10.1.2 复数的几何意义(课件 学案 练习)高中数学人教B版(2019)必修 第四册

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名称 10.1.2 复数的几何意义(课件 学案 练习)高中数学人教B版(2019)必修 第四册
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资源类型 教案
版本资源 人教B版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-08-06 06:51:26

文档简介

10.1.2 复数的几何意义
1.已知i为虚数单位,若(x-4)+(y+2)i和2x-2i互为共轭复数,则实数x,y的值分别是(  )
A.3,3 B.5,1
C.-1,-1 D.-4,0
2.当<m<1时,复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面内对应的点位于(  )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.如果复数z与3+4i对应的有序实数对关于虚轴对称,那么z对应的向量的模是(  )
A.1 B.
C. D.5
4.已知复数z=a+(a-1)i(a∈R),若|z|=,则z在复平面内对应的点位于(  )
A.第一或第二象限
B.第二或第三象限
C.第一或第三象限
D.第二或第四象限
5.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为点B,则向量对应的复数为(  )
A.-2-i B.-2+i
C.1+2i D.-1+2i
6.(多选)已知复数z=x+yi(x,y∈R),则(  )
A.z2≥0
B.z的虚部是yi
C.若z=1+2i,则x=1,y=2
D.|z|=
7.在复平面内表示复数z=(m-3)+2i的点在直线y=x上,则实数m的值为    .
8.若复数z1=1-i,z2=3-5i,则复平面上与z1,z2对应的点Z1与Z2的距离为    .
9.若复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则|z|=    .
10.已知i为虚数单位,复数z满足|z|+z=8+4i.
(1)求z;
(2)在复平面内,O为坐标原点,向量,对应的复数分别是z,c+(2-c)i,若∠AOB是直角,求实数c的值.
11.若复数z=a+i(a∈R)在复平面内对应点Z,则|z|=时,a=    ,此时Z与点(1,2)的距离是    .
12.若复数z=cos θ+isin θ在复平面内对应点Z,则由点Z构成的图形是    .
13.在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.
(1)求向量,,对应的复数;
(2)判定△ABC的形状.
14.(多选)下列命题中,是假命题的是(  )
A.复数的模是非负实数
B.若z=-+i,则=-i
C.两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件
D.复数z1>z2>0的充要条件是|z1|>|z2|
15.已知复数z=(1+2m)+(3+m)i(m∈R).
(1)若m=1,且||=|x+(x-1)i|,求实数x的值;
(2)求当m为何值,||最小,并求||的最小值.
10.1.2 复数的几何意义
1.D ∵(x-4)+(y+2)i和2x-2i互为共轭复数,∴解得
2.D 复数z在复平面内对应的点为Z(3m-2,m-1).由<m<1,得3m-2>0,m-1<0.所以点Z位于第四象限.故选D.
3.D 复数z对应的向量的坐标为(-3,4),其模为=5.故选D.
4.C 由|z|=,得a2+(a-1)2=5,解得a=-1或a=2,所以z=-1-2i或2+i,所以z所对应的点的坐标为(-1,-2)或(2,1),所以z所对应的点在第三或第一象限,故选C.
5.B 因为复数-1+2i对应的点为A(-1,2),点A关于直线y=-x的对称点为B(-2,1),所以对应的复数为-2+i.
6.CD 对于A选项,取z=i,则z2=-1<0,A选项错误;对于B选项,复数z的虚部为y,B选项错误;对于C选项,若z=1+2i,则x=1,y=2,C选项正确;对于D选项,|z|=,D选项正确.故选C、D.
7.9 解析:∵z=(m-3)+2i表示的点在直线y=x上,∴m-3=2,解得m=9.
8.2 解析:z1=1-i对应的点为(1,-1),z2=3-5i对应的点为(3,-5),由两点间距离公式得=2.
9.2 解析:∵复数z=a2-1+(a+1)i是纯虚数,∴解得a=1,∴z=2i,∴|z|=2.
10.解:(1)设z=a+bi(a,b∈R),
由|z|+z=8+4i,得a++bi=8+4i,
∴解得∴z=3+4i.
(2)由题意,得=(3,4),=(c,2-c),
∵∠AOB是直角,∴·=3c+4(2-c)=0,
解得c=8.
11.±1 1或 解析:∵|z|==,∴a=±1.∴z=1+i或z=-1+i.当z=1+i时,Z为(1,1),两点间距离为=1;当z=-1+i时,Z为(-1,1),两点间的距离为=.
12.圆心在原点,半径为1的圆 解析:∵|z|==1.∴向量的长度等于1,即点Z到原点的距离始终等于1.∴由点Z构成的图形是圆心在原点,半径为1的圆.
13.解:(1)由复数的几何意义知:
=(1,0),=(2,1),=(-1,2),
所以=-=(1,1),=-=(-2,2),=-=(-3,1),所以,,对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i.
(2)因为||=,||=2,||=,
所以||2+||2=||2,
所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形.
14.BD 任意复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=≥0恒成立,故A是真命题;=--i,故B是假命题;若z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R),若z1=z2,则有a1=a2,b1=b2,∴|z1|=|z2|,反之由|z1|=|z2|推不出z1=z2,如当z1=1+3i,z2=1-3i时,|z1|=|z2|,但z1≠z2,故C是真命题;不全为实数的两个复数不能比较大小,但任意两个复数的模能比较大小,所以|z1|>|z2|推不出复数z1>z2,但复数z1>z2>0能推出|z1|>|z2|,所以复数z1>z2>0的必要条件是|z1|>|z2|,故D是假命题.
15.解:(1)由m=1,得z=3+4i,=3-4i,
则由||=|x+(x-1)i|,
得=,
整理得x2-x-12=0,解得x=4或x=-3.
(2)||===≥ ,
当且仅当m=-1时,||取得最小值,最小值为.
2 / 210.1.2 复数的几何意义
新课程标准解读 核心素养
1.了解复平面的概念,理解实轴、虚轴、模的概念,理解共轭复数的概念 数学抽象
2.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数,及它们之间的一一对应关系 直观想象
  我们知道,实数与数轴上的点一一对应,也就是说,数轴可以看成实数的一个几何模型.
【问题】 (1)你能否为复数找一个几何模型?
(2)怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系?
                      
                      
知识点一 复平面
1.复数z=a+bi(a,b∈R)可以用平面直角坐标系内的      来表示.
2.复平面、实轴与虚轴
复平面:建立了直角坐标系来表示复数的平面称为复平面.
实轴:在复平面内,x轴上的点对应的都是    ,因此x轴称为实轴.
虚轴:y轴上的点除了    外,对应的都是    ,因此y轴称为虚轴,如图:
知识点二 复数的几何意义
1.共轭复数
(1)定义:一般地,如果两个复数的实部   ,而虚部互为     ,则称这两个复数互为       .复数z的共轭复数用    表示,当z=a+bi(a,b∈R)时,有=a-bi.
(2)在复平面内,表示两个共轭复数的点关于    对称;反之,如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称,则这两个复数互为共轭复数.
2.几何意义
3.复数的模
(1)定义:一般地,向量=(a,b)的长度称为复数z=a+bi(a,b∈R)的模(或绝对值),复数z的模用|z|表示.
(2)公式:复数z=a+bi(a,b∈R)的模为|z|=.
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若z=a+bi(a,b∈R),则当b=0时,z的模就是实数a的绝对值.(  )
(2)在复平面内,对应实数的点都在实轴上.(  )
(3)原点是实轴与虚轴的交点.(  )
(4)复数的模一定是正实数.(  )
(5)两个复数互为共轭复数,则它们的模相等.(  )
2.复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(  )
A.第一象限     B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.已知i为虚数单位,若(x-2)+yi和3x-i互为共轭复数,则实数x,y的值分别是(  )
A.3,3  B.5,1 C.-1,-1 D.-1,1
4.已知复数z=1+2i(i是虚数单位),则|z|=    .
题型一 复数与复平面内点的关系
【例1】 在复平面内,若复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i对应的点:(1)在虚轴上;(2)在第二象限或第四象限,分别求实数m的取值范围.
尝试解答
【母题探究】
(变设问)本例条件不变,若复数在直线y=x上,求m的值.
通性通法
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据;
(2)列出方程:此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.
提醒 复数与复平面内的点是一一对应关系,因此复数可以用点来表示.
【跟踪训练】
1.已知复数z=(m+3)+(m-1)i(m∈R)在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是(  )
A.(-3,1)       B.(-1,3)
C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
2.(多选)设z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,则以下结论中正确的是(  )
A.z在复平面内对应的点在第一象限
B.z可能是纯虚数
C.z在复平面内对应的点在实轴上方
D.z一定是实数
题型二 复数与复平面内向量的关系
【例2】 在复平面内的长方形ABCD中,点A,B,C对应的复数分别是2+3i,3+2i,-2-3i,求点D对应的复数.
尝试解答
通性通法
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量;
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点及向量之间的转化.
【跟踪训练】
已知复数z1=-1+2i,z2=4+2i分别对应复平面上的点A,B.若=+对应的复数为z,求z的共轭复数(其中O为坐标原点).
题型三 与复数的模有关的问题
【例3】 已知复数z1=+i,z2=-+i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小;
(2)设z∈C,满足条件|z|=|z1|的复数z对应的点为Z,则点Z组成的集合是什么图形?
尝试解答
通性通法
复数模的计算
(1)计算复数的模时,应先确定复数的实部和虚部,再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较大小;
(2)设出复数的代数形式,利用模的定义转化为实数问题求解.
【跟踪训练】
1.已知复数z=1-2mi(m∈R),且|z|≤2,则实数m的取值范围是    .
2.若t∈R,t≠-1,t≠0,则复数z=+i的模的取值范围是    .
1.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是(  )
A.4+80i       B.8+2i
C.2+4i D.4+i
2.已知平行四边形OABC中,O,C两点在复平面内对应的复数分别为0,3-2i,则||=(  )
A.   B.2 C.4   D.
3.已知复数z的实部为1,且|z|=2,则复数z的虚部是(  )
A.-  B.i C.±i  D.±
4.i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=   .
5.实数m取什么值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.
(1)对应的点在x轴上方;
(2)对应的点在直线x+y+4=0上.
10.1.2 复数的几何意义
【基础知识·重落实】
知识点一
1.一个点Z(a,b) 2.实数 原点 纯虚数
知识点二
1.(1)相等 相反数 共轭复数  (2)实轴
自我诊断
1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√
2.C z=-1-2i在复平面内对应的点为(-1,-2),它位于第三象限.故选C.
3.D ∵(x-2)+yi和3x-i互为共轭复数,
∴解得
4. 解析:∵z=1+2i,∴|z|==.
【典型例题·精研析】
【例1】 解:复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i的实部为m2-2m-8,虚部为m2+3m-10.
(1)由题意得m2-2m-8=0,且m2+3m-10≠0.
解得m=-2或m=4.
(2)由题意,得或
解得2<m<4或-5<m<-2.
故实数m的取值范围是(-5,-2)∪(2,4).
母题探究
解:由已知得m2-2m-8=m2+3m-10,故m=.
跟踪训练
1.A 由复数z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,可得解得-3<m<1.故选A.
2.BC 2t2+5t-3的值可正、可负、可为0,t2+2t+2=(t+1)2+1≥1,结合选项知选B、C.
【例2】 解:记O为复平面的原点,由题意得=(2,3),=(3,2),=(-2,-3).
设=(x,y),则=(x-2,y-3),=(-5,-5).
∵=,∴
解得
∴=(-3,-2),故点D对应的复数为-3-2i.
跟踪训练
解:由题意得A(-1,2),B(4,2),
∴=(-1,2),=(4,2),
∴=+=(-1,2)+(4,2)=(3,4),
∴z=3+4i,∴=3-4i.
【例3】 解:(1)|z1|=|+i|==2,
|z2|==1,所以|z1|>|z2|.
(2)法一 设z=x+yi(x,y∈R),
则点Z的坐标为(x,y).
由|z|=|z1|=2得=2,即x2+y2=4,
所以点Z的轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆.
法二 由|z|=|z1|=2知||=2(O为坐标原点),
所以Z到原点的距离为2,
所以Z的轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆.
跟踪训练
1. 解析:由|z|=≤2,解得-≤m≤.
2.[,+∞) 解析:|z|2=+≥2··=2,∴|z|≥.
随堂检测
1.C 两个复数对应的点分别为A(6,5),B(-2,3),则C(2,4).故其对应的复数为2+4i.
2.D 由于四边形OABC是平行四边形,故=,因此||=||=|3-2i|=,故选D.
3.D 设复数z的虚部为b,∵|z|=2,z的实部为1,∴1+b2=4,∴b=±,故选D.
4.-2+3i 解析:∵z1=2-3i,∴z1对应的点为(2,-3),关于原点的对称点为(-2,3).∴z2=-2+3i.
5.解:(1)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5,所以当m<-3或m>5时,复数z对应的点在x轴上方.
(2)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0,得2m2+3m-5=0,解得m=1或m=-,
所以当m=1或m=-时,复数z对应的点在直线x+y+4=0上.
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10.1.2 复数的几何意义
新课程标准解读 核心素养
1.了解复平面的概念,理解实轴、虚轴、模的概念,
理解共轭复数的概念 数学抽象
2.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复
数,及它们之间的一一对应关系 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
  我们知道,实数与数轴上的点一一对应,也就是说,数轴可以看
成实数的一个几何模型.
【问题】 (1)你能否为复数找一个几何模型?
(2)怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系?




  
知识点一 复平面
1. 复数z=a+bi(a,b∈R)可以用平面直角坐标系内的
来表示.
2. 复平面、实轴与虚轴
复平面:建立了直角坐标系来表示复数的平面称为复平面.
实轴:在复平面内,x轴上的点对应的都是 ,因此x轴称
为实轴.
一个点
Z(a,b) 
实数 
虚轴:y轴上的点除了 外,对应的都是 ,因此
y轴称为虚轴,如图:
原点 
纯虚数 
知识点二 复数的几何意义
1. 共轭复数
(1)定义:一般地,如果两个复数的实部 ,而虚部互
为 ,则称这两个复数互为 .复数z的
共轭复数用 表示,当z=a+bi(a,b∈R)时,有
=a-bi.
(2)在复平面内,表示两个共轭复数的点关于 对称;反
之,如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称,则这
两个复数互为共轭复数.
相等 
相反数 
共轭复数 
 
实轴 
2. 几何意义
3. 复数的模
(1)定义:一般地,向量 =(a,b)的长度称为复数z=a
+bi(a,b∈R)的模(或绝对值),复数z的模用|z|
表示.
(2)公式:复数z=a+bi(a,b∈R)的模为|z|=
.
1. 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若z=a+bi(a,b∈R),则当b=0时,z的模就是实数a
的绝对值.(  )

(2)在复平面内,对应实数的点都在实轴上. ( √ )
(3)原点是实轴与虚轴的交点. ( √ )
(4)复数的模一定是正实数. ( × )
(5)两个复数互为共轭复数,则它们的模相等. ( √ )


×

2. 复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(  )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析: z=-1-2i在复平面内对应的点为(-1,-2),它位
于第三象限.故选C.
3. 已知i为虚数单位,若(x-2)+yi和3x-i互为共轭复数,则实数
x,y的值分别是(  )
A. 3,3 B. 5,1
C. -1,-1 D. -1,1
解析: ∵(x-2)+yi和3x-i互为共轭复数,
∴解得
4. 已知复数z=1+2i(i是虚数单位),则|z|= .
解析:∵z=1+2i,∴|z|= = .
 
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 复数与复平面内点的关系
【例1】 在复平面内,若复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-
10)i对应的点:(1)在虚轴上;
解:复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i的实部为m2-2m
-8,虚部为m2+3m-10.
(1)由题意得m2-2m-8=0,且m2+3m-10≠0.
解得m=-2或m=4.
(2)在第二象限或第四象限,分别求实数m的取值范围.
解:由题意,得

解得2<m<4或-5<m<-2.
故实数m的取值范围是(-5,-2)∪(2,4).
【母题探究】
(变设问)本例条件不变,若复数在直线y=x上,求m的值.
解:由已知得m2-2m-8=m2+3m-10,故m= .
通性通法
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,
b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类
问题的根据;
(2)列出方程:此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件,
通过解方程(组)或不等式(组)求解.
提醒 复数与复平面内的点是一一对应关系,因此复数可以用
点来表示.
【跟踪训练】
1. 已知复数z=(m+3)+(m-1)i(m∈R)在复平面内对应的
点在第四象限,则实数m的取值范围是(  )
A. (-3,1) B. (-1,3)
C. (1,+∞) D. (-∞,-3)
解析: 由复数z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点
在第四象限,可得解得-3<m<1.故选A.
2. (多选)设z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,则以下
结论中正确的是(  )
A. z在复平面内对应的点在第一象限
B. z可能是纯虚数
C. z在复平面内对应的点在实轴上方
D. z一定是实数
解析: 2t2+5t-3的值可正、可负、可为0,t2+2t+2=(t
+1)2+1≥1,结合选项知选B、C.
题型二 复数与复平面内向量的关系
【例2】 在复平面内的长方形ABCD中,点A,B,C对应的复数分
别是2+3i,3+2i,-2-3i,求点D对应的复数.
解:记O为复平面的原点,由题意得 =(2,3), =(3,
2), =(-2,-3).
设 =(x,y),则 =(x-2,y-3), =(-5,-5).
∵ = ,∴
解得
∴ =(-3,-2),
故点D对应的复数为-3-2i.
通性通法
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原
点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对
应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数
对应的向量;
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面
内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点及向量之间
的转化.
【跟踪训练】
已知复数z1=-1+2i,z2=4+2i分别对应复平面上的点A,B. 若
= + 对应的复数为z,求z的共轭复数(其中O为坐标原点).
解:由题意得A(-1,2),B(4,2),
∴ =(-1,2), =(4,2),
∴ = + =(-1,2)+(4,2)=(3,4),
∴z=3+4i,∴ =3-4i.
题型三 与复数的模有关的问题
【例3】 已知复数z1= +i,z2=- + i.
(1)求|z1|及|z2|并比较大小;
解:|z1|=| +i|= =2,
|z2|= =1,
所以|z1|>|z2|.
(2)设z∈C,满足条件|z|=|z1|的复数z对应的点为Z,则点Z
组成的集合是什么图形?
解:法一 设z=x+yi(x,y∈R),
则点Z的坐标为(x,y).
由|z|=|z1|=2得 =2,即x2+y2=4,
所以点Z的轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆.
法二 由|z|=|z1|=2知| |=2(O为坐标原点),
所以Z到原点的距离为2,
所以Z的轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆.
通性通法
复数模的计算
(1)计算复数的模时,应先确定复数的实部和虚部,再利用模长
公式计算.虽然两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比
较大小;
(2)设出复数的代数形式,利用模的定义转化为实数问题求解.

解析:由|z|= ≤2,
解得- ≤m≤ .
 
2. 若t∈R,t≠-1,t≠0,则复数z= + i的模的取值范围
是 .
解析:|z|2= + ≥2· ·
=2 ,
∴|z|≥ .
[,+∞) 
1. 在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B. 若C为线
段AB的中点,则点C对应的复数是(  )
A. 4+80i B. 8+2i
C. 2+4i D. 4+i
解析: 两个复数对应的点分别为A(6,5),B(-2,3),
则C(2,4).故其对应的复数为2+4i.
2. 已知平行四边形OABC中,O,C两点在复平面内对应的复数分别
为0,3-2i,则| |=(  )
C. 4
解析: 由于四边形OABC是平行四边形,故 = ,因此|
|=| |=|3-2i|= ,故选D.
3. 已知复数z的实部为1,且|z|=2,则复数z的虚部是(  )
解析: 设复数z的虚部为b,∵|z|=2,z的实部为1,∴1+
b2=4,∴b=± ,故选D.
4. i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,
若z1=2-3i,则z2= .
解析:∵z1=2-3i,∴z1对应的点为(2,-3),关于原点的对称
点为(-2,3).∴z2=-2+3i.
-2+3i 
5. 实数m取什么值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.
(1)对应的点在x轴上方;
解:由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5,所以当
m<-3或m>5时,复数z对应的点在x轴上方.
(2)对应的点在直线x+y+4=0上.
解:由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+4=0,
得2m2+3m-5=0,
解得m=1或m=- ,
所以当m=1或m=- 时,复数z对应的点在直线x+y+4=0上.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知i为虚数单位,若(x-4)+(y+2)i和2x-2i互为共轭复
数,则实数x,y的值分别是(  )
A. 3,3 B. 5,1
C. -1,-1 D. -4,0
解析: ∵(x-4)+(y+2)i和2x-2i互为共轭复数,
∴解得
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2. 当 <m<1时,复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面内对应
的点位于(  )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析: 复数z在复平面内对应的点为Z(3m-2,m-1).由
<m<1,得3m-2>0,m-1<0.所以点Z位于第四象限.故选D.
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3. 如果复数z与3+4i对应的有序实数对关于虚轴对称,那么z对应的
向量 的模是(  )
A. 1
D. 5
解析: 复数z对应的向量 的坐标为(-3,4),其模为
=5.故选D.
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4. 已知复数z=a+(a-1)i(a∈R),若|z|= ,则z在复
平面内对应的点位于(  )
A. 第一或第二象限 B. 第二或第三象限
C. 第一或第三象限 D. 第二或第四象限
解析: 由|z|= ,得a2+(a-1)2=5,解得a=-1或a
=2,所以z=-1-2i或2+i,所以z所对应的点的坐标为(-1,
-2)或(2,1),所以z所对应的点在第三或第一象限,故选C.
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5. 在复平面内,O为原点,向量 对应的复数为-1+2i,若点A关
于直线y=-x的对称点为点B,则向量 对应的复数为(  )
A. -2-i B. -2+i
C. 1+2i D. -1+2i
解析: 因为复数-1+2i对应的点为A(-1,2),点A关于
直线y=-x的对称点为B(-2,1),所以 对应的复数为-
2+i.
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6. (多选)已知复数z=x+yi(x,y∈R),则(  )
A. z2≥0
B. z的虚部是yi
C. 若z=1+2i,则x=1,y=2
解析: 对于A选项,取z=i,则z2=-1<0,A选项错误;对
于B选项,复数z的虚部为y,B选项错误;对于C选项,若z=1+
2i,则x=1,y=2,C选项正确;对于D选项,|z|=
,D选项正确.故选C、D.
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7. 在复平面内表示复数z=(m-3)+2 i的点在直线y=x上,则
实数m的值为 .
解析:∵z=(m-3)+2 i表示的点在直线y=x上,∴m-3
=2 ,解得m=9.
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8. 若复数z1=1-i,z2=3-5i,则复平面上与z1,z2对应的点Z1与Z2
的距离为 .
解析:z1=1-i对应的点为(1,-1),z2=3-5i对应的点为
(3,-5),由两点间距离公式得 =
2 .
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9. 若复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则|z|= .
解析:∵复数z=a2-1+(a+1)i是纯虚数,
∴解得a=1,
∴z=2i,∴|z|=2.
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10. 已知i为虚数单位,复数z满足|z|+z=8+4i.
(1)求z;
解:设z=a+bi(a,b∈R),
由|z|+z=8+4i,得a+ +bi=8+4i,
∴解得∴z=3+4i.
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(2)在复平面内,O为坐标原点,向量 , 对应的复数分
别是z,c+(2-c)i,若∠AOB是直角,求实数c的值.
解:由题意,得 =(3,4), =(c,2-c),
∵∠AOB是直角,∴ · =3c+4(2-c)=0,
解得c=8.
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11. 若复数z=a+i(a∈R)在复平面内对应点Z,则|z|=
时,a= ,此时Z与点(1,2)的距离是 .
解析:∵|z|= = ,∴a=±1.∴z=1+i或z=-1
+i.当z=1+i时,Z为(1,1),两点间距离为
=1;当z=-1+i时,Z为(-1,
1),两点间的距离为 = .
±1 
1或  
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12. 若复数z= cos θ+i sin θ在复平面内对应点Z,则由点Z构成的
图形是 .
解析:∵|z|= =1.∴向量 的长度等于1,即
点Z到原点的距离始终等于1.∴由点Z构成的图形是圆心在原
点,半径为1的圆.
圆心在原点,半径为1的圆 
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13. 在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+
2i.
(1)求向量 , , 对应的复数;
解:由复数的几何意义知:
=(1,0), =(2,1), =(-1,2),
所以 = - =(1,1), = - =(-2,
2), = - =(-3,1),所以 , , 对
应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i.
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(2)判定△ABC的形状.
解:因为| |= ,| |=2 ,| |= ,
所以| |2+| |2=| |2,
所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形.
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14. (多选)下列命题中,是假命题的是(  )
A. 复数的模是非负实数
C. 两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件
D. 复数z1>z2>0的充要条件是|z1|>|z2|
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解析: 任意复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=
≥0恒成立,故A是真命题; =- - i,故B是假命
题;若z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R),若z1
=z2,则有a1=a2,b1=b2,∴|z1|=|z2|,反之由|z1|
=|z2|推不出z1=z2,如当z1=1+3i,z2=1-3i时,|z1|
=|z2|,但z1≠z2,故C是真命题;不全为实数的两个复数不能
比较大小,但任意两个复数的模能比较大小,所以|z1|>|
z2|推不出复数z1>z2,但复数z1>z2>0能推出|z1|>|z2|,
所以复数z1>z2>0的必要条件是|z1|>|z2|,故D是假命题.
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15. 已知复数z=(1+2m)+(3+m)i(m∈R).
(1)若m=1,且| |=|x+(x-1)i|,求实数x的值;
解:由m=1,得z=3+4i, =3-4i,
则由| |=|x+(x-1)i|,
得 = ,
整理得x2-x-12=0,
解得x=4或x=-3.
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(2)求当m为何值,| |最小,并求| |的最小值.
解:| |= =
= ≥ ,
当且仅当m=-1时,| |取得最小值,
最小值为 .
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谢 谢 观 看!