人教A版（2019）必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 单元教学设计

人教A版高中数学必修第一册
第四章 指数函数与对数函数
单元内容和内容解析
内容
函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥重要作用.函数是贯穿高中数学课程的主线.
本单元的教学设计是围绕着两大基本初等函数展开，进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.结合实际问题，体验数学模型的文化内涵，体会建立数学模型的应用价值。通过多元化的评价，让学生感受建立数学模型的魅力.
具体来看，本章包括五节内容：4.1指数，4.2指数函数，4.3对数，4.4对数函数，4.5函数的应用（二）.这一结构体系体现了研究一个数学对象及其应用的基本思路和方法.本单元的知识结构图如下：
本章教学约需13课时，大致分配如下：
（1）4.1指数. 本节含2课时：n次方根与分数指数幂；无理数指数幂及其运算性质.
（2）4.2指数函数.本节含2课时：指数函数的概念；指数函数的图象和性质.
（3）4.3对数.本节含2课时：对数函数的概念；对数的运算.
（4）4.4对数函数.本节含3个课时：对数函数的概念；对数函数的图象和性质；不同函数增长的差异.
（5）4.5函数的应用（二）.本节含4个课时：函数的零点与方程的解；用二分法求方程的近似解；函数模型应用（1）：用函数模型解决实际问题；函数模型的应用（2）：选择函数模型解决实际问题.
（6）小结.本节含2个课时：回顾4.1指数，4.2指数函数，4.3对数和4.4对数函数，梳理其知识结构，对典型题型进一步的巩固训练；回顾4.5函数的应用（二），梳理其知识结构，对典型题型进一步的巩固训练.
内容解析
（1）内容的本质：
（i）为研究指数函数，需要把整数指数幂推广到实数指数幂，从而为研究指数函数和对数函数奠定基础.
（ii）指数函数是刻画呈指数增长或衰减变化规律的函数模型，是解决实际问题的重要工具，同时，指数函数为今后学习对数函数以及等比数列的性质做准备.
（iii）对数是指数幂中指数的一种等价表示形式，利用指对数互换理解并推导对数的运算性质.
（iv）将对数函数与指数函数建立联系，体会从不同的函数模型理解同一变化规律的实际问题，体会指数函数与对数函数互为反函数.
（v）函数的内部应用：结合函数零点的两种理解思路，二分法求方程的近似解；函数的外部应用：函数模型的实际应用，用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程.
（2）蕴含的数学思想和方法：
指数函数、对数函数都是学生在系统学习函数概念和掌握了函数性质基础上进行研究的，是两个很重要的基本初等函数之一，学生需要通过观察、分析、探究等一系列的思维活动，由具体的问题和图象进行归纳、演绎，并通过抽象概括或推理得出其本质，从而得到有关概念和性质，其中蕴涵着丰富的数学思想方法.
具体如下：
（i）4.1指数：指数幂的推广实质是将指数的范围进行逐步推广，使其对任意的实数都有意义，推广的思想方法与数系扩充的思想基本一致，就是将的指数的范围逐步推广到全体实数，而在推广过程中要使指数运算性质得到保持. 在推广的过程中体现了由特殊到一般、由具体到抽象、用有理数指数幂逼近无理数指数幂的极限思想，并从数和形两个角度认识到无理数指数幂是一个确定的实数，进而理解无理数指数幂.
（ii）4.2指数函数：指数函数是刻画呈指数增长或衰减变化规律的函数模型，其概念的教学，应该在函数概念的基础上，重点揭示指数增长或衰减的规律. 应按“事实—概念”的路径，即学生要经历“背景—研究对象—对应关系的本质—定义”的过程．学生在经历这个过程而形成指数函数的概念.在了解指数函数的背景后，再描点作出指数函数的图象，从而概括指数函数的性质.在指数函数定义和性质形成的过程中体现了抽象与概括、特殊与一般、数形结合等思想.
（iii）4.3对数：对数是指数幂中指数的一种等价表示形式，已知底数和幂，求指数，明确引入对数的必要性，再通过指数幂运算推导对数运算的性质.在研究对数的概念和对数的运算性质时，运用了指对数互换、对数运算是指数运算的一种逆运算，以及对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，体现了化归转化的思想.
（iv）4.4对数函数：对数函数和指数函数可以从不同的角度刻画同一个问题的变化规律,是基本初等函数的再拓广，是研究函数路径“背景——概念——图象与性质—— 应用”的再强化.在引入对数函数的概念上，运用了特殊到一般和数形结合的思想，从而逻辑推理出对数函数的概念；在探究对数函数的性质时，与指数函数类似，描点作图，概括对数函数的性质，体现了数形结合的数学思想，并体会同底的指对数函数互为反函数，进一步理解指对数运算的互换和逆运算的思想.
（v）4.5函数的应用（二）：函数的内部应用的研究路径是“函数零点的概念——函数零点存在定理——应用函数零点存在定理和函数性质判定方程的解”，在函数的零点与方程的解的转换过程中，逐步渗透化归转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.在了解函数的零点的两种理解思路的基础上，再探究用二分法求方程的近似解，即渗透了逼近的思想和算法思想，又让学生经历了观察发现、抽象概括的过程，进一步强化函数与方程的思想.
函数的外部应用即函数模型的实际应用，引导学生认识“直线上升”“指数爆炸”“对数增长”的差异，同时指导学生如何从实际情境中用数学的眼光发现和提出问题，通过分析问题、构建模型、求解结论、验证结果，以达到分析和解决问题的能力，体现了建立函数模型解决实际问题的数学思想，即数学建模的核心素养.
（3）知识的上下位关系：
指数函数与对数函数是两大基本初等函数之一，在高中数学课程中，《课标（2017年版）2020年修订》把指数函数与对数函数的内容安排在必修课程“主题二 函数”中，把“函数的概念与性质”、“幂函数、指数函数、对数函数”“三角函数”“函数应用”视为一个整体. 从整体上看，在学习指数函数与对数函数一章之前所学的是函数的概念与性质，这样集中安排函数内容学习有利于函数学习经验的运用、函数知识的系统构建；从章节内部来看，教材是按照“背景--概念--图象和性质--应用”的逻辑呈现，通过经典的年增长率和碳14的年衰减率变化进行引入，让学生感知指数增长和指数衰减，以说明引入指数函数的必要性，在探究指数函数的概念和图象及性质的基础上，再结合指对数互换再探究对数函数的概念和图象及性质这是“来龙”；将抽象的知识运用到实际生活中以解决指数爆炸和对数增长的问题，这是“去脉”，同时指数函数也是后续研究数列问题的重要载体.
具体如下：
（i）4.1指数：学生在初中阶段接触过整数指数幂及其运算性质，为了研究实数指数幂，就要先定义n次方根的概念，从而得根式的性质，进而引入分数指数幂及其运算性质， 合二为一得有理数指数幂及其运算性质；无理数指数幂及其运算性质是上一节内容的延伸，从而建立实数指数幂，并研究其运算，为指数函数的学习奠定了基础.
（ii）4.2指数函数：学生在初中阶段已经学习过增加量和增长率的相关概念，为了研究指数增长和指数衰减模型，需先抽象概括指数函数的概念，在刻画其本质特征：在自变量增加1个单位，即自变量从变化到时，相应的函数值之比为常数. 了解指数函数
模型是刻画增长率（衰减率）为定值这一变化规律的基本事实后，借助研究幂函数的经验，研究指数函数这一基本初等函数的图象和性质，从而强化指数描述的变化规律，进一步理解函数的概念，并利用指数函数建立数学模型解决实际问题.为后续学习指对数互换，指数函数与对数函数互为反函数提供了理论基础.
（iii）4.3对数：在幂中，已知底数和幂，求指数，显然这种运算与指数幂的值及底数的值紧密联系，这就是要引入的对数，即指数运算的一种逆运算，从而说明引入对数的必要性；结合指数表达与对数表达的互换，探究对数的性质，再结合指数的运算性质，探究对数运算的性质.这为接下来要学习的对数函数打下基础.
（iv）4.4对数函数：对数函数和指数函数可以从不同角度刻画同一问题的变化规律，进一步强化理解指对数互换的应用；对数函数的图象和性质：与指数函数类似，用对数函数的图象探究对数函数的性质，并用所得到的性质进一步理解对数函数的图象. 在了解对数函数的图象和性质后，结合指对数互换，并建立与指数函数的图象和性质的联系，按照函数的三要素来认识他们之间的关系，其中指数函数的定义域是对数函数的值域，指数函数的值域是对数函数的定义域，从而理解指数函数与对数函数互为反函数；不同函数增长的差异：对比增加量和增长率的差异，理解“指数爆炸”的含义，并结合指对数函数互为反函数，从而再理解“对数增长”的含义，进而理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的增长差异. 这部分的内容也为后续的数学建模积累了必要的数学模型，为解决简单的实际问题做好准备.
（v）4.5函数的应用（二）：前面的第二章“二次函数与一元二次方程、不等式”已经初步建立了方程的根一方面可以理解为函数的零点，另一方面还可以理解为函数的图象与轴交点的横坐标，为函数的内部应用，利用所学过的函数研究一般方程的解提供了类比学习的依据；用二分法求方程的近似解是函数与方程的延续，加强了函数的应用，拓展了方程的思想方法.同时前面的学习的第三章“函数的应用（一）”已经初步了解了函数的实际应用（外部应用），结合本章学习的指对数函数，可以建立实际问题的函数模型，并通过函数模型反映实际问题的变化规律，从而分析和解决实际问题，使学生进一步理解指数函数和对数函数，学会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 这为后续的怎样用函数构建数学模型解决实际问题打好了基础.
（4）育人价值：
（i）4.1指数：引入一种新的数，就要研究它的运算：定义一种运算，就要研究它的运算律.定义运算是数系扩充中的核心问题，其基本原则是“使算术运算的运算律保持不变”，它反映了数学推广过程的一个重要特性：使得在原来的范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立. 所以将整数指数幂推广到实数指数幂的过程体现了数学思维的严谨性、数学思想方法的前后一致性和逻辑的连贯性，以培育学生对数学学科的严谨性的育人价值.
（ii）4.2指数函数：在引入指数函数的概念时，充分关注与实际问题的联系，体现数学应用价值. 从旅游人次的增长问题和碳14的衰减问题这两个实例引入指数函数的概念，这两个问题，一个是增长问题，另一个是衰减问题，通过实例，有利于学生更好地感受指数函数模型，促进学生了解中国文化、关心社会，通过实际问题渗透数学思想方法和彰显人文价值，引导学生学会用数学的眼光观察世界、数学的思维思考世界、数学的语言（指数增长、指数衰减）表达世界.
（iii）4.3对数：在数学发展历史上，先有对数，然后才有指数幂，后来，随着数学公理化体系的逐步完善，一般安排先学习指数幂，再学习对数，在指数幂概念及运算的基础上，引入对数的概念及其运算，这也符合学生的认知规律，也更比较自然.另外对于自然数e不仅是数学史上，甚至是人类科学史上最伟大的两个数（另一个是），以e为底的指数函数可以描述科技、经济以及社会生活中众多增长或衰减的变化规律，体现了数学学科的实际应用的价值.
（iv）4.4对数函数：为了让学生在认识对数函数时也能感受到对数函数的实际背景，并建立与指数函数的联系，我们从另一个角度继续研究碳14衰减的问题，让学生进一步感受其中的函数模型.同时，还需关注与实际问题的联系，通过具体的实际问题来体现数学思想方法和价值，体现了数学应用的价值. 同时也能充分发挥对数在培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模等核心素养的作用.
（v）4.5函数的应用（二）：函数的内部应用，侧重于函数与方程的互相关系，突出用函数性质求方程近似解的基本方法（二分法），帮助学生从函数的观点认识方程，了解用二分法求方程近似解的思路、步骤和算法，提升数学运算素养；函数的外部应用，侧重于用函数构建数学模型的基本过程，突出用“指数型”函数和“对数型”函数模型发现和提出问题的能力、分析和解决问题的过程和方法，意在从现实背景体现函数的应用价值.
（5）教学重点：
（i）4.1指数：指数幂的推广，指数幂的运算性质.
（ii）4.2指数函数：指数函数的概念的形成，指数函数描述的变化规律；指数函数的图象和性质.
（iii）4.3对数：对数式与指数式的互换以及对数的性质；对数的运算性质.
（iv）4.4对数函数：对数函数的概念、图象和性质．
（v）4.5函数的应用（二）：函数的零点与方程的解、函数的图象与轴交点的横坐标之间的联系，函数零点存在定理以及用二分法求方程的近似解的思路与步骤；选择合适的函数类型构建数学模型，体会建立数学模型解决实际问题的一般过程.
（6）课时教学安排：
在单元教学设计中应注重局部范围内的知识系统化特征，在教学整体观的指导下，将教学诸要素有序化规划，以优化教学效果，并有利于学生构建条理清楚、层次分明的整体认知结构.
“4.1 指数”一节，包含的内容有：n次方根与分数指数幂，无理数指数幂及其运算性质. 其中n次方根与分数指数幂包括了n次方根的定义、根式的定义、根式的性质、正数的分数指数幂的意义及其运算性质，无理数指数幂及其运算性质包括了无理数指数幂是一个确定的实数、无理数指数的运算性质. 这些内容在教科书中呈现的顺序是：n次方根的定义--根式的定义--根式的性质--例1--正数的正分数指数幂的意义--正数的负分数指数幂的意义--正数的分数指数幂的运算性质--例2、例3、例4和练习--正数的无理数指数幂是一个确定的实数--正数的无理数指数幂的运算性质--练习. 把这些内容作为一个单位，可以得到如下框图.
根据上面的框图，可以对单元内容进行划分，同时给出课时：
第一部分：n次方根与分数指数幂（1课时）
第二部分：无理数指数幂及其运算性质（1课时）
“4.2指数函数”一节，包含的内容有：指数函数的概念，指数函数的图象和性质.这些内容在教科书中呈现的顺序是：问题1（游客人次逐年增长问题）--指数增长（增长率为定值）--问题2（碳14衰减问题和半衰期的概念）--指数衰减（衰减率为定值）--指数函数的概念--例1、例2和练习--阅读材料（倍增期的概念）--描点画指数函数的图象--探究画指数函数的图象--探究选取底数的若干个不同的值的指数函数图象--归纳出指数函数的图象--概括出指数函数的性质--例3、例4和练习--信息技术应用（探究指数函数的性质）. 把这些内容作为一个单元，可以得到如下框图.
根据上面的框图，可以对单元内容进行划分，同时给出课时：
第一部分：指数函数的概念（1课时）
第二部分：指数函数的图象和性质（1课时）
“4.3 对数”一节，包含的内容有：对数的概念，对数的运算性质. 这些内容在教科书中呈现的顺序是：已知底数和幂的值求指数--对数的概念--对数的符号--常用对数（自然对数）--指对数互换--对数的性质--例1、例2和练习--对数的运算性质--例3、例4--换底公式--例5和练习--阅读与思考（对数的发明）. 把这些内容作为一个单元，可以得到如下框图.
根据上面的框图，可以对单元内容进行划分，同时给出课时：
第一部分：对数的概念（1课时）
第二部分：对数的运算性质（1课时）
“4.4 对数函数”包含的内容有：对数函数的概念，对数函数的图象和性质. 这些内容在教科书中呈现的顺序是：思考（死亡时间是否为碳14含量的函数）--逻辑推理出对数式满足函数的定义--对数函数的概念--例1（概念应用）、例2（模型应用）
--练习（强化概念，理解模型）--描点画对数函数的图象--探究画对数函数的图象--探究选取底数的若干个不同的值的对数函数图象--归纳出对数函数的图象--概括出对数函数的性质--例3、例4--指对数函数互为反函数--练习--探究与发现（互为反函数的两个函数图象间的关系）--指数函数与线性函数增长差异--对数函数与线性函数的增长差异--“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义--练习.把这些内容作为一个单元，可以得到如下框图.
根据上面的框图，可以对单元内容进行划分，同时给出课时：
第一部分：对数函数的概念（1课时）
第二部分：对数函数的图象和性质（1课时）
第三部分：不同函数增长的差异（1课时）
“4.5 函数的应用（二）”包含的内容有：函数的零点与方程的解，用二分法求方程的近似解，函数模型的应用.这些内容在教科书中呈现的顺序是：函数的零点--函数零点存在定理--例1、练习--二分法求方程的近似解--例2、练习--阅读与理解（中外历史上的方程求解）--例3（指数增长模型）--例4（指数衰减模型）--练习（指数与对数互换）--例5、例6（对数增长、直线上升、指数爆炸）--练习.把这些内容作为一个单元，可以得到如下框图.
根据上面的框图，可以对单元内容进行划分，同时给出课时：
第一部分：函数的零点与方程的解（1课时）
第二部分：用二分法求方程的近似解（1课时）
第三部分：函数模型的应用（二）（1）：用函数模型解决实际问题（1课时）
第四部分：函数模型的应用（二）（2）：选择函数模型解决实际问题（1课时）
二、单元目标和目标解析
1.目标
第1课时：n次方根与分数指数幂
（1）理解n次方根与根式的概念；掌握分数指数幂和根式之间的互化；
（2）掌握分数指数幂的运算性质；
第2课时：无理数指数幂及其运算性质
通过“用有理数逼近无理数”求得无理数的近似值；
掌握运用实数指数幂运算性质进行化简计算的方法．
第3课时：指数函数的概念
（1）通过实际问题提炼出指数函数的概念；
（2）理解指数函数中底数的取值范围；
第4课时：指数函数的图象和性质
（1）运用描点法画出指数函数的图象，运用图象来研究指数函数的性质；
（2）能通过数形结合，解决定点、单调性等问题；
第5课时：对数的概念
（1）理解对数的概念，了解对数运算与指数运算的互逆关系，及常用对数与自然对数；
（2）掌握对数式和指数式的互化，发展数学运算素养．
第6课时：对数的运算
通过指数幂的运算性质推导出对数的运算性质；
掌握对数换底公式，能够用换底公式化简问题；
第7课时：对数函数的概念
（1）理解对数函数的概念，理解对数函数与指数函数的关系；
（2）能通过指数函数底数取值范围的要求，归纳出对数函数的底数的取值范围.
第8课时：对数函数的图象和性质
（1）经历用类比的方法画出对数函数的图象，归纳出对数函数的性质；
（2）掌握对数函数的图象与性质，初步学会用对数函数的性质解决简单的问题；理解反函数的概念.
第9课时：不同函数增长的差异
（1）结合具体的函数图象，总结一次函数、指数函数、对数函数的增长差异．
（2）通过图象，了解“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义．
第10课时：函数的零点与方程的解
（1）了解函数零点的概念；能够结合具体的方程（如一元二次方程），说明方程的根、函数零点、函数图象与x轴的交点三着之间的关系；
（2）理解函数零点存在定理；了解函数图象连续不断的意义及作用，知道函数零点存在定理只是函数存在零点的一个充分条件，了解函数零点可能不止一个；
（3）能利用函数图象和性质判断某些函数的零点的个数，及所在区间.
第11课时：用二分法求方程的近似解
（1）通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法；
（2）能借助计算工具、信息技术用二分法求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用；
（3）通过让学生概括二分法的思想和步骤，培养学生的归纳概括能力，培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力.
第12课时：函数模型的应用（二）（1）：用函数模型解决实际问题
会通过具体的函数模型分析实际问题；
能够对问题进行分析，建立合适的数学模型，并对不同数学模型的契合度进行比较，择优选择。
第13课时：函数模型的应用（二）（2）：选择函数模型解决实际问题
能将具体的实际问题化归为函数问题；
能通过分析函数图象及表格数据了解相应的对数函数、线性函数、指数函数的变化差异，正确选择合适的函数模型解决实际问题，提升数学抽象、数学建模等素养.
2.目标解析
4.1指数（n次方根与分数指数幂，无理数指数幂及其运算性质）
达成上述目标的标志是：
理解n次方根的概念及其性质；通过探究得到的性质；理解n次方根与分数指数幂的关系；掌握有理数指数幂的运算性质；通过“用有理数指数幂逼近无理数指数幂”思想了解无理数指数幂，体会其中的极限思想；
通过具体的实例的归纳，由具体到抽象，由特殊到一般，理解分数指数幂与n次方根的关系：分数指数幂是n次方根的一种表示形式，两者是统一的.通过根式与分数指数幂的互化，巩固、加深对于根式和分数指数幂的理解；
（3）通过类比教材中的模式，观察的不足近似值和过剩近似值，进一步巩固无理数指数幂的概念，提升学生的逻辑推理和数学运算素养；
4.2指数函数（指数函数的概念，指数函数的图象和性质）
达成上述目标的标志是：
（1）能结合教科书中游客增长的问题1和碳14衰减的问题2，通过运算发现其中具体的增长或衰减的规律，并从中体会实际问题中的变量间的关系.在了解指数函数的实际意义的基础上，知道指数函数的含义和表示，清楚其定义域和底数a的取值范围；
（2）能根据函数解析式或利用计算工具计算出指数函数的两个变量的一些对应值并列表，然后描点或利用信息技术画出指数函数的图象，或能根据函数解析式直接利用信息技术画出指数函数的图象；结合函数图象，归纳这些图象的共同特征，探索并总结指数函数的单调性与特殊点，并结合函数解析式验证所总结的函数单调性和特殊点；
（3）结合指数函数的教学，体会“概念-图象-性质”的研究具体函数的一般思路；在由具体实例抽象为具体函数、再由具体函数概括为指数函数的过程，提升数学抽象素养；结合由函数图象直观认识函数性质的过程，体会数形结合的思想方法，提升直观想象素养.
4.3对数（对数的概念，对数的运算）
达成上述目标的标志是：
通过与指数式比较，掌握对数概念及其性质的过程，培养学生归纳能力，提升数学抽象核心素养；
探究对数运算性质，体会“归纳-猜想-证明”是数学中发现结论、证明结论的完整思维方法，让学生体会回到最原始（定义）的地方是解决数学问题的有效策略.能通过例题与习题的解答，巩固所学的对数运算性质，通过运算能力，体会对数的实际运用，提升数学运算素养.
4.4对数函数（对数函数的概念，对数函数的图象和性质，不同函数增长的差异）
达成上述目标的标志是：
从另一个角度继续研究教科书中碳14衰减的问题，不仅得到对数函数的概念，还能通过与指数函数的联系更好地理解对数函数；
学生类比研究指数函数图象和性质的过程和方法，探究对数函数的图象和性质；将对数函数分为和两类进行归纳，体会数形结合的思想方法；
学生能知道同底的指数函数与对数函数互为反函数，了解二者的定义域与值域的关系；
通过探究指数函数与一次函数的增长的差异，对数函数与一次函数的增长差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的含义．
4.5函数的应用（二）（函数的零点与方程的解，用二分法求方程的近似解，函数模型的应用）
达成上述目标的标志是：
理解函数零点的概念；通过“探究”观察对应的二次函数在区间端点上的函数值
之积的特点，导出连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.能通过例1的教学，引导学生借助函数性质研究函数在某个区间是否存在零点,理解函数零点存在定理；能通过例2的教学继续探索用二分法求方程近似解的思路,体会用二分法求方程近似解的一般过程与思想方法；
能明确教科书例3、4中的数量关系，能利用已知函数模型进行计算求解，从而解
决实际问题；能明确教科书例5中的数量关系,指出每个方案的函数模型，为将实际问题抽象为数学问题并化归为函数模型作准备；
能从教科书中的例题条件出发，根据“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”的
含义，数形结合地辨别三种函数的增长差异，从而选择不同的函数模型；
在选择或建立函数模型解决实际问题的过程中，围绕“是什么数学问题”“选什
么函数模型”“为什么要选某个函数模型”“怎么解答实际问题”，提升学生的数学抽象和数学建模素养.
三、单元教学问题诊断分析
指数函数和对数函数是两类重要的基本函数. 在第三章“函数的概念和性质”中研究函数的一般方法的指引下，本大单元让学生借助研究幂函数的经验，学习这两类新的重要的基本初等函数——指数函数和对数函数，认识它们的变化规律，进一步理解函数的概念，并利用这两类函数建立数学模型解决实际问题. 以下针对本大单元的教学问题诊断的分析做具体地阐述：
1.问题诊断
（1）4.1指数
学生在初中阶段经历了从正整数指数幂到整数指数幂的推广过程，已经学习了整数指数幂及其运算性质，积累了一定的数系扩充经验，为本单元的学习奠定了一定的基础. 但学生往往把注意力集中在具体运算上，对数系扩充的原则、指数幂的含义和运算性质等缺乏必要的关注，而本单元的内容主要是“定规则”，着力点在指数幂指数的范围扩充后的意义，不仅抽象而且逻辑性强，所以存在较大困难.
首先，学生不清楚从整数指数幂到有理数指数幂推广的整体架构，这样他们对从哪里入手推广、按怎样的逻辑顺序展开，每个环节如何实施才能做到逻辑严谨等都会比较茫然. 也就是说，学生对该做什么和如何做都不太清楚，从而造成被动学习. 为了解决这个困难，教学中要引导学生回顾从有理数到实数（主要是平方根和立方根）、正整数指数幂到整数指数幂的推广过程，通过适当的讲解，为学生搭建适当的脚手架，使他们在适当的类比对象下展开学习，从而增强学习的主动性.
其次，从根式的意义到有理数指数幂的含义的理解，其中涉及数学符号表达方式的转换，转换要满足等价性，其抽象性、逻辑性都很强，需要较强的代数思维和逻辑推理能力，这对学生具有挑战性. 教学中要注意通过类比数系的扩充过程（特别是从整数到分数的扩充过程，先引入分数单位，再定义分数的意义，然后研究分数的性质和运算等过程），通过具体实例引导学生理解定义的合理性，并按照教学定义的完备性要求，给出完整的有理数指数幂的定义，从而建立起理解有理数指数幂含义的基础.
第三，因为学生的运算技能、代数思维等方面的欠缺，他们在进行根式，有理数指数幂的运算等过程中，经常会出现错误. 教学中要注意发挥这个内容在提升学生数学运算素养上的作用，让学生充分经历从具体实例到运算法则的归纳过程，使他们在理解根式的意义、有理数指数幂的含义基础上，通过适当的从根式到分数指数幂的解题训练，形成较好的运算技能.
第四，无理数指数幂的含义涉及数列的极限，具有构造性，也是本单元的一个学习难点. 教学时要注意借鉴初中阶段用有理数夹逼无理数的经验，通过信息技术手段提供直观理解的支持，帮助学生更好地体验无理数指数幂的唯一确定性.
（2）4.2指数函数
由具体实例抽象出指数函数的概念，不仅要能想到将问题1游客人次的变化用图象直观表示，还要能结合图象对已知数据进行运算后发现变化规律，并能根据问题1和问题2得到的两个解析式概括出统一的函数关系式. 这些对学生思维能力的要求较高. 教学中，要给学生探索和发现的机会，并给予学生恰当的指导.在学生不能从问题1的数据中发现游客人次的变化规律时，要多引导学生先根据已知数据作出图象进行观察，然后启发学生对已知数据进行运算，通过运算得到每年与上年旅游人次的比例为常数，从而结合图象发现变化规律的本质. 这里，对数据进行哪些运算才有利于发现规律，是学生已有知识经验中缺乏的，教学中多引导学生注意“增加量”“增长率”的作用的强调. 再引导学生分析问题2的碳14衰减问题，进而引导学生发现概括出指数函数的概念，体会概念形成的过程. 概念形成后，先让学生观察其定义域的范围；再抛出问题，引导学生结合定义域分析对底数a有何要求，最后通过习题来强化学生对指数函数概念的理解.
在指数函数性质的学习过程中，尽管学生已经经历过幂函数性质的学习，但那是在给定的五个具体的函数基础上进行不完整、不系统的归纳，而且幂函数性质的学习自行选择具体的函数，必要时教师可引导学生利用信息技术进行探索，通过画出底数取大量不同值时的图象，发现并归纳函数的单调性；在探索的基础上将大量所做的图象分为增长和衰减两类，利用信息技术分别研究两类图象函数值的变化，从而归纳时函数单调增，时函数单调减.
（3）4.3对数
首先，学生难以理解对数与指数符号之间的关系，在应用对数概念进行运算时，会出现符号混乱的现象. 这就要求教师在教学时首先要让学生清楚指数式中哪个是指数，哪个是底数，再思考对数式中真数是指数式中的哪部分，避免当题目换成其它字母时，学生就不清楚该如何进行指对互化，其次对于对数的性质及零和负数没有对数的理解，教师要引导学生思考，引导学生与指数式进行联系，并加以证明.
其次，熟悉对数运算法则，可以先类比指数运算法则对照记忆，然后再强化法则使用的条件，提醒学生注意对数式中每个字母的取值范围，最后还要让学生认清对数运算法则可使高一级的运算转化为低一级的运算，从而简化计算方法，加快运算速度，显示对数计算的优越性.
（4）4.4对数函数
对数函数是高中阶段学生学习的第三个基本初等函数，学生已经具备了较好的函数认知基础，且对函数的认识已达到抽象概括阶段（高中及以后），能脱离具体和直观对象，进行抽象化、符号化的槪括与操作，即“集合对应说”.为帮助学生理解对数函数的概念，可从具体的指数函数模型出发，例如，在碳14衰减问题中，由指数和对数的关系，容易根据死亡生物体内碳14残留量经运算推理得到生物死亡时间的关系式，但是反过来考虑，生物死亡时间是否为死亡生物体内碳14残留量的一个函数呢？从而引出函数的三要素，引导学生发现数集的取值集合. 为了说明函数的“集合对应说”，可引导学生画函数
的图象，利用信息技术中的PPT的动态演示，一方面说明动直线取满了，另一方面说明图象与动直线始终有唯一交点. 由动态图展示让学生很容易理解是满足函数定义的任意性和唯一性这两个关键要求.
为了突破对数函数图象的性质，同指数函数一样，通过信息技术辅助画出底数取大量不同值时的图象，发现并归纳函数的单调性；在探索的基础上将大量所做的图象分为对数增长和对数减小两类，利用信息技术分别研究两类图象函数值的变化，从而归纳时函数单调增，时函数单调减.
另外为了让学生形象直观的感受“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”这些术语的含义，可各个击破，具体操作如下：先将指数函数与一次函数的增长作差异对比，借助信息技术的作图软件，逐步调节单位1的长度，学生直观感受这两个函数的增长差异越来越明显，这正说明了指数函数的增长由慢变快且越来越快的爆炸性增长的特点；再将对数函数与一次函数的增长作差异对比，同样地，借助信息技术的作图软件，逐步调节单位1的长度，学生亦能直观感受这两个函数的增长差异越来越明显，这也正说明了对数函数的增长由快变慢且越来越慢的对数增长的特点.
（5）4.5函数的应用（二）
函数的内部应用，函数的零点的定义直接类比二次函数零点的定义，没有必要作多余的解释，结合具体的函数，推导出一般函数零点的概念并得到相应结论. 对于函数零点存在定理的导出，可结合具体的二次函数的零点（变号零点）附近处，结合数形结合发现有下面结论：穿过轴，然后要求学生利用这一结论尽可能多地画出函数的图象，不妨令时，画的图象，结合学生的作图情况可以发现此时有零点（可以不止一个）,从而形成函数零点存在定理. 接下来，就是理解定理了，引导学生充分抓住定理中的关键信息：“连续”、“”和“至少有一个”，对于前两个关键词，教师需要求学
生自己亲自动手尝试画出“不连续”、“”的图象情况，从而了解到零点存在定理是函数有零点的充分条件，而非必要条件. 对于最后一个关键词，可以结合前面定理的导出时，学生的作图情况以及教师适当的补充，充分理解函数零点存在定理无法准确判断零点的个数问题. 对于零点的个数问题，教师需利用好“例1”的教学，引导学生的发现单调性的加入可以间接判断函数零点的个数，从而形成零点存在且唯一定理. 值得注意的是，同样地，函数零点存在且唯一定理也是函数有唯一零点的充分条件，而非必要条件.
用二分法求方程的近似解的难点是二分法的原理和思路，以及算法思想. 为突破二分法的原理，可引导学生作图，直观感受“穿根”和“不穿根”在图象上的区别，进而转化为数学语言，即代数式上的差异，明确“穿根”才可以使用二分法. 对于二分法思路的突破，可按照“求方程近似解——求函数的零点——缩小区间逼近零点——二分法”的过程展开，重中之中就是如何缩小区间，反复检验端点的函数值是否异号，如此一来，自然会涉及到算法的优化，所以需要程序化来体现算法思想，让学生通过二分法的学习，体会按照明确步骤解决问题的重要性.
函数的外部应用，首先，学生在此之前已经结合实例学习了几类函数的概念、图象和性质，并应用它们解决学科内的一些问题和一些简单的实际问题. 但是面对较复杂的实际问题，如何将其转化为数学问题，特别是如何选择函数模型来刻画实际问题，大多数学生既缺乏这方面的经验，也缺乏数学抽象的能力，以及对不同函数模型增长差异的深刻认识. 教学时可以多从以下两方面帮助学生克服困难：一是根据实际问题的条件建立等量关系，从而将实际问题抽象为数学问题；二是从数和形出发，定性和定量地分析实际问题的变化规律，从而选择合适的函数模型；其次，在利用函数模型解决问题的过程中，大多数学生还没有养成利用信息技术根据函数模型进行运算求解的良好习惯. 在教学中，可以鼓励学生使用信息技术进行复杂的运算求解，画图列表，多元联系地表示数学对象并分析问题，从而逐步形成利用信息技术研究实际问题的意识.
2.教学难点
（1）4.1指数：建立指数幂的推广的整体架构；根式性质的理解；分数指数幂的理解、有理数指数幂的运算性质及用有理数指数幂逼近无理数指数幂.
（2）4.2指数函数：指数函数概念的形成过程，将实际问题转化为数学模型；描点法画指数函数图象，并抽象概括出指数函数的单调性.
（3）4.3对数：对数概念的理解，指对数互换；利用指数的运算性质推导出对数的运算性质和换底公式.
（4）4.4对数函数：对数函数概念形成的逻辑推理；对数函数性质的归纳；对“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”的理解
（5）4.5函数的应用（二）：函数的内部应用，函数零点存在定理的导出和定理中的关键词的理解，用二分法求方程的近似解的思路和算法；函数的外部应用，用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程.
四、教学支持条件分析
（1）4.1指数：
通过计算工具计算、展示等的不足近似值和过剩近似值夹逼的过程，并利
用几何画板在数轴上进行动态演示“不足近似值”和“过剩近似值”的对应点，发现这些点逼近一个确定的点，其对应的数就是这个无理数指数幂. 由此让学生学会其中的极限思想，并从数和形两个角度认识到是一个确定的实数，进而理解无理数指数幂.
（2）4.2指数函数：
利用信息技术中的Excle、函数作图等软件工具进行计算、列表和作图，以便于多元联系地表示指数函数，帮助学生克服学习中可能遇到的困难，更好地理解指数函数的概念和性质. 在指数函数的概念的教学中，利用信息技术可以很方便地将问题1中表格的数据转化为图象，由图象直观地发现旅游人次的整体变化情况；然后利用信息技术对这些数据进行计算，通过计算揭示图象蕴含的变化规律的本质. 在指数函数图象和性质的教学中，利用信息技术可以进行多种方式的研究，比如任意作出大量需要的函数图象，通过观察图象归纳出不同图象的共同特征，进而抽象出函数的性质；又如建立函数的图象和数表的联系，通过跟踪图象上的点，数形结合地发现函数的图象特征和性质.
（3）4.3对数：
在说明自然对数e的时候，可以利用信息技术中Excle计算当
时，对应的的值，从而发现其数值增长越来越慢. 同时结合信息技术中几何画板作出函数图象，直观感受这一变化规律，同时还发现当时，
定值，从而引入自然对数e.
（4）4.4对数函数：
在说明是满足是关于的一个函数时，应当充分利用信息技术中的PPT的动态演示功能，在画出函数的图象后，一方面要说明动直线取满了，另一方面还要说明图象始终与动直线有唯一交点. 由动态图展示让学生很容易理解是满足函数定义的任意性和唯一性这两个关键要求.
在描点画对数函数图象时，为了便于概括对数函数的性质，可以结合信息技术中的几何画板来处理. 一方面，计算函数的自变量取值及其对应的函数值并列表，然后将所得有
序实数对描点并画出函数的图象，同理，作出函数的图象，跟踪函数图象上的点，观察这些点关于对称的点，发现所有的对称点均在函数的图象上，并由相互对称的点的坐标关系分析函数与的关系；另一方面，在同一平面直角坐标系内画出取任意值时函数的大量图象，可以设置的取值，然后通过控制的连续变化展示对应函数图象的分布情况；还可以逐个地取的值，然后分别作出对应函数的图象.
对于同底的指对数函数互为反函数的教学，同样可以结合几何画板来处理，在同一直角坐
标系中，画出指数函数和对数函数，跟踪函数图象上的点，观察这些点关于对称的点，发现所有的对称点均在函数的图象上；同理，再选取底数为3、4等的指对数函数，仍发现有同样的结论. 由此归纳出指数函数和对数函数关于对称，即互为反函数，最后再通过控制的连续变化检验这两个函数图象的对称情况.
在不同函数增长的差异一节中，信息技术起到至关重要的作用，可考虑从数和形这两个不同的角度分别体会函数的增长差异. 通过Excel中表格的数据和作图功能的图象，以数形相结合体现各个具体函数之间增长变化的差异. 另外，还可以设置的取值，利用几何画板中的控制按钮控制的连续变化展示对应函数的图象的增长变化情况，以说明参数的大小不影响函数间的增长速度的快慢，从而准确地理解“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”术语的含义.
（5）4.5函数的应用（二）
函数的内部应用，研究函数的零点问题的一种主要的思想方法就是数形结合，探究途径是特殊到一般，在教学过程中需要利用GeoGebra,Excel，图形计算器等统计软件来处理数据，画出函数图象. 在二分法的教学中，可融入信息技术，突出它的作用：一是利用信息技术作出函数图象，帮助学生直观地确定函数零点所在区间；二是信息技术为学习二分法提供了快速计算的工具，有助于提高运算的效率，减少人为重复的运算；三是信息技术为学习二分法提供了验证的工具，有助于检验结论的正确性.
函数的外部应用，为了帮助学生克服选择实际问题的函数模型，并利用所得函数模型解决问题的困难，教学时应用充分利用信息技术的计算、作图、列表等功能，处理实际数据、便捷地求解，让学生将主要精力投入到定性和定量地分析问题上，针对不同函数模型动态地研究其变化规律.
课时教学设计
第1课时
1.课时教学内容
4.1.1 n次方根与分数指数幂
2.课时教学目标
（1）理解n次方根与根式的概念，掌握分数指数幂和根式之间的互化；
（2）掌握分数指数幂的运算性质.
3.教学重点与难点
重点：根式的概念；分数指数幂的概念；掌握并运用分数指数幂运算性质；
难点：建立指数幂的推广的整体架构；根式性质的理解；有理数指数幂的运算性质.
4.教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
引入新课 1、次方根式 【温故】我们知道，如果，那么叫做的平方根.例如，±2就是4的平方根.如果,那么叫做的立方根.如2就是8的立方根.类似地，由于(±2)4=16，我们把±2叫做16的4次方根. 【知新】一般地，如果,那么叫做 的次方根, 其中， n＞1，且n∈N* 教师引导学生类比平方根、立方根的概念，自主得出n次方根的概念 通过复习方根，导出本节课的研究对象，使学生明确学习目标，并利用之前学习形成的思维习惯，引导学生进一步观察、研究
新课探究 2、次方根的性质 （1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数. 这时，a的n次方根用符号表示. 例如，，. （2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的n次方根用表示，负的n次方根用- 表示.两者也可以合并成. 例如16的4次方根有两个，分别是和. （3）负数没有偶次方根. （4）0的任何次方根都是0，记作 3、根式 式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. 【思考】 如：()2=5，()6=4 ()3=2,()5=-3 如：=2，，=0 =2，，=0 例1 求下列各式的值： ；(2) ； (3) ；(4) 4、分数指数幂 【探究】根据n次方根的定义和运算，我们知道(a>0) (a>0) 即 当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除时，根式可以表示成分数指数幂的形式. 【思考】当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为分数指数幂的形式？ 事实上，任何一个根式都可以表示为分数指数幂的形式，例如：, . 一般地 规定：①正数的正分数指数幂的意义是： ②正数的负分数指数幂的意义是： ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义. 5、分数指数幂的性质 类比平方根和立方根从n为偶数和n为奇数两个方面讨论n次方根的性质. 从具体的例子总结和的本质，从而得出辨析结果结论 学生自主完成后老师请学生口述解题过程 由学生自主讨论，得出初步结论，教师进行肯定、修正，给出分数指数幂的规定. 数学中，引进一个新的概念和法则时，总希望它与已有的概念或法则相容. 通过熟悉的特例，加强对根式的理解，引导形成根式的相关性质. 通过分n为奇数和偶数两种情况讨论，进一步理解n次方根的概念，形成严谨的分类思想，提升逻辑推理的核心素养 通过练习，巩固的性质， 由特殊到一般，由整数指数扩展到分数指数，再由其与已遵循的运算性质融合理解中，加深根式与分数指数幂之间的转换
应用举例 巩固练习 例2 求值：（1） （2） 例3 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式( 其中a>0). ； 练习 计算下式各式(式中字母均是正数). (1) (2) (3) 可能会出现学生化成根式计算，此时教师可指出学习分数指数幂在实际计算中的意义 当堂练习，得出有效结论 请两个同学板书解题过程，其他同学在草稿纸计算，随后当堂讲解交流 学生在以上相关概念、性质、运算法则等的基础之上，充分应用于计算、化简中，巩固所学知识，培养学生数学运算和逻辑推理素养 巩固根式和分数指数幂的相互转化 综合性运算，巩固有理数指数幂的运算性质.
课堂小结 本节课思维导图： 1、什么是n次方根 2、n次方根的性质 n次方根与 3、什么是根式 分数指数幂 4、什么是分数指数幂 5、分数指数幂的运算性质 学生先回顾反思，教师再点评完善. 通过师生合作总结，使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识，形成知识体系.
作业 书面作业：课本第109页 习题4.1 第4、5题 拓展作业：1、化简求值: 2、化简： ,画出简图，写出最小值. 学生独立完成 巩固新知，提升能力
第2课时
1.课时教学内容
4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
2.课时教学目标
（1）通过“用有理数逼近无理数”求得无理数的近似值；
（2）掌握运用实数指数幂运算性质进行化简计算的方法．
3.教学重点与难点
重点：有理数指数幂的概念类比形成无理数指数幂的概念，进而探讨出无理数指数幂的运算性质，从而推广到整个实数指数幂的有关运算；
难点：用有理数指数幂逼近无理数指数幂，实数指数幂的综合应用.
4.教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习巩固 深化理解 回顾：请回忆一下，初中时，我们是如何确定一个无理数的大小的？ 例如：如何确定无理数的大小？ 师：在初中的学习中，我们通过有理数认识了一些无理数．请回忆初中时，是如何确定无理数的大小的？ 回顾无理数的两边夹方法，为研究无理数指数幂提供方法上的支持.
无理数指数幂及其运算性质 问题:我们将()中指数的范围从整数扩展到了有理数，当指数是无理数时，的意义又是怎样的？它还是一个确定的数吗？如果是，其运算性质又怎么样？ 下面我们先看一个幂值的大小如何确定. ,先让5的指数不断地取的不足近似值，，，，从指数小于的方向逐渐逼近； 再让5的指数不断地取的过剩近似值，，，，从指数大于的方向逐渐逼近 我们把这些数值填入表格（见PPT/课本108页），看一看它们的变化趋势 观察表中变化趋势，可以发现： 的不足近似值逐渐逼近时，有理数越来越大；的过剩近似值逐渐逼近时，有理数越来越大,且最后它们都趋近了同一个数，即，所以是一个确定的数. 用数轴来表示上述过程（见PPT/课本108页） 思考：参照这个过程，你能再给出一个无理数指数幂，如，说明它也是一个确定的实数吗？ 得出结论： （1）无理数指数幂的意义：一般地，无理数指数幂是无理数)是一个确定的实数 这样指数幂中的指数就从整数扩展到有理数，再从有理数扩展到了实数 （2）实数指数幂的运算性质： 一般地，在指数幂中,为了保证对取所有情况有意义，通常规定底数. 但在具体问题中，只需使指数幂ax有意义即可 师：类比无理数确定过程，我们来设计一个方案来解释无理数指数幂的意义. 师生讨论，学生利用计算器，两人一组，计算出结果，分别用表格和数轴从数和形两方面认识. 学生自行完成 师：明确了无理数指数幂()的意义以后，指数幂中指数的取值范围就从有理数拓展到了实数．那么有理数指数幂的运算性质对于实数指数幂是否还适用？ 学生理解概念，培养逻辑思维能力 通过类比无理数的两边夹方法，为研究无理数指数幂提供方法上的支持. 学生体会其中蕴含的极限思想 用表格呈现具体数值，定性地研究问题，从数的角度认识到是一个确定的实数. 培养学生分析问题的能力. 发展学生数学抽象和数学运算的核心素养. 用数轴表示数值，可以从宏观、整体上把握变化的趋势，从形的角度认识到是一个确定的实数加深学生对于无理数指数幂的理解，提升学生直观想象的核心素养. 明确实数指数幂的定义和意义.强调，保证后续的指数函数对任意实数都有意义，为后续的课程做铺垫.
无理数指数幂的运算 例1 计算下列各式的值 （1） （2） 练 计算或化简 (1) (2) 师生共同完成，教师板书. 请两位学生板书过程，其他同学草稿纸独立完成后展示交流. 巩固无理数指数幂的运算性质，并理解所有实数指数幂的运算性质是一样的． 检测实数指数幂的运算性质．发展学生数学运算核心素养.
课堂小结 1.回顾本节课，我们是如何将指数幂中的指数从有数拓展到实数的？ 2.实数指数幂的运算性质： 当>0,s,r∈R时 师：回顾本节课，我们是如何将指数幂中指数的范围从有理数拓展到无理数的？谈谈实数指数幂运算性质有哪些特点？ （1）学生通过总结本节课上将指数幂中指数的范围从有理数拓展到无理数的过程，体会其中的极限思想，进而加深理解无理数指数幂． （2）加深对实数指数幂的运算性质的理解．再次体会在数学中，引进一个新的概念或法则时，总是希望它与已有的概念或法则相容的这种思想．为以后的数学概念的拓展，在思想上和方法上奠定基础．
作业 计算下列各式的值 （1） （2） 学生独立完成 巩固新知，提升能力
第3课时
1.课时教学内容
4.2.1指数函数的概念
2.课时教学目标
（1）通过实际问题提炼出指数函数的概念；
（2）理解指数函数中底数的取值范围.
3.教学重点与难点
重点：指数函数的概念的形成，指数函数描述的变化规律；
难点：指数函数概念的形成过程，将实际问题转化成数学模型.
4.教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
情境引入 实例1：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式；由于旅游人数不断增加，Ａ，Ｂ两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，而Ｂ地则取消了景区门票.表4.2-1(见教材)给出了A、B两地景区2001年至2005年的游客人次逐年增加量. 比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？ 像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长. 实例2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”。按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减. 教师提出实例1与实例2，师生进行讨论，思考总结出这两个函数解析式： 由实际问题引入，不仅能激发学生的学习兴趣，而且可以培养学生解决实际问题的能力
新课探究 提问：与这类函数的解析式有何共同特征 答：函数解析式都是幂形式，底数为定值，且自变量都在指数位置. 思考：若用代替两个式子中的底数，并将自变量的取值范围扩展到实数集则得到什么？ 教师提问：观察这两个解析式，它们有什么共同特征？ 对于思考题，教师让学生明确由特殊到一般的研究模式
概念形成 指数函数的定义： 一般地，函数（a>0,且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R. 思考：其定义中指明了底数a>0,且a≠1，为什么会有这样的限制条件？ 师 ：适时归纳总结，引出函数的定义并板书. 学生熟记指数函数的定义，以及底数限制条件. 由特殊到一般，培养学生的观察、归纳、概括的能力.
概念深化 根据指数函数的定义来判断说明：因为a>0，x是任意一个实数时，是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R. 让学生思考并讨论为什么要对于底数a的限制 1)若a<0，如,当时函数值不存在. 2)若a=0,当x≤0，无意义 3)若a=1，,是一个常函数，没有研究的意义. 故只有满足（a>0,且a≠1）的形式，才能称为指数函数. 讨论说明为什么底数有限制条件，使学生知道为什么底数要大于0且不等于1. 让学生自己思考并讨论得出结论。 使学生进一步理解指数函数的概念，以及对底数a有限制条件的原因，培养学生的逻辑推理素养
应用举例 小试牛刀：下列函数中指数函数的个数有多少个 已知指数函数,且,求的值 练习1 下列图像中，有可能表示指数函数的是（ ） 例2 （1）在实例1中，如果平均每位游客出游一次可以给当地带来1 000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况. （2）在实例2中，某生物死亡10 000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？ 教师提问学生口答 分析：要求的值，需先用待定系数法求出的解析式，再把0,1，-3分别代入，即可求得的值 分析：根据指数的性质得到指数函数的值域为,所以在轴下方没有图像，选C 审题---建模---求模---作答 让学生透彻理解指数函数概念 巩固所学知识，培养学生数学运算和逻辑推理素养. 利用函数的三种表示形式，从不同角度推动学生对指数函数概念的理解，进一步明确概念，学会表示指数函数. 在引入概念的两个实例基础上，利用指数函数概念进一步解决与两个实例有关的问题，从而巩固对概念的理解.
归纳总结 1、指数函数的概念： 一般地，函数（a>0,且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R 注：1）底数a的范围是 2）系数为1 3）指数位置只有x一项 2、思想方法： 1）在对实例1的研究，可以体验数学中数据分析的思想方法 2）在对两个实例的研究过程中，我们采用了从特殊到一般的思想方法； 3）通过例1我们进一步体会待定系数法在解题中的作用. 4）通过例2，我们能体会指数函数在解决实际问题中的作用，从而进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具. 学生先回顾反思，教师再点评完善. 通过师生合作总结，使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识，形成知识体系.
作业布置 书面作业：课本 习题4.2 第1题，第2题； 拓展作业：课本 阅读与思考 课本 习题4.2 第7题 学生独立完成 巩固新知，提升能力
第4课时
1.课时教学内容
4.2.2指数函数的图象和性质
2.课时教学目标
（1）运用描点法画出指数函数的图象，运用图象来研究指数函数的性质；
（2）能通过数形结合，解决定点、单调性等问题；
3.教学重点与难点
重点：指数函数的图象和性质；
难点：描点法画指数函数图象，并抽象概括指数函数的单调性，及对指数函数性质的理解.
4.教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
整体感知 明确任务 一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中指数是自变量，定义域是 函数研究的一般思路： 背景——概念——图象和性质——应用 研究函数性质的三步曲： 先画出具体函数的图象； 然后通过观察、比较不同函数的图象； 最后归纳它们的共同的特征. 对于具体的函数，我们一般按照“背景—概念—图象和性质—应用”的思路进行研究．前一节我们从具有现实背景的问题中，学习得到了指数函数的概念，接下来就要研究它的图象和性质， 通过回顾以往研究幂函数图象和性质的方法和内容，提出研究指数函数的图象和性质的方法和内容，明确本节课研究的重点，并引出问题1
探究新知 探究1：画出函数与函数 的图像进行比较，它们有什么关系？ 能否利用函数的图像画出函数 的图像？ 描点法作图：列表—描点—连线 探究2：选取底数的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数图像，观察这些图像的位置，公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出指数函数 的性质吗？ 0＜a＜1a＞1图象定义域R值域(0，+∞)性质（1）过定点(0，1)，即x=0时，y=1（2）减函数（2）增函数（3）非奇非偶函数，即无奇偶性
学生独立完成后展示交流，全班师生形成共识即可． 学生分成4个讨论小组，在小组长的带领下画出不同底数如的图像，观察图像自己设计一个表格，写出指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）的定义域、值域、单调性、奇偶性，等等． 教师予以补充和完善. 并引导学生将指数函数y=ax分为0＜a＜1和a＞1两类进行讨论． 从一个具体的简单的指数函数开始进行研究，巩固描点法，为后续的研究作好铺垫． 通过探究，学生体会到可以用已知函数图象和对称性来作新函数的图象，并从中发展逻辑推理 在此过程中，有意识地向学生渗透数形结合的思想方法，引导学生“以形助数”，先观察图象得到图象的特征，然后再将图象特征转化为函数性质，达到提升学生直观想象核心素养的目的．
应用举例 例1比较下列各题中两个值的大小 （1）1.72.5，1.73； （2），； （3）1.70.3，0.93.1． 解：（1）1.72.5和1.73可看作函数y=1.7x当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值．因为底数1.7＞1，所以指数函数y=1.7x是增函数．因为2.5＜3，所以1.72.5＜1.73． （2）同（1）理，因为0＜0.8＜1，所以指数函数y=0.8x是减函数．因为，所以． （3）由指数函数的特性知1.70.3＞1.70=1，0.93.1＜0.90=1，所以1.70.3＞0.93.1． 例2.如图，某城市人口呈指数增长. （1）根据图像，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期） （2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？ 解：（1）观察图像，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需要的时间约为20年. （2）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人. 教师分析求解要点：每一组中的两个值都可以看作某个指数函数的函数值，从而利用指数函数的单调性进行比较．对于（1）（2），两个值可以看作同一个指数函数的两个函数值，直接利用其单调性进行比较．对于（3）1.70.3和0.93.1不能看作同一个指数函数的两个函数值．可以利用函数和的单调性，以及“x=0时，y=1”这条性质把它们联系起来． 教师边读题边将整点在图中标识出来，然后师生共同解答. 利用指数函数的单调性比较两个数的大小，根据问题的特点构造适当的指数函数．学生能够进一步熟悉指数函数的性质，并形成用函数观点解决问题的意识． 利用指数函数的图象分析和解决问题，建立函数图象与概念、性质的联系，进一步促使学生形成用函数观点解决问题的意识．
课堂小结 1、指数函数的图象与性质 0＜a＜1a＞1图象定义域R值域(0，+∞)性质（1）过定点(0，1)，即x=0时，y=1（2）减函数（2）增函数（3）非奇非偶函数，即无奇偶性
2、研究指数函数性质的方法： 数形结合，通过大量图象，总结出指数函数的性质. 师：本节课的收获是什么？ 可从知识层面、方法层面等方面回答. 进一步体会研究具体函数的内容、过程和方法.
作业 书面作业 课本 练习 第6题 拓展作业 〖多选题〗.已知实数a,b满足等式，下列几个关系式子中正确的是（ ） A.0第5课时
1.课时教学内容
4.3.1对数的概念
2.课时教学目标
（1）通过指数幂运算，理解对数的概念，了解对数与指数之间的关系。让同学们体会指数与对数之间相互转化的过程，培养学生等价转化的数学思想；
（2）掌握对数与指数之间相互转化的过程，在理解对数概念的基础上，学会应用对数概念解决指数式转化为对数式，对数式转化为指数式的问题；
（3）熟练掌握对数的概念，运用对数的概念解决求真数、底数以及对数式的值的问题,树立学生数学符号抽象的概念，提升学生的计算能力以及抽象思维能力.
3.教学重点
重点：理解对数的概念，对数式与指数式之间的相互转化，以及对数的性质.
难点：对数概念的理解，利用对数式与指数式之间的相互转化计算求值.
4.教学设计
【问题1】截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后能够将人口年平均增长率控制在1%，设年后我国人口数为1999年底人口数的倍，建立与之间的关系。
师生活动：
1.学生独立思考并回答。
2.教师指明学生回答中不完善的地方。预设学生可能回答，教师请同学们思考应该补充什么条件，学生回答补充条件。教师进行说明倍数应该用正数进行表达，并且此函数为指数函数。
设计意图：
对数函数与指数函数有密切联系，通过情境设置，让学生回顾指数函数。
追问：如何计算10年、20年、30年后人口数分别可达到1999年底人口数的多少倍？要想求幂的值，应已知什么条件？
师生活动：
1.学生列出指数函数关系式并思考教师提出的问题，回顾指数的概念，再根据所列函数说明这类问题属于已知底数和指数，求幂值的问题。因此要想求幂的值应已知底数和指数。
2.教师指明，指数与对数存在相互转化的关系，接下来让我们探究对数的概念。
设计意图：
回顾指数式中的底数、指数、幂的概念，为讲解对数的概念作铺垫。
【问题2】那么，请同学们思考经过多少年后，人口数可达到1999年底人口数的2倍、3倍、4倍？
师生活动：
1.学生根据题意列出表达式：，，
2.教师引导学生思考如何求解表达式中的未知数，为后面的学习埋下伏笔，启发学生思考并产生学习兴趣，培养学生的探究意识。
设计意图：学生通过思考在心中产生疑问，从而带着问题学习下面的内容，可以更顺利地理解下面所学的知识。提高学生发现问题、解决问题的能力。
追问1：此类问题的特点是什么？
学生回答：此类问题为已知底数和幂的值，求指数。
追问2：怎样求指数呢？一般地，在中，已知,,则？
设计意图：学生思考如何求指数的问题，从而顺利地引入对数的概念，同时使学生在学习过程中有意识地将对数和指数的概念形成对比。同时，这也是一个从具体到抽象的过程，对培养学生抽象素养起着重要的作用。
【问题3】请同学们阅读课本第122页并思考指数式与对数式之间的关系？
师生活动：
学生自主学习，形成对对数概念的认识。
设计意图：
学生通过自主学习，形成认识，教师再进行引导，树立学生是学习的主体。
【问题4】从运算的角度来看，对于乘方运算，设其结果是，即。已知，，求，则？；在中，已知，，求，则？
师生活动：
教师指明，通过上述问题引入符号，相应的把叫做对数的底数，叫做真数。阐述对数运算是乘方运算的一种逆运算；是一个确定的数，是表示数的一种方式；是中的相对应的那个数，即相对应的指数。
设计意图：帮助学生理解对数的概念。
一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。当且时，我们把称作指数式，把称作对数式。
【问题5】根据对数定义，思考指数式与对数式之间的关系？
师生活动：
1.学生思考、交流、发言。
2.教师进行总结：对数式和指数式是表示，，三者之间同一关系的两种表达形式，可相互转化。当时，。让学生了解指数与对数的关系，明确对数式与指数式形式的区别，，和位置的不同以及它们的含义、互化，体现了等价转化数学思想。
3.巩固练习（1）：把下列对数式化为指数式，指数式化为对数式：
① ② ③ ④
设计意图：体会定义中指数式和对数式的关系，掌握指对互化思想，加深对对数概念的理解。
【问题6】将指数式化为对数式。
师生活动：
我们通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把记作。在科学技术中常使用以无理数…为底数的对数，以为底的对数称为自然对数，并把记为。
追问：说出下列各式的意义，并将其转化为指数式。
① ②
设计意图：介绍常用对数和自然对数，检验学生对特殊对数的理解情况，为解题以及换底公式作铺垫。
【问题7】对数式中，，相应的取值范围？任何实数都有对数吗？
师生活动：
学生回答：，，
设计意图:正确理解对数定义中底数的限制，为以后对数函数定义域的确定做准备，同时注意对数的书写格式，避免因书写不规范而产生的错误。
追问：负数和零为什么没有对数？
设计意图：体会对数与指数之间的关系。
【问题8】，把它们化为对数式会得到什么呢？
学生回答：，
设计意图：理解和掌握对数的性质，培养学生类比、分析、归纳能力。
【问题9】求下列各式中的值
① ② ③ ④
师生活动：学生练习并在黑板展示结果，若学生无思路，教师指导考虑对化指。教师规范解题过程。总结应用指对互化解决对数中未知数的问题（知二求一）：首先将对数化为指数式，再求解的值。
设计意图：指导学生在互化时要注意参数的取值范围，培养学生严谨的思维品质。
【课后作业】
第123页练习1、2、3
设计意图：巩固对数的概念以及熟练掌握指对互化的应用。发现学生在学习过程中存在的问题，弥补教学中的不足。
（五）目标检测设计
目标检测题：
1.将下列指数式写成对数式，对数式写成指数式。
（1） （2）
检测目标：检测指对互化的应用，检测学生对对数概念的掌握情况。
2.求下列各式的值
（1） （2）
检测目标：检测利用对数概念计算对数式的值。
3.求下列各式中的值
（1） （2）
检测目标：利用指对互化解决对数中未知数求解问题。
第6课时
1.课时教学内容
4.3.2对数的运算
2.课时教学目标
（1）通过具体实例引入，推导对数的运算性质；
（2）熟练掌握对数的运算性质，学会化简，计算；
（3）通过转化思想方法的运用，培养学生转化的思想观念及逻辑思维能力.
3.教学重点与难点
重点：对数的运算性质，对数恒等式及其应用；
难点：利用指数的运算性质推导出对数的运算性质和换底公式.
4.教学设计
教学环节：情境引入
教学内容 师生活动 设计意图
情景导入 回顾指数性质：(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝(a＞0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝(a＞0，b＞0，r∈Q)．那么对数有哪些性质？如 让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 回顾旧知，引入新知
教学环节：新知探究
教学内容 师生活动 设计意图
阅读课本124-125页，思考并完成以下问题 1.对数具有哪三条运算性质？ 换底公式是如何表述的？ 学生总结：1．对数的运算性质 若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN， (2)loga＝logaM－logaN， (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 2．换底公式 若c>0且c≠1，则logab＝(a>0，且a≠1，b>0)． 学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时， 等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的． 以学生为主，激发学生探究欲望，对数学产生兴趣。
教学环节：典例分析、举一反三
教学内容 师生活动 设计意图
题型一 对数运算性质的应用 例1 计算下列各式的值: (1)log2+log224-log284; (2)lg 52+lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2. 跟踪训练一 1.计算下列各式的值 (1)log3+lg 25+lg 4++(-9.8)0. (2)2log32-log3+log38-. 解题技巧：（对数运算性质的应用） 1.对于底数相同的对数式的化简、求值,常用的方法是: (1)“收”,将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数; (2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差). 2.对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.lg 2+lg 5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式. 熟悉性质，熟练掌握
题型二 换底公式的应用 例2 计算下列各式的值: (1);　(2). 跟踪训练二 1.化简: (1)log23·log36·log68; (2)(log23+log43)(log32+log274). 解题技巧：（换底公式的应用） 1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题. 2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路: 熟悉性质，熟练掌握
题型三 对数的综合应用 例3 (1)若3x=4y=36,求的值; (2)已知3x=4y=6z,求证:. 跟踪训练三 1.已知3a=7b=M,且=2,求M的值 解题技巧：（对数的综合应用） 对数概念的实质是给出了指数式与对数式之间的关系,因此如果遇到条件中涉及指数幂的连等式时,常引入辅助变量,利用指数与对数间相互转化的关系,简化求解过程. 熟悉性质，熟练掌握
教学环节：课堂小结、作业布置
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
习题4.3 3、4、5、6、7、8
板书设计
第7课时
1.课时教学内容
4.4.1对数函数的概念
2.课时教学目标
（1）从实际问题情境中，抽象出对数函数的概念，认识与指数函数间的关系；
（2）理解对数函数的概念，了解对数函数的实际意义．
（3）借助信息技术和计算工具感受对数函数的变化，发展数学运算和数学抽象的素养.
3.教学重点与难点
重点：对数函数的概念；
难点：对指数函数与对数函数内在联系的把握.
4.教学设计
创设情境
师：观看良渚文化视频，引导学生思考
问题1考古学家如何测量良渚古城的年代.
当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.
问题2按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？
通过指数函数的学习，我们知道，当生物死亡年数为，死亡生物体内碳14含量为，那么这就是我们学过的指数函数. 当我们知道生物的死亡时间，通过指数函数，我们就能知道生物体内碳14的含量.
问题3由死亡生物体内碳14含量，如何求出它的死亡年数呢？
根据指数与对数的关系，
由得到
那么，死亡时间是碳14的含量的函数吗？
设计意图：温故知新，通过对上节指数函数问题的回顾，提出新的问题，构建对数函数的概念。培养和发展逻辑推理和数学抽象的核心素养。
解决这个问题，显然要依据函数的定义.那么依据定义应该怎样进行判断呢？
师生活动：教师引导学生先回忆函数的定义，然后确定判断方法．
函数的定义：设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作
函数三个要点：1.两个非空实数集;
问题4：和对应的集合分别是什么？依据是什么？
数集间一个对应关系;
问题5:从集合到集合的对应关系是什么？
对应关系满足：数集中任意一个数，按照对应关系，在数集中都有唯一确定的数和它对应。
问题6：对于集合中任意一个数，按照对应关系，在集合中是否都有唯一确定的数与之对应？
所以要判断死亡时间是否是碳14的含量的函数，就要确定，对于任意一个，是否都有唯一确定的与其对应．
如图，观察的图象，过轴正半轴上任意一点作轴的平行线，与的图象有几个交点？这说明对任意一个，都有几个与其对应？ 能否将看成是的函数？
通过函数图象进行演示，直观呈现对任意一个，都有唯一确定的与其对应．
（二）概念生成
问题7 这个函数有什么特征？
但习惯上仍用表示自变量，表示它的函数，即， 而中的底数为一个给定的常数，我们用来表示，即.即由指数函数可得，而也构成函数，再改换字母表示，不影响函数的本质，形成一个新的函数这就是本节课要学习的对数函数.
一般地，函数且叫做对数函数，其中是自变量，定义域是
问题8 类比幂函数与指数函数的定义，对数函数的结构特征是什么？
对数函数的结构特征：
对数符号前面的系数为1；
对数的底数是不等于1的正常数；
对数的真数仅有自变量.
设计意图：通过对指数函数回顾，类比得出对数函数的概念质，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养。
（三）课堂互动探究
探究一 对数函数的概念
例1.下列函数中，哪些是对数函数？
学生回答
[方法总结]从“三个方面”判断一个函数是否是对数函数
1.对数符号前面的系数为1；
2.对数的底数是不等于1的正常数；
3.对数的真数仅有自变量.
[跟踪训练1]　若函数是对数函数，则.
例2 求下列函数的定义域：
（1）
（2）且
问题6：求解的依据是什么？据此求解的步骤是什么？
师生活动：教师利用追问引导学生，一切从定义出发．对数函数且的定义域是（0，＋∞），那么（1）中的和（2）中的的取值范围就是（0，＋∞），于是得到不等式，将定义域问题转化为解不等式问题，进而求出定义域．
解：由对数函数的概念可知：因为即所以函数的定义域是
因为即所以函数的定义域是
[方法总结]求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变．
[跟踪训练2]　求下列函数的定义域：
例3 假设某地初始物价为1，每年以5%的增长率递增，经过年后的物价为
该地的物价经过几年后会翻一番？
填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律.
物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数y 0
解：（1）由题意可知，经过年后物价为
，即
由对数与指数间的关系，可得
物价翻一番，即，代入函数可得，
由计算工具可得
（2）根据函数利用计算工具，可得下表：
物价x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
年数y 0 14 23 28 33 37 40 43 45 47
由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增长1所需要的的年数在逐渐缩小.
设计意图：通过典例问题的分析，让学生进一步熟悉对数函数的概念性。培养逻辑推理核心素养。
（四）课堂小结
（1）回顾本节学习过程，本节课研究了哪些问题，获得了哪些知识？有哪些研究经验和解题经验？
（2）你还有什么问题？
设计意图：学生自己总结本节课所学知识，加深对学习内容的理解，小组讨论学习过程中学生的合作学习意识、与人沟通交流能力都将有所提升。
（五）布置作业
必做题：
教材131页 练习1,2,3
选做题：
尝试画出和的图象，观察其函数特点
设计意图：考虑到学生的个体认知差异，基于做作业是以学习内容的巩固性和发展性为出发点，分层次布置作业。设计必做题和选做题，必做题是对本节课学习内容的检验和反馈，选做题是为下节课的学习做铺垫。
（六）板书设计
4.4.1 对数函数的概念
1.定义
2.对数函数的结构特征
第8课时
1.课时教学内容
4.4.2对数函数的图象和性质
2.课时教学目标
（1）能借助描点法、计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点等性质；
（2）利用反函数的概念，引导学生类比指数函数的图象探究对数函数的图象及性质，进一步完善对数函数的性质。
（3）体会对数函数的性质在具体的生活和数学情境中的作用，能利用对数函数的性质解决一些简单的应用问题，感受数形结合、分类讨论的数学思想和方法，渗透逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养.
3.教学重点与难点
重点：对数函数的图象和性质；
难点：对数函数性质的探究和归纳，对数函数与指数函数的联系.
4.教学设计
（一）创设情境
【实际情境】在化学中，溶液酸碱度是通过pH计量的. pH的计算公式为pH= -lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。例如，在我国规定纯净水pH值只要在6.5-8.5之间即是合格产品。如果水的pH值过低则会有腐蚀作用，而pH值过高就会影响味觉，有肥皂味，因此饮用纯净水的pH值都是控制在6.5-8.5之间。
问题1：（1）已知某品牌的纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10-7摩尔/升，则它的pH是多少？它是合格产品吗？
【预设的答案】7；是
（2）请同学们猜想：随着溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性是越强还是越弱呢？想要知道溶液的酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间有什么样的变化关系，需要研究什么呢？ （提示：若记溶液酸碱度为，氢离子浓度为，写出关于的函数解析式）
【预设的答案】越强；变化关系为，则需要研究对数函数的单调性.
【设计意图】将对数函数性质的学习与生活实际和学生的生活经验、化学学习经验结合起来，同时也复习对数运算和对数函数的概念，充分调动学生学习的积极性，从而自然地引入对数函数的图象与性质的研究问题。
问题2：我们是怎样研究指数函数的？我们主要研究它的哪些性质？
【活动预设】引导学生回顾指数函数的研究过程：确定要通过作出对数函数的图象来研究其性质的研究方法，同时要注意分类讨论思想的应用。
实例——概念——表示——图象——性质——应用
（二）新知探究
活动1：作出函数的图象
【活动预设】学生采用描点法作图。
【活动意图】引导全体学生回顾描点法作图的基本方法和步骤。
活动2：在同一坐标系中作出函数的图象。你有什么发现？
【活动预设】学生继续采用描点法作图并观察两个函数图象的对称关系，有的学生先观察了与的关于轴对称的性质再来作图。
【活动意图】让学习活动的发生更符合学生自然的认知规律。动手和观察能力较强的学生可以先观察图象获得“函数与的关于轴对称”的结论，然后利用这个结论，通过思考体会到可以用已知函数图象和对称性来作新函数的图象。目的是让学生学习用联系的观点看问题，通过逻辑推理获得数学结论。这样思考便于将对数函数的图象分为两类来归纳，学生在指数函数中有过类似的研究，可以自然地理解。
活动3：选取底数的若干值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象.观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此尝试概括出对数函数的值域和性质.
【活动预设】
学生小组合作大量举例，改变对数函数中底数a的值（a＞0且不等于1），在此环节中，小组会继续采用描点法（包括采用对称性）来进行观察。
观察归纳：观察作出的函数图象，进行文字语言的描述后再将图象特征转化为函数特征用图象。
活动4：下面请同学们观察Geogebra作图的动画展示，来观察对于任意底数a(a>0，且a≠1),我们刚刚的发现是否成立.
小结：利用描点法、对称关系的推理，我们都可以作出对数函数的图象，从而归纳出对数函数的性质。教师运用信息技术展示取不同值时对数函数的变化情况。
a的范围 01
图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性质 定点 (1,0)，即x＝1时，y＝0
单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数
（三）学以致用
例1溶液酸碱度是通过pH计量的.随着溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性是越强还是越弱呢？函数(x＞0)的单调性如何？
【预设的答案】是底数大于1的对数函数，在定义域上单调递增，因此随着（氢离子浓度）的增大，函数值减小，即溶液的pH值减小，酸性越强。
【设计意图】
（1）回归实际情境，让学生体会学以致用的快乐
（2）用对数函数的单调性来解释学生已经有的化学学习经验，加强学科间的融合。
例2 比较下列各组数中两个值的大小:
(1) log23.4 与 log28.5 (2) log0.31.8 与 log0.32.7
(3) log45 与 log63 (4) loga5.1 与 loga5.9
【预设的答案】（1）＜;（2）＞;（3）＞;（4）分类讨论：当a>1时，loga5.1 ＜loga5.9 ；0【设计意图】
（1）利用对数函数的单调性比较同底对数的大小,加深对数函数性质的理解；当底数用字母来表示时，注意分类讨论思想的应用；
（2）对数与整数比大小或不同底对数比较大小，需要化为同底对数或者是借助中间量来比较大小，渗透了化归与转化的数学思想，同时也是对对数函数的图象与性质的灵活运用。
[方法总结]
比较对数值大小的策略：
1.同底时，根据单调性比较两真数的大小；
2.同底但底数是字母时，需对字母进行分类讨论，再根据单调性比较两真数的大小；
3.同真数但不同底时，可利用“底大图低”的口诀来直接判断大小；
4.不同底且不同真时，常借助中间值，如-1,0,1等进行比较.
教师讲授：反函数的概念
上一节课，在利用碳14测年法推断出良渚古城遗址年代的例子中，我们可以将指数函数等价转化为对数式，这是一个对数函数，且与对数函数为同一个函数。不难发现，交换了x与y的位置后，和这两个函数的定义域和值域正好互换，称这样的两个函数互为反函数。
问题3：对于指数函数，你能利用指数与对数间的关系，得到与之对应的对数函数吗？它们的定义域、值域之间有什么关系？它们也互为反函数吗？
【设计意图】用实例加深学生对反函数的理解，明确同底的指数函数与对数函数互为反函数.
活动5：画出两组反函数的图象，并观察寻找它们之间的对称关系。下面请同学们观察Geogebra作图的动画展示，来观察对于任意底数,我们刚刚的发现是否成立.
【设计意图】用实例加深学生对反函数的理解，明确同底的指数函数与对数函数互为反函数，且它们的图象关于直线对称。
（四）总结提升
思考：（1）对数函数有哪些性质？
（2）我们可以通过哪些方式来探究对数函数的图象及性质？
（3）在探究对数函数的图像及性质的过程中，我们应用了哪些数学思想与方法？你还想探究关于对数函数的哪些问题？
【设计意图】
（1）梳理本节课对于对数函数图象及性质的认知；
（2）进行探究过程的反思和数学思想方法、核心素养的渗透，鼓励学生进一步观察归纳类比拓展。
（五）布置作业
必做题：课本P135，练习2、3
选做题：阅读课本P135的探究与发现，并思考其中的问题。
（六）板书设计
4.4.2 对数函数的图象和性质
1.对数函数的图象和性质 例1
2.反函数 例2
第9课时
1.课时教学内容
4.4.3不同函数增长的差异
2.课时教学目标
（1）了解指数函数、对数函数、幂函数 (一次函数) 的增长差异.
（2）经过探究对函数的图像观察，理解对数增长、直线上升、指数爆炸。培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力； 3.在认识函数增长差异的过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数学应用的意识，提升直观想象素养、数学运算素养和逻辑推理素养。
3.教学重点与难点
重点：函数增长快慢比较的常用方法；
难点：对“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”的理解，了解影响函数增长快慢的因素.
4.教学设计
引入新知
三种函数模型的性质
在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数
图象的变化趋势 随增大逐渐近似与轴平行 随增大逐渐近似与轴平行 随增大而增大，均匀增长
我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．
设计意图：温故知新，通过对上节指数、对数和一次函数问题的回顾，提出新的问题，提出研究函数增长差异的问题及研究方法。培养和发展逻辑推理和数学抽象的核心素养。
（二）新知探究
下面就来研究一次函数，指数函数在区间内增长的差异.
问题探究
活动一：以函数与为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异.
分析：借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：
x
0 1 0
0.5 1.414 1
1 2 2
1.5 2.828 3
2 4 4
2.5 5.657 5
3 8 6
…. …. ….
(3) 观察两个函数图象及其增长方式：
结论1：函数与有两个交点和
结论2：在区间上，函数的图象位于之上
结论3：在区间上，函数的图象位于之下
结论4：在区间上，函数的图象位于之上
综上：虽然函数与都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数的增长速度不变，但是的增长速度改变，先慢后快.
思考：请大家想象一下，取更大的值，在更大的范围内两个函数图象的关系？
随着自变量取值越来越大，函数的图象几乎与轴垂直，函数值快速增长，函数的增长速度保持不变，和的增长相比几乎微不足道.
归纳总结
总结一：函数与在[0,+∞)上增长快慢的不同如下：
虽然函数与在[0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.
随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度.
尽管在的一定范围内但由于的增长最终会快于的增长，因此，总会存在一个，当时，恒有
总结二：一般地指数函数与一次函数的增长都与上述类似.
即使值远远大于值，指数函数虽然有一段区间会小于，但总会存在一个，当时， 的增长速度会大大超过的增长速度.
设计意图：通过画出特殊的指数函数和一次函数的图形，观察归纳出两类函数增长的差异和特点，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养。
下面就来研究一次函数，对数函数在区间内增长的差异.
活动二：以函数与 为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.
0 不存在 0
10 1 1
20 1.301 2
30 1.477 3
40 1.602 4
50 1.699 5
60 1.778 6
··· ··· ···
观察两个函数图象及其增长方式：
虽然函数和在区间上都单调递增，但它们的增长速度存在明显差异，函数的增长速度不变，而的增长速度在变化.随着x的增大，函数的图像越来越平缓，像与轴平行一样.函数的图像离x轴越来越远.
例如：
这表明，当即时，比相比增长得就很慢了.
活动三：将放大倍，将函数与比较，仍有上面规律吗？先想象一下，仍然有.
总结二：一般地，虽然对数函数与一次函数在区间上都单调递增，但它们的增长速度不同. 随着的增大，一次函数保持着固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来