11.3.3 平面与平面平行
1.直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是（ ）
A.相交 B.平行
C.异面 D.不确定
2.已知平面α∥平面β，a α，b β，则直线a，b的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
3.若结论“如果平面α内有三点到平面β的距离相等，那么α∥β ”是正确的，则这三点必须满足的条件是（ ）
A.这三点不共线
B.这三点不共线且在β的同侧
C.这三点不在β的同侧
D.这三点不共线且在β的异侧
4.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A'，B'，C'，若PA'∶AA'＝2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC＝（ ）
A.2∶25 B.4∶25
C.2∶5 D.4∶5
5.两个平行平面与另两个平行平面相交得四条直线的位置关系是（ ）
A.两两相互平行
B.两两相交于一点
C.两两相交但不一定交于同一点
D.两两相互平行或交于同一点
6.（多选）设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是（ ）
A.存在一条直线a，a∥α，a∥β
B.存在一条直线a，a α，a∥β
C.存在一个平面γ，满足α∥γ，β∥γ
D.存在两条异面直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
7.已知平面α∥β，直线a α，有下列命题：
①a与β内的所有直线平行；
②a与β内无数条直线平行；
③a与β内的任意一条直线都不垂直.
其中真命题的序号是 .
8.六棱柱的两底面为α，β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，AD∥BC，则AB与CD的位置关系是 .
9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC与N，则MN＝ AC.
10.如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，CD＝2AB，P，Q分别是CC1，C1D1的中点，求证：平面AD1C∥平面BPQ.
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是（ ）
A.矩形 B.菱形
C.平行四边形 D.正方形
12.如图，已知α∥β，GH，GD，EH分别交α，β于A，B，C，D，E，F，且GA＝9，AB＝12，BH＝16，则＝ ，若BF＝4，则AE＝ .
13.如图，在四棱锥C-ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F，P分别是线段EC，BD，CD的中点.
（1）求证：GF∥平面ABC；
（2）平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明.
14.（多选）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，点E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，则在原四棱锥中（ ）
A.平面EFGH∥平面ABCD
B.BC∥平面PAD
C.AB∥平面PCD
D.平面PAD∥平面PAB
15.在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，平面PAB∩平面PCD＝l.
（1）证明：l∥CD；
（2）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论.
11.3.3 平面与平面平行
1.B 因为l∥α，m∥α，l∩m＝P，l与m确定的平面为β，所以β∥α.
2.D ∵平面α∥平面β，∴平面α与平面β没有公共点.∵a α，b β，∴直线a，b没有公共点，∴直线a，b的位置关系是平行或异面.故选D.
3.B 首先这三点必须能确定一个平面，即要求这三点不共线；其次这三点必须在平面β的同侧，确定的平面才会和平面β平行，如果在平面β的异侧，那么确定的平面和平面β相交.
4.B ∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A'B'，AB，∴AB∥A'B'，同理可得B'C'∥BC，易得△ABC∽△A'B'C'，S△A'B'C'∶S△ABC＝＝＝.
5.A 根据平面与平面平行的性质定理可知，所得四条直线两两相互平行.故选A.
6.CD 对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交.故选项A不是α∥β的充分条件；对于选项B，若存在一条直线a，a α，a∥β，则α∥β或α与β相交，故选项B不是α∥β的充分条件；对于选项C，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C是α∥β的一个充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面内，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D是α∥β的一个充分条件.故选C、D.
7.② 解析：由面面平行的性质可知，过a与β相交的平面与β的交线才与a平行，故①错误；②正确；平面β内的直线与直线a平行，异面均可，其中包括异面垂直，故③错误.
8.平行 解析：因为AD∥BC，且平面ABCD∩α＝AB，平面ABCD∩β＝CD，又α∥β，所以AB∥CD.
9. 解析：∵平面MNE∥平面ACB1，∴ME∥AB1，NE∥CB1.∵BE＝EB1，∴AM＝MB，BN＝NC，∴MN AC.
10.证明：∵D1Q CD，AB CD，∴D1Q AB，
∴四边形D1QBA为平行四边形，∴D1A∥QB.
∵Q，P分别为D1C1，C1C的中点，∴QP∥D1C.
∵D1C∩D1A＝D1，QP∩QB＝Q，
∴平面AD1C∥平面BPQ.
11.C 如图，因为平面和左右两个侧面分别交于ED1，BF，所以ED1∥BF，同理D1F∥EB，所以四边形D1EBF是平行四边形.
12. 7 解析：因为α∩平面GAC＝AC，β∩平面GBD＝BD，且α∥β，所以AC∥BD，同理可证AE∥BF.因为GA＝9，AB＝12，AC∥BD，所以＝＝＝.同理＝，所以＝，AE＝7.
13.解：（1）证明：如图，连接AE，由F是线段BD的中点，四边形ABED为正方形得，F为AE的中点，
∴GF为△AEC的中位线，∴GF∥AC.
又∵AC 平面ABC，GF 平面ABC，
∴GF∥平面ABC.
（2）平面GFP∥平面ABC，证明如下：
∵点F，P分别为BD，CD的中点，
∴FP为△BCD的中位线，∴FP∥BC.
又∵BC 平面ABC，FP 平面ABC，
∴FP∥平面ABC，
又GF∥平面ABC，FP∩GF＝F，
FP 平面GFP，GF 平面GFP，
∴平面GFP∥平面ABC.
14.ABC 把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，又EH 平面ABCD，AB 平面ABCD，∴EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，又EF∩EH＝E，EF，EH 平面EFGH，∴平面EFGH∥平面ABCD，故选项A正确；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交，故选项D错误；∵AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，∴AB∥平面PCD，同理BC∥平面PAD，故选项B、C正确.
15.解：（1）证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AB∥CD.
又AB 平面PCD，CD 平面PCD，
所以AB∥平面PCD.
又AB 平面PAB，平面PAB∩平面PCD＝l，
所以AB∥l，所以l∥CD.
（2）存在.当F是PC的中点时，BF∥平面AEC.
证明如下：如图，取PE的中点M，连接FM.
由于M为PE的中点，F为PC的中点，
所以FM∥CE.
由M为PE的中点，PE∶ED＝2∶1，得EM＝PE＝ED，所以E是MD的中点.
连接BM，BD.设BD∩AC＝O.因为四边形ABCD是菱形，所以O为BD的中点，连接OE.
所以BM∥OE.
又MF∩MB＝M，CE∩OE＝E，MF，MB 平面BFM，CE，OE 平面AEC，所以平面BFM∥平面AEC.
又BF 平面BFM，所以BF∥平面AEC.
2 / 311.3.3 平面与平面平行
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，直观感知、归纳出平面与平面平行的判定定理、性质定理 直观想象
2.掌握平面与平面平行的判定定理、性质定理，并能初步利用定理解决问题 逻辑推理
上海世界博览会的中国国家馆被永久保留.中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉.
【问题】 （1）展馆的每两层所在的平面平行，那么上层平面上任一直线状物体与下层地面有何位置关系？
（2）上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么位置关系？
知识点一 平面与平面的位置关系
位置关系 图形语言 符号语言 公共点个数
两个平面平行 α∥β 没有公共点
两个平面相交 α∩β＝l 有无数个公共点 （在一条直线上）
知识点二 平面与平面平行的判定与性质
条件 结论 图形语言 符号语言
判 定 如果一个平面内有 分别平行于另一个平面 两个平面 平行 α∥β
性 质 如果两个平行平面同时与第三个平面相交 交线平行 a∥b
推论：如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.
常用结论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.
【想一想】
如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行.（ ）
（2）若两个平面平行，则一个平面内的所有直线都平行另一个平面.（ ）
（3）若一个平面内有无数多条直线平行另一个平面，则这两个平面平行.（ ）
（4）若平面α∥平面β，l 平面β，m 平面α，则l∥m.（ ）
2.在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面互相平行的一对是（ ）
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
3.已知长方体ABCD-A'B'C'D'，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A'B'C'D'＝E'F'，则EF与E'F'的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定
4.如图，已知在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC上的点且满足＝＝，则平面DEF与平面ABC的位置关系是 .
题型一 平面与平面间的位置关系
【例1】 已知下列说法：
①若两个平面α∥β，a α，b β，则a∥b；
②若两个平面α∥β，a α，b β，则a与b是异面直线；
③若两个平面α∥β，a α，b β，则a与b一定不相交；
④若两个平面α∥β，a α，b β，则a与b平行或异面；
⑤若两个平面α∩β＝b，a α，则a与β一定相交.其中正确的是 （将你认为正确的序号都填上）.
尝试解答
通性通法
两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，有公共点则相交.熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是解决此类问题的关键.
【跟踪训练】
已知a，b是两条异面直线，平面α过a且与b平行，平面β过b且与a平行，则平面α与平面β的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或相交
题型二 平面与平面平行的判定
【例2】 如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点.求证：平面AFH∥平面PCE.
尝试解答
通性通法
平面与平面平行的判定方法
（1）定义法：两个平面没有公共点；
（2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；
（3）转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；
（4）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【跟踪训练】
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形.点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
题型三 平面与平面平行的性质及应用
【例3】 如图，已知平面α∥β，P α，且P β，P在平面α与平面β的同侧，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD＝ .
尝试解答
【母题探究】
（变条件）将本例改为：若点P位于平面α，β之间（如图），其他条件不变，试求BD的长.
通性通法
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
【跟踪训练】
如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
1.设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，m∥β，若使α∥β成立，则需增加的条件是（ ）
A.n是直线且n α，n∥β
B.n，m是异面直线且n∥β
C.n，m是相交直线且n α，n∥β
D.n，m是平行直线且n α，n∥β
2.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为 .
3.如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P 平面ABCD.求证：平面PAB∥平面EFG.
11.3.3 平面与平面平行
【基础知识·重落实】
知识点二
两条相交直线 a∩b＝P 相交
想一想
提示：如果两个平面有一个公共点，那么由基本事实3可知：这两个平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行.
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）× （4）×
2.A 如图，∵EG∥E1G1，EG 平面E1FG1，E1G1 平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1，同理可证H1E∥平面E1FG1.又H1E∩EG＝E，∴平面E1FG1∥平面EGH1，A正确.分析知B、C、D中两个平面分别相交.
3.A 因为平面ABCD∥平面A'B'C'D'，所以EF∥E'F'.故选A.
4.平行 解析：在△PAB中，因为＝，
所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
因此DE∥平面ABC.同理可证EF∥平面ABC.
又DE∩EF＝E，
所以平面DEF∥平面ABC.
【典型例题·精研析】
【例1】 ③④ 解析：①错，a与b也可能异面；
②错，a与b也可能平行；
③对，因为α∥β，所以α与β无公共点.又因为a α，b β，所以a与b无公共点；
④对，由已知及③知：a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；
⑤错，a与β也可能平行.
跟踪训练
A 如图，在b上任取一点P，设a与点P确定的平面为γ，γ∩β＝c，因为a∥β，所以a∥c，又a α，c α，所以c∥α，因为c∩b＝P，又c∥α，b∥α，c β，b β，所以α∥β.
【例2】 证明：法一 因为F，H分别为CD，PD的中点，所以FH∥PC.因为PC 平面PCE，FH 平面PCE，所以FH∥平面PCE.又由已知得AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF∥CE.因为CE 平面PCE，AF 平面PCE，所以AF∥平面PCE.又FH 平面AFH，AF 平面AFH，FH∩AF＝F，所以平面AFH∥平面PCE.
法二 假设平面AFH和平面PCE不平行，设平面AFH∩平面PCE＝l，由法一可知AF∥平面PCE，所以AF∥l，同理可得HF∥l，所以AF∥HF，与AF与HF相交矛盾.所以平面AFH∥平面PCE.
跟踪训练
证明：因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
所以MQ∥AD，NQ∥BP.
又因为BP 平面PBC，NQ 平面PBC，
所以NQ∥平面PBC.
因为四边形ABCD为平行四边形.
所以BC∥AD，
所以MQ∥BC.
又因为BC 平面PBC，MQ 平面PBC，
所以MQ∥平面PBC.
又因为MQ∩NQ＝Q，
所以平面MNQ∥平面PBC.
【例3】 解析：因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以＝，即＝.所以BD＝.
母题探究
解：与本例同理，可证AB∥CD.
所以＝，即＝，所以BD＝24.
跟踪训练
证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，
又DE，DF 平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以NF∥CM.
随堂检测
1.C 要使α∥β成立，需要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，所以n，m是相交直线且n α，n∥β，m α，m∥β，由平面与平面平行的判定定理可得α∥β.故选C.
2.平行四边形 解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理，EH∥FG，四边形EFGH是平行四边形.
3.证明：因为E，F分别为PC，PD的中点，所以EF∥CD，
在直角梯形ABCP中，因为BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，
所以CD∥AB，
所以EF∥AB，又EF 平面PAB，AB 平面PAB，
所以EF∥平面PAB，同理可证EG∥平面PAB.
又因为EF∩EG＝E，
所以平面PAB∥平面EFG.
4 / 4(共63张PPT)
11.3.3 平面与平面平行
新课程标准解读 核心素养
1.通过实例，直观感知、归纳出平面与平面平行
的判定定理、性质定理 直观想象
2.掌握平面与平面平行的判定定理、性质定理，
并能初步利用定理解决问题 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
上海世界博览会的中国国家馆被永久保留.中国国家馆表达了
“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与
气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉.
【问题】 （1）展馆的每两层所在的平面平行，那么上层平面上任
一直线状物体与下层地面有何位置关系？
（2）上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是
什么位置关系？
知识点一 平面与平面的位置关系
位置关系 图形语言 符号语言 公共点个数
两个平面平行 α∥β 没有公共点
两个平面相交 α∩β＝l 有无数个公共点
（在一条直线
上）
知识点二 平面与平面平行的判定与性质
条件 结论 图形语言 符号语言
判 定 如果一个平面
内有
分别
平行于另一个
平面 两个平面
平行
两条相
交直线
条件 结论 图形语言 符号语言
性质 如果两个平
行平面同时
与第三个平
面相交 交线 平行
推论：如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面内
的两条直线，则这两个平面平行.
常用结论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.
相交
【想一想】
如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？
提示：如果两个平面有一个公共点，那么由基本事实3可知：这两个
平面相交于过这个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就
说这两个平面相互平行.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直
线，则这两个平面平行. （ × ）
（2）若两个平面平行，则一个平面内的所有直线都平行另一个平
面. （ √ ）
（3）若一个平面内有无数多条直线平行另一个平面，则这两个平
面平行. （ × ）
（4）若平面α∥平面β，l 平面β，m 平面α，则l∥m.
（ × ）
×
√
×
×
2. 在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面互相平行的一对是
（ ）
A. 平面E1FG1与平面EGH1
B. 平面FHG1与平面F1H1G
C. 平面F1H1H与平面FHE1
D. 平面E1HG1与平面EH1G
解析： 如图，∵EG∥E1G1，EG 平面
E1FG1，E1G1 平面E1FG1，∴EG∥平面
E1FG1，同理可证H1E∥平面E1FG1.又
H1E∩EG＝E，∴平面E1FG1∥平面EGH1，A正
确.分析知B、C、D中两个平面分别相交.
3. 已知长方体ABCD-A'B'C'D'，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩
平面A'B'C'D'＝E'F'，则EF与E'F'的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 不确定
解析： 因为平面ABCD∥平面A'B'C'D'，所以EF∥E'F'.故
选A.
4. 如图，已知在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，
PC上的点且满足 ＝ ＝ ，则平面DEF与平面ABC的位置关
系是 .
平行
解析：在△PAB中，因为 ＝ ，所以DE∥AB. 又DE 平面ABC，AB 平面ABC，因此DE∥平面ABC. 同理可证EF∥平面ABC. 又DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平面与平面间的位置关系
【例1】 已知下列说法：
①若两个平面α∥β，a α，b β，则a∥b；
②若两个平面α∥β，a α，b β，则a与b是异面直线；
③若两个平面α∥β，a α，b β，则a与b一定不相交；
④若两个平面α∥β，a α，b β，则a与b平行或异面；
⑤若两个平面α∩β＝b，a α，则a与β一定相交.其中正确的
是 （将你认为正确的序号都填上）.
③④
解析：①错，a与b也可能异面；②错，a与b也可能平行；③对，因
为α∥β，所以α与β无公共点.又因为a α，b β，所以a与b无
公共点；④对，由已知及③知：a与b无公共点，那么a∥b或a与b
异面；⑤错，a与β也可能平行.
通性通法
两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，
有公共点则相交.熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是
解决此类问题的关键.
【跟踪训练】
已知a，b是两条异面直线，平面α过a且与b平行，平面β过b且与
a平行，则平面α与平面β的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 平行或相交
解析： 如图，在b上任取一点P，设a与点P确定
的平面为γ，γ∩β＝c，因为a∥β，所以a∥c，
又a α，c α，所以c∥α，因为c∩b＝P，又
c∥α，b∥α，c β，b β，所以α∥β.
题型二 平面与平面平行的判定
【例2】 如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，
E，F，H分别为AB，CD，PD的中点.求证：平面AFH∥平面
PCE.
证明：法一 因为F，H分别为CD，PD的中点，所以FH∥PC. 因
为PC 平面PCE，FH 平面PCE，所以FH∥平面PCE. 又由已知
得AE∥CF且AE＝CF，所以四边形AECF为平行四边形，所以
AF∥CE. 因为CE 平面PCE，AF 平面PCE，所以AF∥平面
PCE. 又FH 平面AFH，AF 平面AFH，FH∩AF＝F，所以平面
AFH∥平面PCE.
法二 假设平面AFH和平面PCE不平行，设平面AFH∩平面PCE＝
l，由法一可知AF∥平面PCE，所以AF∥l，同理可得HF∥l，所以
AF∥HF，与AF与HF相交矛盾.所以平面AFH∥平面PCE.
通性通法
平面与平面平行的判定方法
（1）定义法：两个平面没有公共点；
（2）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平
面；
（3）转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条
相交直线分别平行，则α∥β；
（4）利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【跟踪训练】
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形.点M，
N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝
PQ∶QD. 求证：平面MNQ∥平面PBC.
证明：因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，所以MQ∥AD，
NQ∥BP.
又因为BP 平面PBC，NQ 平面PBC，
所以NQ∥平面PBC.
因为四边形ABCD为平行四边形.
所以BC∥AD，
所以MQ∥BC.
又因为BC 平面PBC，MQ 平面PBC，
所以MQ∥平面PBC.
又因为MQ∩NQ＝Q，
所以平面MNQ∥平面PBC.
题型三 平面与平面平行的性质及应用
【例3】 如图，已知平面α∥β，P α，且P β，P在平面α与
平面β的同侧，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的
直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD
＝ .
解析：因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面
PCD，因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所
以AB∥CD. 所以 ＝ ，即 ＝ .所以BD＝ .
【母题探究】
（变条件）将本例改为：若点P位于平面α，β之间（如图），其他
条件不变，试求BD的长.
解：与本例同理，可证AB∥CD.
所以 ＝ ，即 ＝ ，
所以BD＝24.
通性通法
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
【跟踪训练】
如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中
点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求
证：NF∥CM.
证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，
又DE，DF 平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以
NF∥CM.
1. 设α，β是两个不同的平面，m是直线且m α，m∥β，若使
α∥β成立，则需增加的条件是（ ）
A. n是直线且n α，n∥β
B. n，m是异面直线且n∥β
C. n，m是相交直线且n α，n∥β
D. n，m是平行直线且n α，n∥β
解析： 要使α∥β成立，需要其中一个平面内的两条相交
直线与另一个平面平行，所以n，m是相交直线且n α，
n∥β，m α，m∥β，由平面与平面平行的判定定理可得
α∥β.故选C.
2. 如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则
四边形EFGH的形状为 .
解析：∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG. 同理，EH∥FG，四边形EFGH是平行四边形.
平行四边形
3. 如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，
CD⊥AP，AD＝DC＝PD. E，F，G分别为线段PC，PD，BC
的中点，现将△PDC折起，使点P 平面ABCD. 求证：平面
PAB∥平面EFG.
证明：因为E，F分别为PC，PD的中点，所以EF∥CD，
在直角梯形ABCP中，因为BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，所以
CD∥AB，
所以EF∥AB，又EF 平面PAB，AB 平面PAB，
所以EF∥平面PAB，同理可证EG∥平面PAB.
又因为EF∩EG＝E，
所以平面PAB∥平面EFG.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与
m确定的平面为β，则α与β的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 平行
C. 异面 D. 不确定
解析： 因为l∥α，m∥α，l∩m＝P，l与m确定的平面为
β，所以β∥α.
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2. 已知平面α∥平面β，a α，b β，则直线a，b的位置关系是
（ ）
A. 平行 B. 相交
C. 异面 D. 平行或异面
解析： ∵平面α∥平面β，∴平面α与平面β没有公共
点.∵a α，b β，∴直线a，b没有公共点，∴直线a，b的位
置关系是平行或异面.故选D.
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3. 若结论“如果平面α内有三点到平面β的距离相等，那么
α∥β ”是正确的，则这三点必须满足的条件是（ ）
A. 这三点不共线
B. 这三点不共线且在β的同侧
C. 这三点不在β的同侧
D. 这三点不共线且在β的异侧
解析： 首先这三点必须能确定一个平面，即要求这三点不共
线；其次这三点必须在平面β的同侧，确定的平面才会和平面β平
行，如果在平面β的异侧，那么确定的平面和平面β相交.
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4. 如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面
ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A'，B'，C'，若PA'∶AA'＝
2∶3，则S△A'B'C'∶S△ABC＝（ ）
A. 2∶25
B. 4∶25
C. 2∶5
D. 4∶5
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解析： ∵平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为
A'B'，AB，∴AB∥A'B'，同理可得B'C'∥BC，易得
△ABC∽△A'B'C'，S△A'B'C'∶S△ABC＝ ＝ ＝ .
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5. 两个平行平面与另两个平行平面相交得四条直线的位置关系是
（ ）
A. 两两相互平行
B. 两两相交于一点
C. 两两相交但不一定交于同一点
D. 两两相互平行或交于同一点
解析： 根据平面与平面平行的性质定理可知，所得四条直线两
两相互平行.故选A.
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6. （多选）设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平
面，则α∥β的一个充分条件是（ ）
A. 存在一条直线a，a∥α，a∥β
B. 存在一条直线a，a α，a∥β
C. 存在一个平面γ，满足α∥γ，β∥γ
D. 存在两条异面直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
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解析： 对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则
α∥β或α与β相交.故选项A不是α∥β的充分条件；对于选项
B，若存在一条直线a，a α，a∥β，则α∥β或α与β相交，
故选项B不是α∥β的充分条件；对于选项C，平行于同一个平面
的两个平面显然是平行的，故选项C是α∥β的一个充分条件；对
于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面内，
成为相交直线，则有α∥β，所以选项D是α∥β的一个充分条
件.故选C、D.
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7. 已知平面α∥β，直线a α，有下列命题：
①a与β内的所有直线平行；
②a与β内无数条直线平行；
③a与β内的任意一条直线都不垂直.
其中真命题的序号是 .
解析：由面面平行的性质可知，过a与β相交的平面与β的交线才
与a平行，故①错误；②正确；平面β内的直线与直线a平行，异
面均可，其中包括异面垂直，故③错误.
②
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8. 六棱柱的两底面为α，β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，
AD∥BC，则AB与CD的位置关系是 .
解析：因为AD∥BC，且平面ABCD∩α＝AB，平面ABCD∩β
＝CD，又α∥β，所以AB∥CD.
平行
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解析：∵平面MNE∥平面ACB1，∴ME∥AB1，NE∥CB1.∵BE
＝EB1，∴AM＝MB，BN＝NC，∴MN AC.
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10. 如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，
AB∥CD，CD＝2AB，P，Q分别是CC1，C1D1的中点，求证：
平面AD1C∥平面BPQ.
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证明：∵D1Q CD，AB CD，
∴D1Q AB，
∴四边形D1QBA为平行四边形，
∴D1A∥QB.
∵Q，P分别为D1C1，C1C的中点，
∴QP∥D1C.
∵D1C∩D1A＝D1，QP∩QB＝Q，
∴平面AD1C∥平面BPQ.
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11. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和
CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是（ ）
A. 矩形 B. 菱形
C. 平行四边形 D. 正方形
解析： 如图，因为平面和左右两个侧面分
别交于ED1，BF，所以ED1∥BF，同理
D1F∥EB，所以四边形D1EBF是平行四边形.
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12. 如图，已知α∥β，GH，GD，EH分别交α，β于A，B，
C，D，E，F，且GA＝9，AB＝12，BH＝16，则 ＝ ，若
BF＝4，则AE＝ .
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解析：因为α∩平面GAC＝AC，β∩平面GBD＝BD，且
α∥β，所以AC∥BD，同理可证AE∥BF. 因为GA＝9，AB＝
12，AC∥BD，所以 ＝ ＝ ＝ .同理 ＝ ，所以
＝ ，AE＝7.
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13. 如图，在四棱锥C-ABED中，四边形ABED是正方形，点G，
F，P分别是线段EC，BD，CD的中点.
（1）求证：GF∥平面ABC；
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解：证明：如图，连接AE，由F是线
段BD的中点，四边形ABED为正方形得，F
为AE的中点，
∴GF为△AEC的中位线，
∴GF∥AC.
又∵AC 平面ABC，GF 平面ABC，
∴GF∥平面ABC.
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（2）平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系？并证明.
解：平面GFP∥平面ABC，证明如下：
∵点F，P分别为BD，CD的中点，
∴FP为△BCD的中位线，∴FP∥BC.
又∵BC 平面ABC，FP 平面ABC，
∴FP∥平面ABC，
又GF∥平面ABC，FP∩GF＝F，
FP 平面GFP，GF 平面GFP，
∴平面GFP∥平面ABC.
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14. （多选）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方
形，点E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，则在
原四棱锥中（ ）
A. 平面EFGH∥平面ABCD
B. BC∥平面PAD
C. AB∥平面PCD
D. 平面PAD∥平面PAB
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解析： 把平面展开图还原为四棱锥如图
所示，则EH∥AB，又EH 平面ABCD，AB
平面ABCD，∴EH∥平面ABCD. 同理可证
EF∥平面ABCD，又EF∩EH＝E，EF，
EH 平面EFGH，∴平面EFGH∥平面
ABCD，故选项A正确；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交，故选项D错误；∵AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，∴AB∥平面
PCD，同理BC∥平面PAD，故选项B、C正确.
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15. 在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝
a，PB＝PD＝ a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，平面
PAB∩平面PCD＝l.
（1）证明：l∥CD；
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解：证明：因为四边形ABCD为菱
形，所以AB∥CD.
又AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以
AB∥平面PCD.
又AB 平面PAB，平面PAB∩平面PCD
＝l，
所以AB∥l，所以l∥CD.
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（2）在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的
结论.
解：存在.当F是PC的中点时，BF∥平面AEC.
证明如下：如图，取PE的中点M，连接FM.
由于M为PE的中点，F为PC的中点，所以FM∥CE.
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由M为PE的中点，PE∶ED＝2∶1，得EM＝ PE＝ED，
所以E是MD的中点.
连接BM，BD. 设BD∩AC＝O. 因为四边形ABCD是菱
形，所以O为BD的中点，连接OE. 所以BM∥OE.
又MF∩MB＝M，CE∩OE＝E，MF，MB 平面BFM，
CE，OE 平面AEC，所以平面BFM∥平面AEC.
又BF 平面BFM，所以BF∥平面AEC.
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谢 谢 观 看！
