人教A版（2019）必修第一册 3.3 幂函数 环节一 幂函数 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
幂 函 数
环节一 幂函数
问题1　在前两个单元的学习中，我们为研究函数设定了一个基本框架，你能说说研究一个函数从哪些方面入手吗？
答案：
首先结合实际背景抽象出函数模型，能够用解析法、表格法、图象法恰当地表示函数，当厘清概念之后，着手研究函数的图象与性质，最后应用函数解决实际问题．
引入新课
问题2　观察（1）～（5）中的函数解析式，你能发现它们的共同特征吗？
（1）如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数；
（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；
（3）如果立方体的边长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数；
（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么正方形的边长c＝ ，这里c是S的函数；
（5）如果某人t s内骑车行进1 km，那么他骑车的平均速度v＝ ，这里v是t的函数．
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追问1　你还能举几个相同结构的函数的例子吗？
答案：y＝x0，y＝x4，y＝x－2，y＝ 等．
共同特征是：函数解析式是幂的形式，且指数是常数，底数是自变量．
问题2　观察（1）～（5）中的函数解析式，你能发现它们的共同特征吗？
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幂函数定义：
一般地，函数y＝xα叫做幂函数（power function），其中x为自变量，α为常数．
对于幂函数，我们只研究α＝1，2，3， ，－1时的图象与性质．
引入新课
问题3　按照问题1中搭建的框架，接下来我们需要研究幂函数的图象与性质了，你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究幂函数性质的方法吗？
答案：通常先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题.
探究新知
图1
问题4　请你在同一坐标系中画出函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ 和y＝ 的图象，结合解析式观察函数图象，将你发现的结论填写在表内．
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝
定义域
值域
奇偶性
单调性
探究新知
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝
定义域
值域
奇偶性
单调性
在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增
R
R
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
{y|y≥0}
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
非奇非偶函数
在（－∞，＋∞）上单调递增
在（－∞，＋∞）上单调递增
在[0，＋∞）上单调递增
在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递减
问题4　请你在同一坐标系中画出函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ 和y＝ 的图象，结合解析式观察函数图象，将你发现的结论填写在表内．
表1
探究新知
追问1　结合图1和表1，你能总结出这5个幂函数的共性吗？
答案：图象都过点（1，1），图象都经过第一象限．
追问2　这5个幂函数的图象均过第一象限，如何确定是否过第二或第三象限？
如果定义域包含（－∞，0），可以结合奇偶性判断，
如果为偶函数，则过第二象限，比如y＝x2；
如果为奇函数，则过第三象限，比如y＝x和y＝x3．
答案：如果定义域为{x|x≥0}，则不过第二、三象限，比如y＝ ；
探究新知
追问3　在第一象限中，如何区分这5个函数的图象？
向右与x轴无限接近，其余均单调递增．
其余全是曲线；
y＝x 的图象位于该直线的上方；
当x＞1时，y＝x 的图象
答案： y＝ 在（0，＋∞）上单调递减，图象向上与y轴无限接近，
y＝x的图象是一条直线，
当0＜x＜1时，
位于该直线的下方．
图2
反（如图2），
相比y＝ 的图象，
y＝x2
和y＝x3的图象与y＝x的
图象的位置关系正好相
探究新知
追问3　在第一象限中，如何区分这5个函数的图象？
答案：即：当0＜x＜1时，y＝x2的图象位于y＝x3的图象的上方，
当x＞1时，y＝x2的图象位于y＝x3的图象的下方（如图3）．
图3
探究新知
例1　证明幂函数 f（x）＝ 是增函数．
证明：函数的定义域是[0，＋∞）．
x1，x2∈[0，＋∞），且x1＜x2，
f（x1）－f（x2）＝
＝
＝
所以f（x1）＜f（x2），
因为x1－x2＜0， ＞0，
即幂函数f（x）＝　 是增函数．
探究新知
例2　利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1）（－1.5）3，（－1.4）3； （2）
解：（1）（－1.5）3和（－1.4）3可看作函数y＝x3当x分别取－1.5和
－1.4时所对应的两个函数值．
y＝x3在（－∞，＋∞）上单调递增，
因为－1.5＜－1.4，所以（－1.5）3＜（－1.4）3．
探究新知
（1）（－1.5）3，（－1.4）3； （2）
对应的两个函数值．
解：（2） 和 可看作函数y＝　当x分别取－1.5和－1.4时所
y＝ 在（－∞，＋∞）上单调递增，
因为－1.5＜－1.4，所以
知识应用
例2　利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
归纳总结
问题5　
（1）你能用结构图的形式小结本单元的内容吗？
（2）至此，本章的内容已经全部学习完毕，你能画一个思维导图梳理本章的研究内容和研究方法吗？
（1）本单元结构图如图4：
归纳总结
（1）本章思维导图如图5：
归纳总结
再 见