人教A版（2019）必修第一册 3.2.2 函数的奇偶性 教案

《函数的奇偶性》教学设计
教学内容解析
函数的奇偶性是继函数单调性后又一重要性质，也是函数概念与表示的进一步延展和深入。与函数单调性不同，函数的奇偶性是函数的整体性质，它要求定义域中任意一个自变量都具有这样的特性。
教材在处理函数的奇偶性时，沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生获得函数奇偶性的直观定性认识，然后利用表格研究发现数量变化特征，最后通过代数运算，验证发现数量特征的普遍性，在此基础上建立偶函数（奇函数）的概念，概括起来就是：具体函数——图象特征（对称性）——数量刻画——符号语言——抽象定义——奇偶性判定。函数的性质在教学时，应注重引导学生主动思考，主动建构，主动学习。教学中要把学习函数性质的一般思维展现出来，揭示函数性质中的特殊点和变化中的规律性，将代数与图象结合起来引导学生突破认识上的误区和难点。从实例出发，归纳共同特征，再概括到同类事物中形成一般性质。这种过程也有利于培养学生数学运算、直观想象、数学抽象素养。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：函数奇偶性的概念及简单函数奇偶性的判断。
教学目标设置
1.从具体函数出发，引导学生探索如何用数量关系刻画函数图象的对称性，进而理解函数奇偶性的概念。
2.学会利用图象特征和奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性，能利用奇偶性解决一些简单问题。
3.引导学生经历从特殊到一般的数学过程，会用数学符号语言描述函数奇偶性，结合前面学习的常用逻辑用语量词的表达，体会数学的严谨性，提升学生的直观想象、逻辑推理、数学抽象核心素养。
教学问题诊断分析
学生在初中的时候已经学习了关于图形对称的相关知识，对一次函数，二次函数，反比例函数的图象也比较熟悉，这部分知识有助于学生判断函数的对称性，获得直观上的感受。经历了单调性的学习，学生知道用前面学习的逻辑用语描述数学中的规律和特征。困难的是学生从图表中总结数字特征，再抽象到符号语言。同时，学生的概念生成经历不足，自主探究和探索能力有待提高。所以，在教学过程中应注重引导学生，进而加深对概念本质的理解。
教学策略分析
本节课继续采用函数的单调性研究方法，即“具体函数——图象特征——数量刻画——符号语言——抽象定义——概念理解”。
教学方法采用问题探究式教学，通过设置问题，引导学生在思考问题中逐步深入概念，研究主线是“生活实例——函数图象——数量表征——符号表达”，先从实际生活中的对称出发，引导学生关注函数图象的对称性，然后利用数据表格说明图象特征，通过设问引导学生获得关于定义中定义域“任意”的理解，最后顺利的建立偶函数（奇函数）的概念。学生在学法上，采用了“设问——探究——归纳——定论”层层递进的方式突破难点，将知识的生成和发展过程介绍给学生，注重学习过程体验。这样能够适应不同层次学生学习的需要，给他们机会自我表达与创造。
教学过程设计
引导语：在上节课我们从“形”和“数”两个方面认识了函数的单调性，能够用符号语言精确地刻画函数在每个区间上的上升和下降。这节课我们继续学习函数的另外一个性质。
情境设置
问题1：请同学们观察下面两幅图，它们在结构上有什么特征？它们是什么图形？
图1 图2
师生活动：学生观察图片，回答问题。教师引导学生回顾初中学过的对称知识。
追问：函数图象是否也有对称性呢？
设计意图：设置生活情境，激发学生的学习兴趣，唤起旧知识，连接新知识，建立知识桥梁，自然过渡到本节课研究的主题。
概念探究
活动探究：请同学完成下列表格，并作出函数和的图象。
问题2：观察图象，你能得出什么结论？
追问：你是依据什么判断图象对称的？
追问：以前学习的对称知识可以说明对称吗？
设计意图：通过让学生动手操作，回顾函数的的三种表示方法，由直观的图象得到直观的感知。学生通过观察图象容易感受到图像的对称特点，但是问到是依据什么判断时，学生会将开头回顾的对称知识进行回答，起到前后呼应的作用。但是以上函数的图象不能简单的通过沿对称轴折叠，因为函数图象是无穷延展的。这就造成了认知矛盾，需要学生用更加精确地数学逻辑来说明。结合图表，学生容易想到“任意”“任何”的函数值都满足与其相反数的函数值相等，初步突破了概念中“任意”的理解障碍。
问题3：请同学们画出函数和的图象。观察函数图象是是否还关于轴对称？为什么？
预设：有些学生可能还借助于对称的知识即“沿着对称轴折叠”来回答，因为这时候的图象两边不可以无限延展。有些学生会直接用上一问题的结论进行回答，即这里不能满足任意的，都有。
问题4：函数图象关于轴对称的定义域需要满足什么条件？你能用数学符号语言表示该条件吗？
问题5：定义域关于原点对称函数图象一定关于轴对称吗？定义域关于原点对称是函数图象关于轴对称的什么条件呢？
设计意图：通过改变函数定义域，得到的函数图象不再关于轴对称，引导学生思考其中的原因，进一步加深对问题2中得到结论的深度认识，即“，都有”是满足“对任意的，函数值都与其相反数函数值相等”的必要条件，第二次突破概念中“任意”的理解，为后面概念的建构做铺垫。
问题6：通过以上分析探究，你能用数学符号语言描述“函数图象关于对称”的特征吗？
师生活动：学生自主发言，用数学语言描述函数图象关于轴对称的数学语言。教师进行总结概括，并说明图象关于轴对称的函数叫偶函数。
追问：现在同学们能说说什么是偶函数吗？你能举出几个偶函数的例子吗？
设计意图：引导学生总结函数图象关于轴对称的数学符号语言，实现从“图形语言”到“文字语言”再到“符号语言”的认识，进而得出偶函数的定义。学生举偶函数的例子，加深了对概念的理解。
问题7：函数和这两个函数图象有什么共同特征？
问题8：你能用数学符号语言描述这个特征吗？
问题9：你能给奇函数下个定义吗？
问题10：你能举出几个奇函数的例子吗？
师生活动：组织学生思考回答问题，总结奇函数概念。
设计意图：类比偶函数，学生通过探究合作交流，建构奇函数概念。再次运用数学符号语言概括规律特征，加强数学概念的概括能力。
概念的理解和初步应用
例1.判断下列函数的奇偶性
（1）; （2）; （3）；（4）.
师生活动：师生一起分析的奇偶性，教师板书判断步骤过程，学生完成剩下三小题。
设计意图：利用课本上的例题，学会用定义判断简单函数奇偶性的一般步骤。
思考：（1）判断函数的奇偶性。
（2）下图是函数图象的一部分，你能根据的奇偶性画出它在轴左边的图象吗？
（3）一般地，如果知道为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？
设计意图：通过课本上的思考题，巩固对函数奇偶性概念的理解。利用奇偶性画出函数的图象，学生体会到了由“数”到“形”的逆向思维，由此顺利的总结一般情况下如何简化研究奇偶函数，即可以根据轴一侧的图象和性质，依据对称性得到其在轴另一侧侧的图象和性质。
课堂小结
1.回顾本节课关于奇偶函数的定义探究过程及数学符号定义；
2.判断函数的奇偶性的一般步骤；
3.根据函数的奇偶性，如何简化分析它的性质。
师生活动：组织学生主动发言回顾本节课知识，教师总结。
设计意图：回顾知识形成过程，有利于学生学会总结和反思，提升数学学习能力。通过概括奇偶性的定义和判断函数奇偶性的一般方法，帮助学生检验本节课的学习情况。
作业布置
课本第85页练习1,2题。
第2题补充（3）
目标检测设计
1.填空：
（1）已知函数是定义在上的偶函数，那么的值是
（2）若函数为奇函数，则
2.课本习题3.2第11题。
设计意图：考察并加深学生对奇偶性概念的理解，检验学生对函数的奇偶性简单运用能力。
《函数的奇偶性》教学实录
1.情景导入
师：请同学们观察上面两幅图，它们在结构上有什么特征？是什么图形？
学生1：它们都是对称图形。
学生2：第一幅是轴对称，第二幅是中心对称。
师：我们是如何判断图形对称的？
学生：轴对称图形能够沿着某个对称轴折叠重合，中心对称是能否绕某点旋转180°重合。
师：同学们总结的很好，函数图象是否也有对称性呢？
2.概念探究
师：请大家完成表格，画出函数和的图象。
学生：完成表格，用描点法画出函数图象。
师：观察函数图象，在结构上你能得出什么结论？
学生1：两个函数图象是轴对称图形。
学生2：两个函数图象都关于轴对称.
师：你是怎么判断函数图象对称的？
学生：通过折叠关于轴对称。
师：可是这两个图象左右两边都是无限延伸的，可以通过折叠说明对称吗？
学生1：我们可以一一验证函数值来说明。
学生2：通过图表我们发现任何的和对应的函数值相等。
师：我们要一一验证码？那样多麻烦，有没有什么好的办法呢？
学生1：两个函数都有的特点。
学生2：应该是对所有的来说，都有。
师：同学们总结的很好，我们发现这两个函数都能说明对任意的，都有，我们就能说明图象关于轴对称了。下面请同学们画出函数和的图象。观察函数图象是否还关于轴对称？为什么？
学生：画出函数和的图象。
学生：函数图象不关于轴对称。
师：为什么？
学生1：这时可以通过折叠了，两边不能重合。
学生2：因为定义域不对称，不能满足任意的，都有。
师：刚才几位同学回答的都很对，无论是通过折叠还是定义域不能满足任意的，都有，我们都发现函数图象要关于轴对称，其定义域必须对称，即关于原点对称，这样才能使得无论取什么，都能取到。结合前面学习的“全称量词，存在量词”知识，你能用符号表示该条件吗？
学生：，都有。
师：非常好，我们能用前面学习“充分条件，必要条件”知识，说说定义域关于原点对称是函数图象关于轴对称的什么条件吗？
学生1：必要条件。
学生2：必要不充分条件。
师：对，应该是必要不充分条件。通过以上分析探究，你能用数学符号语言描述“函数图像关于对称”的特征吗？
学生：对，都有，有。
师：同学们总结的非常好。我们把函数图象关于轴对称的函数称为偶函数，现在同学们能给偶函数下个定义吗？
学生1：一个函数，如果满足对，都有，有。
学生2：一个函数的定义域为，对，都有，都有，是偶函数。
师：同学们概括的非常准确，一般地，设函数定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数。同学们能举几个偶函数的例子吗？
学生1：。
学生2：。
学生3：。
师：接下来请同学们思考函数和这两个函数图象有什么共同特征？
学生：关于原点对称。
师：你能模仿偶函数用数学符号语言描述这个特征吗？
学生：对，都有，都有。
师：同学们异口同声的说出了答案，都很棒。其实，我们把函数图象关于原点对称的函数称之为奇函数。那同学们能给奇函数下个定义吗？
学生：一般地，设函数定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数。
师：同学们概括的很好，大家能不能举几个奇函数的例子呢？
学生1：。
学生2：。
学生3：。
3.概念的理解和初步应用
师：看来大家基本都了解奇函数的概念了。接下来我们看看如何来判断函数的奇偶性。请同学们思考并判断以下几个函数的奇偶性：（1）; （2）; （3）；（4）。我们一起看第一个函数，函数的定义域为，满足对，都有。且，所以函数为偶函数。剩下的函数请同学们按照这个步骤自己判断。
学生：判断其他几个函数的奇偶性。
师：同学们判断的很对，请同学们阅读并思考课本第85页思考题。
学生1：函数是奇函数。
学生2：可以根据奇函数图象关于原点对称画出轴左边图象。
学生3：如果知道函数的奇偶性，我们可以只研究其定义域（或）的性质，另一半的性质可以根据对称性去判断。
4.课堂小结
师：各位同学回答和总结都很精确。有没有哪位同学可以把本节课学习的知识总结一下。
学生1：我们学习了什么是偶函数，什么是奇函数，会判断函数的奇偶性。
学生2：学习了偶函数、奇函数的概念。
教师总结：是的，我们一起把偶函数、奇函数概念复述一遍吧。我们学习了如何判断一个函数的奇偶性，我们还知道如何简化对偶函数或奇函数的研究。请同学们完成课后作业，做好复习巩固。
课后反思
本节课从生活情境出发，引起学生的关注，回顾初中学习的对称知识，为后面作图判断偶函数图象对称做铺垫。通过设置问题，从而引发认知冲突，原有的对称知识从逻辑上不能说明函数图象对称。由此学生想到可以验证所有的函数值相等，但也是不可操作的，进一步激发学生联想到把图象对称规律用简单的数学符号表示。在认知上初步突破了概念中的“任意的，都有”的理解，有效的突破了难点。后面通过改变函数的定义域，学生通过作图发现图象不再关于轴对称。用问题的层层引入，加深了学生对“任意的，都有”的理解，明确了函数图象关于轴对称，前提是定义域关于原点对称，即“，都有”。偶函数的概念呼之欲出，概念自然生成。
本节课的不足之处在于学生在做函数图象的时候有点随意，画出来的图象不美观，画图时间少，加快了课堂节奏。讨论并回答问题的时候气氛有时过于活跃，不利于课堂进度的把握，需要及时把控。