10.2.1 复数的加法与减法
1.若复数z满足z＋（5－2i）＝6＋2i（i为虚数单位），则z的虚部是（ ）
A.－2 B.4
C.3 D.－4
2.已知复数z满足z＋2i－5＝7－i，则｜z｜＝（ ）
A.12 B.3
C.3 D.9
3.已知i为虚数单位，在复平面内，复数z1对应的点的坐标为（2，－3），复数z2＝－1＋2i，若复数z＝z1＋z2，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.已知i为虚数单位，若复数（a－3）＋2i＝1＋（b－1）i（a，b∈R），则｜（a＋bi）＋8＋2i｜＝（ ）
A.5 B.8
C.10 D.13
5.设z1，z2∈C，则“z1，z2中至少有一个数是虚数”是“z1－z2是虚数”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.（多选）｜（3＋2i）－（1＋i）｜表示（ ）
A.点（3，2）与点（1，1）之间的距离
B.点（3，2）与点（－1，－1）之间的距离
C.点（2，1）到原点的距离
D.坐标为（－2，－1）的向量的模
7.计算｜（3－i）＋（－1＋2i）－（－1－3i）｜＝ .
8.在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则｜｜＝ .
9.设（1＋i）sin θ－（1＋icos θ）对应的点在直线x＋y＋1＝0上，则tan θ＝ .
10.设z1＝a－3i，z2＝－4＋bi（a，b∈R），且z2－z1＝8＋9i，求z1＋z2.
11.（多选）已知复数z1＝cos θ＋i，z2＝sin θ－i（θ∈R），令z＝｜z1－z2｜，则（ ）
A.z的最小值为2 B.z无最小值
C.z的最大值为 D.z无最大值
12.已知z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β－isin β且z1－z2＝＋i，则cos（α＋β）＝ .
13.如图，复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面内的对应点是一个正方形ABCD的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
14.著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中所求的点称为费马点.已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P即费马点.根据以上材料，若z∈C，则｜z－2｜＋｜z＋2｜＋｜z＋2i｜的最小值为（ ）
A.2－2 B.2＋2
C.－1 D.＋1
15.已知复平面内的平行四边形ABCD中，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
（1）点C，D对应的复数；
（2）平行四边形ABCD的面积.
10.2.1 复数的加法与减法
1.B z＝6＋2i－（5－2i）＝1＋4i，∴z的虚部是4.故选B.
2.C 由题意知z＝7－i－（2i－5）＝12－3i，∴｜z｜＝＝3.故选C.
3.D 因为复数z1对应的点的坐标为（2，－3），所以z1＝2－3i，又因为复数z＝z1＋z2，z2＝－1＋2i，所以z＝2－3i＋（－1＋2i）＝1－i，所以复数z对应的点的坐标为（1，－1），位于第四象限.故选D.
4.D 因为复数（a－3）＋2i＝1＋（b－1）i，所以解得则｜（a＋bi）＋8＋2i｜＝｜（4＋3i）＋8＋2i｜＝｜12＋5i｜＝＝13.故选D.
5.B 若z1，z2皆是实数，则z1－z2一定不是虚数，因此当z1－z2是虚数时，z1，z2中至少有一个数是虚数，所以必要性成立；当z1，z2中至少有一个数是虚数时，z1－z2不一定是虚数，如z1＝z2＝i，即充分性不成立，故选B.
6.ACD 由复数的几何意义，知复数3＋2i，1＋i分别对应复平面内的点（3，2）与点（1，1），所以｜（3＋2i）－（1＋i）｜表示点（3，2）与点（1，1）之间的距离，故A说法正确，B说法错误；｜（3＋2i）－（1＋i）｜＝｜2＋i｜，｜2＋i｜可表示点（2，1）到原点的距离，故C说法正确；｜（3＋2i）－（1＋i）｜＝｜（1＋i）－（3＋2i）｜＝｜－2－i｜，｜－2－i｜可表示点（－2，－1）到原点的距离，即坐标为（－2，－1）的向量的模，故D说法正确，故选A、C、D.
7.5 解析：｜（3－i）＋（－1＋2i）－（－1－3i）｜＝｜（2＋i）－（－1－3i）｜＝｜3＋4i｜＝＝5.
8.2 解析：由题意＝－，∴对应的复数为（1＋3i）－（1＋i）＝2i，∴｜｜＝2.
9. 解析：由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0，
∴tan θ＝.
10.解：∵z1＝a－3i，z2＝－4＋bi，∴z2－z1＝（－4－a）＋（b＋3）i＝8＋9i，∴解得∴z1＝－12－3i，z2＝－4＋6i∴z1＋z2＝－12－3i＋（－4＋6i）＝－16＋3i.
11.AC 由题意，得z＝｜z1－z2｜＝｜（cos θ－sin θ）＋2i｜＝＝＝，∵θ∈R，∴2≤z≤，∴z的最小值为2，最大值为.故选A、C.
12. 解析：∵z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β－isin β，∴z1－z2＝（cos α－cos β）＋i（sin α＋sin β）＝＋i，∴
①2＋②2得2－2cos（α＋β）＝1，即cos（α＋β）＝.
13.解：由题图，知复数z1，z2，z3所对应的点分别为A，B，C，设正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi（x，y∈R）.
法一 ＝－，则对应的复数为（x＋yi）－（1＋2i）＝（x－1）＋（y－2）i.
＝－，则对应的复数为（－1－2i）－（－2＋i）＝1－3i.
因为＝，所以（x－1）＋（y－2）i＝1－3i，
所以解得
故点D对应的复数为2－i.
法二 因为点A与点C关于原点对称，
所以原点O为正方形的中心，所以点D与点B关于原点对称，
所以（－2＋i）＋（x＋yi）＝0，所以x＝2，y＝－1，
故点D对应的复数为2－i.
14.B 设z＝x＋yi（x，y∈R），则｜z－2｜＋｜z＋2｜＋｜z＋2i｜表示点Z（x，y）到△ABC三个顶点A（2，0），B（－2，0），C（0，－2）的距离之和.依题意结合对称性可知△ABC的费马点P位于虚轴的负半轴上，且∠APB＝120°，则∠PAO＝∠PBO＝30°，此时｜PA｜＋｜PB｜＋｜PC｜＝×2＋（2－2tan 30°）＝2＋2.故选B.
15.解：（1）∵向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
∴向量对应的复数为（3－i）－（1＋2i）＝2－3i.
又∵＝＋，
∴点C对应的复数为（2＋i）＋（2－3i）＝4－2i.
∵＝，
∴向量对应的复数为3－i，
即＝（3，－1）.设D（x，y），
则＝（x－2，y－1）＝（3，－1），
∴解得
∴点D对应的复数为5.
（2）∵·＝｜｜｜｜cos B，
∴cos B＝＝＝.
∵0＜B＜π，∴sin B＝，
∴S平行四边形ABCD＝｜｜｜｜sin B＝××＝7.
∴平行四边形ABCD的面积为7.
2 / 210.2 复数的运算
10.2.1 复数的加法与减法
新课程标准解读 核心素养
1.借助多项式加法与减法的运算性质，理解复数加法与减法运算的概念、运算公式与加法运算律 数学运算
2.借助平面向量的加、减法法则，理解复数加、减法的几何意义 直观想象
我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律.
问题 那么复数中的加法满足交换律与结合律吗？
知识点一 复数的加法与减法
1.运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），
则z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝ ；
z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝ .
2.加法运算律
对任意复数z1，z2，z3，有
z1＋z2＝ ，
（z1＋z2）＋z3＝ .
【想一想】
1.两个复数的和或差是什么数，它的值唯一确定吗？
2.复数的加法中规定，两复数相加是实部与实部相加，虚部与虚部相加，复数的加、减法可推广到多个复数相加、减吗？
1.已知i是虚数单位，则复数z＝（3＋i）＋（－3－2i）的虚部是（ ）
A.1 B.
C.－1 D.－i
2.已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝（ ）
A.0 B.6i
C.6 D.6－6i
知识点二 复数加法与减法的几何意义
z1，z2∈C，设，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）相对应，且，不共线
运算名称 加法 减法
几何 意义 复数的和z1＋z2与向量＋＝的坐标对应 复数的差z1－z2与向量－＝的坐标对应
结论 ｜｜z1｜－｜z2｜｜≤｜z1＋z2｜≤｜z1｜＋｜z2｜ ｜｜z1｜－｜z2｜｜≤｜z1－z2｜≤｜z1｜＋｜z2｜
【想一想】
1.类比绝对值｜x－x0｜的几何意义，｜z－z0｜（z，z0∈C）的几何意义是什么？
2.两个复数的和（差）是复数，但两个虚数的和（差）一定是虚数吗？
1.在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，则表示的复数为（ ）
A.2＋8i B.－6－6i
C.4－4i D.－4＋2i
2.在复平面内，向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是（ ）
A.－10＋8i B.10－8i
C.0 D.10＋8i
题型一 复数的加、减运算
【例1】 （1）计算：（8－2i）－（－7＋5i）＋（3＋7i）；
（2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.
尝试解答
通性通法
复数加、减运算的法则
（1）复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部；
（2）复数的运算可以类比多项式的运算（类似于合并同类项）：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算.
【跟踪训练】
1.复数（1－i）－（2＋i）＋3i＝（ ）
A.－1＋i B.1－i
C.i D.－i
2.已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝－z1在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
题型二 复数加、减法的几何意义
【例2】 如图，已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.
（1）求对应的复数；
（2）求对应的复数；
（3）求B点对应的复数.
尝试解答
通性通法
运用复数加、减法运算的几何意义应注意的问题
向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据.利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量对应的复数是zB－zA（终点对应的复数减去起点对应的复数）.
【跟踪训练】
在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是（ ）
A.2＋4i B.－2＋4i
C.－4＋2i D.4－2i
题型三 复数模的最值问题
【例3】 若复数z满足｜z｜＝2，则｜1＋i＋z｜的取值范围是（ ）
A.[1，3] B.[1，4]
C.[0，3] D.[0，4]
尝试解答
通性通法
两个复数差的模的几何意义
（1）｜z－z0｜表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式；
（2）｜z－z0｜＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆；
（3）涉及复数模的最值问题可转化为点的轨迹问题，再结合图形求解，也可利用结论｜｜z1｜－｜z2｜｜≤｜z1±z2｜≤｜z1｜＋｜z2｜求解.
【跟踪训练】
已知｜z1｜＝｜3＋4i｜，｜z2｜＝｜－i｜，求｜z1－z2｜的最大值.
10.2.1 复数的加法与减法
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（a＋c）＋（b＋d）i （a－c）＋（b－d）i
2.z2＋z1 z1＋（z2＋z3）
想一想
1.提示：是复数，唯一确定.
2.提示：可以推广到多个复数相加、减.
自我诊断
1.C z＝（3＋i）＋（－3－2i）＝（3－3）＋（1－2）i＝－i.
故复数z的虚部为－1.
2.D ∵z＋3i－3＝3－3i，∴z＝（3－3i）－（3i－3）＝6－6i.
知识点二
想一想
1.提示：｜z－z0｜（z，z0∈C）的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离.
2.提示：不一定是虚数.例如，（3－2i）＋2i＝3.
自我诊断
1.C ＝－＝－（＋）＝（4，－4），∴表示的复数为4－4i.
2.C ＋＝（5，－4）＋（－5，4）＝（0，0），故＋对应的复数为0.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）（8－2i）－（－7＋5i）＋（3＋7i）
＝[8－（－7）＋3]＋（－2－5＋7）i
＝15＋3.
（2）∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，
∴（3＋x）＋（2－y）i＝5－6i，
∴
∴
∴z1－z2＝（2＋2i）－（3－8i）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝－1＋10i.
跟踪训练
1.A （1－i）－（2＋i）＋3i＝－1＋i.
2.B z＝－z1＝（1＋2i）－（2＋i）＝－1＋i，故z在复平面内对应的点为（－1，1），位于第二象限.
【例2】 解：（1）∵＝－，∴对应的复数为－（3＋2i），即－3－2i.
（2）∵＝－，
∴对应的复数为（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i.
（3）∵＝＋，∴表示的复数为（3＋2i）＋（－2＋4i）＝1＋6i.
即B点对应的复数为1＋6i.
跟踪训练
D 在平行四边形ABCD中，＝＝－，∴所对应的复数为3＋i－（－1＋3i）＝4－2i.故选D.
【例3】 D 法一 设z＝a＋bi（a，b∈R）在复平面内所对应的点为Z.可知点Z（a，b）的集合是以坐标原点为圆心，2为半径的圆.｜1＋i＋z｜＝｜z－（－1－i）｜表示点Z（a，b）到点M（－1，－）的距离.∵（－1，－）在｜z｜＝2这个圆上，∴距离最小是0，最大是直径4.故选D.
法二 因为｜｜1＋i｜－｜z｜｜≤｜1＋i＋z｜≤｜1＋i｜＋｜z｜，∴0≤｜1＋i＋z｜≤4.故选D.
跟踪训练
解：∵｜z1｜＝｜3＋4i｜＝＝5，
｜z2｜＝｜－i｜＝＝3，
∴｜z1－z2｜≤｜z1｜＋｜z2｜＝8，
∴｜z1－z2｜的最大值为8.
3 / 3(共29张PPT)
10.2.1 复数的加法与减法
新课程标准解读 核心素养
1.借助多项式加法与减法的运算性质，理解复数加法
与减法运算的概念、运算公式与加法运算律 数学运算
2.借助平面向量的加、减法法则，理解复数加、减法
的几何意义 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还
满足交换律与结合律.
【问题】 那么复数中的加法满足交换律与结合律吗？
知识点一 复数的加法与减法
1. 运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），
则z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝
；
z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝ .
2. 加法运算律
对任意复数z1，z2，z3，有
z1＋z2＝ ，（z1＋z2）＋z3＝ .
（a＋c）＋（b＋d）
i
（a－c）＋（b－d）i
z2＋z1
z1＋（z2＋z3）
【想一想】
1. 两个复数的和或差是什么数，它的值唯一确定吗？
提示：是复数，唯一确定.
2. 复数的加法中规定，两复数相加是实部与实部相加，虚部与虚部相
加，复数的加、减法可推广到多个复数相加、减吗？
提示：可以推广到多个复数相加、减.
1. 已知i是虚数单位，则复数z＝（3＋i）＋（－3－2i）的虚部是
（ ）
A. 1 C. －1 D. －i
解析： z＝（3＋i）＋（－3－2i）＝（3－3）＋（1－2）i＝－
i.故复数z的虚部为－1.
2. 已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝（ ）
A. 0 B. 6i C. 6 D. 6－6i
解析：∵z＋3i－3＝3－3i，∴z＝（3－3i）－（3i－3）＝6－6i.
知识点二 复数加法与减法的几何意义
运算
名称 加法 减法
几何
意义
结论 ｜｜z1｜－｜z2｜｜≤｜z1＋
z2｜≤｜z1｜＋｜z2｜ ｜｜z1｜－｜z2｜｜≤｜z1－
z2｜≤｜z1｜＋｜z2｜
【想一想】
1. 类比绝对值｜x－x0｜的几何意义，｜z－z0｜（z，z0∈C）的几
何意义是什么？
提示：｜z－z0｜（z，z0∈C）的几何意义是复平面内点Z到点Z0
的距离.
2. 两个复数的和（差）是复数，但两个虚数的和（差）一定是虚
数吗？
提示：不一定是虚数.例如，（3－2i）＋2i＝3.
1. 在复平面内，O是原点， ， ， 表示的复数分别为－2＋
i，3＋2i，1＋5i，则 表示的复数为（ ）
A. 2＋8i B. －6－6i
C. 4－4i D. －4＋2i
解析： ＝ － ＝ －（ ＋ ）＝（4，－4），
∴ 表示的复数为4－4i.
2. 在复平面内，向量 对应的复数是5－4i，向量 对应的复数
是－5＋4i，则 ＋ 对应的复数是（ ）
A. －10＋8i B. 10－8i
C. 0 D. 10＋8i
解析： ＋ ＝（5，－4）＋（－5，4）＝（0，0），故
＋ 对应的复数为0.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 复数的加、减运算
【例1】 （1）计算：（8－2i）－（－7＋5i）＋（3 ＋7i）；
解：（8－2i）－（－7＋5i）＋（3 ＋7i）
＝[8－（－7）＋3 ]＋（－2－5＋7）i＝15＋3 .
（2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i，求z1
－z2.
解：∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i，
∴（3＋x）＋（2－y）i＝5－6i，∴∴
∴z1－z2＝（2＋2i）－（3－8i）＝（2－3）＋[2－（－8）]i＝
－1＋10i.
通性通法
复数加、减运算的法则
（1）复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，
虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准
确地提取复数的实部与虚部；
（2）复数的运算可以类比多项式的运算（类似于合并同类项）：若
有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算.
【跟踪训练】
1. 复数（1－i）－（2＋i）＋3i＝（ ）
A. －1＋i B. 1－i
C. i D. －i
解析： （1－i）－（2＋i）＋3i＝－1＋i.
2. 已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝ －z1在复平面内对应的点
位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析： z＝ －z1＝（1＋2i）－（2＋i）＝－1＋i，故z在复平
面内对应的点为（－1，1），位于第二象限.
题型二 复数加、减法的几何意义
【例2】 如图，已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的
复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.
（1）求 对应的复数；
解：∵ ＝－ ，∴ 对应的复数为－（3＋2i），即－3－2i.
（2）求 对应的复数；
解：∵ ＝ － ，
∴ 对应的复数为（3＋2i）－（－2＋4i）＝5－2i.
（3）求B点对应的复数.
解：∵ ＝ ＋ ，∴ 表示的复数为（3＋2i）＋（－2
＋4i）＝1＋6i.
即B点对应的复数为1＋6i.
通性通法
运用复数加、减法运算的几何意义应注意的问题
向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、
减法几何意义的依据.利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”
的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量
对应的复数是zB－zA（终点对应的复数减去起点对应的复数）.
【跟踪训练】
在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O. 若向量 ，
对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则 对应的复数是（ ）
A. 2＋4i B. －2＋4i
C. －4＋2i D. 4－2i
解析： 在平行四边形ABCD中， ＝ ＝ － ，∴ 所
对应的复数为3＋i－（－1＋3i）＝4－2i.故选D.
题型三 复数模的最值问题
【例3】 若复数z满足｜z｜＝2，则｜1＋ i＋z｜的取值范围是
（ ）
A. [1，3] B. [1，4]
C. [0，3] D. [0，4]
解析： 法一 设z＝a＋bi（a，b∈R）在复平面内所对应的点
为Z. 可知点Z（a，b）的集合是以坐标原点为圆心，2为半径的
圆.｜1＋ i＋z｜＝｜z－（－1－ i）｜表示点Z（a，b）到点
M（－1，－ ）的距离.∵（－1，－ ）在｜z｜＝2这个圆上，
∴距离最小是0，最大是直径4.故选D.
法二 因为｜｜1＋ i｜－｜z｜｜≤｜1＋ i＋z｜≤｜1＋ i｜
＋｜z｜，∴0≤｜1＋ i＋z｜≤4.故选D.
通性通法
两个复数差的模的几何意义
（1）｜z－z0｜表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要
把绝对值号内变为两复数差的形式；
（2）｜z－z0｜＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆；
（3）涉及复数模的最值问题可转化为点的轨迹问题，再结合图形求
解，也可利用结论｜｜z1｜－｜z2｜｜≤｜z1±z2｜≤｜z1｜
＋｜z2｜求解.
【跟踪训练】
已知｜z1｜＝｜3＋4i｜，｜z2｜＝｜ － i｜，求｜z1－z2｜的最
大值.
解：∵｜z1｜＝｜3＋4i｜＝ ＝5，
｜z2｜＝｜ － i｜＝ ＝3，
∴｜z1－z2｜≤｜z1｜＋｜z2｜＝8，
∴｜z1－z2｜的最大值为8.
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