4.7 相似三角形的性质（新课预习.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学

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4.7相似三角形的性质
一．选择题（共7小题）
1．（2025 西山区二模）如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝3，A′D′＝4，则的值为（　　）
A．9：16 B．16：9 C．4：3 D．3：4
2．（2025 易门县二模）如图，△ABC∽△DEF．若AB+BC+AC＝18cm，DE+EF+DF＝27cm，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025春 高州市期中）已知△ABC∽△DEF，若相似比，则（　　）
A． B．2 C． D．4
4．（2024秋 昌平区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC～△A'B'C'且A（1，0），B（2，0），A'（4，2），B'（6，1），若△ABC的面积为1，则△A'B'C'的面积为（　　）
A． B．3 C． D．5
5．（2025 长丰县一模）如图，△ABC∽△BDC，若AC＝3，，则△ABC与△BDC的相似比为（　　）
A． B．1：3 C．3：1 D．
6．（2024秋 迁安市期末）如图，A、B、C、D、E、F、G均在方格纸的格点上，将点C与D、E、F、G中一点连结，交线段AB于点P，若使点P能够把线段AB分成1：2两部分，则这个点可以是（　　）
A．D B．E C．F D．G
7．（2024秋 瑞安市校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，点D，E分别在AB，AC上，连接DE．若△ADE与△ABC相似，则∠ADE＝（　　）
A．50° B．60° C．50°或60° D．60°或70°
二．填空题（共5小题）
8．（2025 天府新区校级模拟）如图，Rt△ABC和Rt△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，AB＝3，AC＝4，DE＝4，DF＝8，点M在边BC上，点N在边EF上，AM分割△ABC所得的两个三角形分别与DN分割△DEF所得的两个三角形相似，那么线段DN的长是 　 　 ．
9．（2025 赤坎区校级四模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PAPB的最小值为 　 　 ．
10．（2025 海珠区校级二模）在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝4，以AC为边作△ACD，使得∠ACD＝90°，如果△ABC与△ACD相似，那么CD的长为 　 　 ．
11．（2025 盐湖区校级模拟）如图，在△ABC中，AC＝2，，∠ACB＝60°，点D为△ABC外一点，且满足CD∥AB，AC＝AD，则BD的长为　 　 ．
12．（2024秋 杭州期末）如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，连结AE，将△ADE顺时针旋转90°得到△ABF，连结EF，分别交AB，AC于点G，H．若△AFG与△AEC相似，则 　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2024秋 高陵区期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且△DCF∽△CEB．
求证：∠DFE＝∠A．
14．（2024秋 鼓楼区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，，BE⊥AB于B，点D为射线BE上一点，连接AD，若△ABD与△ABC相似．
（1）求AD的长；
（2）请直接写出△ABD与△ABC的面积比．
15．（2023秋 沈丘县期末）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
4.7相似三角形的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025 西山区二模）如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD＝3，A′D′＝4，则的值为（　　）
A．9：16 B．16：9 C．4：3 D．3：4
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似．
【答案】D
【分析】利用相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，
∴AB：A′B′＝AD：A′D′＝3：4，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质的应用．
2．（2025 易门县二模）如图，△ABC∽△DEF．若AB+BC+AC＝18cm，DE+EF+DF＝27cm，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】A
【分析】先由相似三角形的对应边的比等于周长比，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AB+BC+AC＝18cm，DE+EF+DF＝27cm，
∴（相似三角形的对应边的比等于周长比），
则，
故选：A．
【点评】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握该知识点是关键．
3．（2025春 高州市期中）已知△ABC∽△DEF，若相似比，则（　　）
A． B．2 C． D．4
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】C
【分析】利用相似三角形的性质代入即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，，
∴
故选：C．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键．
4．（2024秋 昌平区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC～△A'B'C'且A（1，0），B（2，0），A'（4，2），B'（6，1），若△ABC的面积为1，则△A'B'C'的面积为（　　）
A． B．3 C． D．5
【考点】相似三角形的性质；坐标与图形性质；三角形的面积．
【专题】平面直角坐标系；三角形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】先求出AB＝1，A'B'，再根据△ABC～△A'B'C'得，由此可得△A'B'C'的面积．
【解答】解：∵点A（1，0），B（2，0），A'（4，2），B'（6，1），
∴AB＝2﹣1＝1，A'B'，
∵△ABC～△A'B'C'，
∴，
∴S△A'B'C'＝5S△ABC，
∵△ABC的面积为1，
∴S△A'B'C'＝5，
即△A'B'C'的面积为5．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，三角形的面积，坐标与图形，理解相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解决问题的关键．
5．（2025 长丰县一模）如图，△ABC∽△BDC，若AC＝3，，则△ABC与△BDC的相似比为（　　）
A． B．1：3 C．3：1 D．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的对应边之比等于相似比作答．
【解答】解：∵△ABC∽△BDC，AC＝3，，
∴△ABC与△BDC的相似比为：AC：BC＝3：：1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，关键是掌握相似比的概念．
6．（2024秋 迁安市期末）如图，A、B、C、D、E、F、G均在方格纸的格点上，将点C与D、E、F、G中一点连结，交线段AB于点P，若使点P能够把线段AB分成1：2两部分，则这个点可以是（　　）
A．D B．E C．F D．G
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】C
【分析】通过连接不同的点与C，构造出与线段AB相关的相似三角形，利用相似三角形对应边成比例来判断哪个点与C的连线能使P点把线段AB分成1：2两部分．
【解答】解：设方格纸的边长为1，，，
∴AF＝2BC，
如图，连接BC，AF，连接CF交AB与P，
∵BC∥AF，AF＝2BC，
∴△BCP∽△AFP，
∴，
可得到AP：PB＝1：2，满足条件；
同理，将点C与D连接，BC与AD不平行，也不能得到AP：PB＝1：2，不满足条件；
同理，将点C与E连接，BC与AE不平行，也不能得到AP：PB＝1：2，不满足条件；
同理，将点C与G连接，BC∥AG，得到AP：PB＝1：1，不满足条件，
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是利用方格纸构造相似三角形，根据相似三角形的性质确定线段的比例关系．
7．（2024秋 瑞安市校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，点D，E分别在AB，AC上，连接DE．若△ADE与△ABC相似，则∠ADE＝（　　）
A．50° B．60° C．50°或60° D．60°或70°
【考点】相似三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】D
【分析】先根据三角形的内角和定理，计算∠C＝180﹣∠A﹣∠B，根据△ADE与△ABC相似，∠DAE＝∠A，则∠ADE＝∠B或∠ADE＝∠C，得出答案即可．
【解答】解：由条件可知∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，
∵△ADE与△ABC相似，∠DAE＝∠A，
∴∠ADE＝∠B＝70°或∠ADE＝∠C＝60°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理、相似三角形的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025 天府新区校级模拟）如图，Rt△ABC和Rt△DEF中，∠BAC＝∠EDF＝90°，AB＝3，AC＝4，DE＝4，DF＝8，点M在边BC上，点N在边EF上，AM分割△ABC所得的两个三角形分别与DN分割△DEF所得的两个三角形相似，那么线段DN的长是 　4或　 ．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】4或．
【分析】根据题意画出图形，然后分类讨论即可．
【解答】解：①如图，△ACM∽△FDN，△ABM∽△EDN，
∴6k+4k＝8，
∴k，
∴DN＝5k＝4；
②如图，△ACM∽△EDN，△ABM∽△FDN，
∴8k+3k＝4，
∴k，
∴DN＝10k；
综上所述：DN＝4或，
故答案为：4或．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，正确画出图形是解题的关键．
9．（2025 赤坎区校级四模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PAPB的最小值为 　　 ．
【考点】相似三角形的性质；勾股定理．
【专题】动点型；图形的相似；解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，在CB上取一点F，使得CF，连接PF，AF．利用相似三角形的性质证明PFPB，根据PF+PA≥AF，利用勾股定理求出AF即可解决问题．
【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF，连接PF，AF．
∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，
∴PCDE＝2，
∵，，
∴，
∵∠PCF＝∠BCP，
∴△PCF∽△BCP，
∴，
∴PFPB，
∴PAPB＝PA+PF，
∵PA+PF≥AF，AF，
∴PAPB，
∴PAPB的最小值为，
故答案为．
【点评】本题考查阿氏圆问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
10．（2025 海珠区校级二模）在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝4，以AC为边作△ACD，使得∠ACD＝90°，如果△ABC与△ACD相似，那么CD的长为 　或　 ．
【考点】相似三角形的性质；勾股定理．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】或．
【分析】分两种情形，当时，△ACD∽△CBA，当时，△AC∽△ABC，分别求解即可．
【解答】解：如图，∵∠ABC＝90°，AC＝5，BC＝4，
∴AB3，
当时，△ACD∽△CBA，
∴，
∴CD．
当时，△AC∽△ABC，
∴，
∴CD．
综上所述，CD的长为或．
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
11．（2025 盐湖区校级模拟）如图，在△ABC中，AC＝2，，∠ACB＝60°，点D为△ABC外一点，且满足CD∥AB，AC＝AD，则BD的长为　　 ．
【考点】相似三角形的性质；平行线的性质；勾股定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】作AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，DH⊥AB交BA的延长线于点H，因为CD∥AB，所以CF＝DH，而AC＝AD，即可根据“HL”证明Rt△AHD≌Rt△AFC，由∠ACB＝60°，求得∠CAE＝30°，因为AC＝2，AB，所以CEAC＝1，求得AE，则BE2，所以BC＝3，由S△ABCCF3，求得CF＝DH，则AF＝AH，所以BH，则BD，于是得到问题的答案．
【解答】解：作AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，DH⊥AB交BA的延长线于点H，则∠AEC＝∠AEB＝∠AFC＝∠H＝90°，
∵CD∥AB，
∴CF＝DH，
在Rt△AHD和Rt△AFC中，
，
∴Rt△AHD≌Rt△AFC（HL），
∵∠ACB＝60°，AC＝2，AB，
∴∠CAE＝90°﹣∠ACB＝30°，
∴CEAC＝1，
∴AE，
∴BE2，
∴BC＝BE+CE＝2+1＝3，
∵S△ABCCF3，
∴CF＝DH，
∴AF＝AH，
∴BH＝AB+AH，
∴BD，
故答案为：．
【点评】此题重点考查两条平行线之间的距离处处相等、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键．
12．（2024秋 杭州期末）如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，连结AE，将△ADE顺时针旋转90°得到△ABF，连结EF，分别交AB，AC于点G，H．若△AFG与△AEC相似，则 　2+2　 ．
【考点】相似三角形的性质；正方形的性质；旋转的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；运算能力．
【答案】2+2．
【分析】如图，延长FE交AD的延长线于点T，过点E作EJ⊥AC于点J．首先证明ECDE，设DE＝BF＝m，求出AT（用m表示）可得结论．
【解答】解：如图，延长FE交AD的延长线于点T，过点E作EJ⊥AC于点J．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝∠BAD＝90°，∠ACD＝∠DAC＝45°，AD＝CD，
由旋转变换的性质可知∠BAF＝∠DAE，DE＝BF，
∵△AFG与△AEC相似，
∴∠BAF＝∠EAC，
∴∠DAE＝∠EAC，
∵ED⊥AD，EJ⊥AC，
∴ED＝EJ，
∵ECEJ，
∴ECDE，
设DE＝BF＝m，则ECm，AD＝CD＝（1）m，
∵∠DAC＝45°，
∴∠DAE＝∠EAC＝22.5°，
∴∠AED＝67.5°，
∵∠DAE＝∠BAF，
∴∠EAF＝∠DAB＝90°，
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝45°，
∴∠DET＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠T＝∠DAE＝22.5°，
∴EA＝ET，
∵ED⊥AT，
∴AD＝DT＝（1）m，
∵BF∥AT，
∴△AGT∽△BGF，
∴2+2．
故答案为：2+2．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．
三．解答题（共3小题）
13．（2024秋 高陵区期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且△DCF∽△CEB．
求证：∠DFE＝∠A．
【考点】相似三角形的性质；平行四边形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】见解析．
【分析】根据相似三角形的性质，求得∠DFC＝∠B，由平行四边形的性质可得∠A+∠B＝180°，据此即可证明∠DFE＝∠A．
【解答】解：∵△DCF∽△CEB，
根据三角形相似的性质可得：
∴∠DFC＝∠B，
∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°．
∵∠DFC+∠DFE＝180°，
∴∠DFE＝∠A．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
14．（2024秋 鼓楼区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，，BE⊥AB于B，点D为射线BE上一点，连接AD，若△ABD与△ABC相似．
（1）求AD的长；
（2）请直接写出△ABD与△ABC的面积比．
【考点】相似三角形的性质；勾股定理．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】（1）6或；
（2）或3．
【分析】（1）根据勾股定理求出BC，分△ABD∽△ACB、△ABD∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式计算即可；
（2）分△ABD∽△ACB、△ABD∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式计算即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，，，∠ACB＝90°，
∴BC2，
当△ABD∽△ACB时，，即，
∴；
当△ABD∽△BCA时，，即，
解得：AD＝6；
∴AD的长为6或；
（2）当△ABD∽△ACB时，面积比；
当△ABD∽△BCA时，面积比，
则△ABD与△ABC的面积比为或3．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例，相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
15．（2023秋 沈丘县期末）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据勾股定理求出AB，分△BPQ∽△BAC、△BPQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，BQ＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．
【解答】解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，
∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴，
∴，
②当△BPQ∽△BCA时，
∵，
∴，
∴；
∴或时，△BPQ与△ABC相似；
（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，
则有PB＝3t，，，，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴
解得：．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
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