23.6图形与坐标
1.用坐标确定位置
用坐标确定物体的位置
1.(2024广西中考)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P的坐标为(2,1),则点Q的坐标为 ( )
A.(3,0)
B.(0,2)
C.(3,2)
D.(1,2)
第1题图 第2题图
2.(数学文化)“计里画方”是中国古代一种按比例尺绘制地图的传统方法,绘图时先在图上布满方格,然后按方格绘制地图内容.小华按照“计里画方”的方法,绘制了蒙山大佛旅游区的局部示意图(如图).若该图中“开化寺”与“蒙山晓月”两处景点的坐标分别为(-1,-2)、(1,-2),则景点“蒙山氧吧”的坐标为 ( )
A.(-1,5)
B.(-2,5)
C.(-2,2)
D.(2,-2)
3.(跨学科)《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》是唐代大诗人李白的诗作,笑笑对该诗的默写如图所示.如果用(1,4)表示“杨”字的位置,那么图中错别字的位置表示为 .
4.如图,小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系,如果白塔山公园的坐标是(2,2),中山桥的坐标是(3,0),那么黄河母亲像的坐标是 .
用经、纬度表示位置
5.下列不能准确表示位置的是 ( )
A.东经130°,北纬45°
B.方向南偏东26°,距离15 km
C.距三明北动车站120 m
D.6排8号
用“角度(方向)、距离”表示位置
第6题图 第7题图
6.如图,用方向和距离描述图书馆相对于小青家的位置是 ( )
A.北偏东35°,3 km
B.北偏东55°,3 km
C.东偏北35°
D.东偏北55°,3 km
7.如图,一艘船在A处遇险,与救生船B相距80 n mile.从A处看,船B的方向与正东方向的夹角为70°,用方向和距离描述遇险船相对于救生船B的位置为 .
1.气象台为了预报台风,首先要确定台风中心的位置,下列说法能确定台风中心位置的是 ( )
A.西太平洋
B.距气象台500 n mile
C.北纬22° ,东经124°
D.北海附近
2.某校创建了“科技创新”社团.小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中,若建立平面直角坐标系,使“创”“新”的坐标分别为(-2,0),(0,0),则“技”所在的象限为 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.小明、小华、小亮三人观看电影.如图是利用平面直角坐标系画出的影院内分布图,若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向,建立平面直角坐标系,他们是这样描述自己的座位的:
①小明:我的座位的坐标为(-2,3);
②小华:在小明的座位向右走4个座位,再向上走2个座位,就可以找到我的座位了;
③小亮:小旗帜所在的位置就是我的座位.
则小华、小亮座位的坐标分别为 ( )
A.(2,5),(2,-1)
B.(-4,5),(-4,0)
C.(4,2),(4,7)
D.(2,5),(2,0)
4.用点A、B、C分别表示学校、小明家、小红家,已知学校在小明家的南偏东25°方向上,小红家在学校的北偏东35°方向上,则∠BAC= .
5.(2025沈阳大东区期末)如图,已知火车站的坐标为(2,2),文化馆的坐标为(-1,3).
(1)请你画出平面直角坐标系.
(2)写出体育场、市场、超市的坐标.
(3)已知游乐场A、图书馆B、公园C的坐标分别为(0,5),(-2,-2),(2,-2),请在图中标出A、B、C的位置.
6.(运算能力)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,对于P(x1,y1)、Q(x2,y2)两点,给出如下定义:若|y1-y2|=|x1-x2|,则称P、Q两点互为“阶依附点”.例如,点M(2,5)、点N(3,5-)互为“阶依附点”.
(1)已知点A的坐标为(1,4).
①在P1(2,)、P2(3,6)、P3(-4,-2)三个点中,与点A互为“阶依附点”的是 .
②若点B在y轴上,且点B与点A互为“阶依附点”,求点B的坐标.
(2)已知点C(1,0),点D与点C互为“阶依附点”,若△COD的面积为,求点D的坐标.
【详解答案】
基础达标
1.C 解析:点Q的坐标为(3,2).故选C.
2.C 解析:1-3=-2,-2+4=2,
∴“蒙山氧吧”的坐标为(-2,2).故选C.
3.(2,3) 解析:∴图中错别字是“到”,位置表示为(2,3).
4.(-4,1) 解析:如图,根据白塔山公园的坐标是(2,2),中山桥的坐标是(3,0)画出平面直角坐标系,∴黄河母亲像的坐标是(-4,1).
5.C 解析:A.东经130°,北纬45°,能准确表示位置,不合题意;B.方向南偏东26°,距离15 km,能准确表示位置,不合题意;C.距三明北动车站120 m,不能准确表示位置,符合题意;D.6排8号,能准确表示位置,不合题意.故选C.
6.B 解析:图书馆在小青家的北偏东55°方向上且到小青家的距离为3 km.故选B.
7.南偏西20°方向上且两船相距80 n mile
解析:由题意得,救生船相对于遇险船的位置为北偏东20°方向上且两船相距80 n mile,∴遇险船相对于救生船的位置为南偏西20°方向上且两船相距80 n mile.
能力提升
1.C 解析:A.西太平洋,位置不确定,故本选项不符合题意;B.距气象台500 n mile,位置不确定,故本选项不符合题意;C.北纬22°,东经124°,位置非常明确,故本选项符合题意;D.北海附近,位置不确定,故本选项不符合题意.故选C.
2.A 解析:如图,建立平面直角坐标系,则“技”在第一象限.故选A.
3.D 解析:由题意及小明座位的坐标为(-2,3),建立平面直角坐标系如图,
得小华座位的坐标为(2,5),∵小旗帜位置的坐标为(2,0),∴小亮座位的坐标为(2,0).故选D.
4.60° 解析:依题意作示意图,如图.∵学校在小明家的南偏东25°方向上,∴小明家在学校的北偏西25°方向上,∴∠BAC=25°+35°=60°.
5.解:(1)平面直角坐标系如图所示.
(2)体育场的坐标为(-2,5),市场的坐标为(6,5),超市的坐标为(4,-1).
(3)A、B、C的位置如图所示.
6.解:(1)①P2
②设点B(0,y),
∵点B与点A互为“阶依附点”,
∴|y-4|=|0-1|.
∴y=3或y=5.
∴点B的坐标为(0,3)或(0,5).
(2)设点D(xD,yD),∵点D与点C互为“阶依附点”,
∴|yD|=|xD-1|.
∵△COD的面积为,
∴×OC×|yD|=.
∴|yD|=2.∴yD=±2.
∴|xD-1|=2.
∴xD=-1或xD=3.
∴点D的坐标为(-1,2)或(-1,-2)或(3,2)或(3,-2).23.6 图形与坐标
2.图形的变换与坐标
平移变换与坐标变化的规律
1.(2024长沙中考)在平面直角坐标系中,将点P(3,5)向上平移2个单位后得到点P',则点P'的坐标为 ( )
A.(1,5) B.(5,5) .(3,3) D.(3,7)
2.(2024江西中考)在平面直角坐标系中,将点A(1,1)向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到点B,则点B的坐标为 .
3.如图,已知A、B两点的坐标分别为(-3,1),(-1,3),将线段AB平移得到线段CD.若点A的对应点C的坐标是(1,2),则点B的对应点D的坐标是 .
4.如图,在边长为1个单位的小正方形网格中建立平面直角坐标系.已知三角形ABC的顶点A的坐标为(-1,4),顶点B的坐标为(-4,3),顶点C的坐标为(-3,1).
(1)把三角形ABC向右平移5个单位,再向下平移4个单位得到三角形A'B'C',请你画出三角形A'B'C'.
(2)请直接写出点A'、B'、C'的坐标.
(3)求三角形ABC的面积.
轴对称变换与坐标变化的规律
5.(2024通辽中考)剪纸是我国民间艺术之一,如图放置的剪纸作品,它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合,则点A(-4,2)关于对称轴对称的点的坐标为 ( )
A.(-4,-2) B.(4,-2) .(4,2) D.(-2,-4)
6.在平面直角坐标系中,点P(2,-3)关于x轴的对称点P'的坐标为 .
平面直角坐标系中的位似
7.如图,点P(8,6)在△ABC的边AC上,以原点O为位似中心,在第一象限内将△ABC缩小到原来的,得到△A'B'C',点P在A'C'上的对应点P'的坐标为 ( )
A.(4,3) B.(3,4) .(5,3) D.(4,4)
1.在平面直角坐标系中,点P(1,-4)关于原点对称的点的坐标是 ( )
A.(-1,-4) B.(-1,4) .(1,4) D.(-4,1)
2.在平面直角坐标系中,将点P(1,-1)向右平移2个单位后得到点P1,则点P1关于x轴的对称点的坐标是 ( )
A.(1,1) B.(3,1) .(3,-1) D.(1,-1)
3.(2024陕西中考)一个正比例函数的图象经过点A(2,m)和点B(n,-6).若点A与点B关于原点对称,则这个正比例函数的表达式为 ( )
A.y=3x B.y=-3x .y=x D.y=-x
4.(2024威海中考)定义新运算:①在平面直角坐标系中,{a,b}表示动点从原点出发,沿着x轴正方向(a≥0)或负方向(a<0)平移|a|个单位,再沿着y轴正方向(b≥0)或负方向(b<0)平移|b|个单位.例如,动点从原点出发,沿着x轴负方向平移2个单位,再沿着y轴正方向平移1个单位,记作{-2,1}.②加法运算法则:{a,b}+{c,d}={a+c,b+d},其中a、b、c、d为实数.若{3,5}+{m,n}={-1,2},则下列结论正确的是 ( )
A.m=2,n=7 B.m=-4,n=-3 .m=4,n=3 D.m=-4,n=3
5.点Q的横坐标为一元一次方程3x+7=32-2x的解,纵坐标为a+b的值,其中a、b满足二元一次方程组则点Q关于y轴的对称点的坐标为 .
6.如图,点A(0,-2),B(1,0),将线段AB平移得到线段DC,若∠ABC=90°,BC=2AB,则点D的坐标是 .
7.(教材P93习题23.6 T2变式)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点在格点(网格线的交点)上,以点O为原点建立平面直角坐标系,点B的坐标为(1,0).
(1)将△ABC向左平移5个单位,得到△A1B1C1,请在网格中画出△A1B1C1.
(2)以点O为位似中心,将△A1B1C1放大两倍(即新图与原图的相似比为2),得到△A2B2C2,请在网格中画出△A2B2C2.
(3)若点M是AB的中点,则经过(1)、(2)两次变换,M的对应点M2的坐标为 .
8.已知点A(2a-b,5+a),B(1,-7).
(1)若点A、B关于x轴对称,求a、b的值.
(2)若点A、B关于y轴对称,求(2a-b)2 025的值.
9.(几何直观)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2)、B(4,0)、
C(4,-4).
(1)请画出△ABC向左平移6个单位后得到的△A1B1C1.
(2)以点O为位似中心,将△ABC缩小为原来的,得到△A2B2C2,请在y轴右侧画出△A2B2C2.
【详解答案】
基础达标
1.D 解析:将点P向上平移2个单位,则其横坐标不变,纵坐标增加2,所以点P'的坐标为(3,7).故选D.
2.(3,4) 解析:将点A(1,1)向右平移2个单位,再向上平移3个单位得到点B,则点B的坐标为(1+2,1+3),即(3,4).
3.(3,4) 解析:∵点A(-3,1)的对应点是C(1,2),∴线段AB向右平移4个单位,向上平移1个单位得到线段CD,∴点B(-1,3)的对应点D的坐标为(3,4).
4.解:(1)如图所示,△A'B'C'即为所求.
(2)A'(4,0),B'(1,-1),C'(2,-3).
(3)△ABC的面积=3×3-×2×1-×3×1-×3×2=3.5.
5.C 解析:由所给图形可知,此图形关于y轴对称,所以点A(-4,2)关于对称轴对称的点的坐标为(4,2).故选C.
6.(2,3) 解析:在平面直角坐标系中,点P(2,-3)关于x轴的对称点P'的坐标为(2,3).
7.A 解析:∵点P(8,6)在△ABC的边AC上,以原点O为位似中心,在第一象限内将△ABC缩小到原来的,得到△A'B'C',∴点P在A'C'上的对应点P'的坐标为(4,3).故选A.
能力提升
1.B 解析:在平面直角坐标系中,点P(1,-4)关于原点对称的点的坐标是(-1,4).故选B.
2.B 解析:∵将点P(1,-1)向右平移2个单位,∴平移后得到的点P1的坐标为(3,-1),∴点P1关于x轴的对称点的坐标是(3,1).故选B.
3.A 解析:∵点A(2,m)和点B(n,-6)关于原点对称,∴m=6,∴点A的坐标为(2,6).设正比例函数的表达式为y=kx(k≠0),∵点A(2,6)在正比例函数y=kx的图象上,∴6=2k,解得k=3,∴正比例函数的表达式为y=3x.故选A.
4.B 解析:由题知,3+m=-1,5+n=2,解得m=-4,n=-3.故选B.
5.(-5,-4) 解析:3x+7=32-2x,
移项、合并同类项,得5x=25,系数化为1,得x=5.
①+②,得a+b=-4.则Q(5,-4),
那么点Q关于y轴的对称点的坐标为(-5,-4).
6.(4,-4) 解析:过点D作DE⊥y轴于点E,如图,∵点A(0,-2),B(1,0),
∴OA=2,OB=1.∵线段AB平移得到线段DC,∴AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,BC=AD,
∵BC=2AB,∴AD=2AB,∵∠BAO+∠DAE=90°,∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠ABO=∠DAE.∵∠AOB=∠AED=90°,∴△ABO∽△DAE.∴,∴DE=2OA=4,AE=2OB=2,∴OE=OA+AE=4,
∴D(4,-4).
7.解:(1)如图,△A1B1C1即为所求.
(2)如图,△A2B2C2即为所求.
(3)(6,-2)
8.解:(1)∵点A(2a-b,5+a)与点B(1,-7)关于x轴对称,
∴解得
∴a=2,b=3.
(2)∵点A(2a-b,5+a)与点B(1,-7)关于y轴对称,∴解得
∴(2a-b)2 025=(-1)2 025=-1.
9.解:(1)如图,△A1B1C1为所求.
(2)如图,△A2B2C2为所求.
