10.1.1 复数的概念(课件 学案 练习)高中数学人教B版(2019)必修 第四册

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名称 10.1.1 复数的概念(课件 学案 练习)高中数学人教B版(2019)必修 第四册
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资源类型 教案
版本资源 人教B版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-06 06:50:54

文档简介

10.1.1 复数的概念
1.-(2-i)的虚部是(  )
A.-2 B.-
C. D.2
2.复数z=+(a2-1)i是实数,则实数a的值为(  )
A.1或-1 B.1
C.-1 D.0或-1
3.已知复数z1=a+2i,z2=3+(a2-7)i,a∈R,若z1=z2,则a=(  )
A.2 B.3
C.-3 D.9
4.“复数4-a2+(1-a+a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a=-2”的(  )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.若复数z1=sin 2θ+icos θ,z2=cos θ+isin θ(θ∈R),z1=z2,则θ=(  )
A.kπ(k∈Z) B.2kπ+(k∈Z)
C.2kπ±(k∈Z) D.2kπ+(k∈Z)
6.(多选)在给出的下列几个命题中错误的是(  )
A.若x是实数,则x可能不是复数
B.若z是虚数,则z不是实数
C.一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D.-1没有平方根
7.若实数x,y满足(x+y)+(x-y)i=2,则xy的值是    .
8.已知a,b∈R,i为虚数单位,复数z=a+bi与4-b2+(4b-8)i均是纯虚数,则z=    .
9.若复数m-3+(m2-9)i≥0,则实数m的值为    .
10.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.
11.(多选)下列命题错误的是(  )
A.(-i)2=-1 B.-i2=-1
C.若a>b,则a+i>b+I D.若z∈C,则z2>0
12.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是    .
13.如果lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,如何求自然数m,n的值?
14.已知复数z1=m+(4-m2)i(m∈R),z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(λ,θ∈R),并且z1=z2,则λ的取值范围为(  )
A.-7≤λ≤ B.≤λ≤7
C.-1≤λ≤1 D.-≤λ≤7
15.定义运算=ad-bc,若(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y的值.
10.1.1 复数的概念
1.C ∵-(2-i)=-2+i,∴其虚部是.
2.C 因为复数z=+(a2-1)i是实数,且a为实数,则解得a=-1.故选C.
3.B 因为z1=a+2i,z2=3+(a2-7)i,且z1=z2,所以有解得a=3.故选B.
4.B 因为1-a+a2=+>0,所以若复数4-a2+(1-a+a2)i(a∈R)是纯虚数,则4-a2=0,即a=±2.故选B.
5.D 由复数相等的定义可知,
∴cos θ=,sin θ=.∴θ=+2kπ,k∈Z.
6.ACD 实数是复数,故A错;根据虚数的定义可知B正确;复数为纯虚数的要求为实部为零,虚部不为零,故C错;-1的平方根为±i,故D错,故选A、C、D.
7.1 解析:因为实数x,y满足(x+y)+(x-y)i=2,所以所以x=y=1,所以xy=1.
8.-2i 解析:由题意知且得
∴z=-2i.
9.3 解析:依题意知解得即m=3.
10.解:∵M∪P=P,∴M P,
∴(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1得
解得m=1;
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i得
解得m=2.
综上可知m=1或m=2.
11.BCD (-i)2=i2=-1,A正确;-i2=-(-1)=1,B错误;虚数无法比较大小,C错误;若z=i,则z2=-1<0,D错误;故选B、C、D.
12.(-∞,-1)∪(-1,+∞) 解析:若复数为纯虚数,则有即
∴a=-1.故复数不是纯虚数时,a≠-1.
13.解:因为lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,
所以lo(m+n)-(m2-3m)i是实数,
从而有
由①得m=0或m=3,
当m=0时,代入②得n<2,又m+n>0,
所以n=1;
当m=3时,代入②得n<-1,与n是自然数矛盾.
综上可得,m=0,n=1.
14.D 由z1=z2,得消去m,得λ=4sin2θ-3sin θ=4-.由于-1≤sin θ≤1,故-≤λ≤7.
15.解:由定义得=3x+2y+yi,
所以(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.
因为x,y为实数,所以
即解得
1 / 210.1.1 复数的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过方程的解,了解引入复数的必要性 数学抽象
2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件 数学运算
  数的扩充过程,也可以从方程是否有解的角度来理解:
  因为类似x+4=3的方程在自然数范围内无解,所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数,使得类似x+4=3的方程在整数范围内有解;
  因为类似2x=5的方程在整数范围内无解,所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数,使得类似2x=5的方程在有理数范围内有解;
  因为类似x2=7的方程在有理数范围内无解,所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数,使得类似x2=7的方程在实数范围内有解.
【问题】 我们已经知道,类似x2=-1的方程在实数范围内无解.那么,能否像前面一样,引入一种新的数,使得这个方程有解并将实数进行扩充呢?
                      
                      
                      
知识点一 复数的有关概念
1.定义:一般地,当a与b都是实数时,称a+bi为复数.其中i称为      ,满足i2=    .
2.表示方法:复数一般用小写字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a称为z的实部,b称为z的虚部,分别记作Re(z)=    ,Im(z)=    .
【想一想】
1.复数m+ni的实部是m,虚部是ni,对吗?
2.复数a+bi的实部是a,虚部是b吗?
3i2+7i的实部为   ,虚部为    .
知识点二 复数的分类
1.复数(a+bi,a,b∈R)
2.复数集及包含关系
所有复数组成的集合称为复数集,即C={z|z=a+bi,a,b∈R}.
【想一想】
1.两个虚数能比较大小吗?
2.复数z=a+bi(a,b∈R)在什么情况下表示实数?
在2+,i,8+5i,(1-)i,0.68这几个数中,纯虚数的个数为(  )
A.0          B.1
C.2 D.3
知识点三 复数相等
如果a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di         ,即它们的实部与虚部都对应相等.
【想一想】
1.若复数z=a+bi(a,b∈R),z=0,则a+b的值为多少?
2.若复数z1,z2分别为z1=3+ai(a∈R),z2=b+i(b∈R),且z1=z2,则a+b的值为多少?
判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数.(  )
(2)复数z1=3i,z2=2i,则z1>z2.(  )
(3)复数z=bi(b∈R)是纯虚数.(  )
(4)实数集与复数集的交集是实数集.(  )
(5)若a-2i=bi+1(a,b∈R),则b+ai=-2+i.(  )
题型一 复数的概念
【例1】 分别指出下列复数的实部和虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数.
5+i,-2,-i,-i,i2.
尝试解答
通性通法
复数中实部与虚部的判断
(1)a=a+0i(a∈R),故a的实部是a,虚部是0;
(2)bi=0+bi(b∈R),故bi的实部是0,虚部是b;
(3)复数a+bi(a,b∈R)中,i的系数即复数的虚部.
【跟踪训练】
1.已知i为虚数单位,以-+2i的虚部为实部,以i+2i2的实部为虚部的新复数是(  )
A.2-2i        B.-+i
C.2+i D.+i
2.欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ(e为自然对数的底数,i为虚数单位)是瑞士著名数学家欧拉提出的,根据欧拉公式可知复数的虚部为    .
题型二 复数的分类
【例2】 当m为何实数时,复数z=+(m2-2m-15)i.(1)是虚数;(2)是纯虚数.
尝试解答
【母题探究】
1.(变设问)本例中条件不变,当m为何值时,z为实数.
2.(变设问)本例中条件不变,当m为何值时,z>0.
通性通法
解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部;
(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可;
(3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),
①z为实数 b=0;
②z为虚数 b≠0;
③z为纯虚数 a=0且b≠0.
【跟踪训练】
已知复数z=+(a2-5a-6)i(a∈R).
(1)若复数z是实数,求实数a的值;
(2)若复数z是虚数,求实数a的取值范围;
(3)判断复数z是否可能为纯虚数.若可能为纯虚数,求出实数a的值;若不可能为纯虚数,请说明理由.
题型三 两个复数相等
【例3】 (1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x,y∈R,i为虚数单位,求实数x,y的值;
(2)已知(m2+7m+10)+(m2-5m-14)i=0,求实数m的值.
尝试解答
通性通法
复数相等问题的解题技巧
(1)复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据,多用来求解参数.解决复数相等问题的步骤:分别分离出两个复数的实部和虚部,利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解;
(2)运用复数相等的充要条件a+bi=c+di 时,应注意前提条件a,b,c,d∈R,否则易出错.
【跟踪训练】
1.已知i是虚数单位,若(3x+2y)+(5x-y)i=17-2i,x,y∈R,则x+y=(  )
A.6           B.7
C.8 D.-7
2.若a,b,c,d∈R,则复数a+|b|i与c-|d|i相等的充要条件是    .
1.设集合A={虚数},B={纯虚数},C={复数},则A,B,C间的关系为(  )
A.A B C B.B A C
C.B C A D.A C B
2.下列命题:
①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;
②若(x2-1)+(x2+3x+2)i(x∈R)是纯虚数,则x=±1;
③两个复数不能比较大小.
其中错误命题的序号是    .
3.若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0,则实数m=    .
4.若复数z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i,z2=4m-2+(m2-5m)i,m为实数,且z1>z2,求实数m的值.
10.1.1 复数的概念
【基础知识·重落实】
知识点一
1.虚数单位 -1 2.a b
想一想
1.提示:不对.
2.提示:不一定,对于复数z=a+bi(a,b∈R),实部才是a,虚部才是b.
自我诊断
-3 7 解析:3i2+7i=-3+7i,实部为-3,虚部为7.
知识点二
想一想
1.提示:不能.
2.提示:b=0.
自我诊断
C 由纯虚数的定义可知i, (1-)i是纯虚数.故选C.
知识点三
a=c且b=d
想一想
1.提示:0.
2.提示:4.
自我诊断
(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
【典型例题·精研析】
【例1】 解:5+i的实部是5,虚部是.
-2=-2+0i,∴-2的实部是-2,虚部是0.
-i的实部是,虚部是-1.
-i=0+i,∴-i的实部是0,虚部是-.
i2=-1=-1+0i,∴i2的实部是-1,虚部是0.
-2,i2是实数;5+i,-i,-i是虚数;-i是纯虚数.
跟踪训练
1.A 设所求新复数z=a+bi(a,b∈R),由题意知,复数-+2i的虚部为2,复数i+2i2=i+2×(-1)=-2+i的实部为-2,则所求的新复数z=2-2i.故选A.
2.-  解析:因为=cos+isin =-i,
所以复数的虚部为-.
【例2】 解:(1)当
即m≠5且m≠-3时,z是虚数.
(2)当
即m=3或m=-2时,z是纯虚数.
母题探究
1.解:当即m=5时,z是实数.
2.解:因为z>0,
所以z为实数,需满足
解得m=5.
跟踪训练
解:(1)若复数z是实数,则

所以a=6.
(2)若复数z是虚数,则

所以实数a的取值范围为{a|a≠±1且a≠6}.
(3)复数z不可能为纯虚数.理由如下:
若复数z是纯虚数,则
即此时无解,故复数z不可能为纯虚数.
【例3】 解:(1)根据复数相等的充要条件,由(2x-1)+i=y-(3-y)i,得解得
(2)由已知得
解得m=-2.
跟踪训练
1.C 由(3x+2y)+(5x-y)i=17-2i,
所以
解得则x+y=8.故选C.
2.a=c且b=d=0 解析:由两个复数相等的充要条件,得
所以
随堂检测
1.B 根据复数的分类,复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示,故选B.
2.①②③ 解析:当a=-1时,(a+1)i=0,故①错误;若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则即x=1,故②错误;两个复数当它们都是实数时,是可以比较大小的,③中忽视了这一特殊情况,故③错误.
3.-3 解析:∵z<0,∴∴m=-3.
4.解:∵z1 >z2,∴解得m=0.
4 / 4(共54张PPT)
10.1.1 复数的概念
新课程标准解读 核心素养
1.通过方程的解,了解引入复数的必要性 数学抽象
2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
  数的扩充过程,也可以从方程是否有解的角度来理解:
  因为类似x+4=3的方程在自然数范围内无解,所以人们引入了
负数并将自然数扩充成整数,使得类似x+4=3的方程在整数范围内
有解;
  因为类似2x=5的方程在整数范围内无解,所以人们引入了分
数并将整数扩充成有理数,使得类似2x=5的方程在有理数范围内
有解;
  因为类似x2=7的方程在有理数范围内无解,所以人们引入了
无理数并将有理数扩充成实数,使得类似x2=7的方程在实数范围
内有解.
【问题】 我们已经知道,类似x2=-1的方程在实数范围内无解.那
么,能否像前面一样,引入一种新的数,使得这个方程有解并将实数
进行扩充呢?




  
知识点一 复数的有关概念
1. 定义:一般地,当a与b都是实数时,称a+bi为复数.其中i称
为 ,满足i2= .
2. 表示方法:复数一般用小写字母z表示,即z=a+bi(a,
b∈R),其中a称为z的实部,b称为z的虚部,分别记作Re(z)
= ,Im(z)= .
虚数单位 
-1 
a 
b 
【想一想】
1. 复数m+ni的实部是m,虚部是ni,对吗?
提示:不对.
2. 复数a+bi的实部是a,虚部是b吗?
提示:不一定,对于复数z=a+bi(a,b∈R),实部才是a,
虚部才是b.
3i2+7i的实部为 ,虚部为 .
解析:3i2+7i=-3+7i,实部为-3,虚部为7.
-3 
7 
知识点二 复数的分类
1. 复数(a+bi,a,b∈R)
2. 复数集及包含关系
所有复数组成的集合称为复数集,即C={z|z=a+bi,a,b∈R}.
【想一想】
1. 两个虚数能比较大小吗?
提示:不能.
2. 复数z=a+bi(a,b∈R)在什么情况下表示实数?
提示:b=0.
在2+ , i,8+5i,(1- )i,0.68这几个数中,纯虚数的个
数为(  )
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析: 由纯虚数的定义可知 i, (1- )i是纯虚数.故选C.
知识点三 复数相等
如果a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di ,即它们的实部与虚部都对应相等.
a=c且b=d
【想一想】
1. 若复数z=a+bi(a,b∈R),z=0,则a+b的值为多少?
提示:0.
2. 若复数z1,z2分别为z1=3+ai(a∈R),z2=b+i(b∈R),且
z1=z2,则a+b的值为多少?
提示:4.
判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数. ( × )
(2)复数z1=3i,z2=2i,则z1>z2. ( × )
(3)复数z=bi(b∈R)是纯虚数. ( × )
(4)实数集与复数集的交集是实数集. ( √ )
(5)若a-2i=bi+1(a,b∈R),则b+ai=-2+i.
( √ )
×
×
×


典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 复数的概念
【例1】 分别指出下列复数的实部和虚部,并指出哪些是实数,哪
些是虚数,哪些是纯虚数.
5+ i,-2, -i,- i,i2.
解:5+ i的实部是5,虚部是 .
-2=-2+0i,∴-2的实部是-2,虚部是0.
-i的实部是 ,虚部是-1.
- i=0+ i,∴- i的实部是0,虚部是- .
i2=-1=-1+0i,
∴i2的实部是-1,虚部是0.
-2,i2是实数;5+ i, -i,- i是虚数;
- i是纯虚数.
通性通法
复数中实部与虚部的判断
(1)a=a+0i(a∈R),故a的实部是a,虚部是0;
(2)bi=0+bi(b∈R),故bi的实部是0,虚部是b;
(3)复数a+bi(a,b∈R)中,i的系数即复数的虚部.
【跟踪训练】
1. 已知i为虚数单位,以- +2i的虚部为实部,以 i+2i2的实部
为虚部的新复数是(  )
A. 2-2i B. - + i
C. 2+i D. + i
解析: 设所求新复数z=a+bi(a,b∈R),由题意知,复
数- +2i的虚部为2,复数 i+2i2= i+2×(-1)=-2+
i的实部为-2,则所求的新复数z=2-2i.故选A.
2. 欧拉公式eiθ= cos θ+i sin θ(e为自然对数的底数,i为虚数单
位)是瑞士著名数学家欧拉提出的,根据欧拉公式可知复数 的
虚部为 .
解析:因为 = cos +i sin = - i,所以复数
的虚部为- .
-  
题型二 复数的分类
【例2】 当m为何实数时,复数z= +(m2-2m-15)i.
(1)是虚数;(2)是纯虚数.
解:(1)当
即m≠5且m≠-3时,z是虚数.
(2)当
即m=3或m=-2时,z是纯虚数.
【母题探究】
1. (变设问)本例中条件不变,当m为何值时,z为实数.
解:当即m=5时,z是实数.
2. (变设问)本例中条件不变,当m为何值时,z>0.
解:因为z>0,所以z为实数,需满足解得
m=5.
通性通法
解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)
的形式,以确定实部和虚部;
(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满
足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满
足的方程(不等式)即可;
(3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),
①z为实数 b=0;
②z为虚数 b≠0;
③z为纯虚数 a=0且b≠0.
【跟踪训练】
已知复数z= +(a2-5a-6)i(a∈R).
(1)若复数z是实数,求实数a的值;
解:若复数z是实数,则

所以a=6.
(2)若复数z是虚数,求实数a的取值范围;
解:若复数z是虚数,则

所以实数a的取值范围为{a|a≠±1且a≠6}.
(3)判断复数z是否可能为纯虚数.若可能为纯虚数,求出实数a的
值;若不可能为纯虚数,请说明理由.
解:复数z不可能为纯虚数.理由如下:
若复数z是纯虚数,则

此时无解,故复数z不可能为纯虚数.
题型三 两个复数相等
【例3】 (1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x,y∈R,
i为虚数单位,求实数x,y的值;
解:根据复数相等的充要条件,由(2x-1)+i=y-(3-y)i,得
解得
(2)已知(m2+7m+10)+(m2-5m-14)i=0,求实数m的值.
解:由已知得
解得m=-2.
通性通法
复数相等问题的解题技巧
(1)复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据,多用来求
解参数.解决复数相等问题的步骤:分别分离出两个复数的
实部和虚部,利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程
(组)求解;
(2)运用复数相等的充要条件a+bi=c+di 时,应注意
前提条件a,b,c,d∈R,否则易出错.
【跟踪训练】
1. 已知i是虚数单位,若(3x+2y)+(5x-y)i=17-2i,x,
y∈R,则x+y=(  )
A. 6 B. 7
C. 8 D. -7
解析: 由(3x+2y)+(5x-y)i=17-2i,所以
解得则x+y=8.故选C.
2. 若a,b,c,d∈R,则复数a+|b|i与c-|d|i相等的充要
条件是 .
解析:由两个复数相等的充要条件,得
所以
a=c且b=d=0 
1. 设集合A={虚数},B={纯虚数},C={复数},则A,B,C间
的关系为(  )
A. A B C B. B A C
C. B C A D. A C B
解析:根据复数的分类,复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示,故选B.
2. 下列命题:
①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;
②若(x2-1)+(x2+3x+2)i(x∈R)是纯虚数,则x=±1;
③两个复数不能比较大小.
其中错误命题的序号是 .
解析:当a=-1时,(a+1)i=0,故①错误;若(x2-1)+
(x2+3x+2)i是纯虚数,则即x=1,故②错
误;两个复数当它们都是实数时,是可以比较大小的,③中忽视了
这一特殊情况,故③错误.
①②③ 
3. 若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0,则实数m= .
解析:∵z<0,∴∴m=-3.
4. 若复数z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i,z2=4m-2+(m2-
5m)i,m为实数,且z1>z2,求实数m的值.
解:∵z1 >z2,∴解得m=0.
-3 
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. -(2- i)的虚部是(  )
A. -2 B. -
C. D. 2
解析: ∵-(2- i)=-2+ i,∴其虚部是 .
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2. 复数z= +(a2-1)i是实数,则实数a的值为(  )
A. 1或-1 B. 1
C. -1 D. 0或-1
解析: 因为复数z= +(a2-1)i是实数,且a为实数,则
解得a=-1.故选C.
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3. 已知复数z1=a+2i,z2=3+(a2-7)i,a∈R,若z1=z2,则a
=(  )
A. 2 B. 3
C. -3 D. 9
解析: 因为z1=a+2i,z2=3+(a2-7)i,且z1=z2,所以有
解得a=3.故选B.
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4. “复数4-a2+(1-a+a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a=-2”
的(  )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析: 因为1-a+a2= + >0,所以若复数4-a2
+(1-a+a2)i(a∈R)是纯虚数,则4-a2=0,即a=±2.
故选B.
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5. 若复数z1= sin 2θ+i cos θ,z2= cos θ+i sin θ(θ∈R),
z1=z2,则θ=(  )
A. kπ(k∈Z) B. 2kπ+ (k∈Z)
C. 2kπ± (k∈Z) D. 2kπ+ (k∈Z)
解析: 由复数相等的定义可知,
∴ cos θ= , sin θ= .∴θ= +2kπ,k∈Z.
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6. (多选)在给出的下列几个命题中错误的是(  )
A. 若x是实数,则x可能不是复数
B. 若z是虚数,则z不是实数
C. 一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D. -1没有平方根
解析: 实数是复数,故A错;根据虚数的定义可知B正确;复数为纯虚数的要求为实部为零,虚部不为零,故C错;-1的平方根为±i,故D错,故选A、C、D.
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7. 若实数x,y满足(x+y)+(x-y)i=2,则xy的值是 .
解析:因为实数x,y满足(x+y)+(x-y)i=2,所以
所以x=y=1,所以xy=1.
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8. 已知a,b∈R,i为虚数单位,复数z=a+bi与4-b2+(4b-
8)i均是纯虚数,则z= .
解析:由题意知且得∴z=-2i.
-2i 
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9. 若复数m-3+(m2-9)i≥0,则实数m的值为 .
解析:依题意知解得即m=3.
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10. 已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,
4i},若M∪P=P,求实数m的值.
解:∵M∪P=P,∴M P,
∴(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+
m-2)i=4i.
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1得
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解得m=2.
综上可知m=1或m=2.
解得m=1;
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i得
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11. (多选)下列命题错误的是(  )
A. (-i)2=-1 B. -i2=-1
C. 若a>b,则a+i>b+i D. 若z∈C,则z2>0
解析: (-i)2=i2=-1,A正确;-i2=-(-1)=1,
B错误;虚数无法比较大小,C错误;若z=i,则z2=-1<0,D
错误;故选B、C、D.
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12. 若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚
数,则a的取值范围是 .
解析:若复数为纯虚数,则有即
∴a=-1.故复数不是纯虚数时,a≠-1.
(-∞,-1)∪(-1,+∞) 
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13. 如果lo (m+n)-(m2-3m)i>-1,如何求自然数m,n
的值?
解:因为lo (m+n)-(m2-3m)i>-1,
所以lo (m+n)-(m2-3m)i是实数,
从而有
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当m=3时,代入②得n<-1,与n是自然数矛盾.
综上可得,m=0,n=1.
由①得m=0或m=3,
当m=0时,代入②得n<2,又m+n>0,所以n=1;
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14. 已知复数z1=m+(4-m2)i(m∈R),z2=2 cos θ+(λ+3
sin θ)i(λ,θ∈R),并且z1=z2,则λ的取值范围为(  )
A. -7≤λ≤ B. ≤λ≤7
C. -1≤λ≤1 D. - ≤λ≤7
解析: 由z1=z2,得消去m,得λ=4
sin 2θ-3 sin θ=4 - .由于-1≤ sin θ≤1,故-
≤λ≤7.
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15. 定义运算 =ad-bc,若(x+y)+(x+3)i=
,求实数x,y的值.
解:由定义得 =3x+2y+yi,
所以(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.
因为x,y为实数,所以
即解得
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