(共38张PPT)
拓 视 野 三角形解的个数问题
在初中我们学习了三角形全等的判定，你还记得三角形全等的判
定方法吗？两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全
等，即两边和其中一边的对角分别相等不能作为判定两个三角形全等
的依据.如图，在△ABC和△ADC中，AC＝AC，CB＝CD，∠CAD
＝∠CAB，其中A是CB，CD的对角，△ABC与△ADC不全等.
也就是说，已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的个数不
唯一，分为两解、一解和无解三种情况.
【问题探究】
1. 你能从代数的角度分析解的情况吗？
提示：在△ABC中，已知a，b，A，由正弦定理可得 sin B＝
sin A.
（1）当 sin B＞1时，这样的B不存在，即三角形无解；
（3）当 sin B＜1时，B有两个（一个为锐角，一个为钝角），其
中设锐角为α，钝角为β，则当A＋α＞180°时，三角形无解；
当A＋α＜180°，且A＋β＜180°时，有两解；当A＋α＜
180°，且A＋β＞180°时，有一解.
（2）当 sin B＝1时，B＝90°，若A＜90°，则三角形有一解，否
则无解；
2. 你能从几何的角度分析解的情况吗？
提示：在△ABC中，已知a，b和A，解三角形.
当A为锐角时，如
图所示.
当A为直角或钝角
时，如图所示.
【迁移应用】
1. 在△ABC中，A＝60°，a＝ ，b＝ ，则△ABC解的情况是
（ ）
A. 无解 B. 有唯一解
C. 有两解 D. 不能确定
解析： ∵A为锐角且a＞b，∴△ABC解的个数唯一.
2. 在△ABC中，c＝ ，A＝45°，a＝ ，求b和B，C.
解：∵ ＝ ，
∴ sin C＝ ＝ ＝ .
∵0°＜C＜180°，∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，B＝75°，由正弦定理，得b＝ ＝ ＝
；
当C＝120°时，B＝15°，b＝ ＝ ＝ .
故b＝ ，B＝75°，C＝60°或b＝ ，B＝15°，C＝
120°.
3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知满足B
＝60°，b＝2的三角形有两解，求a的取值范围.
解：因为三角形有两解，所以
即解得2＜a＜ ，
则a的取值范围是 .
1. 在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
解析： 由题意有 ＝b＝ ，则 sin B＝1，由B∈（0，
π），故角B为直角，故△ABC是直角三角形.
2. 在△ABC中，若b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况
是（ ）
A. 一解 B. 两解
C. 无解 D. 无法确定
解析： ∵b＝30，c＝15，C＝26°，∴c＞b sin C. 又∵c＜
b，∴此三角形有两解，故选B.
3. 在△ABC中，若C＝2B，则 的取值范围为 .
解析：因为A＋B＋C＝π，C＝2B，
所以A＝π－3B＞0，所以0＜B＜ ，所以 ＜ cos B＜1.因为 ＝
＝ ＝2 cos B，
所以1＜2 cos B＜2，故1＜ ＜2.
（1，2）
4. 已知在△ABC中，若 ＝ ，则该三角形为 .
解析：由题 ＝ 及正弦定理可得， ＝ ，所以 cos A
＝ cos B，又A，B是△ABC内角，所以A＝B. 所以该三角形为等
腰三角形.
等腰三角形
5. 在△ABC中，求证： ＝ .
证明：因为 ＝ ＝ ＝2R（R为△ABC外接圆半径），所
以左边＝
＝ ＝ ＝ ＝右边.
所以等式成立.
知能演练·扣课标
课后巩固 核心素养落地
1. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝30°，
c＝2 ，b＝2，则A＝（ ）
A. 30° B. 60°
C. 60°或90° D. 30°或90°
解析： ∵B＝30°，c＝2 ，b＝2，∴由正弦定理可得 sin C
＝ ＝ .由C∈（0°，180°），可得C＝60°或C＝120°.
又∵A＝180°－B－C，∴A＝90°或A＝30°.
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2. 已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的
周长为4 ，且 sin B＋ sin C＝ sin A，则a＝（ ）
A. B. 2
C. 4 D. 2
解析： 根据正弦定理， sin B＋ sin C＝ sin A可化为b＋c＝
a，∵△ABC的周长为4（ ＋1），
∴解得a＝4.
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3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， cos 2A＝
sin A，bc＝2，则△ABC的面积为（ ）
A. B.
C. 1 D. 2
解析： 由 cos 2A＝ sin A，得1－2 sin 2A＝ sin A，解得 sin A＝
或 sin A＝－1（舍去），所以S△ABC＝ bc sin A＝ ×2× ＝ .
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4. 在△ABC中，若A＜B＜C，且A＋C＝2B，最大边为最小边的2
倍，则A∶B∶C＝（ ）
A. 1∶2∶3 B. 2∶3∶4
C. 3∶4∶5 D. 4∶5∶6
解析： 由A＜B＜C，且A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，可得B
＝ ，因为最大边为最小边的2倍，所以c＝2a，所以 sin C＝2 sin
A，即 sin ＝2 sin A tan A＝ ，由于0＜A＜π，所以A＝
，从而C＝ ，则A∶B∶C＝1∶2∶3.
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5. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝
60°，a＝ ，b＝4，那么满足条件的△ABC（ ）
A. 有一个 B. 有两个
C. 不存在 D. 不能确定
解析： 由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，所以 sin B
＝ ＞1，所以满足条件的角B不存在，因此满足条件的△ABC不
存在.
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6. （多选）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
＜ cos A，则△ABC不可能为（ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
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解析： 由正弦定理可得， ＝ ＜ cos A，整理可得， sin C
＜ sin B cos A，所以 sin （A＋B）＝ sin A cos B＋ sin B cos A＜ sin B
cos A，故 sin A cos B＜0，因为 sin A＞0，所以 cos B＜0，即B为钝
角，则△ABC为钝角三角形.∴△ABC不可能为直角三角形或等边
三角形.故选B、D.
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7. 已知c＝50，b＝72，C＝135°，则三角形解的个数为 .
解析：∵c＜b，∴C＜B，∴B＋C＞180°.故三角形无解.
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8. 在△ABC中，若 ＝ ＝ ，则△ABC的形状为
.
解析：根据正弦定理 ＝ ＝
可得
由B，C的范围可得B＝C＝45°，
故A＝90°，
则△ABC是等腰直角三角形.
等腰直角三
角形
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9. 在△ABC中，若b＝5，B＝ ，tan A＝2，则 sin A＝ ，a
＝ .
解析：由tan A＝2，得 sin A＝2 cos A，
由 sin 2A＋ cos 2A＝1及0＜A＜π，得 sin A＝ .
∵b＝5，B＝ ， ＝ ，
∴a＝ ＝ ＝2 .
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10. 在△ABC中，已知 ＝ ，试判断△ABC的形状.
解：∵ ＝ ，a＝2R sin A，b＝2R sin B（R为△ABC外
接圆的半径），
∴ ＝ .
又∵ sin A sin B≠0，
∴ sin A cos A＝ sin B cos B，
即 sin 2A＝ sin 2B，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝ .
故△ABC是等腰三角形或直角三角形.
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11. （多选）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A. b＝10，A＝45°，C＝70°
B. b＝45，c＝48，B＝60°
C. a＝14，b＝16，A＝45°
D. a＝7，b＝5，A＝80°
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解析： 选项A：因为A＝45°，C＝70°，所以B＝65°，
所以三角形的三个角和一边是确定的值，故只有一解；选项B：
因为 sin C＝ ＝ ＜1，且c＞b，所以角C有两解；选项
C：因为 sin B＝ ＝ ＜1，且b＞a，所以角B有两解；选
项D：因为 sin B＝ ＜1，且b＜a，所以角B仅有一解.故选
B、C.
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12. 在△ABC中， sin 2A＝ sin 2B＋ sin 2C，且 sin A＝2 sin B· cos C.
则A＝ ，△ABC是 三角形.
解析：设 sin A＝ ， sin B＝ ， sin C＝ ，R为△ABC外接圆
的半径.∵ sin 2A＝ sin 2B＋ sin 2C，∴ ＝ ＋ ，
即a2＝b2＋c2，故A＝90°.∴C＝90°－B， cos C＝ sin B. ∴2
sin B· cos C＝2 sin 2B＝ sin A＝1.∴ sin B＝ .∴B＝45°或B＝
135°（A＋B＝225°＞180°，故舍去）.∴△ABC是等腰直角
三角形.
90°
等腰直角
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13. 在△ABC中，已知 ＝ ，且 sin 2A＋ sin 2B＝ sin 2C. 求证：
△ABC为等腰直角三角形.
证明：∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
又∵ ＝ ，
∴ ＝ ，∴a2＝b2即a＝b，
设 ＝ ＝ ＝k（k≠0），
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则 sin A＝ ， sin B＝ ， sin C＝ ，
又∵ sin 2A＋ sin 2B＝ sin 2C，
∴ ＋ ＝ ，即a2＋b2＝c2，
∴△ABC为等腰直角三角形.
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14. 有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清，具体如下：
在△ABC中，已知a＝ ，2 cos 2 ＝（ －1） cos B，c
＝ ，求角A. 若该题的答案是A＝60°，请将条件补充
完整.
解析：由题知1＋ cos （A＋C）＝（ －1） cos B，
所以1－ cos B＝（ －1） cos B，
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解得 cos B＝ .
因为0°＜B＜180°，所以B＝45°.
又A＝60°，所以C＝75°.
根据正弦定理，得 ＝ ，
解得c＝ .
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15. 在△ABC中，已知 ＝ ，且 cos （A－B）＋ cos C＝
1－ cos 2C.
（1）求证：△ABC为直角三角形；
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解：证明：根据正弦定理，得
＝ ＝ ，
∴b2－a2＝ab. ①
∵ cos （A－B）＋ cos C＝1－ cos 2C，
∴ cos （A－B）－ cos （A＋B）＝2 sin 2C，
∴ sin A sin B＝ sin 2C，
由正弦定理，得ab＝c2. ②
把②代入①，得b2－a2＝c2，
即a2＋c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形.
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（2）求 的取值范围.
解：由（1）知B＝ ，∴C＝ －A，
∴ sin C＝ sin ＝ cos A.
根据正弦定理，得 ＝ ＝ sin A＋ cos A＝ sin
.
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∵0＜A＜ ，∴ ＜A＋ ＜ ，
∴ ＜ sin ≤1，
∴1＜ sin （A＋ ）≤ .
即 的取值范围是（1， ].
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谢 谢 观 看！拓 视 野 三角形解的个数问题
在初中我们学习了三角形全等的判定，你还记得三角形全等的判定方法吗？两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即两边和其中一边的对角分别相等不能作为判定两个三角形全等的依据.如图，在△ABC和△ADC中，AC＝AC，CB＝CD，∠CAD＝∠CAB，其中A是CB，CD的对角，△ABC与△ADC不全等.
也就是说，已知两边和其中一边的对角解三角形时，解的个数不唯一，分为两解、一解和无解三种情况.
【问题探究】
1.你能从代数的角度分析解的情况吗？
提示：在△ABC中，已知a，b，A，由正弦定理可得sin B＝sin A.
（1）当sin B＞1时，这样的B不存在，即三角形无解；
（2）当sin B＝1时，B＝90°，若A＜90°，则三角形有一解，否则无解；
（3）当sin B＜1时，B有两个（一个为锐角，一个为钝角），其中设锐角为α，钝角为β，则当A＋α＞180°时，三角形无解；当A＋α＜180°，且A＋β＜180°时，有两解；当A＋α＜180°，且A＋β＞180°时，有一解.
2.你能从几何的角度分析解的情况吗？
提示：在△ABC中，已知a，b和A，解三角形.
当A为锐角时，如图所示.
当A为直角或钝角时，如图所示.
【迁移应用】
1.在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，则△ABC解的情况是（ ）
A.无解 B.有唯一解
C.有两解 D.不能确定
2.在△ABC中，c＝，A＝45°，a＝，求b和B，C.
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知满足B＝60°，b＝2的三角形有两解，求a的取值范围.
1.在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
2.在△ABC中，若b＝30，c＝15，C＝26°，则此三角形解的情况是（ ）
A.一解 B.两解
C.无解 D.无法确定
3.在△ABC中，若C＝2B，则的取值范围为 .
4.已知在△ABC中，若＝，则该三角形为 .
5.在△ABC中，求证：＝.
拓视野 三角形解的个数问题
迁移应用
1.B ∵A为锐角且a＞b，∴△ABC解的个数唯一.
2.解：∵＝，
∴sin C＝＝＝.
∵0°＜C＜180°，
∴C＝60°或C＝120°.
当C＝60°时，B＝75°，由正弦定理，得b＝＝＝；
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝.
故b＝，B＝75°，C＝60°或b＝，B＝15°，C＝120°.
3.解：因为三角形有两解，所以
即
解得2＜a＜，
则a的取值范围是.
随堂检测
1.B 由题意有＝b＝，则sin B＝1，由B∈（0，π），故角B为直角，故△ABC是直角三角形.
2.B ∵b＝30，c＝15，C＝26°，∴c＞bsin C.又∵c＜b，∴此三角形有两解，故选B.
3.（1，2） 解析：因为A＋B＋C＝π，C＝2B，所以A＝π－3B＞0，所以0＜B＜，所以＜cos B＜1.因为＝＝＝2cos B，所以1＜2cos B＜2，故1＜＜2.
4.等腰三角形 解析：由题＝及正弦定理可得，＝，所以cos A＝cos B，又A，B是△ABC内角，所以A＝B.所以该三角形为等腰三角形.
5.证明：因为＝＝＝2R（R为△ABC外接圆半径），
所以左边＝
＝＝＝＝右边.
所以等式成立.
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