11.1.2 构成空间几何体的基本元素
1.下列图形中不一定是平面图形的是（ ）
A.三角形 B.平行四边形
C.梯形 D.四边相等的四边形
2.如图，平面α，β，γ可将空间分成（ ）
A.五部分 B.六部分
C.七部分 D.八部分
3.已知直线m 平面α，P m，Q∈m，则（ ）
A.P α，Q∈α B.P∈α，Q α
C.P α，Q α D.Q∈α
4.若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是（ ）
A.1或2 B.2或3
C.1或3 D.1或2或3
5.下列命题中的真命题是（ ）
A.若点A∈α，点B α，则直线AB与平面α相交
B.若a α，b α，则a与b必异面
C.若点A α，点B α，则直线AB∥平面α
D.若a∥α，b α，则a∥b
6.（多选）下列关于长方体ABCD-A1B1C1D1的说法中，正确的有（ ）
A.它有3组对面互相平行
B.与AB垂直的棱只有AD，BC和AA1
C.它可看成是由一个矩形平移形成的
D.棱AA1，BB1，CC1，DD1相互平行且相等
7.使一块长方体木块ABCD-A'B'C'D'的一条棱AB紧靠桌面，沿这条棱转动木块，则AB的对棱C'D'在各个位置时（不在桌面），与桌面所在平面的位置关系是 .
8.把下列符号叙述所对应的图形的编号填在题后横线上.
（1）A α，a α ；
（2）α∩β＝a，P α且P β ；
（3）a α，a∩α＝A ；
（4）α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O .
9.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有 条.
10.请给下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体图形.
11.与空间不共面的四个点距离相等的平面有（ ）
A.3个 B.4个
C.7个 D.无数个
12.（多选）下列说法中错误的有（ ）
A.平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线
B.如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面
C.直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线
D.如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a β
13.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，哪几条棱所在直线与棱AB所在直线是异面直线？哪几条棱所在直线与直线B1C是异面直线？哪几条棱所在直线与直线BD1是异面直线？
14.在如图所示的长方体ABCD-A'B'C'D'中，互相平行的平面共有 对，与A'A垂直的平面是 .
15.如图是课桌的大致轮廓.
（1）请从这个几何体中寻找一些点、线、面，并将它们列举出来；
（2）判断下列说法是否正确.
①直线AA1与直线CC1平行；
②直线AA1与平面C1D1D2C2相交；
③点A1与点B1到平面A2B2C2D2的距离相等.
11.1.2 构成空间几何体的基本元素
1.D 三角形、平行四边形、梯形都是平面图形，只有四边相等的四边形可能不是平面图形.
2.B 由平面α，β，γ的位置关系可知，三平面将空间分成六部分，故选B.
3.D 由点、线、面之间的位置关系可判断P与α关系不确定，Q∈α.
4.C 若三个平面经过同一条直线，则有1条交线；若三个平面不过同一条直线，则有3条交线.
5.A 若a α，b α，则a与b平行或异面，B错；对直线AB上两点A，B虽然都不在α内，但直线AB与平面α可能有公共点，故直线AB与平面α也可能相交，C错； a∥b或a，b异面，D错.
6.ACD 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，故A说法正确；与AB垂直的棱除了AD，BC，AA1外，还有B1C1，A1D1，BB1，CC1和DD1，故B说法错误；这个长方体可看成矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动与AA1长度相等的距离所形成的几何体，故C说法正确；棱AA1，BB1，CC1，DD1的长度等于长方体中平面ABCD和平面A1B1C1D1间的距离，它们相互平行且相等，故D说法正确.
7.平行 解析：长方体木块中的两条对棱AB与C'D'所在的直线互相平行，直线AB与C'D'不在同一平面内时，直线C'D'都与经过直线AB的平面平行.
8.（1）③ （2）④ （3）① （4）② 解析：（1）图③符合A α，a α；
（2）图④符合α∩β＝a，P α且P β；
（3）图①符合a α，a∩α＝A；
（4）图②符合α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O.
9.6 解析：如图所示，与平面ABB1A1平行的直线有6条：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1.
10.解：图①可看成平面β被α挡住一部分；图②可看成三棱锥；图③可看成是一个正方体，添加虚线即可（如图所示）.
11.C 把问题分成两类：首先是一点对应其余共面的三点，由这点向其余三点确定的面作垂线，则垂线的中垂面满足要求，这样的平面有4个；其次是异面直线，异面直线的公垂线的中垂面满足要求，而异面直线有3对，所以有3个平面.这样一共有7个平面.
12.ABC A错误，平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有2条或3条交线，还有可能只有1条交线.B错误，如果a，b是两条直线，a∥b，那么直线a有可能在经过b的平面内.C错误，直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面α内无数条直线平行.D正确，如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a β.
13.解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
棱A1D1，D1D，B1C1，C1C所在直线与棱AB所在直线是异面直线；
棱A1D1，D1D，DA，AA1，AB，D1C1所在直线与直线B1C是异面直线；
棱AD，AA1，A1B1，B1C1，C1C，CD所在直线与直线BD1是异面直线.
14.3 平面ABCD、平面A'B'C'D' 解析：平面ABCD与平面A'B'C'D'平行，平面ABB'A'与平面DCC'D'平行，平面ADD'A'与平面BCC'B'平行，共3对.与AA'垂直的平面是平面ABCD，平面A'B'C'D'.
15.解：（1）点列举如下：
点A，点A1，点B，点B1，点C，点C1，点D，点D1，点A2，点B2，点C2，点D2.
线列举如下：
直线AA1，直线BB1，直线CC1，直线DD1，直线A2B2，直线B2C2，直线C2D2，直线A2D2，直线A1B1，直线B1C1，直线C1D1，直线A1D1.
面列举如下：
平面A1A2B2B1，平面A1A2D2D1，平面C1C2D2D1，平面B1B2C2C1，平面A1B1C1D1，平面A2B2C2D2.
（2）①正确，由于直线AA1与直线CC1同在平面AA1C1C内，且没有交点，因此直线AA1与直线CC1平行.
②不正确，直线AA1与平面C1D1D2C2没有交点，因此直线AA1与平面C1D1D2C2平行.
③正确，点A1到平面A2B2C2D2的距离为A2A1的长，点B1到平面A2B2C2D2的距离为B2B1的长，又A2A1＝B2B1，所以距离相等.
3 / 311.1.2 构成空间几何体的基本元素
新课程标准解读 核心素养
1.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系 数学抽象
2.掌握空间中点与直线、直线与直线的位置关系 直观想象
3.掌握空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 直观想象
在现实生活中，有很多自然现象值得我们深入思考，也有一些生活细节需要大家用心体会.夜晚一颗流星突然划破长空，形成一道美丽的弧线；雨雪天气中行驶的汽车，不时地转动着雨刷；清晨起床后洗漱挤出的牙膏……看似风马牛不相及的事物，其实都包含着“点动成线”“线动成面”“面动成体”的数学规律.
【问题】 （1）天空中飘浮的气球是空间几何体吗？
（2）它是否是由点、线、面构成的？
知识点一 空间中的点、线、面
1.构成空间几何体的基本元素： .
2.从运动的观点理解空间基本图形之间的关系：点动成 ，线动成 ，面动成 .
下列不属于构成几何体的基本元素的是（ ）
A.点
B.线
C.曲面
D.多边形（不含内部的点）
知识点二 点、直线、平面之间的位置关系及其表示方法
位置关系 符号表示 图形
点、 线 点A在直线l上 A∈l
点A在直线l外 A l
点、 面 点A在平面α内 A∈α
点A在平面α外 A α
线、 线 两直线平行
两直线异面
两直线相交
线、 面 直线a在平面α内
直 线 在 平 面 外 直线a与平面α平行
直线a与平面α斜交于点A a∩α＝A
直线a与平面α垂直
位置关系 符号表示 图形
面、 面 两平面平行
两平面相交
提醒 对异面直线的理解：①异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线；②注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b两条直线.
【想一想】
分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两直线若不是异面直线，则必相交或平行.（ ）
（2）如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.（ ）
（3）两个平面ABC与DBC相交于线段BC.（ ）
2.点P在直线a上，直线a在平面α内可记为（ ）
A.P∈a，a α B.P a，a α
C.P a，a∈α D.P∈a，a∈α
3.长方体和正方体都有 个顶点， 条棱， 个面.
4.若A∈α，B α，A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有 个公共点.
知识点三 直线与平面垂直
1.定义：如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内 一条过点A的直线m，都有 ，则称直线l与平面α垂直（或l是平面α的一条 ，α是直线l的一个 ），记作 ，其中点A称为 .
2.距离
概念 对应图形
投影 给定空间中一个平面α及一个点A，过点A可以作而且只可以作平面α的一条 .如果记垂足为B，则称 为A在平面α内的射影（也称为投影）
距 离 点、 面 线段 为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离
线、 面 当直线与平面 时，直线上 一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离
面、 面 当平面与平面 时，一个平面上 一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离
【想一想】
“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是一回事吗？
线段AB的长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C'D'，再将C'D'沿水平方向向左移动4 cm后记为A'B'，依次连接构成长方体ABCD-A'B'C'D'.
（1）该长方体的高为 cm；
（2）平面A'B'BA与平面D'C'CD间的距离为 cm；
（3）点A到平面BCC'B'的距离为 cm.
题型一 图形语言、文字语言、符号语言的相互转化
【例1】 用符号表示下列语句，并画出图形：
（1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于A，B；
（2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，C不在直线AB上.
尝试解答
通性通法
三种语言的转换方法
（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示；
（2）要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”，直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”.
提醒 根据符号语言或文字语言画相应的图形时要注意实线和虚线的区别.
【跟踪训练】
如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系：
（1）点C与平面β： ；
（2）点A与平面α： ；
（3）直线AB与平面α： ；
（4）直线CD与平面α： ；
（5）平面α与平面β： .
题型二 从运动观点认识几何体
【例2】 如图所示，请画出①②③中线段AB绕着直线l旋转一周形成的空间图形.
尝试解答
通性通法
用运动观点认识几何体
（1）点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关，如果直线与旋转轴平行，那么形成圆柱面，如果与旋转轴斜交，那么形成圆锥面；
（2）在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体的形状时，可以借助身边的实物来模拟.
【跟踪训练】
若AB与l有如图所示的关系，请画出旋转一周形成的几何图形.
题型三 长方体中基本元素之间的关系
【例3】 在长方体ABCD-A'B'C'D'中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中.
（1）与直线B'C'平行的平面有哪几个？
（2）与平面BB'C'C平行的平面有哪几个？
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）在本例中其他条件不变.
（1）与直线B'C'垂直的平面有哪几个？
（2）与平面BC'垂直的平面有哪几个？
2.（变设问）本例中与棱A'D'相交的棱有哪几条？它们与棱A'D'所成的角是多少？
通性通法
1.平行关系的判定
（1）直线与直线的平行关系：如图，在长方体的12条棱中，分成“长”“宽”“高”三组，其中“高”AA1，BB1，CC1，DD1相互平行；“长”AB，DC，A1B1，D1C1相互平行；“宽”AD，BC，A1D1，B1C1相互平行；
（2）直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及表面中，棱所在的直线与某一平面不相交就平行；
（3）平面与平面的平行关系：长方体的对面相互平行.
2.垂直关系的判定
（1）直线与平面的垂直关系：在长方体的棱所在直线与各面中，若直线与平面有且只有一个公共点，则二者垂直；
（2）平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，若两平面有公共点，则二者垂直.
1.能正确表示点A在直线l上且直线l在平面α内的是（ ）
2.若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（ ）
A.异面或平行 B.异面或相交
C.异面 D.相交、平行或异面
3.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面位置关系如何？试画图分析.
11.1.2 构成空间几何体的基本元素
【基础知识·重落实】
知识点一
1.点、线、面 2.线 面 体
自我诊断
D 本题考查了构成空间几何体的基本元素，关键是对概念的理解.由于一个几何体是由点、线、面组成的，而线有直线和曲线之分，面有平面和曲面之分，故而只有D不属于构成几何体的基本元素，故选D.
知识点二
a∥b a∩b＝ 且a与b不平行 a∩b＝P a α a∥α
a⊥α α∥β α∩β＝l
想一想
提示：不一定.可能平行、相交或异面.
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）×
2.A
3.8 12 6
4.1 解析：∵A∈α，A∈l，∴直线l与平面α有公共点A，∴直线l 平面α 或直线l∩平面α＝A.下面用反证法证明直线l不可能在平面α内，假设直线l 平面α，∵B∈l，∴B∈α，这与已知条件“B α”矛盾，故“直线l 平面α”不能成立，∴直线l∩平面α＝A，直线l与平面α有唯一公共点（如图所示）.
知识点三
1.任意 l⊥m 垂线 垂面 l⊥α 垂足
2.垂线 B AB 平行 任意 平行 任意
想一想
提示：不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，而后者仅指直线与平面平行.
自我诊断
（1）3 （2）4 （3）5 解析：如图，（1）该长方体的高为3 cm.
（2）平面A'B'BA与平面D'C'CD间的距离为4 cm.
（3）点A到平面BCC'B'的距离为5 cm.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图.
（2）用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图.
跟踪训练
（1）C β （2）A α （3）AB∩α＝B （4）CD α
（5）α∩β＝BD
【例2】 解：线的运动可以形成平面或曲面，观察AB和l的位置关系及旋转的方式和方向，可以尝试画出形成的图形，如图所示.
跟踪训练
解：如图所示.
【例3】 解：（1）与直线B'C'平行的平面有平面ABCD，平面ADD'A'.
（2）与平面BB'C'C平行的平面为平面ADD'A'.
母题探究
1.解：（1）有平面ABB'A'，平面CDD'C'.
（2）有平面AB'，平面A'C'，平面CD'，平面AC.
2.解：有A'A，A'B'，D'D，D'C'.由于长方体六个面都是矩形，所以它们与棱A'D'所成角都是90°.
随堂检测
1.C 选项A只表示点A在直线l上；选项D表示直线l与平面α相交于点A；选项B中的直线l有部分在平行四边形的外面，所以不能表示直线在平面α内，故选C.
2.D 可参考长方体中各条线的位置关系判断.
3.解：这两个平面平行（如图①）或相交（如图②）.
5 / 5(共62张PPT)
11.1.2 构成空间几何体的基本元素
新课程标准解读 核心素养
1.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位
置关系 数学抽象
2.掌握空间中点与直线、直线与直线的位置关系 直观想象
3.掌握空间中直线与平面、平面与平面的位置关
系 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在现实生活中，有很多自然现象值得我们深入思考，也有一些生
活细节需要大家用心体会.夜晚一颗流星突然划破长空，形成一道美
丽的弧线；雨雪天气中行驶的汽车，不时地转动着雨刷；清晨起床后
洗漱挤出的牙膏……看似风马牛不相及的事物，其实都包含着“点动
成线”“线动成面”“面动成体”的数学规律.
【问题】 （1）天空中飘浮的气球是空间几何体吗？
（2）它是否是由点、线、面构成的？
知识点一 空间中的点、线、面
1. 构成空间几何体的基本元素： .
2. 从运动的观点理解空间基本图形之间的关系：点动成 ，线动
成 ，面动成 .
点、线、面
线
面
体
下列不属于构成几何体的基本元素的是（ ）
A. 点 B. 线
C. 曲面 D. 多边形（不含内部的点）
解析： 本题考查了构成空间几何体的基本元素，关键是对概念的
理解.由于一个几何体是由点、线、面组成的，而线有直线和曲线之
分，面有平面和曲面之分，故而只有D不属于构成几何体的基本元
素，故选D.
知识点二 点、直线、平面之间的位置关系及其表示方法
位置关系 符号表示 图形
点、
线 点A在直线l上 A∈l
点A在直线l外 A l
点、
面 点A在平面α内 A∈α
点A在平面α外 A α
位置关系 符号表示 图形
线
、
线 两直线平行
两直线异面
两直线相交
a∥b
a∩b＝ 且a与b
不平行
a∩b＝P
位置关系 符号
表示 图形
线、
面 直线a在平面α内
直线 在平
面外 直线a与平面α平行
a α
a∥α
位置关系 符号表示 图形
线、
面 直
线 在
平
面 外 直线a与平面α斜交
于点A a∩α＝A
直线a与平面α垂直
a⊥α
位置关系 符号表示 图形
面、
面 两平面平行
两平面相交
α∥β
α∩β＝l
提醒 对异面直线的理解：①异面直线是不同在任何一个平面内的两
条直线；②注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平
面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同
时经过a，b两条直线.
【想一想】
分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？
提示：不一定.可能平行、相交或异面.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两直线若不是异面直线，则必相交或平行. （ √ ）
（2）如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面
α，β相交，并记作α∩β＝a. （ √ ）
（3）两个平面ABC与DBC相交于线段BC. （ × ）
√
√
×
2. 点P在直线a上，直线a在平面α内可记为（ ）
A. P∈a，a α B. P a，a α
C. P a，a∈α D. P∈a，a∈α
3. 长方体和正方体都有 个顶点， 条棱， 个面.
8
12
6
解析：∵A∈α，A∈l，∴直线l与平面α有公共点A，∴直线l
平面α 或直线l∩平面α＝A. 下面用反证法证明直线l不可能在平
面α内，假设直线l 平面α，∵B∈l，∴B∈α，这与已知条件
“B α”矛盾，故“直线l 平面α”不能成立，∴直线l∩平面
α＝A，直线l与平面α有唯一公共点（如图所示）.
4. 若A∈α，B α，A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有 个公共
点.
1
知识点三 直线与平面垂直
1. 定义：如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内
一条过点A的直线m，都有 ，则称直线l与平面α垂直
（或l是平面α的一条 ，α是直线l的一个 ），
记作 ，其中点A称为 .
任意
l⊥m
垂线
垂面
l⊥α
垂足
概念 对应图形
投
影 给定空间中一个平面α及一个点A，过
点A可以作而且只可以作平面α的一
条 .如果记垂足为B，则
称 为A在平面α内的射影（也称为
投影）
垂线
B
2. 距离
概念 对应图形
距 离 点
、 面 线段 为平面α的垂线段，AB的
长为点A到平面α的距离
AB
概念 对应图形
距 离 线、 面 当直线与平面 时，直线上 一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离
面、 面 当平面与平面 时，一个平面上 一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离
平行
任意
平行
任意
【想一想】
“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是一回事吗？
提示：不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况，
而后者仅指直线与平面平行.
线段AB的长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿
铅垂线方向向下移动3 cm后记为C'D'，再将C'D'沿水平方向向左移动4
cm后记为A'B'，依次连接构成长方体ABCD-A'B'C'D'.
（1）该长方体的高为 cm；
解析：如图，该长方体的高为3 cm.
3
（2）平面A'B'BA与平面D'C'CD间的距离为 cm；
解析：平面A'B'BA与平面D'C'CD间的距离为4 cm.
（3）点A到平面BCC'B'的距离为 cm.
解析：点A到平面BCC'B'的距离为5 cm.
4
5
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 图形语言、文字语言、符号语言的相互转化
【例1】 用符号表示下列语句，并画出图形：
（1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于A，B；
解：用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图.
（2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，C不在直线
AB上.
解：用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图.
通性通法
三种语言的转换方法
（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有
几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字
语言表示，再用符号语言表示；
（2）要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或
“ ”，直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”.
提醒 根据符号语言或文字语言画相应的图形时要注意实线和
虚线的区别.
【跟踪训练】
如图，试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系：
（1）点C与平面β： ；
（2）点A与平面α： ；
（3）直线AB与平面α： ；
（4）直线CD与平面α： ；
（5）平面α与平面β： .
C β
A α
AB∩α＝B
CD α
α∩β＝BD
题型二 从运动观点认识几何体
【例2】 如图所示，请画出①②③中线段AB绕着直线l旋转一周形
成的空间图形.
解：线的运动可以形成平面或曲面，观察AB和l的位置关系
及旋转的方式和方向，可以尝试画出形成的图形，如图所示.
通性通法
用运动观点认识几何体
（1）点、线、面运动形成怎样的图形与其运动的形式和方向有关，
如果直线与旋转轴平行，那么形成圆柱面，如果与旋转轴斜
交，那么形成圆锥面；
（2）在判断点、线、面按一定规律运动形成的几何体的形状时，可
以借助身边的实物来模拟.
【跟踪训练】
若AB与l有如图所示的关系，请画出旋转一周形成的几何图形.
解：如图所示.
题型三 长方体中基本元素之间的关系
【例3】 在长方体ABCD-A'B'C'D'中，把它的12条棱延伸为直线，6
个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中.
（1）与直线B'C'平行的平面有哪几个？
解：与直线B'C'平行的平面有平面ABCD，平面ADD'A'.
（2）与平面BB'C'C平行的平面有哪几个？
解：与平面BB'C'C平行的平面为平面ADD'A'.
【母题探究】
1. （变设问）在本例中其他条件不变.
（1）与直线B'C'垂直的平面有哪几个？
解：有平面ABB'A'，平面CDD'C'.
（2）与平面BC'垂直的平面有哪几个？
解：有平面AB'，平面A'C'，平面CD'，平面AC.
2. （变设问）本例中与棱A'D'相交的棱有哪几条？它们与棱A'D'所成
的角是多少？
解：有A'A，A'B'，D'D，D'C'.
由于长方体六个面都是矩形，所以它们与棱A'D'所成角都是90°.
通性通法
1. 平行关系的判定
（1）直线与直线的平行关系：如图，在长方体的12条棱中，分成
“长”“宽”“高”三组，其中“高”AA1，BB1，CC1，
DD1相互平行；“长”AB，DC，A1B1，D1C1相互平行；
“宽”AD，BC，A1D1，B1C1相互平行；
（2）直线与平面的平行关系：在长方体的12条棱及表面中，棱所
在的直线与某一平面不相交就平行；
（3）平面与平面的平行关系：长方体的对面相互平行.
2. 垂直关系的判定
（1）直线与平面的垂直关系：在长方体的棱所在直线与各面中，
若直线与平面有且只有一个公共点，则二者垂直；
（2）平面与平面的垂直关系：在长方体的各表面中，若两平面有
公共点，则二者垂直.
1. 能正确表示点A在直线l上且直线l在平面α内的是（ ）
解析： 选项A只表示点A在直线l上；选项D表示直线l与平面α
相交于点A；选项B中的直线l有部分在平行四边形的外面，所以
不能表示直线在平面α内，故选C.
2. 若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是
（ ）
A. 异面或平行 B. 异面或相交
C. 异面 D. 相交、平行或异面
解析： 可参考长方体中各条线的位置关系判断.
3. 如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两
个平面位置关系如何？试画图分析.
解：这两个平面平行（如图①）或相交（如图②）.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列图形中不一定是平面图形的是（ ）
A. 三角形 B. 平行四边形
C. 梯形 D. 四边相等的四边形
解析： 三角形、平行四边形、梯形都是平面图形，只有四边相
等的四边形可能不是平面图形.
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2. 如图，平面α，β，γ可将空间分成（ ）
A. 五部分
B. 六部分
C. 七部分
D. 八部分
解析： 由平面α，β，γ的位置关系可知，三平面将空间分成
六部分，故选B.
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3. 已知直线m 平面α，P m，Q∈m，则（ ）
A. P α，Q∈α B. P∈α，Q α
C. P α，Q α D. Q∈α
解析： 由点、线、面之间的位置关系可判断P与α关系不确
定，Q∈α.
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4. 若空间三个平面两两相交，则它们的交线条数是（ ）
A. 1或2 B. 2或3
C. 1或3 D. 1或2或3
解析： 若三个平面经过同一条直线，则有1条交线；若三个平
面不过同一条直线，则有3条交线.
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5. 下列命题中的真命题是（ ）
A. 若点A∈α，点B α，则直线AB与平面α相交
B. 若a α，b α，则a与b必异面
C. 若点A α，点B α，则直线AB∥平面α
D. 若a∥α，b α，则a∥b
解析： 若a α，b α，则a与b平行或异面，B错；对直线
AB上两点A，B虽然都不在α内，但直线AB与平面α可能有公共
点，故直线AB与平面α也可能相交，C错； a∥b或a，
b异面，D错.
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6. （多选）下列关于长方体ABCD-A1B1C1D1的说法中，正确的有
（ ）
A. 它有3组对面互相平行
B. 与AB垂直的棱只有AD，BC和AA1
C. 它可看成是由一个矩形平移形成的
D. 棱AA1，BB1，CC1，DD1相互平行且相等
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解析： 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1
中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面
ADD1A1∥平面BCC1B1，平面ABB1A1∥平面
DCC1D1，故A说法正确；与AB垂直的棱除了
AD，BC，AA1外，还有B1C1，A1D1，BB1，CC1和DD1，故B说法错误；这个长方体可看成矩形ABCD上各点沿铅垂线向上移动与AA1长度相等的距离所形成的几何体，故C说法正确；棱AA1，BB1，CC1，DD1的长度等于长方体中平面ABCD和平面A1B1C1D1间的距离，它们相互平行且相等，故D说法正确.
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7. 使一块长方体木块ABCD-A'B'C'D'的一条棱AB紧靠桌面，沿这条
棱转动木块，则AB的对棱C'D'在各个位置时（不在桌面），与桌
面所在平面的位置关系是 .
解析：长方体木块中的两条对棱AB与C'D'所在的直线互相平行，
直线AB与C'D'不在同一平面内时，直线C'D'都与经过直线AB的平
面平行.
平行
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8. 把下列符号叙述所对应的图形的编号填在题后横线上.
（1）A α，a α ；
解析：图③符合A α，a α；
（2）α∩β＝a，P α且P β ；
解析：图④符合α∩β＝a，P α且P β；
③
④
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（3）a α，a∩α＝A ；
解析：图①符合a α，a∩α＝A；
（4）α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O .
解析：图②符合α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝
b，a∩b∩c＝O.
①
②
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9. 过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面
ABB1A1平行的直线共有 条.
解析：如图所示，与平面ABB1A1平行的直线有6条：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1.
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10. 请给下列各图补上适当的虚线，使它们能比较直观地看出是立体
图形.
解：图①可看成平面β被
α挡住一部分；图②可看
成三棱锥；图③可看成是
一个正方体，添加虚线即
可（如图所示）.
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11. 与空间不共面的四个点距离相等的平面有（ ）
A. 3个 B. 4个
C. 7个 D. 无数个
解析： 把问题分成两类：首先是一点对应其余共面的三
点，由这点向其余三点确定的面作垂线，则垂线的中垂面满足
要求，这样的平面有4个；其次是异面直线，异面直线的公垂
线的中垂面满足要求，而异面直线有3对，所以有3个平面.这
样一共有7个平面.
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12. （多选）下列说法中错误的有（ ）
A. 平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线
B. 如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面
C. 直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线
D. 如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a β
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解析： A错误，平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有2条或3条交线，还有可能只有1条交线.B错误，如果a，b是两条直线，a∥b，那么直线a有可能在经过b的平面内.C错误，直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面α内无数条直线平行.D正确，如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a β.
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13. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，哪几条棱所在直线与棱AB所在直线是异面直线？哪几条棱所在直线与直线B1C是异面直线？哪几条棱所在直线与直线BD1是异面直线？
解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱A1D1，D1D，B1C1，C1C
所在直线与棱AB所在直线是异面直线；棱A1D1，D1D，DA，
AA1，AB，D1C1所在直线与直线B1C是异面直线；棱AD，
AA1，A1B1，B1C1，C1C，CD所在直线与直线BD1是异面直线.
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14. 在如图所示的长方体ABCD-A'B'C'D'中，互相平行的平面共有
对，与A'A垂直的平面是 .
解析：平面ABCD与平面A'B'C'D'平行，平面ABB'A'与平面DCC'D'平行，平面ADD'A'与平面BCC'B'平行，共3对.与AA'垂直的平面是
平面ABCD，平面A'B'C'D'.
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平面ABCD、平面A'B'C'D'
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15. 如图是课桌的大致轮廓.
（1）请从这个几何体中寻找一些点、线、面，并将它们列举
出来；
解：点列举如下：
点A，点A1，点B，点B1，点C，点C1，
点D，点D1，点A2，点B2，点C2，点D2.
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直线AA1，直线BB1，直线CC1，直线DD1，直线A2B2，直
线B2C2，直线C2D2，直线A2D2，直线A1B1，直线B1C1，直
线C1D1，直线A1D1.
面列举如下：
平面A1A2B2B1，平面A1A2D2D1，平面C1C2D2D1，平面
B1B2C2C1，平面A1B1C1D1，平面A2B2C2D2.
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（2）判断下列说法是否正确.
①直线AA1与直线CC1平行；
②直线AA1与平面C1D1D2C2相交；
③点A1与点B1到平面A2B2C2D2的距离相等.
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解：①正确，由于直线AA1与直线CC1同在平面AA1C1C内，且没有交点，
因此直线AA1与直线CC1平行.
②不正确，直线AA1与平面C1D1D2C2没有交点，因此直线AA1与平面C1D1D2C2平行.
③正确，点A1到平面A2B2C2D2的距离为A2A1的长，点B1到平面A2B2C2D2的距离为B2B1的长，又A2A1＝B2B1，所以距离相等.
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谢 谢 观 看！
