11.4.2 平面与平面垂直
1.在空间四边形ABCD中，如果AD⊥BC，BD⊥AD，那么下列结论正确的是（ ）
A.平面ABC⊥平面ADC
B.平面ABC⊥平面ADB
C.平面ABC⊥平面DBC
D.平面ADC⊥平面DBC
2.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足.若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是（ ）
A.60° B.120°
C.60°或120° D.不确定
3.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（ ）
A.m⊥n，m∥α，n∥β
B.m⊥n，α∩β＝m，n α
C.m∥n，n⊥β，m α
D.m∥n，m⊥α，n⊥β
4.已知长方体ABCD-A1B1C1D1，在平面AA1B1B上任取一点M，作ME⊥AB于点E，则（ ）
A.ME⊥平面ABCD
B.ME 平面ABCD
C.ME∥平面ABCD
D.以上都有可能
5.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点（不同于A，B）且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为（ ）
A.60° B.30°
C.45° D.15°
6.（多选）如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆周上异于A，B任一点，则下列结论中正确的是（ ）
A.PB⊥AC B.PC⊥BC
C.AC⊥平面PBC D.平面PAC⊥平面PBC
7.平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是 .
8.如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面的对数为 .
9.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝ .
10.如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC.
11.（多选）如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面结论成立的是（ ）
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面PAE
D.平面PDE⊥平面ABC
12.已知正三棱锥P-ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，则二面角P-AB-C的正切值是 ，点A到侧面PBC的距离是 .
13.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝.
（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；
（2）求二面角A-BE-P的大小.
14.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，若PA＝AD＝AB＝kBC（0＜k＜1），则（ ）
A.当k＝时，平面BPC⊥平面PCD
B.当k＝时，平面APD⊥平面PCD
C.对任意k∈（0，1），直线PA与底面ABCD都不垂直
D.存在k∈（0，1），使直线PD与直线AC垂直
15.如图①，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，且CM＝2MD.将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，如图②，点E是线段AM的中点.
（1）求四棱锥D-ABCM的体积；
（2）求证：平面BDE⊥平面ABCM；
（3）过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l 平面ABCM；②l⊥AD.请说明理由.
11.4.2 平面与平面垂直
1.D ∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD 平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.
2.C 若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.
3.C 因为n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又m α，由面面垂直的判定定理，所以α⊥β.
4.A ∵ME 平面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，且平面AA1B1B⊥平面ABCD，ME⊥AB，∴ME⊥平面ABCD.
5.C 由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC.又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中，由PA＝AC，得∠PCA＝45°.
6.BD 因为PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，所以PA⊥BC，PA⊥AC，又点C是圆周上异于A，B任一点，所以AC⊥BC，对于A，若PB⊥AC，则可得AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与PA⊥AC矛盾，故A错误；对于B、D，可知BC⊥平面PAC，所以PC⊥BC，由BC 平面PBC可得平面PAC⊥平面PBC，故B、D正确；对于C，由AC与PC不垂直可得AC⊥平面PBC不成立，故C错误.故选B、D.
7.平行 解析：由题意知n⊥α，而m⊥α，所以m∥n.
8.3 解析：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD.所以平面ABC⊥平面BCD.在平行四边形ABCD中，因为AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD.又因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD，共3对.
9.1 解析：因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角.因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中，∠BDC＝90°，BD＝CD＝，所以BC＝ ＝1.
10.证明：（1）因为D，E分别为棱PC，AC的中点，
所以DE∥PA.又PA 平面DEF，DE 平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
（2）因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.
因为DF＝5，所以DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又PA⊥AC，DE∥PA，
所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，AC 平面ABC，EF 平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
又DE 平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.
11.ABC 由题意，知BC∥DF，所以BC∥平面PDF，故结论A成立；易证BC⊥平面PAE，又BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，所以平面PDF⊥平面PAE，故结论B、C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立.
12.2 解析：如图，作PO⊥底面ABC于点O，连接BO并延长交AC于点D，连接CO并延长交AB于点E，连接PE，PD，则PE⊥AB，CE⊥AB，∴∠PEO是二面角P-AB-C的平面角.∵正三棱锥P-ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，∴PO＝2，∠PBO＝45°，∠POB＝90°，∴BO＝CO＝2，EO＝1，∴二面角P-AB-C的正切值为tan∠PEO＝＝2.易得BD＝3，BC＝2，∴S△ABC＝×2×3＝3.易知PD＝，∴S△PBC＝S△PAC＝×2×＝.设点A到侧面PBC的距离为h，∵VP-ABC＝VA-PBC，∴×3×2＝××h，解得h＝，∴点A到侧面PBC的距离为.
13.解：（1）证明：如图所示，连接BD，由四边形ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形.
因为E是CD的中点，
所以BE⊥CD.
又AB∥CD，所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD，BE 平面ABCD，
所以PA⊥BE.
而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB.
又BE 平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB.
（2）由（1）知，BE⊥平面PAB，PB 平面PAB，
所以PB⊥BE.又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，
则∠PBA＝60°.故二面角A-BE-P的大小是60°.
14.A 当k＝时，取PB，PC的中点，分别为M，N，连接MN，AM，DN（图略）.由平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AM.又M为PB的中点，PA＝AB，∴AM⊥PB，可得AM⊥平面PBC，而AD∥BC且AD＝BC，MN∥BC且MN＝BC，∴AD∥MN且AD＝MN，则四边形ADNM为平行四边形，可得AM∥DN，则DN⊥平面BPC.又DN 平面PCD，∴平面BPC⊥平面PCD.故选A.
15.解：（1）由已知DA＝DM，E是AM的中点，
∴DE⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，
∴DE⊥平面ABCM.
四棱锥D-ABCM的体积V＝S四边形ABCM·DE＝×××＝.
（2）证明：由（1）可得，DE⊥平面ABCM，DE 平面DEB，
∴平面BDE⊥平面ABCM.
（3）过B点存在一条直线l，同时满足以下两个条件：
①l 平面ABCM；②l⊥AD.
理由如下：
在平面ABCM中，过点B作直线l（图略），使l⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ABCM∩平面ADM＝AM，
∴l⊥平面ADM，
∴l⊥AD.
3 / 311.4.2 平面与平面垂直
新课程标准解读 核心素养
1.理解二面角及其平面角的概念，会求简单的二面角的平面角 数学抽象、数学运算
2.掌握平面与平面垂直的判定定理、性质定理，能运用性质定理解决一些简单问题 直观想象
观察下面图形：
【问题】 （1）书页所在的平面与桌面有什么样的位置关系？
（2）如果书背与桌面不垂直，书页与桌面还垂直吗？
（3）怎么才能知道两个平面是否垂直呢？
知识点一 二面角
1.定义：从一条直线出发的 所组成的图形称为二面角.这条直线称为二面角的 ，这两个半平面称为二面角的 .
2.画法：
记法：二面角 或二面角 或二面角 或二面角C-AB-D.
3.二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作 于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.平面角是 的二面角称为直二面角.
【想一想】
1.二面角与平面几何中的角相同吗？
2.二面角的平面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关吗？
下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角.
其中正确的是 .
知识点二 平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的定义
（1）定义：如果两个平面α与β所成角的大小为 ，则称这两个平面互相垂直，记作 .
（2）画法：
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 相互转化
判 定 定 理 如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 α⊥β 线面垂直 可得面面垂直
性 质 定 理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 a⊥β 面面垂直 可得线面垂直
提醒 对面面垂直的判定定理的再理解：①该定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”；②定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线；③线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直 线面垂直 面面垂直，这体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握.
【想一想】
1.若性质定理中的“交线”改为“一条直线”，结论会是什么？
2.两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）已知一条直线垂直于某一平面，则过该直线的任意一个平面与该平面都垂直.（ ）
（2）若平面α⊥平面β，任取直线l α，则必有l⊥β.（ ）
（3）已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.（ ）
（4）两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.（ ）
2.直线l⊥平面α，l 平面β，则α与β的位置关系是（ ）
A.平行 B.可能重合
C.相交且垂直 D.相交不垂直
3.平面α⊥平面β，α∩β＝l，m α，m⊥l，则（ ）
A.m∥β
B.m β
C.m⊥β
D.m与β相交但不一定垂直
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中，与面ABCD垂直的面有（ ）
A.1个 B.3个
C.4个 D.5个
题型一 二面角大小的计算
【例1】 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝，则二面角A-BC-A1的大小是（ ）
A.30° B.45°
C.60° D.90°
尝试解答
通性通法
求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”.
【跟踪训练】
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都相等，则二面角A1-BC-A的平面角的正切值为（ ）
A. B.
C.1 D.
题型二 平面与平面垂直的判定
【例2】 如图所示，在四面体ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.
尝试解答
通性通法
证明面面垂直常用的方法
（1）定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
（2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
（3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面.
【跟踪训练】
如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.
题型三 平面与平面垂直的性质
【例3】 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.
尝试解答
通性通法
应用面面垂直的性质定理解决问题的策略
应用面面垂直的性质定理解决相关问题时，一般需要作辅助线——过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后，进一步转化为线线垂直.
【跟踪训练】
如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC.求证：AM⊥平面EBC.
1.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（ ）
A.0个 B.1个
C.无数个 D.1个或无数个
2.（多选）已知l⊥平面α，直线m 平面β，则下列命题正确的有（ ）
A.α∥β l⊥m B.α⊥β l∥m
C.l∥m α⊥β D.l⊥m α∥β
3.下列四个命题中，正确的序号有 .
①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；
②α∥β，β∥γ，则α∥γ；
③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；
④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ.
4.如图所示，三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.
11.4.2 平面与平面垂直
【基础知识·重落实】
知识点一
1.两个半平面 棱 面 2.α-l-β α-AB-β C-l-D
3.垂直 直角
想一想
1.提示：不相同.平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.
2.提示：无关.
自我诊断
② 解析：①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角.
知识点二
1.（1）90° α⊥β
想一想
1.提示：相交或平行.
2.提示：不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面.
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）√ （4）√
2.C 由面面垂直的判定定理，得α与β相交且垂直，故选C.
3.C 如图，∵α⊥β，α∩β＝l，m α，m⊥l，∴m⊥β.故选C.
4.C 与面ABCD垂直的面有面ABB1A1，面BCC1B1，面CDD1C1，面DAA1D1，共4个.
【典型例题·精研析】
【例1】 A 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AB⊥BC，B1B⊥BC，AB∩B1B＝B，AB 平面ABB1A1，BB1 平面ABB1A1，所以BC⊥平面ABB1A1.因为A1B 平面ABB1A1，所以BC⊥A1B.又AB⊥BC，所以∠ABA1即为二面角A-BC-A1的平面角.因为AA1＝1，AB＝，AA1⊥AB，所以∠ABA1＝30°.
跟踪训练
D 设棱长为a，取BC的中点为E，连接A1E，AE（图略）.由正三棱柱ABC-A1B1C1中棱长都相等，可得A1E⊥BC，AE⊥BC，所以二面角A1-BC-A的平面角为∠A1EA，在△ABC中，AE＝a，所以tan∠A1EA＝＝＝.即二面角A1-BC-A的平面角的正切值为.
【例2】 证明：法一（定义法） 因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，
则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.
取BC的中点D，如图所示，
连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以SD＝a，BD＝＝a.
在Rt△ABD中，AD＝a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.
法二（定理法） 因为SA＝SB＝SC，
且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.
因为△SBC为直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD 平面ABC，
所以平面ABC⊥平面SBC.
跟踪训练
证明：∵PC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
∴PC⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
又PC∩AC＝C，PC，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
∵BD 平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC.
【例3】 证明：如图，在平面PAB内，
作AD⊥PB于D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC，
∴AD⊥BC.
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.
又PA∩AD＝A，
∴BC⊥平面PAB.
又AB 平面PAB，
∴BC⊥AB.
跟踪训练
证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC 平面ABC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACDE.
又AM 平面ACDE，
∴BC⊥AM.
∵四边形ACDE是正方形，
∴AM⊥CE.
又BC∩CE＝C，
∴AM⊥平面EBC.
随堂检测
1.D 当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个.
2.AC ∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m β，∴l⊥m，故A正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m β，∴α⊥β，故C正确.
3.①② 解析：③④不正确，如图所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直.
4.证明：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，所以PA⊥平面ABC.
又BC 平面ABC，
所以PA⊥BC.
又因为AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB 平面PAB，PA 平面PAB，所以BC⊥平面PAB.
又BC 平面PBC，
所以平面PAB⊥平面PBC.
5 / 5(共73张PPT)
11.4.2 平面与平面垂直
新课程标准解读 核心素养
1.理解二面角及其平面角的概念，会求简单的二面角
的平面角 数学抽象、
数学运算
2.掌握平面与平面垂直的判定定理、性质定理，能运
用性质定理解决一些简单问题 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
观察下面图形：
【问题】 （1）书页所在的平面与桌面有什么样的位置关系？
（2）如果书背与桌面不垂直，书页与桌面还垂直吗？
（3）怎么才能知道两个平面是否垂直呢？
知识点一 二面角
1. 定义：从一条直线出发的 所组成的图形称为二面
角.这条直线称为二面角的 ，这两个半平面称为二面角
的 .
2. 画法：
记法：二面角 或二面角 或二面角
或二面角C-AB-D.
两个半平面
棱
面
α-l-β
α-AB-β
C-l-
D
3. 二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以
O为垂足，分别在半平面α和β内作 于棱的射线OA和
OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.平面角
是 的二面角称为直二面角.
垂直
直角
【想一想】
1. 二面角与平面几何中的角相同吗？
提示：不相同.平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图
形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.
2. 二面角的平面角的大小，与角的顶点在棱上的位置有关吗？
提示：无关.
下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一
个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相
等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作
射线所成角的最小角.
其中正确的是 .
解析：①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平
面角不是最小角.
②
知识点二 平面与平面垂直
1. 平面与平面垂直的定义
（1）定义：如果两个平面α与β所成角的大小为 ，则称
这两个平面互相垂直，记作 .
（2）画法：
90°
α⊥β
2. 平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 相互转化
判定 定理 如果一个平面经
过另外一个平面
的一条垂线，则
这两个平面互相
垂直 α⊥β 线面垂直
可得面面
垂直
文字语言 图形语言 符号语言 相互转化
性质 定理 如果两个平面互
相垂直，那么在
一个平面内垂直
于它们交线的直
线垂直于另一个
平面 a⊥β 面面垂直
可得线面
垂直
提醒 对面面垂直的判定定理的再理解：①该定理可简记为“线面
垂直，则面面垂直”；②定理的关键词是“过另一面的垂线”，所
以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线；③线、面之间的垂
直关系存在如下转化特征：线线垂直 线面垂直 面面垂直，这体
现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握.
【想一想】
1. 若性质定理中的“交线”改为“一条直线”，结论会是什么？
提示：相交或平行.
2. 两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个
平面吗？
提示：不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一
个平面.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）已知一条直线垂直于某一平面，则过该直线的任意一个平面
与该平面都垂直. （ √ ）
（2）若平面α⊥平面β，任取直线l α，则必有l⊥β.
（ × ）
（3）已知两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，
则此垂线必垂直于另一个平面. （ √ ）
（4）两垂直平面的二面角的平面角大小为90°. （ √ ）
√
×
√
√
2. 直线l⊥平面α，l 平面β，则α与β的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 可能重合
C. 相交且垂直 D. 相交不垂直
解析： 由面面垂直的判定定理，得α与β相交且垂直，故选C.
3. 平面α⊥平面β，α∩β＝l，m α，m⊥l，则（ ）
A. m∥β
B. m β
C. m⊥β
D. m与β相交但不一定垂直
解析： 如图，∵α⊥β，α∩β＝l，m α，
m⊥l，∴m⊥β.故选C.
4. 在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中，与面ABCD垂直的面有
（ ）
A. 1个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
解析： 与面ABCD垂直的面有面ABB1A1，面BCC1B1，面
CDD1C1，面DAA1D1，共4个.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 二面角大小的计算
【例1】 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝
，则二面角A-BC-A1的大小是（ ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析： 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AB⊥BC，
B1B⊥BC，AB∩B1B＝B，AB 平面ABB1A1，BB1 平面ABB1A1，
所以BC⊥平面ABB1A1.因为A1B 平面ABB1A1，所以BC⊥A1B. 又
AB⊥BC，所以∠ABA1即为二面角A-BC-A1的平面角.因为AA1＝1，
AB＝ ，AA1⊥AB，所以∠ABA1＝30°.
通性通法
求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”.
【跟踪训练】
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都相等，则二面角A1-BC-A
的平面角的正切值为（ ）
A. B.
C. 1 D.
解析： 设棱长为a，取BC的中点为E，连接A1E，AE（图略）.
由正三棱柱ABC-A1B1C1中棱长都相等，可得A1E⊥BC，AE⊥BC，
所以二面角A1-BC-A的平面角为∠A1EA，在△ABC中，AE＝ a，
所以tan∠A1EA＝ ＝ ＝ .即二面角A1-BC-A的平面角的正切
值为 .
题型二 平面与平面垂直的判定
【例2】 如图所示，在四面体ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA
＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC. 求证：平面ABC⊥平面SBC.
证明：法一（定义法） 因为∠BSA＝∠CSA＝
60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，
则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.
取BC的中点D，如图所示，
连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以SD＝ a，BD＝ ＝ a.
在Rt△ABD中，AD＝ a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S为直二面角，故
平面ABC⊥平面SBC.
法二（定理法） 因为SA＝SB＝SC，
且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.
因为△SBC为直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD 平面ABC，
所以平面ABC⊥平面SBC.
通性通法
证明面面垂直常用的方法
（1）定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
（2）判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂
直，即把问题转化为“线面垂直”；
（3）性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个
也垂直于此平面.
【跟踪训练】
如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面
ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.
证明：∵PC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，∴PC⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
又PC∩AC＝C，PC，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
∵BD 平面PBD，
∴平面PDB⊥平面PAC.
题型三 平面与平面垂直的性质
【例3】 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平
面PBC. 求证：BC⊥AB.
证明：如图，在平面PAB内，
作AD⊥PB于D.
∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝
PB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC 平面PBC，∴AD⊥BC.
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC.
又PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB 平面PAB，∴BC⊥AB.
通性通法
应用面面垂直的性质定理解决问题的策略
应用面面垂直的性质定理解决相关问题时，一般需要作辅助线—
—过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然
后，进一步转化为线线垂直.
【跟踪训练】
如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与
CE的交点为M，AC⊥BC. 求证：AM⊥平面EBC.
证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，
BC 平面ABC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACDE.
又AM 平面ACDE，∴BC⊥AM.
∵四边形ACDE是正方形，
∴AM⊥CE.
又BC∩CE＝C，
∴AM⊥平面EBC.
1. 经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（ ）
A. 0个 B. 1个
C. 无数个 D. 1个或无数个
解析： 当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，
只有1个.
2. （多选）已知l⊥平面α，直线m 平面β，则下列命题正确的有
（ ）
A. α∥β l⊥m B. α⊥β l∥m
C. l∥m α⊥β D. l⊥m α∥β
解析： ∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m β，∴l⊥m，故A正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m β，∴α⊥β，故C正确.
3. 下列四个命题中，正确的序号有v .
①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；
②α∥β，β∥γ，则α∥γ；
③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；
④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ.
解析：③④不正确，如图所示，α⊥β，γ⊥β，但
α，γ相交且不垂直.
①②
4. 如图所示，三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC. 求证：平面PAB⊥平面PBC.
证明：因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，
PA⊥AC，所以PA⊥平面ABC.
又BC 平面ABC，所以PA⊥BC.
又因为AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB 平面PAB，PA 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB.
又BC 平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在空间四边形ABCD中，如果AD⊥BC，BD⊥AD，那么下列结
论正确的是（ ）
A. 平面ABC⊥平面ADC
B. 平面ABC⊥平面ADB
C. 平面ABC⊥平面DBC
D. 平面ADC⊥平面DBC
解析： ∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面
BCD. 又∵AD 平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.
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2. 从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α，β分别作垂线PE，
PF，E，F为垂足.若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是
（ ）
A. 60° B. 120°
C. 60°或120° D. 不确定
解析： 若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P
在二面角外，则二面角的平面角为60°.
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3. 对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（ ）
A. m⊥n，m∥α，n∥β
B. m⊥n，α∩β＝m，n α
C. m∥n，n⊥β，m α
D. m∥n，m⊥α，n⊥β
解析： 因为n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又m α，由面面垂
直的判定定理，所以α⊥β.
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4. 已知长方体ABCD-A1B1C1D1，在平面AA1B1B上任取一点M，作
ME⊥AB于点E，则（ ）
A. ME⊥平面ABCD
B. ME 平面ABCD
C. ME∥平面ABCD
D. 以上都有可能
解析： ∵ME 平面AA1B1B，平面AA1B1B∩平面ABCD＝
AB，且平面AA1B1B⊥平面ABCD，ME⊥AB，∴ME⊥平面
ABCD.
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5. 如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点
（不同于A，B）且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为（ ）
A. 60° B. 30°
C. 45° D. 15°
解析： 由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC. 又PA∩AC＝A，所
以BC⊥平面PAC，所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在
Rt△PAC中，由PA＝AC，得∠PCA＝45°.
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6. （多选）如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆
周上异于A，B任一点，则下列结论中正确的是（ ）
A. PB⊥AC
B. PC⊥BC
C. AC⊥平面PBC
D. 平面PAC⊥平面PBC
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解析： 因为PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，所以
PA⊥BC，PA⊥AC，又点C是圆周上异于A，B任一点，所以
AC⊥BC，对于A，若PB⊥AC，则可得AC⊥平面PBC，则
AC⊥PC，与PA⊥AC矛盾，故A错误；对于B、D，可知BC⊥平
面PAC，所以PC⊥BC，由BC 平面PBC可得平面PAC⊥平面
PBC，故B、D正确；对于C，由AC与PC不垂直可得AC⊥平面
PBC不成立，故C错误.故选B、D.
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7. 平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直
线m与n的位置关系是 .
解析：由题意知n⊥α，而m⊥α，所以m∥n.
平行
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8. 如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使
平面ABD⊥平面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，
互相垂直的平面的对数为 .
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解析：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
AB⊥BD，所以AB⊥平面BCD. 所以平面ABC⊥平面BCD. 在平
行四边形ABCD中，因为AB⊥BD，AB∥CD，所以CD⊥BD. 又
因为平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，所以平面
ACD⊥平面ABD，共3对.
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9. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则
折叠后BC＝ .
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解析：因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是
二面角B-AD-C的平面角.因为平面ABD⊥平面ACD，所以
∠BDC＝90°.在△BCD中，∠BDC＝90°，BD＝CD＝ ，所
以BC＝ ＝1.
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10. 如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB
的中点.已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.
求证：（1）直线PA∥平面DEF；
证明：因为D，E分别为棱PC，AC的中点，
所以DE∥PA.
又PA 平面DEF，DE 平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
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（2）平面BDE⊥平面ABC.
证明：因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以
DE∥PA，DE＝ PA＝3，EF＝ BC＝4.
因为DF＝5，
所以DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.
又PA⊥AC，DE∥PA，
所以DE⊥AC.
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因为AC∩EF＝E，AC 平面ABC，EF 平面ABC，
所以DE⊥平面ABC.
又DE 平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABC.
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11. （多选）如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，
BC，CA的中点，下面结论成立的是（ ）
A. BC∥平面PDF
B. DF⊥平面PAE
C. 平面PDF⊥平面PAE
D. 平面PDE⊥平面ABC
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解析： 由题意，知BC∥DF，所以BC∥平面PDF，故结论A成立；易证BC⊥平面PAE，又BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，所以平面PDF⊥平面PAE，故结论B、C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立.
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12. 已知正三棱锥P-ABC的高为2，侧棱与底面所成的角为45°，则
二面角P-AB-C的正切值是 ，点A到侧面PBC的距离是 .
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解析：如图，作PO⊥底面ABC于点O，连接
BO并延长交AC于点D，连接CO并延长交AB
于点E，连接PE，PD，则PE⊥AB，
CE⊥AB，∴∠PEO是二面角P-AB-C的平面
角.∵正三棱锥P-ABC的高为2，侧棱与底面所
成的角为45°，∴PO＝2，∠PBO＝45°，∠POB＝90°，∴BO＝CO＝2，EO＝1，∴二面角P-AB-C的正切值为tan∠PEO＝ ＝2.易得BD＝3，
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BC＝2 ，∴S△ABC＝ ×2 ×3＝3 .易知PD＝ ，∴S△PBC＝S△PAC＝ ×2 × ＝ .设点A到侧面PBC的距离为h，∵VP-ABC＝VA-PBC，
∴ ×3 ×2＝ × ×h，解得h＝ ，∴点A到侧面PBC的距离为 .
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13. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，
∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝ .
（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；
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解：证明：如图所示，连接BD，由四
边形ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，
△BCD是等边三角形.
因为E是CD的中点，
所以BE⊥CD.
又AB∥CD，所以BE⊥AB.
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又因为PA⊥平面ABCD，BE 平面ABCD，
所以PA⊥BE.
而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB.
又BE 平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB.
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（2）求二面角A-BE-P的大小.
解：由（1）知，BE⊥平面PAB，PB
平面PAB，
所以PB⊥BE. 又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝ ＝ ，则∠PBA＝60°.故二面角A-BE-P的大小是60°.
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14. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，
AB⊥BC，侧面PAB⊥底面ABCD，若PA＝AD＝AB＝kBC（0
＜k＜1），则（ ）
A. 当k＝ 时，平面BPC⊥平面PCD
B. 当k＝ 时，平面APD⊥平面PCD
C. 对任意k∈（0，1），直线PA与底面ABCD都不垂直
D. 存在k∈（0，1），使直线PD与直线AC垂直
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解析： 当k＝ 时，取PB，PC的中点，分别为M，N，连接
MN，AM，DN（图略）.由平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，
可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AM. 又M为PB的中点，PA＝
AB，∴AM⊥PB，可得AM⊥平面PBC，而AD∥BC且AD＝
BC，MN∥BC且MN＝ BC，∴AD∥MN且AD＝MN，则四边
形ADNM为平行四边形，可得AM∥DN，则DN⊥平面BPC. 又
DN 平面PCD，∴平面BPC⊥平面PCD. 故选A.
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15. 如图①，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝3，M为CD上一点，
且CM＝2MD. 将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面
ABCM，如图②，点E是线段AM的中点.
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（1）求四棱锥D-ABCM的体积；
解：由已知DA＝DM，E是AM的中点，
∴DE⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝
AM，∴DE⊥平面ABCM.
四棱锥D-ABCM的体积V＝ S四边形ABCM·DE＝ × × × ＝ .
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（2）求证：平面BDE⊥平面ABCM；
解：证明：由（1）可得，DE⊥平面ABCM，DE 平
面DEB，
∴平面BDE⊥平面ABCM.
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（3）过B点是否存在一条直线l，同时满足以下两个条件：①l
平面ABCM；②l⊥AD. 请说明理由.
解：过B点存在一条直线l，同时满足以下两个条件：
①l 平面ABCM；②l⊥AD.
理由如下：
在平面ABCM中，过点B作直线l（图略），使l⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，
平面ABCM∩平面ADM＝AM，
∴l⊥平面ADM，
∴l⊥AD.
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谢 谢 观 看！
