点是解题的关键．
8．（2025 沈阳模拟）湖南自古就有“鱼米之乡”的美誉，明清时期更有“湖广熟，天下足”之说．如图①是某粮仓的实物图，图②是其抽离出来的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同 B．左视图与俯视图相同
C．主视图与俯视图相同 D．三个视图完全相同
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】A
【分析】根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可．
【解答】解：这个组合体的三视图为：
由这个组合体的三视图可知，主视图与左视图相同，
故选：A．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．
9．（2025 河东区模拟）三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（　　）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】B
【分析】得到从几何体正面看得到的平面图形即可．
【解答】解：从正面看，底层是两个小正方形，上层是一个小正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
10．（2025 兴宁区校级开学）如图，下列水平放置的几何体，从正面看外框不是长方形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】简单几何体的三视图．
【专题】投影与视图；推理能力．
【答案】B
【分析】根据立体图形正面看到的图形判断即可．
【解答】解：A．圆柱从正面看外框是长方形，故A选项不满足题意；
B．圆锥从正面看外框是三角形，故B选项满足题意；
C．长方体从正面看外框是长方形，故C选项不满足题意；
D．三棱柱从正面看外框是长方形，故D选项不满足题意；
故选：B．
【点评】本题考查从正面看几何体，关键在于熟练掌握基础知识．
二．填空题（共5小题）
11．（2020秋 福山区期末）有一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的主视图和俯视图（如图），若组成这个几何体的小正方体的块数为n，则n的所有可能值为 　8，9，10，11　 ．
【考点】由三视图判断几何体．
【答案】见试题解答内容
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【解答】解：主视图最右边可能有4或5或6个小正方体；
由主视图最左边看到只有一列，俯视图也只有一列，则左边有一个小正方体；
主视图中间有两列，俯视图亦有两列，则中间可以有3或4个小正方形．
∴n的值可能为：1+4+3＝8，1+5+3＝9，1+6+3＝10，1+4+4＝9，1+5+4＝10，1+6+4＝11，
故本题答案为：8，9，10，11．
【点评】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的个数．
12．（2021秋 梅江区校级月考）如图是两个物体不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序排列是 　C→D→A→B　 .
【考点】平行投影．
【专题】投影与视图；应用意识．
【答案】C→D→A→B．
【分析】不同时刻物体在太阳光下的影子的大小、方向改变的规律：就北半球而言，从早晨到傍晚物体的影子的指向是：西﹣西北﹣北﹣东北﹣东，影长由长变短，再变长．
【解答】解：根据平行投影的特点和规律可知，C，D是上午，A，B是下午，
根据影子的长度可知先后为C→D→A→B．
故答案为：C→D→A→B．
【点评】本题考查平行投影的特点和规律：在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变．注意图上方向与实际方向的联系．
13．（2021秋 福山区期中）如图，用5个相同的小正方体拼了一个几何体，若抽掉标号为 　①　 的一个小正方体，则从正面看到的形状图和从左面看到的形状图相同．
【考点】由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】①．
【分析】根据主视图，左视图的定义判断即可．
【解答】解：抽了①号，后的几何体的主视图，左视图相同，都是：
故答案为：①．
【点评】本题考查作图﹣三视图，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．
14．（2021 梁溪区校级二模）已知几何体三视图如图所示，则这个几何体的侧面积为　20π　 ．
【考点】由三视图判断几何体；几何体的表面积．
【专题】投影与视图；空间观念；运算能力；推理能力．
【答案】20π．
【分析】俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥，那么侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：此几何体为圆锥；
∵直径为8，母线长为，
∴侧面积＝8π×5÷2＝20π．
故答案为20π．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的有关计算，由该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和母线长是解本题的关键；本题体现了数形结合的数学思想，熟记圆锥的侧面积公式是解题的关键．
15．（2021 市南区模拟）如图，是由几个边长为1的小立方体所组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，则这个几何体的表面积为　46　 ．
【考点】由三视图判断几何体；几何体的表面积．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】46．
【分析】根据俯视图得出主视图、左视图的正方形的数目，表面积为三种视图的面积和的2倍．
【解答】解：这个几何体的主视图有三列，从左到右分别是3，4，1，左视图有三列，从左到右分别是3，4，2，
表面积为：（8+9+6）×2＝46，
故答案为：46．
【点评】考查简单几何体的三视图的画法，主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体正投影所得到的图形．画三视图时还要注意“长对正、宽相等、高平齐”．
三．解答题（共8小题）
16．（2023秋 龙口市期末）如图，正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为A1B1C1D1，其中边AB，CD与投影面平行，AD，BC与投影面不平行，若正方形ABCD的边长为4厘米，∠BCC1＝45°，求投影A1B1C1D1的面积．
【考点】平行投影；正方形的性质．
【专题】投影与视图；推理能力．
【答案】8平方厘米．
【分析】过B点作BH⊥CC1于H，如图，利用∠BCC1＝45°求出BH的长，再利用平行投影的性质得到B1C1、C1D1的长，然后根据矩形的面积公式计算即可．
【解答】解：过B点作BH⊥CC1于H．
∵∠BCC1＝45°，
∴BH＝sin45° BC4＝2（厘米），
∵正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为A1B1C1D1，
∴厘米，C1D1＝CD＝4厘米，
∴四边形A1B1C1D1的面积＝24＝8（平方厘米）．
【点评】本题考查了平行投影，正方形的性质，熟知由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影是解题的关键．
17．（2023秋 大荔县期末）如图，甲楼AB高18米，乙楼CD坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时，物高与影长的比是1：，已知两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？（结果保留根号）
【考点】平行投影．
【专题】图形的相似；投影与视图．
【答案】见试题解答内容
【分析】设FE⊥AB于点F，那么在△AEF中，∠AFE＝90°，解直角三角形AEC可以求得AF的长，进而求得DE＝AB﹣AF即可解题．
【解答】解：设冬天太阳最低时，甲楼最高处A点的影子落在乙楼的E处，那么图中ED的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高度，
设FE⊥AB于点F，那么在△AEF中，∠AFE＝90°，EF＝20米．
∵物高与影长的比是1：，
∴，
则AFEF＝10，
故DE＝FB＝18﹣10．
答：甲楼的影子落在乙楼上有（18﹣10）m．
【点评】本题考查了相似三角似三角形的应用和平行投影，根据物高与影长的比是1：，得出AF的值是解题的关键．
18．（2024秋 市中区校级期中）某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位：mm）．
（1）图中的立体图形的名称是：　圆柱　 ．
（2）请你按照视图确定制作一个茶叶罐所需铁皮的面积．
【考点】由三视图判断几何体．
【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】（1）圆柱；
（2）31200πmm2．
【分析】（1）根据左视图和主视图是长方形，则该几何体是柱体，再由俯视图为圆可知该几何体是圆柱；
（2）根据圆柱表面积计算公式求出圆柱的表面积即可得到答案．
【解答】解：（1）由已知条件判断该立体图形是圆柱，
故答案为：圆柱；
（2）120÷2＝60mm，
120×π×200+2×π×60×60＝31200πmm2，
∴制作一个茶叶罐所需铁皮的面积为31200πmm2．
【点评】本题主要考查了由三视图确定几何体，计算圆柱的表面积，正确记忆三视图的定义是解题关键．
19．（2024秋 高州市期中）如图，是由6个大小相同的小立方块搭成的几何体，其中每个小立方块的棱长均为2．
（1）请按要求在方格内分别画出从左面，上面看到的这个几何体的形状图；
（2）计算这个几何体的体积；
（3）若抽出若干小立方块之后，该几何体从正面看到的形状图不变，则共有　2　 种抽出方式．
【考点】作图﹣三视图；简单组合体的三视图．
【专题】作图题；投影与视图；几何直观．
【答案】（1）作图见解析过程；
（2）48；
（3）2．
【分析】（1）根据搭成的几何体分别画出从左面，上面看到的这个几何体的形状图即可；
（2）根据搭成的几何体的小立方块的个数求解即可；
（3）根据搭成的几何体从正面看到的形状图进行抽取判断即可．
【解答】解：（1）作形状图如下：
（2）由图知，这个几何体的体积一共有6个小立方块，且每个小立方块的棱长均为2，
∴这个几何体的体积为6×23＝48；
（3）根据所给几何体，抽出正面左数第三列前排一个或后排一个小立方块，该几何体从正面看到的形状图不变，故共有2种抽出方式，
故答案为：2．
【点评】本题考查作图﹣三视图，简单组合体的三视图，熟练掌握三视图的画法是解答本题的关键．
20．（2024秋 郑州期中）画出如图所示几何体的三视图．
【考点】作图﹣三视图．
【专题】作图题；空间观念．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三视图的定义画图即可．
【解答】解：如图所示：
【点评】本题考查作图﹣三视图，在画三视图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线画成实线，看不见的画成虚线．
21．（2024秋 法库县期中）如图，是由几个大小相同的小正方体搭成一个几何体．
（1）分别画出从正面、左面、上面所看到的几何体的形状图；
（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从上面和左边看到的形状图不变，那么最多可以再添加几个小正方体？
【考点】作图﹣三视图；简单组合体的三视图．
【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】（1）作图见解析部分．
（2）4．
【分析】（1）根据三视图的定义画出图形即可．
（2）根据要求在俯视图中写出可以添加的小正方形的数字即可．
【解答】解：（1）三视图如图所示：
（2）保持这个几何体从上面和左边看到的形状图不变，那么最多可以再添加4个小正方体（见俯视图中的数字）．
【点评】本题考查作图﹣三视图，解题的关键是理解三视图的意义，属于中考常考题型．
22．（2024秋 沈阳期中）把边长为2厘米的6个相同正方体摆成如图的形式．
（1）画出从正面看、从左面看，从上面看该几何体得到的形状图．
（2）试求出其表面积．
（3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体从左面看和从上面看得到的形状图不变，那么最多可以再添加 　2　 个小正方体．
【考点】简单组合体的三视图；几何体的表面积．
【专题】投影与视图；空间观念．
【答案】（1）见解析；
（2）104平方厘米；
（3）2．
【分析】（1）直接利用三视图的画法进而得出答案；
（2）利用几何体的形状进而得出其表面积；
（3）利用左视图和俯视图不变，得出可以添加的位置．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）小正方体的每个面的面积为2×2＝4cm2，
表面所含的面数有（4+3+5）×2+2＝26（个），
几何体表面积：4×26＝104（cm2）；
（3）在俯视图上标注相应位置所能添加的数量如图所示，
所以最多可以再添加2个小正方体．
故答案为：2．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．
23．（2024秋 雁塔区校级期中）某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的直径为4．请补全三视图并求出该几何体的体积．
【考点】作图﹣三视图；由三视图判断几何体．
【专题】作图题；投影与视图；几何直观；运算能力．
【答案】作图见解析，192﹣12π．
【分析】由三视图可知：该几何体是一个长、宽、高分别为6、8、4的长方体在上底面中间挖去一个直径为4的半圆柱，据此可计算出其表面积与体积．
【解答】解：补全三视图如图所示；
由三视图可知：该几何体是一个长、宽、高分别为6、8、4的长方体在上底面中间挖去一个直径为4的半圆柱，
S表面积＝6×4×2+6×8+6×2×2+（8×4π×22）×2+π×46＝48+48+24+64﹣4π+12π＝184+8π，
V＝8×6×4π×22×6＝192﹣12π．
【点评】此题考查作图﹣三视图，由三视图判断几何体和几何体的表面积及体积，由三视图判断几何体的形状是解题的关键．
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