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函数的基本性质
环节三 函数的奇偶性
问题1
单调性是刻画函数变化趋势的一个性质,最大(小)值是刻画函数
变化上(下)限的一个性质,其实在有些问题中,变化还呈现了对称性,
你能举出具有对称性的函数的例子吗?
答案:
还有形如图1的函数.
结论:
问题1中我们所举的例子主要涉及两类特殊的对称性,关于原点对称
和y轴对称,这种性质我们称之为奇偶性.
引入新课
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问题2
类比函数单调性的探究思路,你能说说如何研究奇偶性吗?
答案:
先分析具体函数的图象特征(对称性),获得函数奇偶性的
直观定性认识,然后利用动图或表格研究发现数量变化特征,再
用符号语言定量刻画,抽象出奇偶性的定义.
问题3
观察函数f(x)=x2和g(x)=2-|x|的图象(图2),思考以下问题:
(1)你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗?
(2)你能用符号语言描述该特征吗?
探究新知
问题3
追问1 宏观上看,这两个图象关于y轴对称;微观上看,除了y轴上
的点,其余的点都是成对出现.任取函数f(x)=x2的图象上一点A,
你能在图象上作出该点关于y轴的对称点吗?
答案:若点A在y轴上,则对称点就是它本身;若点A不在y轴上,过
A作y轴的垂线与函数图象交于另一点A′,此时点A与点A′就是一组
对称点.
探究新知
问题3
追问2 你能说说这组对称点的坐标之间的关系吗?
答案: 横坐标相反,纵坐标相同(如图3).
追问3 你能用函数语言描述该特征吗?
答案:当函数的自变量取一对相反数时,相应
的两个函数值相等.
探究新知
问题3
问题3答案:(1)这两个的图象都关于y轴对称.
(2) x∈R,f(-x)=(-x)2=x2=f(x).
探究新知
问题3
追问4 你能仿照上述过程,说明函数g(x)=2-|x|也是偶函数吗?
首先,图象关于y轴对称,
任取图象上的一组关于y轴对称的点,
它们的横坐标相反,纵坐标相同(如图);
其次,从函数符号的角度,
当函数的自变量取一对相反数时,
即: x∈R,g(-x)=2-|-x|=2-|x|=g(x),
相应的函数值相等,
g(x)=2-|x|是偶函数.
答案:
探究新知
问题3
结论
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么函数就叫做偶函数.
追问5 “ x∈D,都有-x∈D”说明定义域D具有什么性质?
定义域关于原点对称.
答案:
探究新知
问题4
观察函数f(x)=x和 的图象(图5),思考以下问题:
(1)你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗?
(2)你能用符号语言描述该特征吗?
探究新知
问题4
追问1 宏观上看,这两个图象关于原点中心对称;微观上看,除了原点(如果原点在图象上),其余的点都是成对出现.任取函数f(x)=x的图象上一点A,你能在图象上作出该点关于原点的对称点吗?
若点A是原点O,则对称点就是它本身;
若点A不是原点,将A绕原点O旋转180°得到A′,
此时点A与点A′就是一组对称点.
答案:
探究新知
问题4
追问2 你能说说这组对称点的坐标之间的关系吗?
坐横标相反,纵坐标相反(图6).
追问3 你能用函数语言描述该特征吗?
当函数的自变量取一对相反数时,
相应的两个函数值相反.
答案:
答案:
探究新知
问题4的答案:
(1)两个的图象都关于原点成中心对称图形.
(2) x∈R,f(-x)=-x=-f(x).
结论:
x∈R,f(-x)=-f(x),这时称函数f(x)=x为奇函数.
探究新知
问题4
追问4 你能仿照上述过程,说明函数 也是奇函数吗?
首先,图象关于原点中心对称,
任取图象上的一组关于原点轴对称的点,
它们的横坐标相反,纵坐标也相反(如图);
答案:
探究新知
问题4
其次,从函数符号的角度,
当函数的自变量取一对相反数时,
即: x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
相应的函数值相反,
g(-x)= = =-g(x),函数g(x)= 是奇函数.
探究新知
探究新知
结论:
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有-x∈D,
且f(-x)=-f(x),那么函数就叫做奇函数.
例1
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x4; (2)f(x)=x5;
(3)f(x)=x+ ; (4)f(x)= .
解:(1)函数f(x)=x4的定义域为R.
x∈R,都有-x∈R,
函数f(x)=x4为偶函数.
且f(-x)=(-x)4=x4=f(x),
知识应用
例1
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x4; (2)f(x)=x5;
(3)f(x)=x+ ; (4)f(x)= .
解:
(2)函数f(x)=x5定义域为R.
x∈R,都有-x∈R,
函数f(x)=x5为奇函数.
知识应用
例1
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x4; (2)f(x)=x5;
(3)f(x)=x+ ; (4)f(x)= .
解:
x∈D,都有-x∈D,
(3)函数f(x)=x+ 的定义域D为(-∞,0)∪(0,+∞).
且f(-x)=-x+ =-(x+ )=-f(x),
函数f(x)=x+ 为奇函数.
知识应用
例1
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x4; (2)f(x)=x5;
(3)f(x)=x+ ; (4)f(x)= .
解:
x∈D,都有-x∈D,
(4)函数f(x)= 的定义域D为(-∞,0)∪(0,+∞).
且f(-x)= = =f(x),
函数f(x)= 为偶函数.
知识应用
例1
追问1 你能总结用定义法判断奇偶性的步骤吗?
第一步,求函数的定义域D.
第二步,判断定义域是否关于原点对称.
若否,则函数不具有奇偶性,结束判断;
若是,则进行第三步.
第三步, x∈D,计算f(-x).
若f(-x)=f(x),则为偶函数;
若f(-x)=-f(x),则为奇函数;
若f(-x)与f(x)既不相等也不相反,则既不是奇函数也不是偶函数.
知识应用
例1
追问2 思考
(1)判断函数f(x)=x3+x的奇偶性.
(2)图8是函数f(x)=x3+x图象的一部分,你能根据f(x)的奇偶性画出它在y轴左边的图象吗?
(3)一般地,如果知道y=f(x)为偶(奇)函数,
那么我们可以怎样简化对它的研究?
知识应用
知识应用
例1
答案:
(1) x∈R,都有-x∈R,
且f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),
函数f(x)=x3+x为奇函数.
(2)因为是奇函数,所以图象关于原点中心对称,
我们可以先将图象沿着y轴翻折,
再沿着x轴翻折就可以得到y轴左边的
图象(右图).
(3)一般我们只需要研究y轴一侧的性质,
然后根据对称性推断得到
它在整个定义域内的性质.
归纳总结
问题5 回忆本节课的内容,请你回答以下几个问题:
(1)什么是奇(偶)函数?用定义判定奇偶性的步骤是怎样的?
(2)请你比较奇函数的定义与偶函数的定义,说说这两者的异同.
(3)这三课时中我们研究了函数的基本性质,你能用一个思维导图来表示一下这些内容和研究方法吗?
问题5答案:
(1)概念和步骤略;
(2)相同点:①定义域关于原点对称;②都是函数的整体性质.
不同点:①偶函数的图象关于y轴对称,而奇函数的图象关于原点对称;
②当自变量取一对相反数时,偶函数的函数值相同,而奇函数的函数值相反.
归纳总结
问题5答案:
(3)思维导图:
归纳总结
再 见