11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
1.已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥B1-ABC的体积为（ ）
A. B.
C. D.
2.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是（ ）
A. B. C. D.
3.一个球的外切正方体的表面积等于6 cm2，则此球的体积为（ ）
A.π cm3 B.π cm3
C.π cm3 D.π cm3
4.如图，三棱柱ABC-A'B'C'的体积为1，则四棱锥C-AA'B'B的体积是（ ）
A. B. C. D.
5.《算数书》竹筒于上世纪八十年代在湖北省荆州市江陵县张家山出土，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式V≈L2h中将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）
A. B. C. D.
6.（多选）下列结论错误的是（ ）
A.等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的9倍
B.在公式V台体＝πh（r'2＋r'r＋r2）中，h为该台体的侧棱或母线长
C.在三棱柱A1B1C1-ABC中，有＝＝成立
D.若一个球的表面积为4π，则这个球的体积是π
7.已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝ .
8.一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h＝ .
9.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是BB1的中点，则三棱锥A-C1D1E的体积为 .
10.如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由.
11.（多选）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是（ ）
A.沙漏中的细沙体积为 cm3
B.沙漏的体积是128π cm3
C.细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4 cm
D.该沙漏的一个沙时大约是1 565秒（π≈3.14）
12.已知一长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的所有顶点都在同一球面上.若球的体积为π，则该长方体的体对角线长为 ，体积为 .
13.如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm.
（1）这种“浮球”的体积是多少立方厘米（结果精确到0.1）？
（2）要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？
14.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
15.如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C.
（1）求球冠所在球的半径R（结果用h、r表示）；
（2）已知球冠表面积公式为S＝2πRh，当S＝65 000π，C＝500π时，求的值及球冠所在球的表面积.
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
1.D V＝Sh＝××3＝.
2.D 如图，去掉的一个棱锥的体积是××＝，剩余几何体的体积是1－8×＝.
3.C 由题意，球的直径与正方体棱长相等，设正方体棱长为a，则6a2＝6，故a＝1 cm，所以V球＝π×＝π（cm）3.
4.C VC-AA'B'B＝VABC-A'B'C'－VC-A'B'C'＝S△ABC·AA'－S△ABC·AA'＝S△ABC·AA'＝.
5.B 设圆锥的底面半径为r，则圆锥的底面周长L＝2πr，所以r＝，所以V＝πr2h＝π×＝.若≈L2h，则π＝.
6.AB A中等底等高的圆柱的体积应为圆锥体积的3倍，故A中结论错误；B中h应为台体的高，故B中结论错误；易知C、D中结论正确.
7. 解析：由πr2×4＝4π，解得r＝，即底面半径为.
8.a 解析：设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为πR2h，
圆柱形容器内的液体体积为πh.
根据题意，有πR2h＝πh，解得R＝a.
再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得＝，
所以h＝a.
9. 解析：连接BC1（图略），因为AB∥C1D1且AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，故＝.所以＝＝＝＝××AB＝×AB××C1B1×EB＝.
10.解：不会溢出杯子，理由如下：
因为V半球＝×πR3＝×π×43＝π（cm3），
V圆锥＝πr2h＝π×42×10＝π（cm3），
所以V半球＜V圆锥，
所以冰淇淋融化了，不会溢出杯子.
11.AC 对于A，设细沙在上部时，细沙的底面半径为r，则r＝×4＝ cm，所以细沙的体积为V1＝π××＝ cm3，故A正确；对于B，沙漏的体积V2＝2×π×42×8＝ cm3，故B错误；对于C，设细沙流入下部后的高度为h1，根据细沙体积不变可知：π×42×h1＝，解得h1＝≈2.4 cm，故C正确；对于D，该沙漏的一个沙时为÷0.02≈×50≈1 985秒，故D错误.故选A、C.
12.4 解析：∵球的体积为π，
可得πR3＝π，
∴R＝2.
又长方体的体对角线即为球的直径，故长方体的体对角线长为4.
设长方体的高为x，则＝4，解得x＝.
∴该长方体的体积为.
13.解：（1）因为半球的直径是6 cm，可得半径R＝3 cm，
所以两个半球的体积之和为V球＝πR3＝π·27＝36π（cm3）.
又圆柱筒的体积为V圆柱＝πR2·h＝π×9×2＝18π（cm3）.
所以这种“浮球”的体积是V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6（cm3）.
（2）根据题意，上下两个半球的表面积是S球表＝4πR2＝4×π×9＝36π（cm2）.
又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧＝2πRh＝2×π×3×2＝12π（cm2），
所以1个“浮球”的表面积为S＝＝π（m2）.
因此，2 500个这样的“浮球”表面积的和为2 500S＝2 500×π＝12 π（m2）.
因为每平方米需要涂胶100克，所以共需要胶的质量为100×12π＝1 200π（克）.
14.A 作出该球轴截面的图形如图所示，依题意知，BE＝2 cm，AE＝CE＝4 cm，设DE＝x cm，故AD＝（2＋x）cm，
由AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3，
故该球的半径AD＝5 cm，
所以V＝πR3＝（cm3）.
15.解：（1）如图，点O是球冠所在球的球心，点O1是球冠底面圆圆心，点A是球冠底面圆周上一点，线段O1B是球冠的高，
依题意，OB垂直于球冠底面，显然O1B＝h，OO1＝R－h，O1A＝r，
在Rt△OO1A中，OA2＝O＋O1A2，即R2＝（R－h）2＋r2，化简整理得R＝，所以球冠所在球的半径R＝.
（2）因球冠底面圆周长C＝500π，则r＝＝250，
又球冠表面积公式为S＝2πRh，且S＝65 000π，
则h＝＝，
由（1）知R＝，
即65 000＝＋2502，
解得R＝650，
于是得＝＝，球O的表面积为4πR2＝4π×6502＝1 690 000π，
所以的值是，球冠所在球的表面积是1 690 000π.
2 / 311.1.6 祖暅原理与几何体的体积
新课程标准解读 核心素养
1.理解祖暅原理的内容 数学抽象、直观想象
2.了解柱、锥、台体的体积公式的推导，并会利用它们求有关几何体的体积 数学运算
金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中存在的最硬物质，其形状除了具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形的晶体.金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色，璀璨夺目的钻石.如图就是一块正八面体的钻石.
【问题】 如果已知该钻石的棱长，你能求出它的体积吗？
知识点一 祖暅原理
1.内容：幂势既同，则积不容异.
2.含义：夹在 的两个几何体，如果被平行于这两个平面的 所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等.
3.应用： 的两个柱体或锥体的体积相等.
知识点二 柱、锥、台、球的体积公式
名称 体积（V）
柱体 棱柱 V＝Sh
圆柱 V＝πr2h
锥体 棱锥 V＝Sh
圆锥 V＝πr2h
台体 棱台 V＝h（S1＋＋S2）（其中S1，S2分别表示上、下底面的面积，h表示高）
圆台 V＝πh（＋r1r2＋）（其中r1和r2分别表示上、下底面的半径，h表示高）
球 V＝πR3（R表示球的半径）
提醒 对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识：①等底、等高的两个柱体的体积相同；②等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍；③柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系.
V＝ShV＝（S'＋＋S）hV＝Sh.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）锥体的体积等于底面面积与高之积.（ ）
（2）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.（ ）
（3）两个球的半径之比为1∶3，则其体积之比为1∶9.（ ）
（4）体积相等的棱柱与圆柱，其表面积也相等.（ ）
2.直径为1的球的体积是（ ）
A.1 B. C. D.π
3.已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为（ ）
A.2 B.4 C.6 D.12
4.若圆柱的侧面展开图是边长为4 cm的正方形，则圆柱的体积为 cm3.
题型一 柱体的体积
【例1】 如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积.
尝试解答
通性通法
求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面和高.棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点到另一个平面的距离都相等，都是高；圆柱的高是其母线长.具体问题中要能准确应用“底面”和“高”的定义去求解相关元素.
【跟踪训练】
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面BC1D是面积为6的直角三角形，则此正三棱柱的体积为 .
题型二 锥体的体积
【例2】 （1）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为 .
（2）圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2π cm，半径为 cm，则该圆锥的体积为 cm3.
尝试解答
通性通法
常见的求几何体体积的方法
（1）公式法：直接代入公式求解；
（2）等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可；
（3）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积；
（4）补形法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.
【跟踪训练】
如图，某几何体下面部分为正方体ABCD-A'B'C'D'，上面部分为正四棱锥S-ABCD，若几何体的高为5，棱AB＝2，则该几何体的体积为 .
题型三 台体的体积
【例3】 已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积为780 cm2.求正四棱台的体积.
尝试解答
通性通法
求解台体的体积问题的关键是求出上、下底面的面积及高，求解相关量时，应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形.另外，台体的体积还可以通过计算两个锥体的体积差得到.
【跟踪训练】
若一个圆台的轴截面是腰长为a的等腰梯形，下底边长为2a，对角线长为a，求这个圆台的体积.
题型四 与球有关的体积问题
【例4】 （1）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O-ABC的体积为（ ）
A. B.
C. D.
（2）在半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为 .
尝试解答
通性通法
球与几何体的切、接问题的解题思路
（1）球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上.解题时要认真分析图形，一般需依据球和几何体的对称性，明确接点的位置，根据球心与几何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行求解；
（2）解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面（一般作出多面体的对角面所在的截面），这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系.
【跟踪训练】
1.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（ ）
A. B.
C. D.
2.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .
1.若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积之比为（ ）
A.1∶3∶4 B.1∶3∶2
C.1∶2∶4 D.1∶4∶2
2.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于（ ）
A.π B.2π
C.4π D.8π
3.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周后得到的几何体的体积.
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
【基础知识·重落实】
知识点一
2.两个平行平面间 任意平面 3.等底面积、等高
知识点二
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）× （4）×
2.B R＝，故V＝πR3＝×π×＝.
3.B 正四棱锥的底面积为2×2＝4，则体积为×4×3＝4.
4. 解析：设圆柱的底面半径为r，由题意可知2πr＝4，所以r＝cm.故圆柱的体积V＝π×4＝（cm3）.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：V六棱柱＝×42×6×2＝48（cm3），
V圆柱＝π×32×3＝27π（cm3），
V挖去圆柱＝π×12×（3＋2）＝5π（cm3），
∴此几何体的体积V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝（48＋22π）（cm3）.
跟踪训练
8 解析：设AC＝a，CC1＝b，由题意易知△BC1D为等腰直角三角形，则×2＝a2＋b2，解得b2＝2a2，又△BC1D是面积为6的直角三角形，则＝×a2＝6，所以a2＝8，故此正三棱柱的体积为a2×b＝×8×＝8.
【例2】 （1） （2） 解析：（1）∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，∴＝，点F到面D1ED的距离为1，∴＝＝××1＝.
（2）由题意知圆锥的底面周长为2π cm，母线长为 cm，则圆锥的底面半径为1 cm，高为1 cm，则圆锥的体积V＝×π×12×1＝（cm3）.
跟踪训练
12 解析：V正方体＝23＝8，VS-ABCD＝×22×（5－2）＝4.V＝V正方体＋VS-ABCD＝12.
【例3】 解：如图所示，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，由题意知A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，连接E1E，则E1E是等腰梯形ABB1A1的高.设O1，O分别是上、下底面的中心，连接O1E1，OE，OO1，则四边形EOO1E1是直角梯形.
由题意知S侧＝4××（10＋20）×E1E＝780（cm2），
解得EE1＝13 cm.
在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝A1B1＝5 cm，OE＝AB＝10 cm，
∴O1O＝＝12 cm，
∴V正四棱台＝×12×（102＋202＋）＝2 800（cm3）.
故正四棱台的体积为2 800 cm3.
跟踪训练
解：圆台的轴截面如图，由AD＝a，AB＝2a，BD＝a，可知∠ADB＝90°.分别过点D，C作DH⊥AB，CG⊥AB，
所以DH＝a，
所以HB＝＝＝a，
所以DC＝HG＝a，所以圆台的体积V＝π··a＝πa3.
【例4】 （1）A （2）π∶2 解析：（1）如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝.连接OO1，则OO1⊥面ABC，OO1＝＝＝，所以三棱锥O-ABC的体积V＝S△ABC×OO1＝××1×1×＝.
（2）作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC'＝a，OC＝a.在Rt△C'CO中，由勾股定理，得CC'2＋OC2＝OC'2，即a2＋＝R2，∴R＝a.从而V半球＝πR3＝π＝πa3，V正方体＝a3.因此V半球∶V正方体＝πa3∶a3＝π∶2.
跟踪训练
1.A 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是×π×13＝.
2.3∶1∶2 解析：设球的半径为R，则V柱＝πR2·2R＝2πR3，V锥＝πR2·2R＝πR3，V球＝πR3，故V柱∶V锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2.
随堂检测
1.B 设球的半径为R，则V圆锥＝πR2·2R＝πR3，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V球＝πR3.所以V圆锥∶V圆柱∶V球＝∶2∶＝1∶3∶2.
2.B 设轴截面正方形的边长为a，由题意知S侧＝πa·a＝πa2.又∵S侧＝4π，∴a＝2.∴V圆柱＝π×2＝2π.
3.解：如图，过C作CE垂直于AD，交AD的延长线于E，
则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE绕AE所在直线旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC绕DE所在直线旋转一周所得的圆锥的体积.
由题意可得CD＝2，AD＝2，CE＝ED＝2，AB＝5，AE＝4，
所以所求几何体的体积V＝V圆台－V圆锥＝π×（52＋5×2＋22）×4－π×22×2＝π.
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11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
新课程标准解读 核心素养
1.理解祖暅原理的内容 数学抽象、直观
想象
2.了解柱、锥、台体的体积公式的推导，并会利
用它们求有关几何体的体积 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
金刚石是碳的结晶体，是目前自然界中存在的最硬物质，其形状
除了具有规则的正八面体几何外形，还有六面体、十二面体等外形的
晶体.金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色，璀璨夺目
的钻石.如图就是一块正八面体的钻石.
【问题】 如果已知该钻石的棱长，你能求出它的体积吗？
知识点一 祖暅原理
1. 内容：幂势既同，则积不容异.
2. 含义：夹在 的两个几何体，如果被平行于这两
个平面的 所截，两个截面的面积总相等，那么这两个
几何体的体积一定相等.
3. 应用： 的两个柱体或锥体的体积相等.
两个平行平面间
任意平面
等底面积、等高
知识点二 柱、锥、台、球的体积公式
名称 体积（V）
柱
体 棱柱 V＝Sh
圆柱 V＝πr2h
锥
体 棱锥 V＝ Sh
圆锥 V＝ πr2h
名称 体积（V）
台
体 棱
台 V＝ h（S1＋ ＋S2）（其中S1，S2分别表示上、下底面的面积，h表示高）
圆
台 V＝ πh（ ＋r1r2＋ ）（其中r1和r2分别表示上、下底面的半径，h表示高）
球 V＝ πR3（R表示球的半径）
提醒 对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识：①等底、等高
的两个柱体的体积相同；②等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关
系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3
倍；③柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系.
V＝Sh V＝ （S'＋ ＋S）h V＝ Sh.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）锥体的体积等于底面面积与高之积. （ × ）
（2）台体的体积可转化为两个锥体的体积之差. （ √ ）
（3）两个球的半径之比为1∶3，则其体积之比为1∶9.
（ × ）
（4）体积相等的棱柱与圆柱，其表面积也相等. （ × ）
×
√
×
×
2. 直径为1的球的体积是（ ）
A. 1 B. C. D. π
解析： R＝ ，故V＝ πR3＝ ×π× ＝ .
3. 已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为（ ）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 12
解析： 正四棱锥的底面积为2×2＝4，则体积为 ×4×3＝4.
4. 若圆柱的侧面展开图是边长为4 cm的正方形，则圆柱的体积
为 cm3.
解析：设圆柱的底面半径为r，由题意可知2πr＝4，所以r＝ cm.
故圆柱的体积V＝π ×4＝ （cm3）.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 柱体的体积
【例1】 如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高
为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间
挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积.
解：V六棱柱＝ ×42×6×2＝48 （cm3），
V圆柱＝π×32×3＝27π（cm3），
V挖去圆柱＝π×12×（3＋2）＝5π（cm3），
∴此几何体的体积V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝（48 ＋22π）
（cm3）.
通性通法
求解柱体体积问题的关键是能够应用棱柱或圆柱的定义确定底面
和高.棱柱的高是两个平行底面间的距离，其中一个平面上的任一点
到另一个平面的距离都相等，都是高；圆柱的高是其母线长.具体问
题中要能准确应用“底面”和“高”的定义去求解相关元素.
【跟踪训练】
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面BC1D
是面积为6的直角三角形，则此正三棱柱的体积为 .
8
解析：设AC＝a，CC1＝b，由题意易知△BC1D为等腰直角三角
形，则 ×2＝a2＋b2，解得b2＝2a2，又△BC1D是面积为6
的直角三角形，则 ＝ × a2＝6，所以a2＝8，故此正三
棱柱的体积为 a2×b＝ ×8× ＝8 .
题型二 锥体的体积
【例2】 （1）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分
别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为 .
解析：∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，∴ ＝ ，点F到面D1ED的距离为1，∴ ＝ ＝ × ×1＝ .
通性通法
常见的求几何体体积的方法
（1）公式法：直接代入公式求解；
（2）等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底
面积和高都易求的形式即可；
（3）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积；
（4）补形法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三
棱柱补成四棱柱等.
【跟踪训练】
如图，某几何体下面部分为正方体ABCD-A'B'C'D'，上面部分为正四
棱锥S-ABCD，若几何体的高为5，棱AB＝2，则该几何体的体积
为 .
12
解析：V正方体＝23＝8，VS-ABCD＝ ×22×（5－2）＝4.V＝V正方体＋VS-ABCD＝12.
题型三 台体的体积
【例3】 已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积为
780 cm2.求正四棱台的体积.
解：如图所示，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，由
题意知A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点
E1，AB的中点E，连接E1E，则E1E是等腰梯形ABB1A1的高.设O1，O分别是上、下底面的中心，
连接O1E1，OE，OO1，则四边形EOO1E1是直角梯形.
由题意知S侧＝4× ×（10＋20）×E1E＝780（cm2），
解得EE1＝13 cm.
在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝ A1B1＝5 cm，
OE＝ AB＝10 cm，
∴O1O＝ ＝12 cm，
∴V正四棱台＝ ×12×（102＋202＋ ）＝2 800（cm3）.
故正四棱台的体积为2 800 cm3.
通性通法
求解台体的体积问题的关键是求出上、下底面的面积及高，求解
相关量时，应充分利用台体中的直角梯形、直角三角形.另外，台体
的体积还可以通过计算两个锥体的体积差得到.
【跟踪训练】
若一个圆台的轴截面是腰长为a的等腰梯形，下底边长为2a，对角
线长为 a，求这个圆台的体积.
解：圆台的轴截面如图，由AD＝a，AB＝2a，BD
＝ a，可知∠ADB＝90°.分别过点D，C作
DH⊥AB，CG⊥AB，所以DH＝ a，所以HB＝ ＝ ＝ a，所以DC＝HG＝a，所以圆台的体积V＝ π·（ a2＋ a2＋a2）· a＝ πa3.
题型四 与球有关的体积问题
【例4】 （1）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，
且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O-ABC的体积为（ A ）
A. B. C. D.
A
解析：如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB
＝ .连接OO1，则OO1⊥面ABC，OO1＝ ＝
＝ ，所以三棱锥O-ABC的体积V＝ S△ABC×OO1＝ ×
×1×1× ＝ .
（2）在半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体
积之比为 .
解析：作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为
R，正方体的棱长为a，那么CC'＝a，OC＝ a.在Rt△C'CO
中，由勾股定理，得CC'2＋OC2＝OC'2，即a2＋ ＝R2，
∴R＝ a.从而V半球＝ πR3＝ π ＝
πa3，V正方体＝a3.因此V半球∶V正方体＝
πa3∶a3＝ π∶2.
π∶2
通性通法
球与几何体的切、接问题的解题思路
（1）球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上.解题时要认真
分析图形，一般需依据球和几何体的对称性，明确接点的位
置，根据球心与几何体特殊点间的关系，确定相关的数量关
系，并作出合适的截面进行求解；
（2）解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面（一般作
出多面体的对角面所在的截面），这个截面应包括几何体与球
的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系.
【跟踪训练】
1. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为
（ ）
A. B.
C. D.
解析： 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征
知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，
故半径为1，其体积是 ×π×13＝ .
2. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直
径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .
解析：设球的半径为R，则V柱＝πR2·2R＝2πR3，V锥＝ πR2·2R＝
πR3，V球＝ πR3，故V柱∶V锥∶V球＝2πR3∶ πR3∶ πR3＝
3∶1∶2.
3∶1∶2
1. 若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径，则圆
锥、圆柱、球的体积之比为（ ）
A. 1∶3∶4 B. 1∶3∶2
C. 1∶2∶4 D. 1∶4∶2
解析： 设球的半径为R，则V圆锥＝ πR2·2R＝ πR3，V圆柱＝
πR2·2R＝2πR3，V球＝ πR3.所以V圆锥∶V圆柱∶V球＝ ∶2∶ ＝
1∶3∶2.
2. 如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于
（ ）
A. π B. 2π
C. 4π D. 8π
解析： 设轴截面正方形的边长为a，由题意知S侧＝πa·a＝πa2.
又∵S侧＝4π，∴a＝2.∴V圆柱＝π×2＝2π.
3. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB
＝5，CD＝2 ，AD＝2，求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一
周后得到的几何体的体积.
解：如图，过C作CE垂直于AD，交AD的延长
线于E，
则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE绕AE
所在直线旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC绕DE所在直线旋转一周所得的圆锥的体积.
由题意可得CD＝2 ，AD＝2，CE＝ED＝2，AB＝5，AE＝4，所以所求几何体的体积V＝V圆台－V圆锥＝ π×（52＋5×2＋22）×4－ π×22×2＝ π.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形（如
图），则三棱锥B1-ABC的体积为（ ）
A. B.
C. D.
解析： V＝ Sh＝ × ×3＝ .
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2. 在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该
正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是（ ）
A. B.
C. D.
解析： 如图，去掉的一个棱锥的体积是 ×
（ × × ）× ＝ ，剩余几何体的体积是1
－8× ＝ .
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3. 一个球的外切正方体的表面积等于6 cm2，则此球的体积为（ ）
A. π cm3 B. π cm3
C. π cm3 D. π cm3
解析： 由题意，球的直径与正方体棱长相等，设正方体棱长为
a，则6a2＝6，故a＝1 cm，所以V球＝ π× ＝ π（cm）3.
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4. 如图，三棱柱ABC-A'B'C'的体积为1，则四棱锥C-AA'B'B的体积是
（ ）
A. B.
C. D.
解析： VC-AA'B'B＝VABC-A'B'C'－VC-A'B'C'＝S△ABC·AA'－ S△ABC·AA'
＝ S△ABC·AA'＝ .
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5. 《算数书》竹筒于上世纪八十年代在湖北省荆州市江陵县张家山出
土，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘
之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计
算其体积V的近似公式V≈ L2h，它实际是将圆锥体积公式中的圆
周率π近似取为3.那么近似公式V≈ L2h中将圆锥体积公式中的π
近似取为（ ）
A. B.
C. D.
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解析： 设圆锥的底面半径为r，则圆锥的底面周长L＝2πr，所
以r＝ ，所以V＝ πr2h＝ π× ＝ .若 ≈ L2h，则π＝
.
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6. （多选）下列结论错误的是（ ）
A. 等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的9倍
B. 在公式V台体＝ πh（r'2＋r'r＋r2）中，h为该台体的侧棱或母线长
C. 在三棱柱A1B1C1-ABC中，有 ＝ ＝ 成立
D. 若一个球的表面积为4π，则这个球的体积是 π
解析： A中等底等高的圆柱的体积应为圆锥体积的3倍，故A中结论错误；B中h应为台体的高，故B中结论错误；易知C、D中结论正确.
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7. 已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝ .
解析：由 πr2×4＝4π，解得r＝ ，即底面半径为 .
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8. 一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，
两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h
＝ .
a
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解析：设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为 πR2h，
圆柱形容器内的液体体积为π h.根据题意，有 πR2h＝π
h，解得R＝ a.再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是
相似三角形，得 ＝ ，所以h＝ a.
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9. 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是
BB1的中点，则三棱锥A-C1D1E的体积为 .
解析：连接BC1（图略），因为AB∥C1D1且AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，故 ＝ .所以 ＝ ＝ ＝ ＝ × ×AB＝ ×AB× ×C1B1×EB＝ .
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10. 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果
冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由.
解：不会溢出杯子，理由如下：
因为V半球＝ × πR3＝ × π×43＝ π（cm3），
V圆锥＝ πr2h＝ π×42×10＝ π（cm3），
所以V半球＜V圆锥，所以冰淇淋融化了，不会溢出杯子.
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11. （多选）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的
容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器
中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙
漏的一个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面
直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的
（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下
0.02 cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆
成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.以下结论正
确的是（ ）
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A. 沙漏中的细沙体积为 cm3
B. 沙漏的体积是128π cm3
C. 细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4 cm
D. 该沙漏的一个沙时大约是1 565秒（π≈3.14）
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解析： 对于A，设细沙在上部时，细沙的底面半径为r，则r
＝ ×4＝ cm，所以细沙的体积为V1＝ π× × ＝
cm3，故A正确；对于B，沙漏的体积V2＝2× π×42×8＝
cm3，故B错误；对于C，设细沙流入下部后的高度为h1，根据细
沙体积不变可知： π×42×h1＝ ，解得h1＝ ≈2.4 cm，故
C正确；对于D，该沙漏的一个沙时为 ÷0.02≈
×50≈1 985秒，故D错误.故选A、C.
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12. 已知一长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的所有顶点都在
同一球面上.若球的体积为 π，则该长方体的体对角线长为 ，
体积为 .
解析：∵球的体积为 π，可得 πR3＝ π，∴R＝2.又长方体的
体对角线即为球的直径，故长方体的体对角线长为4.设长方体的
高为x，则 ＝4，解得x＝ .∴该长方体的体积为
.
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13. 如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成.
已知半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm.
（1）这种“浮球”的体积是多少立方厘米（结果精确到0.1）？
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解：因为半球的直径是6 cm，可得半径R＝3 cm，
所以两个半球的体积之和为V球＝ πR3＝ π·27＝36π（cm3）.
又圆柱筒的体积为V圆柱＝πR2·h＝π×9×2＝18π（cm3）.
所以这种“浮球”的体积是V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6（cm3）.
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（2）要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米
需要涂胶100克，那么共需胶多少克？
解：根据题意，上下两个半球的表面积是S球表＝4πR2＝4×π×9＝36π（cm2）.
又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧＝
2πRh＝2×π×3×2＝12π（cm2），
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所以1个“浮球”的表面积为S＝ ＝ π（m2）.
因此，2 500个这样的“浮球”表面积的和为2 500S＝2
500× π＝12 π（m2）.
因为每平方米需要涂胶100克，所以共需要胶的质量为
100×12π＝1 200π（克）.
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14. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，
将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时
测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
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解析： 作出该球轴截面的图形如图所示，依
题意知，BE＝2 cm，AE＝CE＝4 cm，设DE
＝x cm，故AD＝（2＋x）cm，
由AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3，故该球的半径
AD＝5 cm，
所以V＝ πR3＝ （cm3）.
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15. 如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口
径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是
球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂
直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，
球冠的高为h，球冠底面圆周长为C.
（1）求球冠所在球的半径R（结果用h、r表示）；
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解：如图，点O是球冠所在球的球心，点O1是球冠底面圆圆心，点A是球冠底面圆周上一点，线段O1B是球冠的高，
依题意，OB垂直于球冠底面，显然O1B＝h，OO1＝R－h，O1A＝r，
在Rt△OO1A中，OA2＝O ＋O1A2，即R2＝（R－h）2＋r2，化简整理得R＝ ，所以球冠所在球的半径R＝ .
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（2）已知球冠表面积公式为S＝2πRh，当S＝65 000π，C＝500π
时，求 的值及球冠所在球的表面积.
解：因球冠底面圆周长C＝500π，
则r＝ ＝250，
又球冠表面积公式为S＝2πRh，且S＝65
000π，则h＝ ＝ ，
由（1）知R＝ ，
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即65 000＝ ＋2502，解得R＝650，
于是得 ＝ ＝ ，球O的表面积为4πR2＝4π×6502＝1
690 000π，
所以 的值是 ，球冠所在球的表面积是1 690 000π.
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谢 谢 观 看！
