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（北师大2024版）
七年级下册数学《第一章 整式的乘除》
复习综合测试卷
时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（每小题3分，共10个小题，共30分）
1．（2024 龙游县一模）化简（﹣x）3 （﹣x）2的结果正确的是（ ）
A．﹣x6 B．x6 C．﹣x5 D．x5
2．（2024春 莱州市期末）若52x+1＝125，则（x﹣2）2022的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2022 D．﹣2022
3．（2024秋 富锦市校级期末）下列计算正确的是（ ）
A．2a2 3ab＝9a3b
B．（x2）3+（x3）2＝2x5
C．（﹣3a2b） （﹣3ab）＝﹣6a3b2
D．（ab）2 （﹣a2b）＝﹣a4b3
4．（2024秋 珠晖区校级期中）已知长方形的面积为4a2﹣6ab+2a，且一边长为2a，则其周长为（ ）
A．4a﹣3b B．8a﹣6b C．4a﹣3b﹣1 D．8a﹣6b+2
5．（2024秋 江油市期中）若计算（3x2+2ax+1） （﹣3x）﹣4x2的结果中不含有x2项，则a的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．
6．（2024秋 岚山区期末）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2+2ab+b2＝（a+b）2
C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 D．（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2
7．（2024秋 太康县期中）对于任意的整数n，能整除代数式（n+3）（n﹣3）﹣（n+2）（n﹣2）的整数是（ ）
A．4 B．5 C．3 D．2
8．（2024 临沂一模）已知8m＝a，16n＝b，其中m，n为正整数，则23m+12n＝（ ）
A．ab2 B．a+b2 C．ab3 D．a+b3
9．（2024秋 东区校级期中）若（x﹣100）2+（x﹣102）2＝6，则（x﹣101）2的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
10．（2024秋 罗湖区校级期中）观察各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…根据以上规律计算：﹣22025+22024﹣22023+22022﹣22021+...+24﹣23+22﹣2+1的值是（ ）
A． B．
C．﹣22026﹣1 D．﹣22025+1
填空题（每小题3分，共16个小题，共18分）
11．（2024秋 普陀区校级期中）用科学记数法表示：（8×108）÷（2×102）＝ ．
12．（2024秋 蒸湘区校级月考）计算：﹣82005×（﹣0.125）2006＝ ．
13．（2024秋 磐石市期末）规定一种新运算“ ”，则有a b＝a2÷b，当x＝﹣1时，代数式（3x2﹣x） x2＝ ．
14．（2024秋 内江期中）若a2+3a＝2，则代数式5a（a+3）﹣2的值是 ．
15．（2024秋 北碚区校级月考）若单项式与﹣xb+6y2a是同类项，则这两个单项式的积是 ．
16．（2024秋 徐汇区校级期中）若a、k为整数，且不论x取何值，关于x的整式（x+a）2和x2+（k+2）x+9的值都相等，则k的值为 ．
三、解答题（共8个小题，共72分）
17．（每小题3分，共9分）计算：
（1）（﹣a）3 a4 （﹣a）﹣（a2）4+（﹣2a4）2．
（2）（2x﹣1）2+（﹣2x+1）（3x﹣1）．
（3）（x+y）（x﹣3y）+（2x2y+6xy2）÷2x．
18．（每小题4分，共8分）（2024春 西湖区校级期中）先化简，再求值，
（1）（x+1）2﹣（x+2）（x﹣3），其中x＝7．
（2）已知2a2+3a﹣6＝0，求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．
19．（9分）（2023春 永丰县期中）已知：a2+b2＝3，a+b＝2．求：
（1）ab的值；
（2）（a﹣b）2的值；
（3）a4+b4的值．
20．（9分）（2024秋 淮阳区月考）如图是小李同学完成的一道作业题，请你参考小李的方法解答下列问题．
作业 计算：45×（﹣0.25）5 解：原式＝（﹣4×0.25）5＝（﹣1）5＝﹣1
（1）计算：
①82023×（﹣0.125）2023；
②（）11×（）13×（）12．
（2）若3×9n×81n＝319，请求出n的值．
21．（8分）（2024春 龙湾区校级期中）某广场有一块长为（5a+3b）米，宽为（4a+2b）米的长方形地块，规划部门计划在其四周各修建一个两边长都为（2a+b）米的直角三角形区域作为道路，在中间修建一个边长为（3a+2b）米的正方形花坛，其余阴影部分规划为绿化地带，尺寸如图所示．
（1）用含a，b的代数式表示绿化地带的面积（结果要化简）．
（2）若a＝5，b＝20，请求出绿化地带的面积．
22．（9分）（2024春 东阳市期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数．
例：计算，（8x2+6x+1）÷（2x+1），可依照672÷21的计算方法用竖式进行计算．因此（8x2+6x+1）÷（2x+1）＝4x+1．
（1）（6x2+7x+2）÷（2x+1）的商是 ．
（2）已知一个长为（x+2），宽为（x﹣2）的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图），用含x的代数式表示a．
（3）在（2）的条件下，另有长方形C的一边长为（x+10），若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长．
23．（10分）（2024春 章丘区期中）阅读：在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+ +x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
（1）【归纳】由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+ +x+1）＝ ；
（2）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：22023+22022+22021+ +22+2+1；
（3）【拓展】请运用上面的方法，求220﹣219+218﹣217+ ﹣23+22﹣2+1的值．
24．（10分）（2024春 港南区期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：
若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2，
∴a2+b2+2ab＝9，∴a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）①若x+y＝6，x2+y2＝28，则xy＝ ；
②若2a+b＝6，ab＝4，则（2a﹣b）2＝ ；
（2）如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝44，求△AFC的面积．
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（北师大2024版）
七年级下册数学《第一章 整式的乘除》
复习综合测试卷
时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（每小题3分，共10个小题，共30分）
1．（2024 龙游县一模）化简（﹣x）3 （﹣x）2的结果正确的是（ ）
A．﹣x6 B．x6 C．﹣x5 D．x5
【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．
【解答】解：（﹣x）3 （﹣x）2＝（﹣x）5＝﹣x5，
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加是解题关键．
2．（2024春 莱州市期末）若52x+1＝125，则（x﹣2）2022的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2022 D．﹣2022
【分析】由已知条件可得2x+1＝3，从而求得x＝1，把其代入所求的式子进行运算即可．
【解答】解：∵52x+1＝125，
∴52x+1＝53，
则2x+1＝3，
解得：x＝1，
∴（x﹣2）2022
＝（1﹣2）2022
＝（﹣1）2022
＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查幂的乘方，解答的关键是熟记幂的乘方的法则：底数不变，指数相乘．
3．（2024秋 富锦市校级期末）下列计算正确的是（ ）
A．2a2 3ab＝9a3b
B．（x2）3+（x3）2＝2x5
C．（﹣3a2b） （﹣3ab）＝﹣6a3b2
D．（ab）2 （﹣a2b）＝﹣a4b3
【分析】直接利用积的乘方运算法则、单项式乘单项式运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：A．2a2 3ab＝6a3b，故此选项不合题意；
B．（x2）3+（x3）2＝2x6，故此选项不合题意；
C．（﹣3a2b） （﹣3ab）＝9a3b2，故此选项不合题意；
D．（ab）2 （﹣a2b）＝﹣a4b3，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了单项式乘单项式、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．（2024秋 珠晖区校级期中）已知长方形的面积为4a2﹣6ab+2a，且一边长为2a，则其周长为（ ）
A．4a﹣3b B．8a﹣6b C．4a﹣3b﹣1 D．8a﹣6b+2
【分析】根据长方形的面积公式，结合已知可得另一边长＝（4a2﹣6ab+2a）÷2a，据此求出另一边的长；再根据长方形的周长＝（长+宽）×2进行计算，问题即可迎刃而解．
【解答】解：另一边长是：（4a2﹣6ab+2a）÷2a＝2a﹣3b+1，
则周长是：2[（2a﹣3b+1）+2a]＝8a﹣6b+2．
故选：D．
【点评】本题考查整式的实际应用，掌握多项式除以单项式的法则是关键．
5．（2024秋 江油市期中）若计算（3x2+2ax+1） （﹣3x）﹣4x2的结果中不含有x2项，则a的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．
【分析】利用单项式乘多项式的法则进行求解，再结合不含x2项，则其相应的系数为0，从而可求解．
【解答】解：（3x2+2ax+1） （﹣3x）﹣4x2
＝﹣9x3﹣6ax2﹣3x﹣4x2
＝﹣9x3+（﹣6a﹣4）x2﹣3x
∵结果中不含有x2项，
∴﹣6a﹣4＝0，
解得a．
故选：C．
【点评】本题主要考查单项式乘多项式，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．（2024秋 岚山区期末）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a2+2ab+b2＝（a+b）2
C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 D．（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2
【分析】分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积，根据面积相等，即可解答．
【解答】解：甲图中阴影部分的面积为：a2﹣2ab+b2，图乙中阴影部分的面积为：（a﹣b）2，
所以a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式，分别计算出甲、乙两图中阴影部分的面积是解决本题的关键．
7．（2024秋 太康县期中）对于任意的整数n，能整除代数式（n+3）（n﹣3）﹣（n+2）（n﹣2）的整数是（ ）
A．4 B．5 C．3 D．2
【分析】原式利用平方差公式化简，去括号合并后即可作出判断．
【解答】解：原式＝n2﹣9﹣（n2﹣4）
＝n2﹣9﹣n2+4
＝﹣5，
则对于任意的整数n，能整除代数式（n+3）（n﹣3）﹣（n+2）（n﹣2）的整数是5．
故选：B．
【点评】此题考查了整式的除法，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
8．（2024 临沂一模）已知8m＝a，16n＝b，其中m，n为正整数，则23m+12n＝（ ）
A．ab2 B．a+b2 C．ab3 D．a+b3
【分析】根据题意可得23m＝a，24n＝b，再根据同底数幂乘法的逆运算可得23m+12n＝23m×212n＝23m×（24n）3＝ab3．
【解答】解：∵8＝23，16＝24，
∴（23）m＝23m＝a，（24）n＝24n＝b，
∴23m+12n＝23m×212n＝23m×（24n）3＝ab3，
故选：C．
【点评】本题主要考查了同底数幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂乘法的逆运算和幂的乘方逆运算的运算法则和运算顺序．
9．（2024秋 东区校级期中）若（x﹣100）2+（x﹣102）2＝6，则（x﹣101）2的值为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【分析】利用完全平方公式等式变形，即可计算求值．
【解答】解：∵（x﹣100）2+（x﹣102）2＝6，
∴[（x﹣101）+1]2+[（x﹣101）﹣1]2＝6
∴（x﹣101）2+2（x﹣101）+1+（x﹣101）2﹣2（x﹣101）+1＝6，
∴2（x﹣101）2＝4，
∴（x﹣101）2＝2．
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的定义是关键．
10．（2024秋 罗湖区校级期中）观察各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…根据以上规律计算：﹣22025+22024﹣22023+22022﹣22021+...+24﹣23+22﹣2+1的值是（ ）
A． B．
C．﹣22026﹣1 D．﹣22025+1
【分析】先计算（﹣2﹣1）[（﹣2）2025+（﹣2）2024+（﹣2）2023+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1]＝（﹣2）2026﹣1，然后再计算所给式子．
【解答】解：∵（﹣2﹣1）[（﹣2）2025+（﹣2）2024+（﹣2）2023+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1]＝（﹣2）2026﹣1＝22026﹣1，
∴原式．
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式的推广，要读懂题目信息并总结出规律，具有规律性是特殊式子的因式分解，解题的关键是找出所给范例展示的规律．
填空题（每小题3分，共16个小题，共18分）
11．（2024秋 普陀区校级期中）用科学记数法表示：（8×108）÷（2×102）＝ ．
【分析】本题考查整式的除法、科学记数法、幂的乘方与积的乘方等，根据整式除法的运算法则和科学记数法进行计算即可．
【解答】解：原式
＝4×106．
故答案为：4×106．
【点评】本题考查了整式的除法，科学记数法﹣表示较大的数，掌握整式的除法的运算法则是关键．
12．（2024秋 蒸湘区校级月考）计算：﹣82005×（﹣0.125）2006＝ ．
【分析】观察式子的特点，发现两个幂的底数互为倒数，因而可以逆用积的乘方运算性质．
【解答】解：﹣82005×（﹣0.125）2006，
＝﹣82005×（﹣0.125）2005×（﹣0.125），
＝（8×0.125）2005（﹣0.125），
＝﹣0.125．
【点评】本题考查了积的乘方的性质，转化为同指数相乘逆用积的乘方的性质是解题的关键．
13．（2024秋 磐石市期末）规定一种新运算“ ”，则有a b＝a2÷b，当x＝﹣1时，代数式（3x2﹣x） x2＝ ．
【分析】根据“ ”的运算方法对题目整理，再根据有理数的混合运算求解即可．
【解答】解：当x＝﹣1时，（3x2﹣x） x2＝4 1＝42÷1＝16，
故答案为：16．
【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
14．（2024秋 内江期中）若a2+3a＝2，则代数式5a（a+3）﹣2的值是 ．
【分析】根据5a（a+3）﹣2＝5（a2+3a）﹣2进行求解即可．
【解答】解：∵a2+3a＝2，
∴5a（a+3）﹣2
＝5（a2+3a）﹣2
＝5×2﹣2
＝10﹣2
＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了单项式乘多项式，代数式求值，熟练掌握整体思想是解题的关键．
15．（2024秋 北碚区校级月考）若单项式与﹣xb+6y2a是同类项，则这两个单项式的积是 ．
【分析】先根据同类项的定义求出a、b的值，再根据单项式乘单项式的法则计算即可．
【解答】解：根据题意得，3a﹣1＝b+6，2a＝﹣b+3，
解得a＝2，b＝﹣1，
所以这两个单项式是和﹣x5y4，
所以，
故答案为：．
【点评】本题考查了单项式乘单项式，同类项，熟练掌握同类项的定义以及单项式乘单项式的法则是解题的关键．
16．（2024秋 徐汇区校级期中）若a、k为整数，且不论x取何值，关于x的整式（x+a）2和x2+（k+2）x+9的值都相等，则k的值为 ．
【分析】根据“x的整式（x+a）2和x2+（k+2）x+9的值都相等”得等式，求出a的值．再求出x的值．
【解答】解：∵x的整式（x+a）2和x2+（k+2）x+9的值都相等，
∴（x+a）2＝x2+（k+2）x+9．
∴x2+2ax+a2＝x2+（k+2）x+9．
∴2a＝k+2，a2＝9．
∴a＝±3，k＝4或k＝﹣8．
故答案为：4或﹣8．
【点评】本题考查了整式的运算，掌握完全平方公式及等式的性质是解决本题的关键．
三、解答题（共8个小题，共72分）
17．（每小题3分，共9分）计算：
（1）（﹣a）3 a4 （﹣a）﹣（a2）4+（﹣2a4）2．
（2）（2x﹣1）2+（﹣2x+1）（3x﹣1）．
（3）（x+y）（x﹣3y）+（2x2y+6xy2）÷2x．
【分析】（1）根据幂的乘方法则和积的乘方法则以及合并同类项解答即可．
（2）先根据完全平方公式，多项式乘多项式的运算法则进行计算，再合并同类项即可．
（3）利用多项式乘多项式的法则，多项式除以单项式的法则，合并同类项法则进行计算，即可得出结果．
【解答】解：（1）（﹣a）3 a4 （﹣a）﹣（a2）4+（﹣2a4）2．
＝a8﹣a8+4a8，
＝4a8．
（2）原式＝原式＝4x2﹣4x+1﹣6x2+2x+3x﹣1
＝﹣2x2+x．
（3）（x+y）（x﹣3y）+（2x2y+6xy2）÷2x
＝x2+xy﹣3xy﹣3y2+（xy+3y2）
＝x2+xy﹣3xy﹣3y2+xy+3y2
＝x2﹣xy．
【点评】本题主要考查本题考查整式的运算，关键是根据幂的乘方法则和积的乘方法则，多项式乘多项式、多项式除以单项式的法则，平方差公式和完全平方公式以及合并同类项是解答解题的关键.
18．（每小题4分，共8分）（2024春 西湖区校级期中）先化简，再求值，
（1）（x+1）2﹣（x+2）（x﹣3），其中x＝7．
（2）已知2a2+3a﹣6＝0，求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．
【分析】（1）原式利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值；
（2）原式利用单项式乘以多项式，平方差公式计算，去括号合并后，将已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝x2+2x+1﹣x2+x+6＝3x+7，
当x＝7时，原式＝21+7＝28；
（2）原式＝6a2+3a﹣4a2+1＝2a2+3a+1，
由2a2+3a﹣6＝0，得到2a2+3a＝6，
则原式＝6+1＝7．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（9分）（2023春 永丰县期中）已知：a2+b2＝3，a+b＝2．求：
（1）ab的值；
（2）（a﹣b）2的值；
（3）a4+b4的值．
【分析】（1）把a+b＝2两边平方，利用完全平方公式得到a2+2ab+b2＝4，然后把a2+b2＝3代入可计算出ab的值；
（2）利用完全平方公式得到（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，然后利用整体代入的方法计算；
（3）利用完全平方公式得到a4+b4＝（a2+b2）2﹣2（ab）2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：（1）∵a+b＝2，
∴（a+b）2＝4，
即a2+2ab+b2＝4，
∵a2+b2＝3，
∴3+2ab＝4，
∴ab；
（2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝4﹣42；
（3）a4+b4
＝（a2+b2）2﹣2a2b2
＝（a2+b2）2﹣2（ab）2
＝32﹣2×（）2
＝9
．
【点评】本题考查了完全平方公式：记住完全平方公式是解决问题的关键．
20．（9分）（2024秋 淮阳区月考）如图是小李同学完成的一道作业题，请你参考小李的方法解答下列问题．
作业 计算：45×（﹣0.25）5 解：原式＝（﹣4×0.25）5＝（﹣1）5＝﹣1
（1）计算：
①82023×（﹣0.125）2023；
②（）11×（）13×（）12．
（2）若3×9n×81n＝319，请求出n的值．
【分析】（1）①逆用积的乘方法则得结论；
②先逆运用同底数幂的乘法法则，再逆用积的乘方法则和乘方法则得结论；
（2）先运用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则得方程，求解即可．
【解答】解：（1）①82023×（﹣0.125）2023
＝（﹣8×0.125）2023
＝（﹣1）2023
＝﹣1；
②（）11×（）13×（）12
＝（）11
；
（2）3×9n×81n
＝3×（32）n×（34）n
＝3×32n×34n
＝31+2n+4n
＝319，
∴1+2n+4n＝19，
∴n＝3．
【点评】本题主要考查了整式的运算，掌握幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方法则是解决本题的关键．
21．（8分）（2024春 龙湾区校级期中）某广场有一块长为（5a+3b）米，宽为（4a+2b）米的长方形地块，规划部门计划在其四周各修建一个两边长都为（2a+b）米的直角三角形区域作为道路，在中间修建一个边长为（3a+2b）米的正方形花坛，其余阴影部分规划为绿化地带，尺寸如图所示．
（1）用含a，b的代数式表示绿化地带的面积（结果要化简）．
（2）若a＝5，b＝20，请求出绿化地带的面积．
【分析】（1）依据题意，绿化地带的面积为（5a+3b）（4a+2b）﹣4（2a+b）2﹣（3a+2b）2＝3a2+2ab（平方米），进而计算可以得解；
（2）依据题意，将a＝5，b＝20代入（1）进行计算可以得解．
【解答】解：（1）（5a+3b）（4a+2b）﹣4（2a+b）2﹣（3a+2b）2
＝20a2+22ab+6b2﹣2（4a2+4ab+b2）﹣（9a2+12ab+4b2）
＝20a2+22ab+6b2﹣8a2﹣8ab﹣2b2﹣9a2﹣12ab﹣4b2
＝3a2+2ab．
∴绿化地带的面积为：（3a2+2ab）平方米．
（2）当a＝5，b＝20时，
3a2+2ab＝3×52+2×5×20
＝75+200
＝275（平方米）．
【点评】本题主要考查了完全平方公式、多项式乘多项式，解题时要熟练掌握并能灵活运用完全平方公式进行计算是关键．
22．（9分）（2024春 东阳市期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数．
例：计算，（8x2+6x+1）÷（2x+1），可依照672÷21的计算方法用竖式进行计算．因此（8x2+6x+1）÷（2x+1）＝4x+1．
（1）（6x2+7x+2）÷（2x+1）的商是 ．
（2）已知一个长为（x+2），宽为（x﹣2）的长方形A，若将它的长增加6，宽增加a就得到一个新长方形B，此时长方形B的周长是A周长的2倍（如图），用含x的代数式表示a．
（3）在（2）的条件下，另有长方形C的一边长为（x+10），若长方形B的面积比C的面积大76，求长方形C的另一边长．
【分析】（1）根据题中竖式求解；
（2）根据题意列出方程求解；
（3）根据题意列出代数式并化简．
【解答】解：（1）由题中竖式得：（6x2+7x+2）÷（2x+1）＝3x+2，
故答案为：3x+2；
（2）由题意得：x+2+6+x﹣2+a＝2（x+2+x﹣2），
解得：a＝2x﹣6；
（3）由题意得：[（x﹣2+2x﹣6）（x+2+6）﹣76]÷（x+10）
＝（3x2+16x﹣140）÷（x+10）
＝3x﹣14．
【点评】本题考查了整式的除法，掌握新运算是解题的关键．
23．（10分）（2024春 章丘区期中）阅读：在计算（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+ +x+1）的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：
【观察】①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
（1）【归纳】由此可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+ +x+1）＝ ；
（2）【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：22023+22022+22021+ +22+2+1；
（3）【拓展】请运用上面的方法，求220﹣219+218﹣217+ ﹣23+22﹣2+1的值．
【分析】（1）利用已知得出式子变化规律，进而得出答案；
（2）利用（1）中变化规律进而得出答案；
（3）将220﹣219+218﹣217+ ﹣23+22﹣2+1转化为（﹣2）20+（﹣2）19+（﹣2）18+（﹣2）17+ +（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1，再利用（2）中变化规律进而得出答案．
【解答】解：（1）①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
……；
∴（x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+ +x+1）＝xn+1﹣1，
故答案为：xn+1﹣1；
（2）22023+22022+22021+ +22+2+1
＝（2﹣1）（22023+22022+22021+ +22+2+1）
＝22024﹣1；
（3）220﹣219+218﹣217+ ﹣23+22﹣2+1
＝（﹣2）20+（﹣2）19+（﹣2）18+（﹣2）17+ +（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）+1
．
【点评】此题主要考查了平方差公式以及数字变化规律，正确得出式子之间的变化规律是解题关键．
24．（10分）（2024春 港南区期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：
若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝3，ab＝1，∴（a+b）2＝9，2ab＝2，
∴a2+b2+2ab＝9，∴a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）①若x+y＝6，x2+y2＝28，则xy＝ ；
②若2a+b＝6，ab＝4，则（2a﹣b）2＝ ；
（2）如图，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝44，求△AFC的面积．
【分析】（1）①利用完全平方公式整体代入求解即可；②利用完全平方公式整体代入求解即可；
（2）设AC＝x，BC＝y，用含有x，y的代数式分别表示S1，S2以及△AFC的面积，再利用题目条件求解即可．
【解答】解：（1）①∵x+y＝6，x2+y2＝28，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝36，
∴28+2xy＝36，
∴xy＝4；
故答案为：4；
②∵2a+b＝6，ab＝4，
∴（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝36，
∴4a2+b2＝36﹣4ab＝36﹣4×4＝20，
∴（2a﹣b）2＝4a2+b2﹣4ab＝20﹣16＝4；
故答案为：4；
（2）设AC＝x，BC＝y，
∵AB＝8，
∴x+y＝8，则（x+y）2＝64，
∵S1+S2＝44，
∴x2+y2＝44，
∴x2+y2+2xy＝44+2xy＝64，
解得：xy＝10，
∴．
【点评】本题主要考查完全平方公式，利用整体代入的方法求解是解决本题的关键．
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