11.2 平面的基本事实与推论
1.当我们停放共享单车时，只要将单车的撑脚放下，单车就稳了，这用到了（ ）
A.三点确定一个平面
B.不共线的三点确定一个平面
C.两条相交直线确定一个平面
D.两条平行直线确定一个平面
2.两个平面若有三个公共点，则这两个平面（ ）
A.相交 B.重合
C.相交或重合 D.以上都不对
3.如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是（ ）
A.A，B，C，D四点中必有三点共线
B.A，B，C，D四点中不存在三点共线
C.直线AB与CD相交
D.直线AB与CD平行
4.如图，平面α∩β＝l，A∈α，B∈α，C∈β且C l，AB∩l＝R，设过A，B，C三点的平面为平面γ，则β∩γ是（ ）
A.直线AC B.直线BC
C.直线CR D.以上都不对
5.如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ与β的交线必过（ ）
A.点A B.点B
C.点C，但不过点D D.点C和点D
6.（多选）设α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列命题正确的是（ ）
A.若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l α
B.α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB
C.若l不在α内，A∈l，则A α
D.若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合
7.用符号语言表示以下点、直线、平面之间的位置关系：
①点A，B在直线a上 ；
②直线a在平面α内 ；
③点D在直线b上，点C在平面α内 .
8.平面α，β相交，α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定 个平面.
9.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是 .
10.如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点K.
（1）求证：直线MN 平面PQR；
（2）求证：点K在直线MN上.
11.（多选）下列说法正确的是（ ）
A.三个平面最多可以把空间分成八部分
B.若直线a 平面α，直线b 平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价
C.若α∩β＝l，直线a 平面α，直线b 平面β，且a∩b＝P，则P∈l
D.若n条直线中任意两条共面，则它们共面
12.如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上.
（1）如果EH∩FG＝P，那么点P在直线 上；
（2）如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线 上.
13.如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.
求证：（1）E，F，H，G四点共面（提示：平行于同一条直线的两条直线互相平行）；
（2）直线FH，EG，AC共点.
14.（多选）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（ ）
A.C1，M，O三点共线
B.C1，M，O，C四点共面
C.C1，O，A，M四点共面
D.D1，D，O，M四点共面
15.正方体是常见的并且重要的多面体，对它的研究将有助于我们对立体几何一些概念的理解和掌握.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是所在棱的中点，请思考并回答下列问题：
（1）直线EF，GH，CD能交于一点吗？
（2）若E，F，G，H四点共面，怎样才能画出过四点E，F，G，H的平面与正方体的截面？
（3）若正方体的棱长为a，那么（2）中的截面面积是多少？
11.2 平面的基本事实与推论
1.B 单车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上，所以可以确定一个平面，从而使得单车在地面上稳定，故选B.
2.C 若三个点在同一直线上，则两平面相交；若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合.
3.B 两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.
4.C 由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR.
5.D 根据基本事实3判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上.故选D.
6.ABD α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点.若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l α，由平面的基本事实2，可得A正确；α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB，由平面的基本事实3，可得B正确；若l不在α内，A∈l，则A∈α或A α，可得C不正确；若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α与β重合，由平面的基本事实1，可得D正确.
7.①A∈a，B∈a ②a α ③D∈b，C∈α 解析：根据点、线、面位置关系及其表示方法可知：①A∈a，B∈a，②a α，③D∈b，C∈α.
8.1或4 解析：（1）当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定1个平面；（2）当四点确定的两条直线不共面时，这四个点能确定4个平面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点.
9.P∈直线DE 解析：因为P∈AB，AB 平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.
10.证明：（1）∵PQ 平面PQR，M∈直线PQ，∴M∈平面PQR.
∵RQ 平面PQR，N∈直线RQ，
∴N∈平面PQR.
∴直线MN 平面PQR.
（2）∵M∈直线CB，CB 平面BCD，∴M∈平面BCD.
由（1），知M∈平面PQR，
∴M在平面PQR与平面BCD的交线上，
同理可知N，K也在平面PQR与平面BCD的交线上，
∴M，N，K三点共线，
∴点K在直线MN上.
11.AC 对于A，正确；对于B，“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于C，正确；对于D，正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故D错.
12.（1）BD （2）AC 解析：（1）若EH∩FG＝P，
则点P∈平面ABD，点P∈平面BCD，
因为平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以点P∈BD.
（2）若EF∩GH＝Q，则点Q∈平面ABC，点Q∈平面ACD，因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以点Q∈AC.
13.证明：（1）如图，连接EF，GH，
∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF∥BD.
∵CG＝BC，CH＝DC，∴GH∥BD，∴EF∥GH，
∴E，F，H，G四点共面.
（2）易知FH与直线AC不平行，但共面，
设FH∩AC＝M（图略），
则M∈平面EFHG，M∈平面ABC.
∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，∴M∈EG，
∴直线FH，EG，AC共点.
14.ABC 如图，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M.∴点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴A、B、C均正确，D不正确.故选A、B、C.
15.解：（1）直线EF，GH，DC能交于一点.理由如下：如图①，因为E，F分别为棱AB，BC的中点，易得E，F∈平面ABCD，且EF与CD相交，设交点为P.由△EBF≌△PCF，可得PC＝BE＝AB.同理，GH与CD相交，设交点为P1，同样可得P1C＝C1G＝C1D1＝AB.
所以点P1与点P重合.因此直线EF，GH，CD能交于一点.
（2）如图②，延长HG交DD1的延长线于点R，延长FE交DA的延长线于点Q，则点R，Q是截面所在平面与平面ADD1A1的公共点，连接RQ，与A1D1，A1A分别交于点M，T，连接GM，TE，FH，可得截面所在平面与正方体各面的交线分别为EF，FH，HG，GM，MT，TE.截面如图中的阴影部分所示.
（3）截面为正六边形，其面积为6××＝a2.
3 / 311.2 平面的基本事实与推论
新课程标准解读 核心素养
1.借助日常生活中的实物，理解平面的基本事实与推论 数学抽象
2.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系 直观想象
3.能运用平面的基本事实及推论去解决有关问题 逻辑推理
在生活中，用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，将一把直尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整.
【问题】 你知道如此做的原理吗？
知识点 平面的基本事实与推论
1.平面的三个基本事实
公理 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本 事实 1 经过 的3个点， 一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①确定平面的依据； ②判定点线共面
基本 事实2 如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在这个 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α l α ①确定直线在平面内的依据； ②判定点在平面内
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 P∈α且P∈β α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据； ②判定点在直线上
2.基本事实的推论
推论1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面（如图①）.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面（如图②）.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面（如图③）.
【想一想】
1.经过一条直线和一个点一定能确定一个平面，对吗？
2.过不共线的4点，有且只有一个平面，对吗？
1.“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为（ ）
A.P∈a，a∥α B.a∩α＝P
C.P∈a，P α D.P∈a，a α
2.设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝ .
题型一 点、线共面问题
【例1】 如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
尝试解答
通性通法
证明点、线共面问题的常用方法
（1）先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；
（2）先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；
（3）假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”.
【跟踪训练】
如图，在底面是平行四边形的四棱锥S-ABCD中，O为AC，BD的交点，P，Q分别为△SAD，△SBC的重心.求证：S，P，O，Q四点共面.
题型二 点共线、线共点问题
【例2】 如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.求证：AB，CD，l共点（相交于一点）.
尝试解答
通性通法
1.证明三点共线的方法
（1）首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在这两个平面的交线上；
（2）选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上.
2.证明三线共点的步骤
（1）首先说明两条直线共面且交于一点；
（2）说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；
（3）得到交线也过此点，从而得到三线共点.
【跟踪训练】
已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图.求证：P，Q，R三点共线.
题型三 两平面的交线问题
【例3】 如图所示，E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点，试画出平面BED1F与平面ABCD的交线.
尝试解答
通性通法
基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有其他公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找到了它们的交线.因此求两个平面的交线的突破口是找到这两个平面的两个公共点.
【跟踪训练】
如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB＞CD，S是梯形ABDC所在平面外一点，试画出平面SBD和平面SAC的交线.
1.下图中正确表示两个相交平面的是（ ）
2.下列说法中正确的是（ ）
A.相交直线上的三个点可以确定一个平面
B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面
C.空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形
D.和同一条直线相交的三条平行直线必在同一平面内
3.如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行.求证：a，b，c三条直线必过同一点.
11.2 平面的基本事实与推论
【基础知识·重落实】
知识点
1.不在一条直线上 有且只有 两个点 平面内 公共直线
想一想
1.提示：不对，若点在直线上，则不能确定一个平面.
2.提示：不对.过不共线的4点不一定存在一个平面，如过正方体上底面的三个顶点和下底面的一个顶点便无法作出一个平面.
自我诊断
1.C 由于点P在平面α外，所以有P α，又直线a经过点P，所以P∈a.故选C.
2.C 解析：∵α∩β＝l，直线AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴直线AB∩β＝C.
【典型例题·精研析】
【例1】 证明：法一（纳入平面法） 因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.
又因为l2 α，所以B∈α.同理可证C∈α.
因为B∈l3，C∈l3，所以l3 α.
所以直线l1，l2，l3在同一平面内.
法二（辅助平面法） 因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β.
因为A∈l2，l2 α，所以A∈α.
因为A∈l2，l2 β，所以A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，所以平面α和平面β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
跟踪训练
证明：如图，连接SP，SQ，并延长分别交AD，BC于点M，N，连接MN.
因为P，Q分别为△SAD，△SBC的重心，
所以M，N分别为AD，BC的中点，所以O∈MN.
由棱锥的性质，知点S，M，N不共线，所以确定一个平面SMN，
所以MN 平面SMN，所以O∈平面SMN.
又P∈SM，Q∈SN，SM 平面SMN，SN 平面SMN，
所以P∈平面SMN，Q∈平面SMN，
所以S，P，O，Q四点共面.
【例2】 证明：因为在梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AB，CD是梯形ABCD的两腰.
所以AB，CD必定相交于一点.
设AB∩CD＝M.
又因为AB α，CD β，
所以M∈α，M∈β.
所以M∈α∩β.
又因为α∩β＝l，
所以M∈l.
即AB，CD，l共点（相交于一点）.
跟踪训练
证明：法一 ∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α，
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P，Q，R三点共线.
法二 ∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，
∴BC 平面APR.
又∵Q∈平面APR，Q∈α，∴Q∈PR.
∴P，Q，R三点共线.
【例3】 解：如图所示，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行，
分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交，设交点为M.
因为M∈D1F，M∈DA，D1F 平面BED1F，DA 平面ABCD，
所以M∈平面BED1F∩平面ABCD，
又B∈平面BED1F∩平面ABCD，
连接MB，则MB＝平面BED1F∩平面ABCD，故直线MB为所求两平面的交线.
跟踪训练
解：点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，
则点S在两平面的交线上，
由于AB∥CD，AB＞CD，∴分别延长AC和BD交于点E，如图所示，
∵E∈AC，AC 平面SAC，
∴E∈平面SAC.
同理，E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，
则直线SE是平面SBD和平面SAC的交线.
随堂检测
1.D A中没有画出相交平面的交线，且不可见的线没有画成虚线；B中不可见的线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图规则画；D中交线及实、虚线均正确.故选D.
2.D A错误，当三点共线时，过三点的平面有无数个.B错误，空间中两两相交的三条直线交于同一点时，不一定确定一个平面.C错误，如图①，空间四边形ABCD1，空间中四个点不一定共面，有三个角为直角的四边形可能是空间图形.D正确，如图②，因为a∥b，所以直线a，b确定一个平面α，因为b∥c，所以直线b，c确定一个平面β.又l α，l β，由“经过两条相交直线有且只有一个平面”推出α与β重合，推出a，b，c，l共面.
3.证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a γ，b γ.
由于直线a和b不平行，
∴a，b必相交.
设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.
∵a β，b α，∴P∈β，P∈α.
又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.
∴a，b，c三条直线相交于同一点.
4 / 4(共60张PPT)
11.2 平面的基本事实与推论
新课程标准解读 核心素养
1.借助日常生活中的实物，理解平面的基本事实
与推论 数学抽象
2.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位
置关系 直观想象
3.能运用平面的基本事实及推论去解决有关问题 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在生活中，用两个合页和一把锁就可以将一扇门固定，将一把直
尺置于桌面上，通过是否漏光就能检查桌面是否平整.
【问题】 你知道如此做的原理吗？
知识点 平面的基本事实与推论
1. 平面的三个基本事实
公理 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基
本 事
实 1 经
的3个点，
一个平面
A，B，C三点不
共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①确定平面的
依据；
②判定点线共
面
不在一条
直线上
有且只
有
公
理 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基
本 事
实2 如果一条直线
上的
在一个平
面内，那么这
条直线在这
个
A∈l，B∈l，
且A∈α，
B∈α l α ①确定直线在平面
内的依据；
②判定点在平面内
两个
点
平面内
公
理 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基
本 事
实3 如果两个不重
合的平面有一
个公共点，那
么它们有且只
有一条过该点
的
P∈α且
P∈β α∩β
＝l，且P∈l ①判定两平面相交
的依据；
②判定点在直线上
公共直
线
2. 基本事实的推论
推论1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面（如图①）.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面（如图②）.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面（如图③）.
【想一想】
1. 经过一条直线和一个点一定能确定一个平面，对吗？
提示：不对，若点在直线上，则不能确定一个平面.
2. 过不共线的4点，有且只有一个平面，对吗？
提示：不对.过不共线的4点不一定存在一个平面，如过正方体上底
面的三个顶点和下底面的一个顶点便无法作出一个平面.
1. “直线a经过平面α外一点P”用符号表示为（ ）
A. P∈a，a∥α B. a∩α＝P
C. P∈a，P α D. P∈a，a α
解析： 由于点P在平面α外，所以有P α，又直线a经过点
P，所以P∈a.故选C.
2. 设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝
C，则直线AB∩β＝ .
解析：∵α∩β＝l，直线AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴直
线AB∩β＝C.
C
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 点、线共面问题
【例1】 如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C. 求证：直
线l1，l2，l3在同一平面内.
证明：法一（纳入平面法） 因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平
面α.因为l2∩l3＝B，所以B∈l2.
又因为l2 α，所以B∈α.同理可证C∈α.
因为B∈l3，C∈l3，所以l3 α.
所以直线l1，l2，l3在同一平面内.
法二（辅助平面法） 因为l1∩l2＝A，所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2∩l3＝B，所以l2，l3确定一个平面β.
因为A∈l2，l2 α，所以A∈α.
因为A∈l2，l2 β，所以A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，所以
平面α和平面β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
通性通法
证明点、线共面问题的常用方法
（1）先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面
内，即用“纳入法”；
（2）先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一
个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；
（3）假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”.
【跟踪训练】
如图，在底面是平行四边形的四棱锥S-ABCD中，O为AC，BD的交
点，P，Q分别为△SAD，△SBC的重心.求证：S，P，O，Q四点
共面.
证明：如图，连接SP，SQ，并延长分别交AD，
BC于点M，N，连接MN.
因为P，Q分别为△SAD，△SBC的重心，
所以M，N分别为AD，BC的中点，所以O∈MN.
由棱锥的性质，知点S，M，N不共线，所以确定一个平面SMN，
所以MN 平面SMN，所以O∈平面SMN.
又P∈SM，Q∈SN，SM 平面SMN，SN 平面SMN，
所以P∈平面SMN，Q∈平面SMN，
所以S，P，O，Q四点共面.
题型二 点共线、线共点问题
【例2】 如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.求证：AB，CD，l共点（相交于一
点）.
证明：因为在梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AB，CD是梯形ABCD的两腰.
所以AB，CD必定相交于一点.
设AB∩CD＝M. 又因为AB α，CD β，所以M∈α，M∈β.
所以M∈α∩β.
又因为α∩β＝l，所以M∈l.
即AB，CD，l共点（相交于一点）.
通性通法
1. 证明三点共线的方法
（1）首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共
点，根据基本事实3可知，这些点都在这两个平面的交线上；
（2）选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上.
2. 证明三线共点的步骤
（1）首先说明两条直线共面且交于一点；
（2）说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交；
（3）得到交线也过此点，从而得到三线共点.
【跟踪训练】
已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，
如图.求证：P，Q，R三点共线.
证明：法一 ∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α，
又AB 平面ABC，
∴P∈平面ABC.
∴由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P，Q，R三点共线.
法二 ∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，
∴BC 平面APR.
又∵Q∈平面APR，Q∈α，
∴Q∈PR.
∴P，Q，R三点共线.
题型三 两平面的交线问题
【例3】 如图所示，E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱
CC1，AA1的中点，试画出平面BED1F与平面ABCD的交线.
解：如图所示，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行，
分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交，设交点
为M.
因为M∈D1F，M∈DA，D1F 平面BED1F，
DA 平面ABCD，
所以M∈平面BED1F∩平面ABCD，
又B∈平面BED1F∩平面ABCD，
连接MB，则MB＝平面BED1F∩平面ABCD，故直
线MB为所求两平面的交线.
通性通法
基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么它们必
定还有其他公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找到了它
们的交线.因此求两个平面的交线的突破口是找到这两个平面的两个
公共点.
【跟踪训练】
如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB＞CD，S是梯形ABDC所在平
面外一点，试画出平面SBD和平面SAC的交线.
解：点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，则
点S在两平面的交线上，由于AB∥CD，AB＞
CD，
∴分别延长AC和BD交于点E，如图所示，
∵E∈AC，AC 平面SAC，
∴E∈平面SAC.
同理，E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，
则直线SE是平面SBD和平面SAC的交线.
1. 下图中正确表示两个相交平面的是（ ）
解析： A中没有画出相交平面的交线，且不可见的线没有画成
虚线；B中不可见的线没有画成虚线；C中虚、实线没按画图规则
画；D中交线及实、虚线均正确.故选D.
2. 下列说法中正确的是（ ）
A. 相交直线上的三个点可以确定一个平面
B. 空间中两两相交的三条直线确定一个平面
C. 空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形
D. 和同一条直线相交的三条平行直线必在同一平面内
解析： A错误，当三点共线
时，过三点的平面有无数个.B
错误，空间中两两相交的三条
直线交于同一点时，不一定确
定一个平面.C错误，如图①，
空间四边形ABCD1，空间中四个点不一定共面，有三个角为
直角的四边形可能是空间图形.D正确，如图②，因为
a∥b，所以直线a，b确定一个平面α，因为b∥c，所以直
线b，c确定一个平面β.又l α，l β，由“经过两条相交直线有且只有一个平面”推出α与β重合，推出a，b，c，l共面.
3. 如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行.求证：a，b，c三条直线必过同一点.
证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a γ，b γ.
由于直线a和b不平行，
∴a，b必相交.
设a∩b＝P，则P∈a，P∈b.
∵a β，b α，
∴P∈β，P∈α.
又α∩β＝c，
∴P∈c，即交线c经过点P.
∴a，b，c三条直线相交于同一点.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 当我们停放共享单车时，只要将单车的撑脚放下，单车就稳了，这
用到了（ ）
A. 三点确定一个平面
B. 不共线的三点确定一个平面
C. 两条相交直线确定一个平面
D. 两条平行直线确定一个平面
解析： 单车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在
同一条线上，所以可以确定一个平面，从而使得单车在地面上稳
定，故选B.
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2. 两个平面若有三个公共点，则这两个平面（ ）
A. 相交 B. 重合
C. 相交或重合 D. 以上都不对
解析： 若三个点在同一直线上，则两平面相交；若这三个点不
在同一直线上，则这两个平面重合.
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3. 如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是
（ ）
A. A，B，C，D四点中必有三点共线
B. A，B，C，D四点中不存在三点共线
C. 直线AB与CD相交
D. 直线AB与CD平行
解析： 两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分
别确定一个平面.
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4. 如图，平面α∩β＝l，A∈α，B∈α，C∈β且C l，AB∩l＝R，设过A，B，C三点的平面为平面γ，则β∩γ是（ ）
A. 直线AC B. 直线BC
C. 直线CR D. 以上都不对
解析：由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR.
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5. 如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C l，直线
AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ与β的
交线必过（ ）
A. 点A B. 点B
C. 点C，但不过点D D. 点C和点D
解析： 根据基本事实3判定点C和点D既在平面β内又在平面
γ内，故在β与γ的交线上.故选D.
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6. （多选）设α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示三
个不同的点，给出下列命题正确的是（ ）
A. 若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l α
B. α，β不重合，若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝
AB
C. 若l不在α内，A∈l，则A α
D. 若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则α
与β重合
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解析： α，β表示两个平面，l表示直线，A，B，C表示
三个不同的点.若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则l α，由平
面的基本事实2，可得A正确；α，β不重合，若A∈α，
A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB，由平面的基本事实3，
可得B正确；若l不在α内，A∈l，则A∈α或A α，可得C不正
确；若A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线，则
α与β重合，由平面的基本事实1，可得D正确.
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7. 用符号语言表示以下点、直线、平面之间的位置关系：
①点A，B在直线a上 ；
②直线a在平面α内 ；
③点D在直线b上，点C在平面α内 .
解析：根据点、线、面位置关系及其表示方法可知：①A∈a，
B∈a，②a α，③D∈b，C∈α.
A∈a，B∈a
a α
D∈b，C∈α
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8. 平面α，β相交，α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四
点能确定 个平面.
解析：（1）当四点确定的两条直线平行或相交时，则四个点确定1
个平面；（2）当四点确定的两条直线不共面时，这四个点能确定4
个平面，如三棱锥的顶点和底面上的顶点.
1或4
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9. 如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，
E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置
关系是 .
解析：因为P∈AB，AB 平面ABC，所以P∈平面ABC. 又
P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.
P∈直线DE
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10. 如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ与CB的延长线交
于点M，RQ与DB的延长线交于点N，RP与DC的延长线交于点
K.
（1）求证：直线MN 平面PQR；
证明：∵PQ 平面PQR，M∈直线PQ，
∴M∈平面PQR.
∵RQ 平面PQR，N∈直线RQ，
∴N∈平面PQR.
∴直线MN 平面PQR.
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（2）求证：点K在直线MN上.
证明：∵M∈直线CB，CB 平面
BCD，∴M∈平面BCD.
由（1），知M∈平面PQR，
∴M在平面PQR与平面BCD的交线上，
同理可知N，K也在平面PQR与平面
BCD的交线上，
∴M，N，K三点共线，∴点K在直线
MN上.
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11. （多选）下列说法正确的是（ ）
A. 三个平面最多可以把空间分成八部分
B. 若直线a 平面α，直线b 平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价
C. 若α∩β＝l，直线a 平面α，直线b 平面β，且a∩b＝P，则P∈l
D. 若n条直线中任意两条共面，则它们共面
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解析： 对于A，正确；对于B，“α与β相交”推不出“a
与b相交”，也可能a∥b；对于C，正确；对于D，正方体的侧
棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故D错.
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12. 如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别
在线段AB，BC，CD，DA上.
（1）如果EH∩FG＝P，那么点P在直线 上；
解析：若EH∩FG＝P，
则点P∈平面ABD，点P∈平面BCD，
因为平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以点P∈BD.
BD
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（2）如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线 上.
解析：若EF∩GH＝Q，则点Q∈
平面ABC，点Q∈平面ACD，因为平面
ABC∩平面ACD＝AC，所以点Q∈AC.
AC
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13. 如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，
H分别是BC，CD上的点，且CG＝ BC，CH＝ DC.
求证：（1）E，F，H，G四点共面（提示：平行于同一条直线
的两条直线互相平行）；
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证明：如图，连接EF，GH，
∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF∥BD.
∵CG＝ BC，CH＝ DC，
∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，H，
G四点共面.
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（2）直线FH，EG，AC共点.
证明：易知FH与直线AC不平行，但共面，
设FH∩AC＝M（图略），则M∈平面
EFHG，M∈平面ABC.
∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，
∴M∈EG，
∴直线FH，EG，AC共点.
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14. （多选）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为DB的中
点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（ ）
A. C1，M，O三点共线
B. C1，M，O，C四点共面
C. C1，O，A，M四点共面
D. D1，D，O，M四点共面
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解析： 如图，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M. ∴点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的
交线上，即C1，M，O三点共线，∴A、B、C均正确，D不正确.故选A、B、C.
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15. 正方体是常见的并且重要的多面体，对它的研究将有助于我们对
立体几何一些概念的理解和掌握.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是所在棱的中点，请思考并回
答下列问题：
（1）直线EF，GH，CD能交于一点吗？
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解：直线EF，GH，DC能交于一
点.理由如下：如图①，因为E，F分别
为棱AB，BC的中点，易得E，F∈平
面ABCD，且EF与CD相交，设交点为
P. 由△EBF≌△PCF，可得PC＝BE＝
AB. 同理，GH与CD相交，设交点为P1，同样可得P1C＝C1G＝ C1D1＝ AB.
所以点P1与点P重合.因此直线EF，GH，CD能交于一点.
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（2）若E，F，G，H四点共面，怎样才能画出过四点E，F，
G，H的平面与正方体的截面？
解：如图②，延长HG交DD1的延
长线于点R，延长FE交DA的延长线于点
Q，则点R，Q是截面所在平面与平面
ADD1A1的公共点，连接RQ，与A1D1，
A1A分别交于点M，T，连接GM，TE，
FH，可得截面所在平面与正方体各面的
交线分别为EF，FH，HG，GM，
MT，TE. 截面如图中的阴影部分所示.
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（3）若正方体的棱长为a，那么（2）中的截面面积是多少？
解：截面为正六边形，其面积为6×
× ＝ a2.
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谢 谢 观 看！
