人教版七年级数学下册10.1二元一次方程组的概念教学设计
文档属性
| 名称 | 人教版七年级数学下册10.1二元一次方程组的概念教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 18.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-07 15:24:02 | ||
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文档简介
10.1 二元一次方程组的概念 教学设计
一、内容和内容解析
（一）内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册第十章 “二元一次方程组” 10.1 二元一次方程组的概念，内容包括：理解二元一次方程 (组) 及其解的概念；会检验一对数值是不是某个二元一次方程 (组) 的解；能针对具体问题列出二元一次方程 (组)。
（二）内容解析
本节课内容是方程知识体系的拓展，它丰富了方程的类型，让学生接触到更具一般性和实际应用价值的方程模型，进一步深化对方程概念的理解。二元一次方程 (组) 是进一步学习多元方程 (组)、一次函数等知识的基础。同时，二元一次方程 (组) 是解决实际问题的有力工具，通过学习二元一次方程 (组)，学生能够更好地运用数学知识解决实际问题，提高数学应用能力，增强数学学习的实用性和趣味性。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解二元一次方程 (组) 及其解的概念。
二、目标和目标解析
（一）目标
理解二元一次方程 (组) 及其解的概念；会检验一对数值是不是某个二元一次方程 (组) 的解；能针对具体问题列出二元一次方程 (组)。
体会从实际问题抽象为数学问题的建模思想，在探究二元一次方程 (组) 的概念过程中，体会类比思想。
在分析实际问题，列出二元一次方程 (组) 的过程中，培养数学抽象能力和逻辑推理能力。
（二）目标解析
理解二元一次方程（组）及其解的概念是本节课的基础，检验解是对概念的具体应用，能让学生直观感受方程（组）解的意义。而根据具体问题列出方程（组），则是将所学知识用于解决实际问题，培养学生的数学应用能力，是知识的深化与拓展。
建模思想帮助学生学会用数学的眼光观察现实世界，将实际问题转化为数学模型求解，提升学生分析和解决问题的能力。类比思想通过对比一元一次方程，引导学生自主发现二元一次方程（组）的特点和规律，有助于学生构建完整的知识体系，培养学生的自主学习能力和逻辑思维能力。
数学抽象能力使学生能够从具体情境中提炼出数学要素，并用数学语言表达出来。逻辑推理能力则帮助学生依据已知条件和数学规则，推导出方程（组），培养学生思维的严谨性和条理性，为学生后续学习更复杂的数学知识奠定基础。
三、教学问题诊断分析
概念理解偏差：容易混淆项的次数与未知数的次数，例如将 xy = 3 误判为二元一次方程，对 “含有未知数的项的次数都是 1” 这一关键特征把握不准。
模型建立困难：面对实际问题时难以准确提取两个独立等量关系，如在行程问题中，不能清晰区分路程、速度、时间之间的不同关系，导致无法正确列出方程（组）。
解的判断错误：对公共解概念理解不透彻，忽略代入两个方程验证的必要性，在判断某组数值是否为二元一次方程组的解时，仅代入一个方程进行检验。
应用意识薄弱：不理解建立二元方程组的优越性，习惯用一元一次方程解决问题，缺乏多角度分析问题的意识，对实际问题中为何需要引入两个未知数来构建模型缺乏深入思考。
四、教学过程设计
（一）情景引入
问题呈现：某果园需要采收 800kg 苹果，现有两种采收方案。方案 A：全部用大型采收机，每台每小时采收 50kg；方案 B：混合使用大、小型采收机，其中小型机每台每小时采收 30kg。若同时租用两种机器共 15 台，1 小时完成任务，每种机器各需多少台？
引导思考：如果只设一个未知数（如大型机台数 x），如何列方程？学生尝试：设大型机 x 台，则小型机 (15 - x) 台，方程为 50x + 30 (15 - x)=800。接着提问：若直接设两个未知数（大型机 x 台，小型机 y 台），如何列方程？学生得出：x + y = 15，50x + 30y = 800。
设计意图：通过产生矛盾的问题情境，引发认知冲突，直观体会引入两个未知数的必要性。对比一元与二元方程组的差异，渗透建模思想，对应目标 (2)。
（二）合作探究 1：二元一次方程的特征
展示方程：呈现方程①x + y = 15，②50x + 30y = 800，③2x - 3y = 1，④x/2 + y = 5 等，让学生观察这些方程的特点。
小组讨论：组织学生分组讨论，每个方程中未知数的个数、未知数的次数、式子是否为整式等方面的特征。
归纳总结：小组代表发言后，教师总结归纳二元一次方程的定义：每个方程都含有两个未知数 (x 和 y)，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫作二元一次方程。
针对练习：给出一些方程，如 3x + 2y = 7，xy - 2 = 0，x + 1/y = 3，2x - y = 5 等，让学生判断是否为二元一次方程，并说明理由，强化对二元一次方程概念的理解。
（三）合作探究 2：二元一次方程组的特征
回归情境方程：回到果园采收问题列出的两个方程 x + y = 15 与 50x + 30y = 800，将它们组合在一起。
观察分析：引导学生观察这两个方程组合后的特点，思考它与单个二元一次方程以及之前学过的方程形式的不同之处。
得出定义：教师给出二元一次方程组的定义：这个方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是 1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组。
举例巩固：再列举一些二元一次方程组，如 {x - y = 2, 3x + y = 10}，{2x + 3y = 5, x = 2y} 等，让学生加深对二元一次方程组形式的认识。
（四）合作探究 3：二元一次方程（组）的解
二元一次方程的解：以方程 x + y = 15 为例，探究满足方程且符合实际意义的 x，y 的值，如 x = 1，y = 14；x = 2，y = 13 等，将这些值填入表格。让学生明白使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解，且二元一次方程有无数个解。
二元一次方程组的解：对于方程组 {x + y = 15, 50x + 30y = 800}，让学生尝试找出既满足 x + y = 15，又满足 50x + 30y = 800 的 x，y 的值。通过计算或尝试，学生发现 x = 5，y = 10 是该方程组的解，从而得出二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解，且二元一次方程组一般有唯一解（特殊情况除外）。
检验练习：给出几组数值，如对于方程组 {2x + y = 5, x - y = 1}，判断 {x = 2, y = 1}，{x = 1, y = 3} 是否为该方程组的解，让学生通过代入方程进行检验，巩固对二元一次方程组解的概念的理解。
（五）建立方程（组）模型解决实际问题
例题讲解：在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分。某队在 10 场比赛中得到 16 分，这个队的胜、负场数分别是多少？请列出符合题意的二元一次方程组。设这个队的胜场数是 x，负场数是 y。根据问题中的相等关系 “胜场数 + 负场数 = 总场数” 以及 “胜场得分 + 负场得分 = 总得分”，列得方程组 {x + y = 10, 2x + y = 16}。
练习巩固：加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成 900 件，第二道工序每人每天可完成 1200 件。现有 7 位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？请列出符合题意的二元一次方程组。设安排第一道工序为 x 人，第二道工序为 y 人。根据 “总人数为 7 人” 以及 “两道工序完成件数相等” 这两个等量关系，学生列出方程组 {x + y = 7, 900x = 1200y}，教师进行点评和指导。
（六）课堂小结
知识回顾：与学生一起回顾本节课所学内容，包括二元一次方程的定义、二元一次方程组的定义、二元一次方程（组）解的定义，强化重点知识。
方法总结：总结从实际问题中抽象出二元一次方程（组）模型的方法，以及检验二元一次方程（组）解的方法，提升学生解决问题的能力。
思想提升：强调建模思想和类比思想在本节课学习中的应用，鼓励学生在后续学习中运用这些数学思想探索新知识。
（七）课堂训练
下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A. 3x - 2y = 4z B. 6xy + 9 = 0 C. 1/x + 4y = 6 D. 4x = y - 2/4
若 2x^(2m + 3)+3y^(3n - 7)=0 是关于 x，y 的二元一次方程，则 m = ，n = 。
写出方程 x + 2y = 5 在自然数范围内的所有解。
已知 {x = 2, y = 1} 是二元一次方程组 {mx + ny = 8, nx - my = 1} 的解，则 2m - n 的算术平方根为（ ）
A. ±2 B. √2 C. 2 D. 4
教师对学生的课堂训练进行批改和讲解，针对学生的错误进行分析和纠正，确保学生掌握本节课的知识。
（八）布置作业
基础作业：课本课后练习题，包括判断二元一次方程（组）、求二元一次方程的解、根据实际问题列二元一次方程（组）等基础题型，巩固课堂所学基础知识和技能。
拓展作业：某商店购进甲、乙两种商品，甲商品每件进价 20 元，乙商品每件进价 30 元。若购进两种商品共 100 件，总进价为 2600 元，求购进甲、乙两种商品各多少件？请用二元一次方程组和一元一次方程两种方法求解，并对比两种方法的优缺点，培养学生灵活运用知识解决问题的能力以及分析比较能力。
五、目标检测设计
下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A. {x + y = 4, 2x + 3y = 7} B. {2a - 3b = 11, 5b - 4c = 6} C. {x = 9, y = 2x} D. {x + y = 8, x - y = 4}
方程 3x - 2y = 1 的解有（ ）
A. 一组 B. 两组 C. 三组 D. 无数组
已知 {x = 1, y = -2} 是关于 x，y 的方程 2x - ay = 3 的一个解，则 a 的值为（ ）
A. -1/2 B. -2 C. -1/2 D. 1/2
为了保护环境，某校环保小组成员收集废电池。第一天收集 1 号电池 4 节，5 号电池 5 节，总重量为 460 克；第二天收集 1 号电池 2 节，5 号电池 3 节，总重量为 240 克。设 1 号电池每节重 x 克，5 号电池每节重 y 克，可列方程组为 。
通过这些目标检测题，检验学生对二元一次方程组的概念、解等知识的掌握程度。
一、内容和内容解析
（一）内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册第十章 “二元一次方程组” 10.1 二元一次方程组的概念，内容包括：理解二元一次方程 (组) 及其解的概念；会检验一对数值是不是某个二元一次方程 (组) 的解；能针对具体问题列出二元一次方程 (组)。
（二）内容解析
本节课内容是方程知识体系的拓展，它丰富了方程的类型，让学生接触到更具一般性和实际应用价值的方程模型，进一步深化对方程概念的理解。二元一次方程 (组) 是进一步学习多元方程 (组)、一次函数等知识的基础。同时，二元一次方程 (组) 是解决实际问题的有力工具，通过学习二元一次方程 (组)，学生能够更好地运用数学知识解决实际问题，提高数学应用能力，增强数学学习的实用性和趣味性。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解二元一次方程 (组) 及其解的概念。
二、目标和目标解析
（一）目标
理解二元一次方程 (组) 及其解的概念；会检验一对数值是不是某个二元一次方程 (组) 的解；能针对具体问题列出二元一次方程 (组)。
体会从实际问题抽象为数学问题的建模思想，在探究二元一次方程 (组) 的概念过程中，体会类比思想。
在分析实际问题，列出二元一次方程 (组) 的过程中，培养数学抽象能力和逻辑推理能力。
（二）目标解析
理解二元一次方程（组）及其解的概念是本节课的基础，检验解是对概念的具体应用，能让学生直观感受方程（组）解的意义。而根据具体问题列出方程（组），则是将所学知识用于解决实际问题，培养学生的数学应用能力，是知识的深化与拓展。
建模思想帮助学生学会用数学的眼光观察现实世界，将实际问题转化为数学模型求解，提升学生分析和解决问题的能力。类比思想通过对比一元一次方程，引导学生自主发现二元一次方程（组）的特点和规律，有助于学生构建完整的知识体系，培养学生的自主学习能力和逻辑思维能力。
数学抽象能力使学生能够从具体情境中提炼出数学要素，并用数学语言表达出来。逻辑推理能力则帮助学生依据已知条件和数学规则，推导出方程（组），培养学生思维的严谨性和条理性，为学生后续学习更复杂的数学知识奠定基础。
三、教学问题诊断分析
概念理解偏差：容易混淆项的次数与未知数的次数，例如将 xy = 3 误判为二元一次方程，对 “含有未知数的项的次数都是 1” 这一关键特征把握不准。
模型建立困难：面对实际问题时难以准确提取两个独立等量关系，如在行程问题中，不能清晰区分路程、速度、时间之间的不同关系，导致无法正确列出方程（组）。
解的判断错误：对公共解概念理解不透彻，忽略代入两个方程验证的必要性，在判断某组数值是否为二元一次方程组的解时，仅代入一个方程进行检验。
应用意识薄弱：不理解建立二元方程组的优越性，习惯用一元一次方程解决问题，缺乏多角度分析问题的意识，对实际问题中为何需要引入两个未知数来构建模型缺乏深入思考。
四、教学过程设计
（一）情景引入
问题呈现：某果园需要采收 800kg 苹果，现有两种采收方案。方案 A：全部用大型采收机，每台每小时采收 50kg；方案 B：混合使用大、小型采收机，其中小型机每台每小时采收 30kg。若同时租用两种机器共 15 台，1 小时完成任务，每种机器各需多少台？
引导思考：如果只设一个未知数（如大型机台数 x），如何列方程？学生尝试：设大型机 x 台，则小型机 (15 - x) 台，方程为 50x + 30 (15 - x)=800。接着提问：若直接设两个未知数（大型机 x 台，小型机 y 台），如何列方程？学生得出：x + y = 15，50x + 30y = 800。
设计意图：通过产生矛盾的问题情境，引发认知冲突，直观体会引入两个未知数的必要性。对比一元与二元方程组的差异，渗透建模思想，对应目标 (2)。
（二）合作探究 1：二元一次方程的特征
展示方程：呈现方程①x + y = 15，②50x + 30y = 800，③2x - 3y = 1，④x/2 + y = 5 等，让学生观察这些方程的特点。
小组讨论：组织学生分组讨论，每个方程中未知数的个数、未知数的次数、式子是否为整式等方面的特征。
归纳总结：小组代表发言后，教师总结归纳二元一次方程的定义：每个方程都含有两个未知数 (x 和 y)，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫作二元一次方程。
针对练习：给出一些方程，如 3x + 2y = 7，xy - 2 = 0，x + 1/y = 3，2x - y = 5 等，让学生判断是否为二元一次方程，并说明理由，强化对二元一次方程概念的理解。
（三）合作探究 2：二元一次方程组的特征
回归情境方程：回到果园采收问题列出的两个方程 x + y = 15 与 50x + 30y = 800，将它们组合在一起。
观察分析：引导学生观察这两个方程组合后的特点，思考它与单个二元一次方程以及之前学过的方程形式的不同之处。
得出定义：教师给出二元一次方程组的定义：这个方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是 1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组。
举例巩固：再列举一些二元一次方程组，如 {x - y = 2, 3x + y = 10}，{2x + 3y = 5, x = 2y} 等，让学生加深对二元一次方程组形式的认识。
（四）合作探究 3：二元一次方程（组）的解
二元一次方程的解：以方程 x + y = 15 为例，探究满足方程且符合实际意义的 x，y 的值，如 x = 1，y = 14；x = 2，y = 13 等，将这些值填入表格。让学生明白使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解，且二元一次方程有无数个解。
二元一次方程组的解：对于方程组 {x + y = 15, 50x + 30y = 800}，让学生尝试找出既满足 x + y = 15，又满足 50x + 30y = 800 的 x，y 的值。通过计算或尝试，学生发现 x = 5，y = 10 是该方程组的解，从而得出二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解，且二元一次方程组一般有唯一解（特殊情况除外）。
检验练习：给出几组数值，如对于方程组 {2x + y = 5, x - y = 1}，判断 {x = 2, y = 1}，{x = 1, y = 3} 是否为该方程组的解，让学生通过代入方程进行检验，巩固对二元一次方程组解的概念的理解。
（五）建立方程（组）模型解决实际问题
例题讲解：在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分。某队在 10 场比赛中得到 16 分，这个队的胜、负场数分别是多少？请列出符合题意的二元一次方程组。设这个队的胜场数是 x，负场数是 y。根据问题中的相等关系 “胜场数 + 负场数 = 总场数” 以及 “胜场得分 + 负场得分 = 总得分”，列得方程组 {x + y = 10, 2x + y = 16}。
练习巩固：加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成 900 件，第二道工序每人每天可完成 1200 件。现有 7 位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？请列出符合题意的二元一次方程组。设安排第一道工序为 x 人，第二道工序为 y 人。根据 “总人数为 7 人” 以及 “两道工序完成件数相等” 这两个等量关系，学生列出方程组 {x + y = 7, 900x = 1200y}，教师进行点评和指导。
（六）课堂小结
知识回顾：与学生一起回顾本节课所学内容，包括二元一次方程的定义、二元一次方程组的定义、二元一次方程（组）解的定义，强化重点知识。
方法总结：总结从实际问题中抽象出二元一次方程（组）模型的方法，以及检验二元一次方程（组）解的方法，提升学生解决问题的能力。
思想提升：强调建模思想和类比思想在本节课学习中的应用，鼓励学生在后续学习中运用这些数学思想探索新知识。
（七）课堂训练
下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A. 3x - 2y = 4z B. 6xy + 9 = 0 C. 1/x + 4y = 6 D. 4x = y - 2/4
若 2x^(2m + 3)+3y^(3n - 7)=0 是关于 x，y 的二元一次方程，则 m = ，n = 。
写出方程 x + 2y = 5 在自然数范围内的所有解。
已知 {x = 2, y = 1} 是二元一次方程组 {mx + ny = 8, nx - my = 1} 的解，则 2m - n 的算术平方根为（ ）
A. ±2 B. √2 C. 2 D. 4
教师对学生的课堂训练进行批改和讲解，针对学生的错误进行分析和纠正，确保学生掌握本节课的知识。
（八）布置作业
基础作业：课本课后练习题，包括判断二元一次方程（组）、求二元一次方程的解、根据实际问题列二元一次方程（组）等基础题型，巩固课堂所学基础知识和技能。
拓展作业：某商店购进甲、乙两种商品，甲商品每件进价 20 元，乙商品每件进价 30 元。若购进两种商品共 100 件，总进价为 2600 元，求购进甲、乙两种商品各多少件？请用二元一次方程组和一元一次方程两种方法求解，并对比两种方法的优缺点，培养学生灵活运用知识解决问题的能力以及分析比较能力。
五、目标检测设计
下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A. {x + y = 4, 2x + 3y = 7} B. {2a - 3b = 11, 5b - 4c = 6} C. {x = 9, y = 2x} D. {x + y = 8, x - y = 4}
方程 3x - 2y = 1 的解有（ ）
A. 一组 B. 两组 C. 三组 D. 无数组
已知 {x = 1, y = -2} 是关于 x，y 的方程 2x - ay = 3 的一个解，则 a 的值为（ ）
A. -1/2 B. -2 C. -1/2 D. 1/2
为了保护环境，某校环保小组成员收集废电池。第一天收集 1 号电池 4 节，5 号电池 5 节，总重量为 460 克；第二天收集 1 号电池 2 节，5 号电池 3 节，总重量为 240 克。设 1 号电池每节重 x 克，5 号电池每节重 y 克，可列方程组为 。
通过这些目标检测题，检验学生对二元一次方程组的概念、解等知识的掌握程度。
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