第四章《一元一次方程》单元测试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
1.下列各式中,一元一次方程的是( )
A. B.
C. D.
2.整式的值随的取值不同而不同,下表是当取不同值时整式对应的值,则关于的方程的解为( )
0 1 2
9 7 5 3 1
A. B. C. D.
3.下列变形中,不正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
4.整式的值随的取值不同而不同,下表是当取不同值时对应的整式的值:
则关于的方程的解为( )
A. B. C. D.
5.下列方程的解法中,错误的个数是( )
①方程,移项,得;
②方程,去括号,得;
③方程去分母,得:;
④方程,系数化为1,得:.
A.1 B.2 C.3 D.4
6.若关于的方程的解为,则关于的方程的解为( )
A. B. C. D.不能确定
7.已知关于x的方程,则下列说法不正确的是( )
A.时方程无解 B.无论b的值为多少,方程的解不可能是
C.时,方程解为 D.时
8.若不论k取什么数,关于x的方程(m、n是常数)的解总是.则的值是( )
A. B. C. D.15
9.某商场打折销售一款风扇,若按标价的六折出售,则每台风扇亏损10元;若按标价的九折出售,则每台风扇盈利95元.这款风扇每台的标价为( )
A.350元 B.320元 C.270元 D.220元
10.某省居民生活用电实施阶梯电价,年用电量分为三个阶梯.阶梯电费计价方式如下:
阶梯档次 年用电量 电价(单位:元/度)
第一阶梯 2760度及以下部分 0.538
第二阶梯 2761度至4800度部分 0.588
第三阶梯 4801度及以上部分 0.838
小聪家去年12月份用电量为500度,电费为319元,则小聪家去年全年用电量为( )
A.5250度 B.5100度 C.4900度 D.4850度
二、填空题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)
11.写出一个一元一次方程,满足下列要求:①方程的解为;②未知数的系数不能为1,这个方程可以是 .
12.若方程是关于x的一元一次方程,则方程的解为 .
13.已知,,当的值为 时,.
14.用“※”定义一种新运算:对于任意有理数a,b,规定,那么当时,x的值是 .
15.设,,,为有理数,现规定一种新的运算,则满足等式:的的值为 .
16.若关于的方程的解与方程的解互为相反数,则的值为 .
17.一列方程如下排列:的解是,
的解是,的解是,…
根据观察得到的规律,写出其中解是的方程: .
18.如图,将第1个图中的正五边形剪开得到第2个图,第2个图中共有5个正五边形;将第2个图中一个正五边形剪开得到第3个图,第3个图中共有9个正五边形.……此规律进行下去,若第个图中共有2025个正五边形,则的值为 .
19.如图,、、、为直线上的个动点,其中,.在直线上,线段以每秒个单位的速度向左运动,同时线段以每秒个单位的速度向右运动,则运动 秒时,点到点的距离与点到点的距离相等.
20.如图是一个数表,现用一个矩形在数表中任意框出:4个数,当时, .
三、解答题(本大题共5小题,共60分)
21.(本题8分)解下列方程:
(1) (2)
(3) (4)
22.(本题8分)七(1)班数学老师在批改小颖的作业时,发现小颖在解方程时,把“”抄成了“”,解得,而且“”处的数字也模糊不清了.
(1)请你帮小颖求出“”处的数字.
(2)请你求出原方程正确的解.
23.(本题8分)我们规定,若关于的一元一次方程的解为,则称该方程为“有趣方程”.例如,的解为,而,则该方程就是“有趣方程”.请根据上述规定解答下列问题:
(1)若关于的一元一次方程是“有趣方程”,则______.
(2)若关于的一元一次方程是“有趣方程”,且它的解为,求、的值.
24.(本题8分)某市按以下规定收取每月水费:若每月每户用水不超过,则每立方米按元收费;若每月每户用水超过,则超过部分每立方米按元收费.
(1)李明家上个月用水,他上个月应交水费多少元?
(2)若当月用水量为(),请你用含的式子表示当月所付水费金额;
(3)如果王鹏家月份所交水费的平均价为每立方米元,那么王鹏家月份用水多少立方米?请你设未知数列方程完成此问.
25.(本题8分)对于数轴上的A,B,C三点,给出如下定义:若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系,则称该点是其它两个点的“友好点”.例如数轴上点A,B,C所表示的数分别为1,3,4,此时点B是点A,C的“友好点”.
(1)若点M表示数, 点N表示的数4,下列各数0,1,2所对应的点分别为,其中是点M,N的“友好点”的是___________;
(2)点A表示数, 点B表示的数30,P在为数轴上一个动点:
①若点P在点B的左侧,且点P是点A,B的“友好点”,求此时点P表示的数;
②若点P在点B的右侧,点P,A,B中,有一个点恰好是其它两个点的“友好点”,写出此时点P表示的数___________.
参考答案
一、选择题
1.B
【知识点】判断是否是一元一次方程
【分析】本题考查判断一元一次方程,熟记一元一次方程定义中的三点要求是解题的关键.一元一次方程是含有一个未知数,未知数的指数为1的整式方程,根据定义判断即可.
【详解】A. ,未知数的最高次为2,不是一元一次方程;
B. 符合一元一次方程的定义,是一元一次方程;
C. 含有2个未知数,不是一元一次方程;
D. 是不是整式方程,所以不是一元一次方程;
故选:B.
2.C
【知识点】判断是否是一元一次方程解
【分析】本题考查一元一次方程的解,根据表格可知,当时,,故的解为.
【详解】解:由表格可知:当时,,
∴的解为.
故选C.
3.D
【知识点】等式的性质1、等式的性质2
【分析】本题考查了不等式的性质,根据不等式的性质逐项判断即可求解,掌握不等式的性质是解题的关键.
【详解】解:、若,等式两边同时加,可得,该选项变形正确,不合题意;
、若,等式两边同时乘,可得,该选项变形正确,不合题意;
、若,等式两边同时除以,可得,该选项变形正确,不合题意;
、若,当时,不一定等于,该选项变形不正确,符合题意;
故选:.
4.C
【知识点】解一元一次方程(一)——合并同类项与移项
【分析】本题考查了解一元一次方程,熟练掌握解一元一次方程 的方法是解题的关键.
先根据表格中数据可知,当时,,则, 当时,,则,即,把,的值代入得出关于 的一元一次方程,再根据解一元一次方程的方法求解即可.
【详解】解:由表格中数据可知,当时,,
∴,
当时,,
∴,即,
∴,
把,分别代入,
得,
,
∴,
故选:.
5.C
【知识点】解一元一次方程(一)——合并同类项与移项、解一元一次方程(二)——去括号、解一元一次方程(三)——去分母
【分析】本题主要考查了解一元一次方程,各方程整理得到结果,即可作出判断,熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键.
【详解】解:①方程,移项应得,即;该项错误,符合题意;
②方程,去括号应得,该项正确,不符合题意;
③方程去分母,应得,即,该项错误,符合题意;
④方程,系数化为1应得,该项错误,符合题意;
∴错误的个数是3个,
故选:C.
6.B
【知识点】解一元一次方程(一)——合并同类项与移项、一元一次方程解的关系
【分析】本题考查方程解的定义,换元法及同解方程知识,根据题意,令,则关于的方程与关于的方程是同解的方程列式求解即可得到答案,熟记方程解的定义是解决问题的关键.
【详解】解:令,
由是方程的解可知,
关于的方程的解满足,
解得,
故选:B.
7.D
【知识点】已知一元一次方程的解,求参数、解一元一次方程(二)——去括号
【分析】本题考查一元一次参数方程解的情况,正确理解一元一次参数方程解的情况是解题的关键.
根据题意逐项求解判断即可.
【详解】A.当时,,不符合题意,故方程无解,选项正确;
B.当时,,不符合题意,故无论b的值为多少,方程的解不可能是,选项正确;
C.当时,
去括号得,
移项得,
系数化为1得,,故选项正确;
D.当时,,不符合题意,故方程无解,选项错误.
故选:D.
8.A
【知识点】已知一元一次方程的解,求参数
【分析】先把代入方程,整理成关于k的一元一次方程,根据方程的解与k无关,得到关于k的方程有无数解,根据一元一次方程有无数解的条件,列式解答即可.
本题考查了一元一次方程的解,熟练掌握方程有无数解的基本条件是解题的关键.
【详解】解:∵,
∴,
∴,
∵不论k取什么数,关于x的方程(m、n是常数)的解总是,
∴,
∴,
∴,
∴,
故选:A.
9.A
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用,设这款风扇每台的标价为元,根据按标价的六折出售,则每台风扇亏损10元可得风扇的进价为元,根据按标价的九折出售,则每台风扇盈利95元可得风扇的进价为元,据此建立方程求解即可.
【详解】解:设这款风扇每台的标价为元,
由题意得,,
解得,
∴这款风扇每台的标价为350元,
故选:A.
10.C
【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用,解题的关键是先判断出小聪家去年前11个月用电量超过2761度,不足4800度,设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度,根据12月份用电量为500度,电费为319元,列出方程,解方程即可.
【详解】解:∵(元),(元),
又∵,
∴小聪家去年前11个月用电量超过2761度,不足4800度,
设小聪家去年12月份用电量500度超过4800度的部分为x度,根据题意得:
,
解得:,
(度),
答:小聪家去年全年用电量为4900度.
故选:C.
二、填空题
11.(答案不唯一)
【知识点】判断是否是一元一次方程解、判断是否是一元一次方程
【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式,只含有一个未知数,且未知数的指数是1,一次项系数不是0,根据一元一次方程的定义,构造出符合条件的方程即可.
【详解】解:答案不唯一,如等.
故答案为:(答案不唯一).
12.
【知识点】解一元一次方程(一)——合并同类项与移项、判断是否是一元一次方程解
【分析】本题主要考查了解一元一次方程,一元一次方程的定义,只含有一个未知数,且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程,据此求出m的值,进而得到原方程,再解方程即可得到答案.
【详解】解:∵方程是关于x的一元一次方程,
∴,
∴,
∴原方程为,
解得,
故答案为:.
13.
【知识点】解一元一次方程(一)——合并同类项与移项
【分析】本题考查了一元一次方程的应用.根据题意列得一元一次方程,解方程即可求解.
【详解】解:∵,,且,
∴,
解得,
故答案为:.
14.4
【知识点】解一元一次方程(二)——去括号
【分析】本题考查解一元一次方程,由题意得,,解方程可得x的值.
【详解】解:由题意得,,
解得.
故答案为:4.
15.
【知识点】解一元一次方程(二)——去括号
【分析】本题考查解一元一次方程.根据新运算得出,再求解即可得出答案.
【详解】解:根据新运算可得:,
整理得:,
解得:,
故答案为:.
16.
【知识点】已知一元一次方程的解,求参数、解一元一次方程(三)——去分母、解一元一次方程(二)——去括号、解一元一次方程(一)——合并同类项与移项
【分析】本题考查方程的解的问题及参数的求解,解题的关键是分别求出两个方程的解,根据互为相反两个数和为,列新方程求解.
分别解出两个方程的解用含的字母表示,再根据互为相反数列式即可得到答案.
【详解】解:由题意得:解方程,
解得;
解方程,
解得;
∵两个方程的解互为相反数,
,
解得:;
故答案为:
17.
【知识点】一元一次方程解的关系、解一元一次方程(三)——去分母
【分析】本题考查了一元一次方程的解,能根据题意得出规律是解此题的关键.
先根据已知方程得出规律,再根据得出的规律得出答案即可.
【详解】解:∵一列方程如下排列:
的解是;
的解是;
的解是;
∴一列方程如下排列:
的解是;
的解是;
的解是;
…,
由此可得:解为的方程为:
,
即,
故答案为:.
18.507
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、几何问题(一元一次方程的应用)、图形类规律探索
【分析】本题考查了图形的变化类,解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律.探寻规律要认真观察、仔细思考,善用联想来解决这类问题.根据图形的变化,后一个图形的正方形的个数都比前一个图形的正五边形的个数多4个,第n个图形的正五边形的个数为即可求解.
【详解】解:观察图形可知:第1个图中有1个正五边形,即;
第2个图中有5个正五边形,即;
第3个图中有9个正五边形,即;
……
∴第n个图中正方形的个数为;
则,
解得:,
∴第个图中共有2025个正五边形,则的值为507.
故答案为:507.
19.或
【知识点】动点问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了线段的和差,一元一次方程.
设运动时间为t,分当C和F都在线段上时,当C在线段上,F在的延长线上时,两种情况讨论求解即可.
【详解】解:设运动时间为t,
当C和F都在线段上时,
由题意得:,
解得;
当C在线段上,F在的延长线上时,
由题意得,
解得
故答案为:或.
20.20
【知识点】日历问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的应用,根据题意,分别用含的代数式表示出,得到关于的一元一次方程,进行求解即可.
【详解】解:由图可知:,
∴,
∴;
故答案为:20.
三、解答题
21.(1)解:
移项得:,
合并同类项得:,
系数化为1得:;
(2)解:
去括号得:,
移项得:,
合并同类项得:,
系数化为1得:;
(3)解:
去分母得:,
去括号得:,
移项得:,
合并同类项得:,
系数化为1得:;
(4)解:
整理得,
移项得:,
合并同类项得:,
系数化为1得:.
22.(1)解:依题意,把代入,
得,
整理得,
去分母得,
移项,
合并同类项得,
系数化1,得;
(2)解:由(1)得,则,
去分母得,
去括号得,
移项得得,
合并同类项得,
系数化1,得.
23.(1)解:解方程,得,
∵方程是“有趣方程”,
∴,
解得,
故答案为:;
(2)解:解方程,得,
∵方程是“有趣方程”,
∴,,
解得,.
24.(1)解:根据题意,得(元)
答:他上个月应交水费92.5元.
(2)解:∵当月用水量为(),
∴当月所付水费金额为元;
(3)解:根据题意,得
解得
答:王鹏家12月份用水50立方米.
25.(1)解:∵,
∴,
∴是点M,N的“友好点”,
∵,
∴,
∴不是点M,N的“友好点”,
∵,
∴,
∴是点M,N的“友好点”,
综上,是点M,N的“友好点”,
故答案为:
(2)解:设点P表示的数为x,
∵点A表示数, 点B表示的数30,
∴①若点P在点B的左侧,,
当点P在点A的右侧,,
∵点P是点A,B的“友好点”,
∴,
∴,
解得;
或,
∴,
解得;
当点P在点A的左侧,,
此时,,
∴,
解得;
综上,点P表示的数为或或;
②若点P在点B的右侧,则,
当,,
解得,
当,,
解得,
当,,
解得,
综上,点P表示的数为50或110或70.
故答案为:50或110或70.