9.3 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离
案例：测量学校内、外建筑物的高度
活动目的：运用所学的正弦定理与余弦定理的知识，解决实际测量高度的问题，体验数学建模活动的完整过程.
课题：（1）测量本校的一所教学楼的高度；
（2）测量本校旗杆的高度；
（3）测量校外不可及的“理想大厦”的高度.
一、选题
分成若干个学习小组，每两个小组确定一个课题，以便于分析数据的可靠性和选择方案的合理性.
二、开题
1.准备测量工具：米尺，测角仪等；要求测量结果准确，测量过程清晰，测量方法有创意，误差处理得当，报告书写认真.
2.研究分工：搜集整理资料；撰写研究方案；写开题报告；撰写结题报告.
三、做题
以测量不可及“理想大厦”的方案为例.
1.两次测角法
（1）测量并记录测量工具距离地面高度h m；
（2）用大量角器，将一边对准大厦的顶部，计算并记录仰角α；
（3）后退a m，重复（2）中的操作，计算并记录仰角β；
（4）大厦高度x的计算公式为：x＝＋h，其中α，β，a，h如图所示.
2.镜面反射法
（1）将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到大厦顶部的位置，测量人与镜子的距离；
（2）将镜子后移a m，重复（1）中的操作；
（3）大厦高度x的计算公式为x＝，其中a1，a2是人与镜子的距离，a是两次观测时镜面之间的距离，h是人的“眼高”，如图所示.根据光的反射原理，利用相似三角形的性质联立方程组，可以得到这个公式.
3.对实际测量数据和计算结果、测量误差简要分析
（1）两次测角法
实际测量数据：
第一次 第二次
仰角 67° 52°
后退距离为25 m，测量工具距离地面1.5 m，计算可得理想大厦的高度约为71.5 m，结果与期望值（70 m～80 m）相差不大.误差的原因是铅笔在纸板上画出度数时不够精确.减小误差的方法是几个人分别测量高度及仰角，再求平均值，误差就能更小.
（2）镜面反射法
实际测量数据：
第一次 第二次
人与镜子的距离 3.84 m 3.91 m
镜子的相对距离10 m，人的“眼高”为1.52 m.计算可得理想大厦的高度约为217 m，结果与期望值相差较大.
产生误差有以下几点原因：
①镜面放置不能保持水平；
②两次放镜子的相对距离太短，容易造成误差；
③人眼看镜内物像时，两次不一定都看准镜面上的同一个点；
④人体不一定在两次测量时保证高度不变.
综上所述，要做到没有误差很难，但可以通过某些方法使误差更小.通过进一步分析产生误差的原因还包括：
Ⅰ.测量工具问题，采用两次测角法时，自制量角工具比较粗糙，角度的刻度误差较大；采用镜面反射法时，选用的镜子尺寸太大，造成镜间距测量有较大误差.
Ⅱ.间距差的问题.这是一个普遍的问题.间距差a值是测量者自己选定的，因为没有较长的卷尺测量距离，有的同学甚至选间距差a是1 m.由于间距太小，两次测量的角度差或者人与镜的距离差太小，最终导致计算结果产生巨大误差.
Ⅲ.测量者用自己的身高代替“眼高”，反映了测量者没有很好地理解测量过程中的“眼高”应当是测量的高度.
四、结题
通过建模活动，明晰在进行方案设计问题时要遵循如下思路：
（1）依据测量目标和实际情境及测量工具等实际设计合理的方案；
（2）决定收集和测量哪些信息及数据；
（3）对所设计的方案进行推理运算和改进.
注意事项：
（1）实际测量往往受地形、地貌、测量工具等条件的制约，因此设计的方案要切实可行；
（2）测量要符合题目与实际要求；
（3）计算要做到算法简捷，计算准确.
五、应用
测量不可达两点之间的距离.
【典例】 如果要测量某个底部不能到达的铁塔的高度，在只能使用简单测量工具的前提下，可以设计出哪些测量方案？并提供出每种方案的计算公式.
解：方案一：如图①，在地面上引一条基线AB，这条基线和塔底在同一水平面上，且延长后不过塔底，测出AB的长及角β，γ和A对塔顶P的仰角α的大小，则可求出铁塔PO的高度.计算方法如下：
在△ABO中，由正弦定理，得
AO＝＝，
在Rt△PAO中，PO＝AOtan α，
则PO＝.
方案二：如图②，在地面上引一条基线AB，并使A，B，O三点在同一条直线上，测出AB的长和A，B分别对塔顶P的仰角α，β，则可求出铁塔PO的高度.计算方法如下：
在△PAB中，由正弦定理，得
PA＝.
在Rt△PAO中，PO＝PAsin α，
则PO＝.
方案三：如图③，在地面上引一条基线AB，且使AB不过点O，测出AB的长，点O对AB的视角θ，A，B分别对塔顶P的仰角α，β，则可求出塔高PO.计算方法如下：
在Rt△POA中，AO＝，
在Rt△POB中，BO＝，
在△AOB中，由余弦定理，得OA2＋OB2－2OA·OBcos θ＝AB2，
∴PO＝ .
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9.3 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离
案例：测量学校内、外建筑物的高度
活动目的：运用所学的正弦定理与余弦定理的知识，解决实际测量高
度的问题，体验数学建模活动的完整过程.
课题：（1）测量本校的一所教学楼的高度；
（2）测量本校旗杆的高度；
（3）测量校外不可及的“理想大厦”的高度.
一、选题
分成若干个学习小组，每两个小组确定一个课题，以便于分析数据的
可靠性和选择方案的合理性.
二、开题
1. 准备测量工具：米尺，测角仪等；要求测量结果准确，测量过程清
晰，测量方法有创意，误差处理得当，报告书写认真.
2. 研究分工：搜集整理资料；撰写研究方案；写开题报告；撰写结题
报告.
三、做题
以测量不可及“理想大厦”的方案为例.
1. 两次测角法
（1）测量并记录测量工具距离地面高度h m；
（2）用大量角器，将一边对准大厦的顶部，计算并记录仰角α；
（3）后退a m，重复（2）中的操作，计算并记录仰角β；
（4）大厦高度x的计算公式为：x＝ ＋h，其中α，β，
a，h如图所示.
2. 镜面反射法
（1）将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到大
厦顶部的位置，测量人与镜子的距离；
（2）将镜子后移a m，重复（1）中的操作；
（3）大厦高度x的计算公式为x＝ ，其中a1，a2是人与镜子
的距离，a是两次观测时镜面之间的距离，h是人的“眼
高”，如图所示.根据光的反射原理，利用相似三角形的性质
联立方程组，可以得到这个公式.
3. 对实际测量数据和计算结果、测量误差简要分析
（1）两次测角法
实际测量数据：
第一次 第二次
仰角 67° 52°
后退距离为25 m，测量工具距离地面1.5 m，计算可得理想大厦的高度约为71.5 m，结果与期望值（70 m～80 m）相差不大.误差的原因是铅笔在纸板上画出度数时不够精确.减小误差的方法是几个人分别测量高度及仰角，再求平均值，误差就能更小.
（2）镜面反射法
实际测量数据：
第一次 第二次
人与镜子的距离 3.84 m 3.91 m
镜子的相对距离10 m，人的“眼高”为1.52 m.计算可得理
想大厦的高度约为217 m，结果与期望值相差较大.
产生误差有以下几点原因：
①镜面放置不能保持水平；
②两次放镜子的相对距离太短，容易造成误差；
③人眼看镜内物像时，两次不一定都看准镜面上的同一个点；
④人体不一定在两次测量时保证高度不变.
综上所述，要做到没有误差很难，但可以通过某些方法使误
差更小.通过进一步分析产生误差的原因还包括：
Ⅰ.测量工具问题，采用两次测角法时，自制量角工具比较粗糙，角度
的刻度误差较大；采用镜面反射法时，选用的镜子尺寸太大，造成镜
间距测量有较大误差.
Ⅱ.间距差的问题.这是一个普遍的问题.间距差a值是测量者自己选定
的，因为没有较长的卷尺测量距离，有的同学甚至选间距差a是1 m.
由于间距太小，两次测量的角度差或者人与镜的距离差太小，最终导
致计算结果产生巨大误差.
Ⅲ.测量者用自己的身高代替“眼高”，反映了测量者没有很好地理
解测量过程中的“眼高”应当是测量的高度.
四、结题
通过建模活动，明晰在进行方案设计问题时要遵循如下思路：
（1）依据测量目标和实际情境及测量工具等实际设计合理的方案；
（2）决定收集和测量哪些信息及数据；
（3）对所设计的方案进行推理运算和改进.
注意事项：
（1）实际测量往往受地形、地貌、测量工具等条件的制约，因此设
计的方案要切实可行；
（2）测量要符合题目与实际要求；
（3）计算要做到算法简捷，计算准确.
五、应用
测量不可达两点之间的距离.
【典例】如果要测量某个底部不能到达的铁塔的高度，在只能使用简
单测量工具的前提下，可以设计出哪些测量方案？并提供出每种方案
的计算公式.
解：方案一：如图①，在地面上引一条基线AB，这条
基线和塔底在同一水平面上，且延长后不过塔底，测
出AB的长及角β，γ和A对塔顶P的仰角α的大小，
则可求出铁塔PO的高度.计算方法如下：
在△ABO中，由正弦定理，得
AO＝ ＝ ，
在Rt△PAO中，PO＝AOtan α，
则PO＝ .
方案二：如图②，在地面上引一条基线AB，并使A，
B，O三点在同一条直线上，测出AB的长和A，B分
别对塔顶P的仰角α，β，则可求出铁塔PO的高度.
计算方法如下：
在△PAB中，由正弦定理，得PA＝ .
在Rt△PAO中，PO＝PA sin α，则PO＝ .
方案三：如图③，在地面上引一条基线AB，且使AB
不过点O，测出AB的长，点O对AB的视角θ，A，B
分别对塔顶P的仰角α，β，则可求出塔高PO. 计算
方法如下：
在Rt△POA中，AO＝ ，
在Rt△POB中，BO＝ ，
在△AOB中，由余弦定理，
得OA2＋OB2－2OA·OB cos θ＝AB2，
∴PO＝ .
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