(共31张PPT)
拓 视 野 最短路径问题
爸爸出差前，留给小华一道题：如图是某地区的交通网，其中小
圈代表城镇，小圈间的连线代表道路，请你选择一条从A到B的最短
路线.
爸爸还特意交给小华一个“锦囊”，嘱咐他不到万不得已不要拆
开.小华是个要强的孩子，题目未解出来，他不会去看“锦囊”！
小华绞尽脑汁，想了一天还是没有眉目.吃过晚饭，他在小树林
中散步，东瞅瞅，西瞧瞧，看到一张硕大的蜘蛛网，突然，一只小虫
撞到网上，小虫奋力挣扎，于是便不断地拉紧连到网中心的最短的那
根丝，蜘蛛沿着那根丝，迅速出击，抓住了小虫.小华若有所悟，口
里直嚷嚷：“有了！有了！”他想，只要用一种伸缩性很小的细线按
交通网形状和各条道路的长短比例编织一副真正的“交通网”，要求
A，B两地的最短路线，只需把网上相当于A，B两地的网结各自向
外拉，则由A到B的最短路线所通过的道路一定位于被拉紧的细线上.
小华高兴地打开“锦囊”，妙极了，他和爸爸的解法完全一样.
爸爸的解法后面还有几行字：“这种解法叫做模拟法，它是科学研究
的一种重要方法，自然界中简单的现象往往蕴藏着深刻的道理，放开
你的眼界打破学科的界限，努力去探索吧！”
【问题探究】
1. 若把某地区的交通网改为母线长为4 cm，底面半径为1 cm的圆锥，
现有一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上一点出发，沿圆锥侧面爬行一周
回到起点，求蚂蚁爬行的最短路程.
提示：圆锥的侧面展开图如图所示，由题意知，底
面圆的直径为2 cm，故底面圆的周长等于2π cm.
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为θ，
根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长得2π＝θr，解得θ＝ ，
所以展开图中扇形的圆心角为 ，
根据勾股定理求得最短路线长是 ＝4 （cm）.
2. 如图所示，已知长方体ABCD-A'B'C'D'的长、宽、高分别为5，4，3，一只蚂蚁由长方体的顶点A'出发，沿长方体表面爬行到点C，求蚂蚁爬行的最短路程.
提示：第一种情况：将长方体侧面ABCD展开，
使其与平面A'B'BA重合，如图：则最短路程为
A'C＝ ＝ .
第二种情况：将长方体侧面BB'C'C展开，使其与
平面A'B'BA重合，如图：
则最短路程为A'C＝ ＝3 .
第三种情况：将长方体侧面BB'C'C展开，使其与平
面A'D'C'B'重合，如图：
则最短路程为A'C＝ ＝4 .
比较以上三种情况可知，蚂蚁爬行的最短路程为 .
【迁移应用】
如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm，10
cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点B. 求这
条绳长的最小值.
解：沿母线AB将圆台侧面展开并补成扇形，连接
B'M，如图所示.
易知，Rt△OPA与Rt△OQB相似，
得 ＝ ＝ .
由AB＝20 cm，解得OA＝20 cm.
因为 的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q
的周长为2π×10＝20π（cm），
又扇形OBB'的半径OB＝OA＋AB＝20＋20＝40（cm），
设扇形OBB'的圆心角为n°，则 ＝20π，
解得n＝90，即∠BOB'＝90°，所以OB⊥OB'.
在Rt△B'OM中，B'M2＝402＋302，所以B'M＝50 cm，
即所求绳长的最小值为50 cm.
1. （多选）下列说法正确的有（ ）
A. 圆柱的底面是圆面
B. 经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面
C. 圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交
D. 夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
解析： A、B正确；C错误，圆台的任意两条母线的延长线必
相交；D错误，夹在圆柱的两个截面间的几何体与截面位置有关，
不一定是旋转体.
2. 关于圆台，下列说法正确的是 .
①两个底面平行且全等；
②圆台的母线有无数条；
③圆台的母线长大于高；
④两底面圆心的连线是高.
解析：圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，
②③④正确.
②③④
3. 一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高
为 cm.
解析：如图是圆锥的轴截面，则SA＝20 cm，∠ASO＝30°，
∴AO＝10 cm，SO＝10 cm.
10
4. 在半径为25 cm的球内有一个截面，它的面积是49π cm2，求球心到
这个截面的距离.
解：设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到
截面的距离为d，如图所示.∵球内截面的面积S
＝πr2＝49π，∴r＝7 cm，∴d＝ ＝
＝24（cm）.故球心到这个截面的距离
为24 cm.
知能演练·扣课标
课后巩固 核心素养落地
1. 如图所示的图形中有（ ）
A. 圆柱、圆锥、圆台和球 B. 圆柱、球和圆锥
C. 球、圆柱和圆台 D. 棱柱、棱锥、圆锥和球
解析： 根据题中图形可知，（1）是球，（2）是圆柱，（3）
是圆锥，（4）不是圆台.故选B.
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2. 如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状
为（ ）
A. 一个球体
B. 一个球体中间挖去一个圆柱
C. 一个圆柱
D. 一个球体中间挖去一个长方体
解析： 圆面绕着直径所在的轴旋转而形成球，矩形绕着轴旋转
而形成圆柱.故选B.
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3. 已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥
的母线长为（ ）
A. 2 B. 2
C. 4 D. 4
解析： 设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为 ，所
以2π× ＝πl，解得l＝2 ，故选B.
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4. 长方体的体对角线长为5 ，若长方体的8个顶点都在同一个球面
上，则这个球的表面积是（ ）
A. 20 π B. 25 π
C. 50π D. 200π
解析： ∵体对角线长为5 ，∴2R＝5 ，S＝4πR2＝
4π× ＝50π.
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5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面
积之比为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 设圆柱的底面半径为r，高为h，则有h＝2πr，所以表
面积与侧面积的比为2π（r2＋rh）∶2πrh＝（r＋h）∶h＝（2π
＋1）∶2π.
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6. （多选）下列关于球体的说法正确的是（ ）
A. 球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
B. 球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
C. 一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是
球体
D. 球的对称轴只有1条
解析： 空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，所
以A错误，B正确；由球的定义，知C正确；球的每一条直径所在的
直线均为它的对称轴，所以D错误.
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7. 若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是 .
解析：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝ ，由题意
可知 ·2r·h＝r ＝8，解得r2＝8，∴h＝2 .
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8. 某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是 cm.
4
解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆
的周长为12π，则该小圆的半径r＝6 cm，其中
∠ABO＝30°，所以该地球仪的半径R＝
＝4 （cm）.
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9. 一个圆柱的底面圆半径为1，高为2π，AA'是它的一条母线，一质点
自A出发，沿圆柱侧面绕行两周到达A'的最短路线的长为 .
解析：该圆柱的侧面展开图是长为2π、宽为2π的
矩形，将该圆柱展开两次，如图所示，则AA'2即
为该质点沿圆柱侧面绕行两周到达A'的最短路
线.而AA'2＝ ＝
＝2 π.∴最短路线的长
为2 π.
2 π
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10. 如图所示的几何体是一个棱长为4 cm的正方体，若在其中一个面
的中心位置上挖一个直径为2 cm、深为4 cm 的圆柱形的洞，求挖
洞后几何体的表面积.
解：正方体的表面积为4×4×6＝96（cm2），圆柱的侧面积为
π×2×4＝8π（cm2），圆柱的两个底面积和为2π cm2，则挖洞后
几何体的表面积为96＋8π－2π＝96＋6π（cm2）.
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11. （多选）下列结论正确的是（ ）
A. S棱柱侧＝cl（其中c为底面周长，l为棱柱侧棱长）仅适用于正棱柱
B. 若圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则一定有S圆锥侧＝πrl
C. 如果一个球的表面积变为原来的9倍，那么对应的球的半径变为原
来的3倍
D. 若一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面积是
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解析： A中公式适合所有的直棱柱，A错；易知B正确；C
中，由4π ＝9×4π 得r1＝3r2，故C正确；D中，设圆锥的母
线长为R，圆锥的底面圆的半径为r，则S＝ πR2，2πr＝πR，
∴r＝ ，S底＝πr2＝π· ＝ ，故D正确.
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12. 如图所示，把底面半径为8 cm的圆锥放倒，使圆锥在水平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为 ，表面积为 .
20 cm
224π cm2
解析：设圆锥的母线长为l，以S为圆心，SA为半径的圆的面积
为S＝πl2.又圆锥的侧面积S1＝8πl，根据圆锥在平面内转回到原
位置时，圆锥本身滚动了2.5周，得πl2＝2.5×8πl，∴l＝20 cm.
故圆锥的表面积为S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π（cm2）.
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13. 已知一个表面积为120 cm2的正方体的四个顶点在半球的球面上，
四个顶点在半球的底面上，求半球的表面积.
解：如图所示为过正方体对角面的截面图.设正方体的棱长为a，
半球的半径为R，由6a2＝120，得a2＝20，
在Rt△AOB中，AB＝a，OB＝ a，
由勾股定理，得R2＝a2＋ ＝ ＝30.所以半球的表面积为S＝2πR2＋πR2＝3πR2＝3×30π＝90π（cm2）.
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14. 我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，
围之五尺.葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意
思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生
长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺”
（注：1丈等于10尺）（ ）
A. 29尺 B. 24尺 C. 26尺 D. 30尺
解析： 由题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，其一条边（圆
木的高）长24尺，与其相邻的边长5×2＝10（尺），因此葛藤长
为 ＝26（尺）.
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15. 已知一圆锥的母线长为10 cm，底面圆半径为6 cm.
（1）求圆锥的高；
解：由题意知，圆锥的高为 ＝8（cm）.
（2）求该圆锥内切球的表面积.
解：由（1）知，圆锥的高为8 cm，设圆锥内切球的半径为r cm，则（10－6）2＋r2＝（8－r）2，所以r＝3，故所求球的表面积为4πr2＝4π×32＝36π（cm2）.
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谢 谢 观 看！拓 视 野 最短路径问题
爸爸出差前，留给小华一道题：如图是某地区的交通网，其中小圈代表城镇，小圈间的连线代表道路，请你选择一条从A到B的最短路线.
爸爸还特意交给小华一个“锦囊”，嘱咐他不到万不得已不要拆开.小华是个要强的孩子，题目未解出来，他不会去看“锦囊”！
小华绞尽脑汁，想了一天还是没有眉目.吃过晚饭，他在小树林中散步，东瞅瞅，西瞧瞧，看到一张硕大的蜘蛛网，突然，一只小虫撞到网上，小虫奋力挣扎，于是便不断地拉紧连到网中心的最短的那根丝，蜘蛛沿着那根丝，迅速出击，抓住了小虫.小华若有所悟，口里直嚷嚷：“有了！有了！”他想，只要用一种伸缩性很小的细线按交通网形状和各条道路的长短比例编织一副真正的“交通网”，要求A，B两地的最短路线，只需把网上相当于A，B两地的网结各自向外拉，则由A到B的最短路线所通过的道路一定位于被拉紧的细线上.
小华高兴地打开“锦囊”，妙极了，他和爸爸的解法完全一样.爸爸的解法后面还有几行字：“这种解法叫做模拟法，它是科学研究的一种重要方法，自然界中简单的现象往往蕴藏着深刻的道理，放开你的眼界打破学科的界限，努力去探索吧！”
【问题探究】
1.若把某地区的交通网改为母线长为4 cm，底面半径为1 cm的圆锥，现有一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上一点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到起点，求蚂蚁爬行的最短路程.
提示：圆锥的侧面展开图如图所示，由题意知，底面圆的直径为2 cm，故底面圆的周长等于2π cm.
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为θ，
根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长得2π＝θr，
解得θ＝，
所以展开图中扇形的圆心角为，
根据勾股定理求得最短路线长是＝4（cm）.
2.如图所示，已知长方体ABCD-A'B'C'D'的长、宽、高分别为5，4，3，一只蚂蚁由长方体的顶点A'出发，沿长方体表面爬行到点C，求蚂蚁爬行的最短路程.
提示：第一种情况：将长方体侧面ABCD展开，使其与平面A'B'BA重合，如图：
则最短路程为A'C＝＝.
第二种情况：将长方体侧面BB'C'C展开，使其与平面A'B'BA重合，如图：
则最短路程为A'C＝＝3.
第三种情况：将长方体侧面BB'C'C展开，使其与平面A'D'C'B'重合，如图：
则最短路程为
A'C＝＝4.
比较以上三种情况可知，蚂蚁爬行的最短路程为.
【迁移应用】
如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面一周转到点B.求这条绳长的最小值.
1.（多选）下列说法正确的有（ ）
A.圆柱的底面是圆面
B.经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面
C.圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交
D.夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
2.关于圆台，下列说法正确的是 .
①两个底面平行且全等；
②圆台的母线有无数条；
③圆台的母线长大于高；
④两底面圆心的连线是高.
3.一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为 cm.
4.在半径为25 cm的球内有一个截面，它的面积是49π cm2，求球心到这个截面的距离.
拓视野 最短路径问题
迁移应用
解：沿母线AB将圆台侧面展开并补成扇形，连接B'M，如图所示.
易知，Rt△OPA与Rt△OQB相似，
得＝＝.
由AB＝20 cm，解得OA＝20 cm.
因为的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为2π×10＝20π（cm），
又扇形OBB'的半径OB＝OA＋AB＝20＋20＝40（cm），
设扇形OBB'的圆心角为n°，则＝20π，
解得n＝90，即∠BOB'＝90°，所以OB⊥OB'.
在Rt△B'OM中，B'M2＝402＋302，
所以B'M＝50 cm，
即所求绳长的最小值为50 cm.
随堂检测
1.AB A、B正确；C错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交；D错误，夹在圆柱的两个截面间的几何体与截面位置有关，不一定是旋转体.
2.②③④ 解析：圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确.
3.10 解析：如图是圆锥的轴截面，则SA＝20 cm，∠ASO＝30°，∴AO＝10 cm，SO＝10 cm.
4.解：设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，如图所示.∵球内截面的面积S＝πr2＝49π，∴r＝7 cm，∴d＝＝＝24（cm）.故球心到这个截面的距离为24 cm.
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