6.3 反比例函数的应用（新课预习.含解析）-2025-2026学年九年级上册数学北师大版

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6.3反比例函数的应用
一．选择题（共7小题）
1．（2025春 合肥期末）有一并联电路，两电阻阻值分别为R1，R2，总电阻为R，三者的关系为：．若已知R、R1，则R2为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 长春）在功W（J）一定的条件下，功率P（W）与做功时间t（s）成反比例，P（W）与t（s）之间的函数关系如图所示．当25≤t≤40时，P的值可以为（　　）
A．24 B．27 C．45 D．50
3．（2025春 莱西市期末）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数，其图象如图所示．下列说法错误的是（　　）
A．函数表达式为
B．已知机器狗无载重时的最快移动速度为9m/s，则机器狗的质量为40kg
C．机器狗的质量越大，其移动速度越快
D．要使机器狗的最快移动速度v不低于5m/s，其载重后总质量不能大于72kg
4．（2025 南山区校级模拟）物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流I（A）随着电阻R（Ω）的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为1Ω，则该电路能通过的（　　）
A．最大电流是36A B．最大电流是27A
C．最小电流是36A D．最小电流是27A
5．（2025春 上杭县期中）生活用电器中额定电压U（单位：v），额定功率P（单位：w），电阻R（单位：Ω）之间有如下数量关系：R，如图，该用电器的额定电压的标识已经模糊不清，若已知电阻R＝3.2Ω，则它的额定电压U应为（　　）
A．±16 B．±4 C．4 D．16
6．（2025春 丰台区期末）下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（　　）
A．正方形的面积S随着边长x的变化而变化
B．圆的周长C随着半径r的变化而变化
C．面积为20的三角形的一边a，随着这边上的高h的变化而变化
D．矩形的一边长为a，比它的邻边短2，矩形的周长l随着边长a的变化而变化
7．（2025春 宝应县期末）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，加压后气体对气缸壁所产生的压强P（kPa）与气缸内气体的体积V（ml）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．当压强（　　）时，气体体积压缩了40ml．
A．100kPa加到125kPa B．75kPa加到100kPa
C．50kPa加到75kPa D．25kPa加到50kPa
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 舟山期末）已知在温度不变的条件下，汽缸内气体的体积V（mL）和气体对气缸壁所产生的压强p（kPa）成反比例关系，当V＝80时，p＝75，则当V＝120时，p＝　 　 ．
9．（2025春 海州区期末）物理学中电磁波的波长λ（m）会随着电磁波的频率f（MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值．若f＝75MHz，则电磁波的波长λ＝　 　 m．
频率f/MHz 10 15 50
波长λ/m 30 20 6
10．（2025 雨花区校级三模）在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率f（赫兹）与振动弦长l（米）近似成反比例关系，即（k为常数，k≠0）．若振动弦长l为0.6米时，测得振动频率f为200赫兹，则k的值为 　 　 ．
11．（2025春 上城区期末）如图，根据杠杆平衡原理设计的装置，在左边固定的A盘中放置一个质量固定的重物，在右边可左右移动的B盘中放置一定质量的砝码，使仪器水平平衡，改变B盘与点O之间的距离x（cm），记录相应的B盘中的砝码质量y（g），得到如下表格，
B盘与点O的距离x（cm） 10 15 20 25 30
B盘中的砝码质量y（g） 30 20 15 12 10
当砝码的质量为24g时，则B盘与O点之间的距离为 　 　 cm．
12．（2025 吉县二模）图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数，其图象如图2所示，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，当880＜R＜1000时，I的取值范围是 　 　 ．
三．解答题（共3小题）
13．（2025 贵州）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如表：
点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3
拉力的大小F/N 300 200 150 120 a
（1）表格中a的值是 　 　 ；
（2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
（3）根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由．
14．（2025春 宿豫区期末）如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B（3，n），点P（n+2，2）是反比例函数图象上的一点．
（1）求m的值；
（2）根据图象，直接写出当反比例函数值小于或等于直线BP的函数值时，自变量x的取值范围；
（3）连接OB，若OB与x轴正方向夹角∠BOC＝2∠BAO，求一次函数y＝kx+b的表达式．
15．（2025 东莞市三模）如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA＝6米，AB＝2米．以点O为原点，水面所在直线为x轴建立如图的直角坐标系，其中点E在x轴上．
（1）求BC段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出x的取值范围）；
（2）出口C点距离水面的距离为1.5米，求B，C之间的水平距离；
（3）若要在滑梯BC上的Q点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到BE的距离不超过2米，求点Q到水面的距离至少多少米？
6.3反比例函数的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025春 合肥期末）有一并联电路，两电阻阻值分别为R1，R2，总电阻为R，三者的关系为：．若已知R、R1，则R2为（　　）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的应用；分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【答案】D
【分析】利用，求出，再求出倒数即可得出结论．
【解答】解：由条件可知，
∴；
故选：D．
【点评】本题考查异分母的分式的加减运算．熟练掌握运算法则是关键．
2．（2025 长春）在功W（J）一定的条件下，功率P（W）与做功时间t（s）成反比例，P（W）与t（s）之间的函数关系如图所示．当25≤t≤40时，P的值可以为（　　）
A．24 B．27 C．45 D．50
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再求出当t＝25和t＝40时的函数值，根据反比例函数的性质即可得到答案．
【解答】解：设功率P（单位：w）与做功的时间t（单位：s）的函数解析式为P（k≠0），
把t＝60，P＝20代入解析式得：20，
解得：k＝1200，
∴功率P（单位：w）与做功的时间t（单位：s）的函数解析式为P；
∵反比例函数的图象在第一象限内，P随t的增大而减小，
∴当t≥25时，P48，
当t≤40时，P30，
∴30≤t≤48，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
3．（2025春 莱西市期末）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数，其图象如图所示．下列说法错误的是（　　）
A．函数表达式为
B．已知机器狗无载重时的最快移动速度为9m/s，则机器狗的质量为40kg
C．机器狗的质量越大，其移动速度越快
D．要使机器狗的最快移动速度v不低于5m/s，其载重后总质量不能大于72kg
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，根据解析式和反比例函数的性质求解即可．
【解答】解：最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数，设反比例函数解析式为v，
∵反比例函数的图象经过点（60，6），
∴6，
解得：k＝360，
∴反比例函数解析式为v（m＞0），故选项A不符合题意；
当v＝9m/s时，得：9，
解得：m＝40，
经检验，m＝40是原方程的解，故选项B不符合题意；
∵反比例函数的图象在第一象限内，P随t的增大而减小，
即机器狗的质量越大，其移动速度越慢，故选项C符合题意；
当v≥5m/s，5，
解得m≤72kg，故选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
4．（2025 南山区校级模拟）物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流I（A）随着电阻R（Ω）的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象．若该电路的最小电阻为1Ω，则该电路能通过的（　　）
A．最大电流是36A B．最大电流是27A
C．最小电流是36A D．最小电流是27A
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】A
【分析】可设，由于点（4，9）代入这个函数解析式，则可求得k的值，然后代入R＝1求得I的值即可．
【解答】解：根据电压＝电流×电阻，设，
将点（4，9）代入得，解得U＝36，
∴；
若该电路的最小电阻值为1Ω，该电路能通过的最大电流是，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
5．（2025春 上杭县期中）生活用电器中额定电压U（单位：v），额定功率P（单位：w），电阻R（单位：Ω）之间有如下数量关系：R，如图，该用电器的额定电压的标识已经模糊不清，若已知电阻R＝3.2Ω，则它的额定电压U应为（　　）
A．±16 B．±4 C．4 D．16
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据反比例函数解析式，把P，R的值待入解析式即可．
【解答】解：由题意知，R＝3.2Ω，P＝5W，R，
∴U2＝PR＝5×3.2＝16，
∴U＝4（负值舍去），
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的应用，关键是确定出P，R的值．
6．（2025春 丰台区期末）下列变量之间关系中，一个变量是另一个变量的正比例函数的是（　　）
A．正方形的面积S随着边长x的变化而变化
B．圆的周长C随着半径r的变化而变化
C．面积为20的三角形的一边a，随着这边上的高h的变化而变化
D．矩形的一边长为a，比它的邻边短2，矩形的周长l随着边长a的变化而变化
【考点】反比例函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；推理能力．
【答案】B
【分析】先依据题意列出函数关系式，然后依据函数关系式进行判断即可．
【解答】解：A、S＝x2是二次函数，故此选项不符合题意；
B、C＝4x是正比例函数，故此选项符合题意；
C、∵ah＝20，
∴a，是反比例函数，故此选项不符合题意；
D、∵矩形的一边长为a，则它的邻边为a+2，
∴矩形的周长l＝2（a+a+2）＝4a+4，是一次函数，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
7．（2025春 宝应县期末）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，加压后气体对气缸壁所产生的压强P（kPa）与气缸内气体的体积V（ml）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．当压强（　　）时，气体体积压缩了40ml．
A．100kPa加到125kPa B．75kPa加到100kPa
C．50kPa加到75kPa D．25kPa加到50kPa
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】利用待定系数法求出P关于V的函数关系式，将V表示为P的函数，设当P＝P1时，V＝V1，当P＝P2时，V＝V2，将它们分别代入V关于P的函数关系式，当V1﹣V2＝40时得到关于P1和P2的数量关系式，将各个选项中的值作为P1和P2分别代入这个等式，能使等式成立的就为正确答案．
【解答】解：设P关于V的函数关系式为P（k为常数，且k≠0），
将坐标（100，60）代入P，
得60，
解得k＝6000，
∴P关于V的函数关系式为P，
∴V，
设当P＝P1时，V＝V1，当P＝P2时，V＝V2，
则V1，V2，
V1﹣V2＝6000（）＝40，
∴，
当P1＝100，P2＝125时，，
∴A不符合题意；
当P1＝75，P2＝100时，，
∴B不符合题意；
当P1＝50，P2＝75时，，
∴C符合题意；
当P1＝25，P2＝50时，，
∴D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
8．（2025春 舟山期末）已知在温度不变的条件下，汽缸内气体的体积V（mL）和气体对气缸壁所产生的压强p（kPa）成反比例关系，当V＝80时，p＝75，则当V＝120时，p＝　50kPa　 ．
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】50kPa．
【分析】运用待定系数法求出反比例函数的解析式，把V＝120代入即可得出答案．
【解答】解：设这个反比例函数的解析式为V，
∵V＝80时，p＝75，
∴k＝PV＝75×80＝6000，
∴V，
当V＝120时，p50（kPa）．
故答案为：50kPa．
【点评】本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，得出反比例函数的解析式是解本题的关键．
9．（2025春 海州区期末）物理学中电磁波的波长λ（m）会随着电磁波的频率f（MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值．若f＝75MHz，则电磁波的波长λ＝　4　 m．
频率f/MHz 10 15 50
波长λ/m 30 20 6
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】4．
【分析】根据反比例函数的两个变量之积为常数求出波长λ与频率f之间的函数关系式，当f＝75时，求出对应λ的值即可．
【解答】解：由表格可知，λf＝300，
∴波长λ与频率f之间的函数关系式为λ，
当f＝75时，λ4．
故答案为：4．
【点评】本题考查反比例函数的应用，根据反比例函数的两个变量之积为常数求出波长λ与频率f之间的函数关系式是解题的关键．
10．（2025 雨花区校级三模）在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率f（赫兹）与振动弦长l（米）近似成反比例关系，即（k为常数，k≠0）．若振动弦长l为0.6米时，测得振动频率f为200赫兹，则k的值为 　120　 ．
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】120．
【分析】将l＝0.6，f＝200代入f，得到关于k的方程并求解即可．
【解答】解：将l＝0.6，f＝200代入f，
得200，
解得k＝120．
故答案为：120．
【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握用代入自变量与函数值的方法计算比例系数是解题的关键．
11．（2025春 上城区期末）如图，根据杠杆平衡原理设计的装置，在左边固定的A盘中放置一个质量固定的重物，在右边可左右移动的B盘中放置一定质量的砝码，使仪器水平平衡，改变B盘与点O之间的距离x（cm），记录相应的B盘中的砝码质量y（g），得到如下表格，
B盘与点O的距离x（cm） 10 15 20 25 30
B盘中的砝码质量y（g） 30 20 15 12 10
当砝码的质量为24g时，则B盘与O点之间的距离为 　12.5　 cm．
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】12.5．
【分析】根据表格中变量的变化规律写出y与x的函数关系式，当y＝24时，求出对应x的值即可．
【解答】解：根据表格，得xy＝300，
∴y与x的函数关系式为y，
当y＝24时，得24，
解得x＝12.5，
∴B盘与O点之间的距离为12.5cm．
故答案为：12.5．
【点评】本题考查反比例函数的应用，根据变量的变化规律写出y与x的函数关系式是解题的关键．
12．（2025 吉县二模）图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数，其图象如图2所示，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，当880＜R＜1000时，I的取值范围是 　0.22＜I＜0.25　 ．
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】0.22＜I＜0.25．
【分析】先由待定系数法求出反比例函数的解析式，然后分别求出R＝880和R＝1000时对应的I，最后观察图象即可求解．
【解答】解：设I与R的函数关系式是，
∵图象经过点P（880，0.25），
∴，
∴U＝220，
∴，
当R＝880时，；
当R＝1000时，，
∴当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25．
故答案为：0.22＜I＜0.25．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．
三．解答题（共3小题）
13．（2025 贵州）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如表：
点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3
拉力的大小F/N 300 200 150 120 a
（1）表格中a的值是 　100　 ；
（2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
（3）根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由．
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）100；
（2）见解析；
（3）当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小，理由见解析．
【分析】（1）根据表中数据，可发现l与F的乘积为定值300，即可得到答案；
（2）将表格中的数值在平面直角坐标系中描出各点，将所描出的点用平滑的曲线连接起来就得到这个函数的图象；
（3）根据反比例函数的性质即可得到答案．
【解答】解：（1）根据表中数据，可发现l与F的乘积为定值300，
∴3a﹣300，
∴a＝100，
故答案为：100；
（2）画出F与l的函数图象如图所示：
（3）当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小，理由如下：
∵F、l都是正数，
∴这条曲线是反比例函数的一支，
∵FL＝300，
∴其函数表达式为F，
∵k＞0，
∴在第一象限内，F素l的增大而减小，
即当OA的长增大时，拉力F是减小．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出F与L的积为定值，从而得出函数关系式．
14．（2025春 宿豫区期末）如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点B（3，n），点P（n+2，2）是反比例函数图象上的一点．
（1）求m的值；
（2）根据图象，直接写出当反比例函数值小于或等于直线BP的函数值时，自变量x的取值范围；
（3）连接OB，若OB与x轴正方向夹角∠BOC＝2∠BAO，求一次函数y＝kx+b的表达式．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数几何综合题；反比例函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）m的值为12；
（2）3＜x＜6；
（3）一次函数的表达式为yx．
【分析】（1）把B、P的坐标代入反比例函数解析式中，即可求得m，n的值；
（2）观察图象即可得出答案；
（3）由题意可推出∠BAO＝∠ABO，则OA＝OB，求得A（﹣5，0），再运用待定系数法即可求得答案．
【解答】解：（1）∵反比例函数y（x＞0）的图象经过B（3，n），P（n+2，2）两点，
∴m＝3n＝2（n+2），
解得：m＝12，n＝4，
∴m的值为12；
（2）∵B（3，4），P（6，2），
∴观察图象可得，当反比例函数值小于或等于直线BP的函数值时，3＜x＜6；
（3）如图，
∵∠BOC＝∠BAO+∠ABO，∠BOC＝2∠BAO，
∴∠BAO＝∠ABO，
∴OA＝OB，
∵B（3，4），
∴OB5，
∴OA＝5，
∵点A在x轴负半轴上，
∴A（﹣5，0），
把A（﹣5，0），B（3，4）代入y＝kx+b，得，
解得：，
∴一次函数的表达式为yx．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的图象和性质，等腰三角形的判定等，本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．
15．（2025 东莞市三模）如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA＝6米，AB＝2米．以点O为原点，水面所在直线为x轴建立如图的直角坐标系，其中点E在x轴上．
（1）求BC段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出x的取值范围）；
（2）出口C点距离水面的距离为1.5米，求B，C之间的水平距离；
（3）若要在滑梯BC上的Q点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到BE的距离不超过2米，求点Q到水面的距离至少多少米？
【考点】反比例函数的应用；平面展开﹣最短路径问题．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y；
（2）6米；
（3）3米．
【分析】（1）利用待定系数法计算即可；
（2）设点C的坐标为（m，1.5）并代入y与x的函数关系式，求出m的值再减去AB的长即可；
（3）设点Q的坐标为（a，b）并代入y与x的函数关系式，将a用b表示出来，根据a﹣2≤2列关于b的不等式并求其解集，从而得到b的最小值即可．
【解答】解：（1）∵OA＝6米，AB＝2米，
∴点B的坐标为（2，6），
设BC段滑梯所在的双曲线的解析式为y（k为常数，且k≠0），
将坐标B（2，6）代入y，
得6，
解得k＝12，
∴BC段滑梯所在的双曲线的解析式为y．
（2）设点C的坐标为（m，1.5），
将C（m，1.5）代入y，
得1.5，
解得m＝8，
8﹣2＝6（米），
∴B，C之间的水平距离为6米．
（3）设点Q的坐标为（a，b），
将Q（a，b）代入y，
得b，
∴a，
根据题意，得2≤2，
解得b≥3，
∴点Q到水面的距离至少3米．
【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．
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