第6章 反比例函数（新课预习.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学北师大版

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第6章 反比例函数
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 浦东新区校级期末）如图，平面直角坐标系xOy中，函数y（x＞0）的图象经过两点A、B（A在左侧）．若A、B两点横、纵坐标都相差2，则△AOB的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2025 湖南）对于反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．在（2，2）在该函数的图象上
B．该函数的图象分别位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
3．（2025 琼山区校级三模）下列点在反比例函数的图象上的是（　　）
A．（1，﹣4） B．（4，﹣1） C．（2，4） D．（﹣2，﹣2）
4．（2025 黄埔区一模）如图，正比例函数y1＝kx的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为4，当y2＞y1时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣4或x＞4 B．x＜﹣4或0＜x＜4
C．﹣4＜x＜0或0＜x＜4 D．﹣4＜x＜0或x＞4
5．（2025 太平区二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，其中A、C的坐标分别为（﹣3，2）、（﹣6，8）．反比例函数0）的图象经过点A，将矩形ABCD向右平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025春 翠屏区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x，y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB，BC分别交于点M，N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM，ON，MN．有下列结论：①△OCN≌△OAM；②ON＝MN；③四边形DAMN与△MON的面积相等；④若∠MON＝45°，MN＝2，则点C的坐标为．其中正确的结论有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
7．（2025 道里区三模）电压一定时，经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，当I＝10A时，R＝22Ω，则当R＝11Ω时，I＝（　　）
A．2A B．10A C．20A D．220A
8．（2025春 侯马市校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCO的顶点O是坐标原点，，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形ABCO的周长为8，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025 武安市二模）淇淇和同学一起制作了一个用于浇花的滴管装置，该装置可以通过调节滴水的速度，改变滴灌的时间．已知该装置的滴水速度为20≤x≤500滴/小时，淇淇在使用时，将装置装满水后，把滴水速度调整为400滴/小时，2个小时后，该装置的水用了．要将装置装满水，下列说法正确的是（　　）
A．滴水时间最长为80个小时
B．滴水时间最少为8个小时
C．当滴水速度为200滴/小时时，4个小时用去总水量的
D．当滴水速度为160滴/小时时，4个小时用去总水量的
10．（2025 沛县模拟）如图， OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（4，3）在对角线OB上，反比例函数的图象经过C、D两点．已知 OABC的面积是36，则点B的坐标为（　　）
A．（8，6） B．（6，8） C．（7，6） D．（6，4）
二．填空题（共5小题）
11．（2025 黄埔区二模）如图，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，过点B作BC⊥x轴于点C，连结OA，OB，AB，并延长OA，CB交于点P．若A是OP的中点，则S△ABP﹣S△OBC的值为 　 　 （结果用含k的代数式表示）．
12．（2025 雁塔区校级模拟）已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是　 　 ．
13．（2025 福建模拟）如图，在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+b，y＝﹣x﹣b和的图象相交于点A，B，C，D，其中点A（3，1），则点D的坐标是　 　 ．
14．（2025 西城区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与正比例函数y＝kx的图象没有交点，写出满足条件的一个k值 　 　 ．
15．（2025 青秀区校级三模）如图，区间测速是指机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．汽车在高速路的测速区间的平均行驶速度v（单位：km/h）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系．已知某测速区间AB长30km，此测速区间限速100≤v≤120，则行驶时间t的范围为 　 　 ．
三．解答题（共8小题）
16．（2025 临颍县三模）如图，平行四边形AOBC的顶点为网格线的交点，反比例函数的图象过格点A，B．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）将△ABC沿CO所在直线平移，使得点C与点O重合，画出平移后的△A'B'O．
（3）请直接写出四边形A'B'BA的面积．
17．（2025 钟楼区校级模拟）如图，一次函数y＝mx+n的图象与y轴负半轴交于点A，与反比例函数（x＞0）的图象交于点B（3，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接OB，当△OAB的面积为3时，求一次函数的表达式．
18．（2025 姑苏区校级二模）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，反比例函数的图象经过 ABCD的顶点C，AD＝6．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）已知动点P从点B到点C，同时，动点Q从点D到点B，两点均以每秒1个单位的速度运动，任一点到达终点，另一点即停止．求在此过程中，△BPQ面积的最大值．
19．（2025春 丹徒区校级月考）如图，一次函数y＝﹣x+5与x轴交于点A，与反比例函数y（k≠0）交于B（1，m），C（4，n）两点．
（1）求m，n，k的值；
（2）连接OB，OC，求△OBC的面积；
（3）反比例函数上有一点M，使S△AOM＝5，直接写出所有符合条件的M坐标M　 　 ．
20．（2025 鼓楼区校级三模）光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度（Lux），智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度y（Lux）是透明度x（%）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求出y与x之间的函数表达式；
（2）福州市花茉莉花承载着幸福吉祥的寓意．它适宜在照度为2000≤y≤5000的室内生长，那么智能玻璃的透明度x应控制在什么范围内？请说明理由．
21．（2025 广西模拟）如图，一次函数y＝kx+6（k为常数，k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且OB＝2OA，与反比例函数y（m为常数，且m≠0）的图象交于C，E两点，过点C作CD⊥x轴于点D，且OD＝2．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△BOE的面积；
（3）直接写出不等式kx+6的解集．
22．（2025 潍坊二模）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为a m．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为x m，BC为y m．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线l1：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和　 　 ，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝　 　 m，BC＝　 　 m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为a m时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝﹣2x+a与反比例函数的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线y＝﹣2x+a过点（2，4）时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
23．（2025 镇平县模拟）小强借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点C和点F为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，OC＝2，，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF．
（1）求k的值；
（2）求的长；
（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．
第6章 反比例函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 浦东新区校级期末）如图，平面直角坐标系xOy中，函数y（x＞0）的图象经过两点A、B（A在左侧）．若A、B两点横、纵坐标都相差2，则△AOB的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】B
【分析】过点A作AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，CA与DB的延长线交于点E，则四边形OCHD是矩形，设点A，其中a＞0，依题意得点B，则，由此解出a＝1，进而得点A（1，3），点B（3，1），然后再分别求出S矩形OCHD＝9，S△ABH＝2，S△AOC＝S△BOD，由此可得△AOB的面积．
【解答】解：过点A作AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，CA与DB的延长线交于点E，如图所示：
∴∠ACO＝∠COD＝∠BDO＝90°，
∴四边形OCHD是矩形，
∵反比例函数（x＞0）的图象经过点A，
设点A的坐标为A，其中a＞0，
又∵A在点B左侧，且A、B两点横、纵坐标都相差2，
∴点B的横坐标为：2+a，纵坐标为：，
即点B，
∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点B，
∴，
整理得：a2+2a﹣3＝0，
解得：a＝1，a＝﹣3（不合题意，舍去），
∴点A（1，3），点B（3，1），
∴OC＝3，AC＝1，OD﹣3，BE＝1，
∵四边形OCHD是矩形，
∴CH＝OD＝3，DHOC＝3，
∴AH＝CH﹣AC＝2，BH＝DH﹣BD＝2，S矩形OCHD＝OC OD＝3×3＝9，
∴S△ABHAH BH2×2＝2，
根据反比例函数比例系数k的几何意义得：S△AOC＝S△BOD，
∴△AOB的面积：S矩形OCHD﹣S△ABH﹣S△AOC﹣S△BOD4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键．
2．（2025 湖南）对于反比例函数，下列结论正确的是（　　）
A．在（2，2）在该函数的图象上
B．该函数的图象分别位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当x＞0时，y随x的增大而减小
【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；几何直观．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质，k＝2＞0，函数位于第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小．
【解答】解：A、把点（2，2）代入反比例函数y，1＝2不成立，故不符合题意；
B、k＝2＞0，函数图象分别位于第一、三象限，故不符合题意；
C、当x＜0时，y随x的增大而减小，故不符合题意；
D、当x＞0时，y随x的增大而减小，故符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象和性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．
3．（2025 琼山区校级三模）下列点在反比例函数的图象上的是（　　）
A．（1，﹣4） B．（4，﹣1） C．（2，4） D．（﹣2，﹣2）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：反比例函数常数k＝4，
A、1×（﹣4）＝﹣4≠4，点（1，﹣4）不在反比例函数图象上，不符合题意；
B、4×（﹣1）＝﹣4≠4，点（4，﹣1）不在反比例函数图象上，不符合题意；
C、2×4＝8≠4，点（2，4）不在反比例函数图象上，不符合题意；
D、﹣2×（﹣2）＝4，点（﹣2，﹣2）在反比例函数图象上，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
4．（2025 黄埔区一模）如图，正比例函数y1＝kx的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为4，当y2＞y1时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣4或x＞4 B．x＜﹣4或0＜x＜4
C．﹣4＜x＜0或0＜x＜4 D．﹣4＜x＜0或x＞4
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题解答本题即可．
【解答】解：∵正比例函数y1＝kx的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为4，
∴点A的横坐标为﹣4．
根据函数图象可知：当y2＞y1时，x的取值范围是0＜x＜4或x＜﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．
5．（2025 太平区二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，其中A、C的坐标分别为（﹣3，2）、（﹣6，8）．反比例函数0）的图象经过点A，将矩形ABCD向右平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为（　　）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】A
【分析】利用中点坐标公式先求出点E的坐标，再根据平移性质求出平移后点E的横坐标，根据两点间的距离公式求出平移的距离即可．
【解答】解：∵点A（﹣3，2）在反比例函数图象上，
∴反比例函数的解析式为y，
∵A、C的坐标分别为（﹣3，2）、（﹣6，8），
∴E（，5），
∵将矩形ABCD向右平移，点E落在这个反比例函数的图象上，
∴平移后点E的纵坐标不变，
当y＝5时，x，
∴平移后点E的横坐标为，
∴矩形平移的距离为（）．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
6．（2025春 翠屏区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x，y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB，BC分别交于点M，N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM，ON，MN．有下列结论：①△OCN≌△OAM；②ON＝MN；③四边形DAMN与△MON的面积相等；④若∠MON＝45°，MN＝2，则点C的坐标为．其中正确的结论有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；全等三角形的判定；正方形的性质；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；图形的全等；矩形 菱形 正方形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】依据题意，根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，求得OC＝OA，进而求得NC＝AM，由SAS得出△OC N≌△OAM，故可判断①；
根据全等的性质得到ON＝OM，由于k的值不能确定，则∠MON的值不能确定，无法确定△ONM为等边三角形，故可判断②；
根据k和S△OND+S四边形DAMN＝S△OAM+S△OMN，即可得到S四边形DAMN＝S△OMN，故可判断③；
作 NE⊥OM于E点，则△ONE为等腰直角三角形，设NE＝x，则，EM＝（1）x，在Rt△NEM中，利用勾股定理求得△BMN为等腰直角三角形，得到BN，设正方形ABCO的边长为a，在Rt△OCN中，利用勾股定理可求出a的值为1，从而得到C点坐标，故可判断④．
【解答】解：由题意，∵点M、N都在的图象上，
∴，即，
∵四边形ABCO为正方形，
∴OC＝OA，∠OCN＝∠OAM＝90°．
∴NC＝AM，
∴△OCN≌△OAM（SAS），
∴①正确；
又∵△OCN≌△OAM（SAS），
∴ON＝OM，
∵k的值不能确定，
∴∠MON的值不能确定，
∴△ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，
∴ON≠MN，
∴②错误；
∵，而S△OND+S四边形DAMN＝S△OAM+S△OMN，
∴四边形DAMN与△MON面积相等，
∴③正确；
作 NE⊥OM于点E，
∵∠MON＝45°，
∴△ONE为等腰直角三角形，
∴NE＝OE，
设NE＝x，
则，
∴．
∴，
在 Rt△NEM中，MN＝2，MN2＝NE2+EM2，即，
∴，
∴，
∵CN＝AM，CB＝AB，
∴BN＝BM，
∴△BMN为等腰直角三角形，
∴，
设正方形ABCO的边长为a，
则，
在 Rt△OCN中，OC2+CN2＝ON2，
∴，
∴，a2＝﹣1（舍去）．
∴．
∴C点坐标为．
∴④正确．
综上，正确的是①③④．
故选：C．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数的几何意义和正方形的性质，熟练运用勾股定理和等腰直角三 角形的性质进行几何计算是解题的关键．
7．（2025 道里区三模）电压一定时，经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，当I＝10A时，R＝22Ω，则当R＝11Ω时，I＝（　　）
A．2A B．10A C．20A D．220A
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】利用待定系数法求出I与R的函数关系式，当R＝11时求出对应I的值即可．
【解答】解：设I与R的函数关系式为I（k为常数，且k≠0），
将R＝22，I＝10代入I，
得10，
解得k＝220，
∴I与R的函数关系式为I，
当R＝11时，得I20．
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．
8．（2025春 侯马市校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCO的顶点O是坐标原点，，顶点A在反比例函数的图象上，若菱形ABCO的周长为8，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先根据菱形的性质求出顶点A的坐标，再将其代入反比例函数求出k的值．
【解答】解：∵菱形ABCO的周长为8，
∴AB＝BC＝CO＝OA2，
∵B（﹣2，0），即OB＝2，
设OB的中点为D，则OD OB，
∴A点横坐标为，
在Rt△ADO中，OA＝2，OD，
∴AD1，
∴A点坐标为（，1），
把A点代入反比例函数y，可得k．
故选：C．
【点评】本题综合考查了菱形的性质、勾股定理以及反比例函数的知识．解题关键在于利用菱形性质求出点A坐标，这要求学生对菱形的边、对角线等性质有清晰的认识，同时熟练运用勾股定理求线段长度．通过将点坐标代入反比例函数求解k，体现了函数与几何图形的结合，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．
9．（2025 武安市二模）淇淇和同学一起制作了一个用于浇花的滴管装置，该装置可以通过调节滴水的速度，改变滴灌的时间．已知该装置的滴水速度为20≤x≤500滴/小时，淇淇在使用时，将装置装满水后，把滴水速度调整为400滴/小时，2个小时后，该装置的水用了．要将装置装满水，下列说法正确的是（　　）
A．滴水时间最长为80个小时
B．滴水时间最少为8个小时
C．当滴水速度为200滴/小时时，4个小时用去总水量的
D．当滴水速度为160滴/小时时，4个小时用去总水量的
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】由题干中的描述，可得该装置总的储水量为400×2×4＝3200（滴），设滴水的速度为x滴/小时，滴水的时间为y小时，因为滴水的时间与滴水速度成反比例函数关系，得，根据反比例函数解析式，逐个选项判断即可求解．
【解答】解：设滴水的速度为x滴/小时，滴水的时间为y小时，该装置总的储水量为400×2×4＝3200（滴），
由条件可知，
当x＝20时，y＝160，
∴选项A错误；
当x＝500时，y＝6.4，
∴选项B错误；
当滴水速度x＝200时，y＝16，即滴水总时间为16小时，
∴4小时用去总水量的，
∴选项C错误；
当滴水速度x＝160时，y＝20，即滴水总时间为20小时，
∴4小时用去总水量的，
∴选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的实际应用，能够根据题意列出反比例函数解析式是解题的关键．
10．（2025 沛县模拟）如图， OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（4，3）在对角线OB上，反比例函数的图象经过C、D两点．已知 OABC的面积是36，则点B的坐标为（　　）
A．（8，6） B．（6，8） C．（7，6） D．（6，4）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】A
【分析】过D作DE⊥x轴于E，延长BC交y轴于F，首先由D（4，3）可得k＝12，设直线OD的解析式为y＝ax，将点D（4，3）代入y＝ax求出a的值，进而可得出其解析式，可设B（4x，3x），则点C（，3x），由此得BC＝4x，最后通过 OABC的面积是可求出x，即可求出点B坐标．
【解答】解：过D作DE⊥x轴于E，延长BC交y轴于F，
∵反比例函数的图象经过C、D两点，D（4，3），
∴k＝4×3＝12，
设直线OD的解析式为：y＝ax，
将点D（4，3）代入y＝ax，得：a，
∴直线OD的解析式为yx，
∴可设点B（4x，3x），则点C（，3x），
∴BC＝4x，
∵ OABC的面积是36，
∴（4x） 3x＝36，
解得x1＝2，x2＝﹣2（不合题意，舍去），
∴点B的坐标为（8，6）．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、熟练掌握待定系数法求函数的解析式和平行四边形的性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 黄埔区二模）如图，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，过点B作BC⊥x轴于点C，连结OA，OB，AB，并延长OA，CB交于点P．若A是OP的中点，则S△ABP﹣S△OBC的值为 　　 （结果用含k的代数式表示）．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】k．
【分析】作AE⊥x轴，根据题意可得S△AOE，S△AOB＝S△APB，S△OBC，利用相似得到S△POC＝4S△AOE＝42k，从而求出S△PAB即可计算出所求．
【解答】解：如图，作AE⊥x轴，
∵点A在反比例函数图象上，且是OP的中点，
∴S△AOE，S△AOB＝S△APB，S△OBC，
∵AE∥CP，
∴△OAE∽△OCP，
∴，
∴S△POC＝4S△AOE＝42k，
∴S△PAB（2k），
∴S△ABP﹣S△OBC．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握相似三角形的性质求出S△POC＝4S△AOE＝42k是关键．
12．（2025 雁塔区校级模拟）已知A，B两点分别在反比例函数和的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则a的值是　　 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】根据关于x轴、y轴对称的点的坐标设点A坐标为（m，），则B（m，），代入解析式解出a值即可．
【解答】解：设点A坐标为（m，），则B（m，），
将点B坐标代入得：，
解得a．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握以上知识点是关键．
13．（2025 福建模拟）如图，在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+b，y＝﹣x﹣b和的图象相交于点A，B，C，D，其中点A（3，1），则点D的坐标是　（﹣1，﹣3）　 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】（﹣1，﹣3）．
【分析】根据函数对称性即可得解．
【解答】解：如图，
函数y＝﹣x+b，y＝﹣x﹣b和组成的图象关于直线y＝x对称，
则点A和点B关于直线y＝x对称，再由点B和点D关于原点中心对称，
可得点D坐标为（﹣1，﹣3）．
故答案为：（﹣1，﹣3）．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，利用对称性解决是解题的关键．
14．（2025 西城区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与正比例函数y＝kx的图象没有交点，写出满足条件的一个k值 　﹣1（答案不唯一）　 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】﹣1（答案不唯一）．
【分析】根据反比例函数解析式可知反比例函数图象分布在第一三象限，要是与正比例函数y＝kx的图象没有交点，只有k＜0，据此解答即可．
【解答】解：∵反比例函数y，4＞0，
∴反比例函数图象分布在第一三象限，
要是与正比例函数y＝kx的图象没有交点，只有k＜0，
不妨取k＝﹣1即可．
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握两个函数性质是关键．
15．（2025 青秀区校级三模）如图，区间测速是指机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上的平均速度．汽车在高速路的测速区间的平均行驶速度v（单位：km/h）与行驶时间t（单位：h）是反比例函数关系．已知某测速区间AB长30km，此测速区间限速100≤v≤120，则行驶时间t的范围为 　t　 ．
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】t．
【分析】写出v与t之间的函数关系式，根据v的取值范围列关于t的不等式组并求其解集即可．
【解答】解：根据题意，得vt＝30，
∴v与t之间的函数关系式为v，
∵100≤v≤120，
∴，
解得t．
故答案为：t．
【点评】本题考查反比例函数的应用，写函数关系式、掌握不等式组的解法是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
16．（2025 临颍县三模）如图，平行四边形AOBC的顶点为网格线的交点，反比例函数的图象过格点A，B．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）将△ABC沿CO所在直线平移，使得点C与点O重合，画出平移后的△A'B'O．
（3）请直接写出四边形A'B'BA的面积．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣平移；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】平面直角坐标系；反比例函数及其应用；多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】（1）反比例函数的解析式为y；
（2）图形见解析过程；
（3）30．
【分析】（1）用待定系数法即可解决问题．
（2）根据题意画出平移后的三角形即可．
（3）根据（2）中所画图形即可解决问题．
【解答】解：（1）由题知，
点A的坐标为（1，4），
将点A坐标代入反比例函数解析式得，
k＝1×4＝4，
所以反比例函数的解析式为y．
（2）如图所示，
△A'B'O即为所求作的三角形．
（3）由图象可知，
四边形A'B'BA是矩形．
由勾股定理得，
AB，
AA'，
所以．
【点评】本题考查待定系数法求函数解析式、坐标与图形变化﹣平移及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
17．（2025 钟楼区校级模拟）如图，一次函数y＝mx+n的图象与y轴负半轴交于点A，与反比例函数（x＞0）的图象交于点B（3，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）连接OB，当△OAB的面积为3时，求一次函数的表达式．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）反比例函数的表达式是；
（2）一次函数的表达式是yx﹣2．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）过点B作BH⊥y轴于H，则BH＝3，由△OAB的面积为3求得OA＝2，即可求得A（0，﹣2），然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式．
【解答】解：（1）∵反比例函数（x＞0）的图象过点B（3，2）．
∴，
∴k＝6，
∴反比例函数的表达式是；
（2）过点B作BH⊥y轴于H，则BH＝3．
∵S△OAB＝3，
∴，
∴OA＝2．
∴A（0，﹣2），
把A、B点的坐标代入 y＝mx+n，得，
解这个方程组，得，
∴一次函数的表达式是yx﹣2．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
18．（2025 姑苏区校级二模）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，反比例函数的图象经过 ABCD的顶点C，AD＝6．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）已知动点P从点B到点C，同时，动点Q从点D到点B，两点均以每秒1个单位的速度运动，任一点到达终点，另一点即停止．求在此过程中，△BPQ面积的最大值．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；反比例函数及其应用；二次函数图象及其性质；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y；
（2）△BPQ面积的最大值为．
【分析】（1）先求出点A、B的坐标，再利用平行四边形性质得出点C、D的坐标，再运用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）过点Q作QE⊥x轴于E，交BC于点F，可证得△DEQ∽△DOB，求得QEt，再得出S△BPQBP QF（t）2，再运用二次函数的性质即可求得答案．
【解答】解：（1）在yx+4中，当y＝0时，4＝0，
解得：x＝﹣3，
当x＝0时，y＝4，
∴A（﹣3，0），B（0，4），
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD＝6，
∴C（6，4），D（3，0），
∴4，
解得：k＝24，
∴反比例函数的表达式为y；
（2）如图，过点Q作QE⊥x轴于E，交BC于点F，
设动点P、Q运动时间为t秒，则BP＝DQ＝t，
∵B（0，4），D（3，0），∠BOD＝90°，
∴OB＝4，OD＝3，
∴BD5，
∵∠DEQ＝∠DOB＝90°，∠QDE＝∠BDO，
∴△DEQ∽△DOB，
∴，即，
∴QEt，
∵∠OBF＝∠BOE＝∠OEF＝90°，
∴四边形BOEF是矩形，
∴EF＝OB＝4，QF⊥BP，
∴QF＝EF﹣QE＝4t，
∴S△BPQBP QFt（4t）（t）2，
∵0，
∴当t时，S△BPQ取得最大值．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象上点的特征，一次函数图象上点的特征，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握反比例函数和二次函数的性质是解题关键．
19．（2025春 丹徒区校级月考）如图，一次函数y＝﹣x+5与x轴交于点A，与反比例函数y（k≠0）交于B（1，m），C（4，n）两点．
（1）求m，n，k的值；
（2）连接OB，OC，求△OBC的面积；
（3）反比例函数上有一点M，使S△AOM＝5，直接写出所有符合条件的M坐标M　（2，2）或（﹣2，﹣2）　 ．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）m＝4，n＝1，k＝4；
（2）7.5；
（3）（2，2）或（﹣2，﹣2）．
【分析】（1）把B（1，m），C（4，n）两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出m、n的值，再把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值；
（2）求得A，D的坐标，然后根据S△BOC＝S△AOD﹣S△BOD﹣S△AOC求得即可；
（3）设，根据，求解即可．
【解答】解；（1）由条件可得m＝﹣1+5＝4，n＝﹣4+5＝1，
则B（1，4），C（4，1），
把B（1，4）代入，得k＝4×1＝4；
（2）由（1）可知反比例函数的表达式为，
∵一次函数y＝﹣x+5与x轴交于点A，与y轴交于点D，
令x＝0，则y＝5，令y＝0，则x＝5，
∴D（0，5），A（5，0），
∵B（1，4），C（4，1），
∴．
（3）设，
∴，
解得：a＝2或a＝﹣2，
∴M（2，2）或M（﹣2，﹣2）．
故答案为：（2，2）或（﹣2，﹣2）．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图象的性质以及一次函数的性质，利用数形结合解决此类问题，是非常有效的方法．
20．（2025 鼓楼区校级三模）光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度（Lux），智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度y（Lux）是透明度x（%）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求出y与x之间的函数表达式；
（2）福州市花茉莉花承载着幸福吉祥的寓意．它适宜在照度为2000≤y≤5000的室内生长，那么智能玻璃的透明度x应控制在什么范围内？请说明理由．
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y；
（2）12≤x≤30，理由见解答．
【分析】（1）利用待定系数法计算即可；
（2）列关于x的不等式组并求其解集即可．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数表达式为y（k为常数，且k≠0），
将坐标A（30，2000）代入y，
得2000，
解得k＝60000，
∴y与x之间的函数表达式为y．
（2）智能玻璃的透明度x应控制在12≤x≤30范围内．理由如下：
根据题意，得，
解得12≤x≤30，
∴智能玻璃的透明度x应控制在12≤x≤30范围内．
【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式、一元一次不等式组的解法是解题的关键．
21．（2025 广西模拟）如图，一次函数y＝kx+6（k为常数，k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，且OB＝2OA，与反比例函数y（m为常数，且m≠0）的图象交于C，E两点，过点C作CD⊥x轴于点D，且OD＝2．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△BOE的面积；
（3）直接写出不等式kx+6的解集．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）y＝2x+6，；
（2）15；
（3）﹣5≤x＜0或x≥2．
【分析】（1）用含k代数式表示出A，B两点的坐标，然后根据OB＝2OA即可求出k，然后再将点C的横坐标代入求出纵坐标，最后将点C的坐标代入即可求出m；
（2）将一次函数与反比例函数联立即可求出点E的坐标，然后即可计算△BOE的面积；
（3）根据点E和点C的横坐标，结合图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方时对应的x范围即可．
【解答】解：（1）当x＝0代入y＝kx+6得y＝6；当y＝0代入y＝kx+6得，
故，B（0，6），
∵OB＝2OA∴，
∴k＝2，
∴一次函数解析式为：y＝2x+6，
∵OD＝2，
∴点C的横坐标为2，将x＝2代入y＝2x+6得y＝10，
即点C的坐标为（2，10），将点C的坐标代入得，
∴m＝20，
∴反比例函数的解析式为：；
故一次函数解析式为：y＝2x+6，反比例函数的解析式为：．
（2）将一次函数与反比例函数联立得，
解得或，
故点E的坐标为（﹣5，﹣4），点E到y轴的距离为5，；
（3）由（2）可知点E的坐标为（﹣5，﹣4），点C的坐标为（2，10），
∵，
∴根据图象可得：﹣5≤x＜0或x≥2．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数结合的图象性质，利用图象解不等式等知识，采用待定系数法求函数解析式是解题关键．
22．（2025 潍坊二模）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为a m．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a＝10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为x m，BC为y m．由矩形地块面积为8m2，得到xy＝8，满足条件的（x，y）可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y＝10，满足条件的（x，y）可看成一次函数y＝﹣2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的（x，y）就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数的图象与直线l1：y＝﹣2x+10的交点坐标为（1，8）和　（4，2）　 ，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB＝1m，BC＝8m；或AB＝　4　 m，BC＝　2　 m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a＝6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为a m时，小颖建立了一次函数y＝﹣2x+a．发现直线y＝﹣2x+a可以看成是直线y＝﹣2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点（2，4）时，直线y＝﹣2x+a与反比例函数的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线y＝﹣2x+a过点（2，4）时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y＝﹣2x+a与图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为（4，2）；
（2）观察图象得到l2 与函数 图象没有交点，所以不能围出；
（3）平移直线y＝﹣2x通过（2，4），将点（2，4）代入y＝﹣2x+a，解得a＝8；
（4）AB和BC的长均不小于1m，所以1≤x≤8，直线y＝﹣2x+a在l3、l4之间移动，可得求a的范围．
【解答】解：（1）将反比例函数y与直线l1：y＝﹣2x+10联立得：
，
∴2x+10，
整理得：x2﹣5x+4＝0，
解得：x1＝1，x2＝4，
∴另一个交点坐标为（4，2），
∵AB为x m，BC为y m，
∴AB＝4，BC＝2．
故答案为：（4，2）；4；2；
（2）a＝6，不能围出矩形地块；理由如下：
y＝﹣2x+6的图象，如图中直线l2所示：
∵l2 与函数 图象没有交点，
∴不能围出面积为8m2的矩形；
（3）如图中直线l3所示：
将点（2，4）代入y＝﹣2x+a得：4＝﹣2×2+a，
解得a＝8．
（4）∵AB和BC的长均不小于1m，
∴x≥1，y≥1，
∴1，
∴x≤8，
∴1≤x≤8，
如图所示，直线y＝﹣2x+a在l4、l3之间移动，
把（8，1）代入y＝﹣2x+a得a＝17，
∴8≤a≤17．
【点评】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是一次函数和反比例函数图象得交点问题．
23．（2025 镇平县模拟）小强借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点C和点F为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，OC＝2，，以点O为圆心，OA长为半径作，连接BF．
（1）求k的值；
（2）求的长；
（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）k；
（2）；
（3）3．
【分析】（1）连接AC交OD于H，根据菱形的性质得到AC⊥OD，OHOD，根据勾股定理得到CH＝AH1，求得A（，1），将A（，1）代入y中即可求解；
（2）利用勾股定理求边长，再根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半求解出角度，最后根据弧长公式求解；
（3）先计算出S菱形AOCD＝2，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k的几何意义可求出S△FBO，从而问题即可解答．
【解答】解：（1）连接AC交OD于H，
∵四边形AOCD是菱形，
∴AC⊥OD，OHOD，
∵OC＝2，
∴CH＝AH1，
∴A（，1），
将A（，1）代入到y中，
得：1，
解得：k；
（2）∵OA＝OC＝2，
∴半径为2；
∵AHOA，
∴∠AOH＝30°，
由菱形的性质可知，∠AOH＝∠COH＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴的长；
（3）∵OD＝2OH＝2，
∴S菱形AOCDAC×OD＝2，
∴S扇形AOCπ×r2，
在菱形OBEF中，S△FHO＝S△BHO，
∵S△FHO，
∴S△FBO＝2，
∴S阴影＝S△FBO+S菱形AOCD﹣S扇形AOC2π＝3．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查反比例函数及k的几何意义，菱形的性质，圆心角与弧的关系等，正确的理解k的几何意义是解题关键．
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